8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 课后·训练提升 1.如图，已知直三棱柱ABC-A'B'C的体积为1，则四棱锥C-A4'BB的体积是(). A B时 c D 含案 解杨因为ccu寻 所以us-l号=手 2.若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面 积之比是() A.V3 B.v2 c D吗 答案A 解析如图，正方体的A,C',D,B的四个顶点可构成一个正四面体，设正方体棱长为a, D A 则正四面体棱长为VZa. :正方体表面积S=6a2, 正四面体表面积为S=-4x怎2a-2V3, 是=器- 3.如图，直三棱柱ABC-A'B'C的体积为V,点P,Q分别在侧棱AA和CC上，AP=CQ,则四棱锥 B-APQC的体积为() A号 B时
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 课后· 1.如图,已知直三棱柱 ABC-A'B'C'的体积为 1,则四棱锥 C-AA'B'B 的体积是( ). A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 4 答案 C 解析因为 VC -A'B'C'= 1 3 V 柱= 1 3 , 所以 VC -AA'B'B=1- 1 3 = 2 3 . 2.若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点,则正方体的表面积与正四面体的表面 积之比是( ). A.√3 B.√2 C. 2 √3 D. √3 2 答案 A 解析如图,正方体的 A',C',D,B 的四个顶点可构成一个正四面体,设正方体棱长为 a, 则正四面体棱长为√2a. ∴正方体表面积 S1=6a 2 , 正四面体表面积为 S2=4× √3 4 ×(√2a) 2=2√3a 2 , ∴ 𝑆1 𝑆2 = 6𝑎 2 2√3𝑎2 = √3. 3.如图,直三棱柱 ABC-A'B'C'的体积为 V,点 P,Q 分别在侧棱 AA'和 CC'上,AP=C'Q,则四棱锥 B-APQC 的体积为( ). A. 𝑉 2 B. 𝑉 3
c片 D唱 答案B 4正三棱锥的底面边长为a,高为汽，则此棱锥的侧面积等于( Ad 答案A 解标侧棱长为 斜高为 5.四棱台的上、下底面分别是边长为x和y的正方形，各侧棱长都相等，高为z,且侧面积等于 两底面的面积之和，则下列关系式中正确的是( A好+ y B时=+ c+村 1 窨案 44h=x2+y2, 解析由条件知，各侧面是全等的等腰梯形，设其高为，则根据条件得 22+()°=2 消去h'得42(x+y)2+0y-x)20y+x)2=(x2+y2)2 42(x+y)2=4x2y2 rg=+月 6.已知棱长为1，各面均为等边三角形的四面体，则它的表面积是 体积 是 答3 7.如图，在三棱柱ABC-A'B'C中，若E,F分别为AC,AB的中点，平面ECBF将三棱柱分成体积 为V(棱台AEF-A'CB的体积)、的两部分，则：V2= 答案7：5 解析设三棱柱的高为h,底面面积为S,体积为V,则V=+2=Sh 国为E,F分别为AC,AB的中点，所以SaAFF-S
C. 𝑉 4 D. 𝑉 5 答案 B 4.正三棱锥的底面边长为 a,高为√6 6 a,则此棱锥的侧面积等于( ). A. 3 4 a 2 B. 3 2 a 2 C. 3√3 4 a 2 D. 3√3 2 a 2 答案 A 解析侧棱长为√( √6 6 𝑎) 2 + ( √3 3 𝑎) 2 = √2 2 a,斜高为√( √2 2 𝑎) 2 - ( 𝑎 2 ) 2 = 𝑎 2 ,故 S 侧=3× 1 2 ×a× 𝑎 2 = 3 4 a 2 . 5.四棱台的上、下底面分别是边长为 x 和 y 的正方形,各侧棱长都相等,高为 z,且侧面积等于 两底面的面积之和,则下列关系式中正确的是( ). A. 1 𝑥 = 1 𝑦 + 1 𝑧 B. 1 𝑦 = 1 𝑥 + 1 𝑧 C. 1 𝑧 = 1 𝑥 + 1 𝑦 D. 1 𝑧 = 1 𝑥+𝑦 答案 C 解析由条件知,各侧面是全等的等腰梯形,设其高为 h',则根据条件得{ 4· 𝑥+𝑦 2 ·ℎ' = 𝑥 2 + 𝑦 2 , 𝑧 2 + ( 𝑦-𝑥 2 ) 2 = ℎ' 2 , 消去 h'得 4z 2 (x+y) 2+(y-x) 2 (y+x) 2=(x 2+y2 ) 2 . ∴4z 2 (x+y) 2=4x 2 y 2 , ∴z(x+y)=xy,∴ 1 𝑧 = 1 𝑥 + 1 𝑦 . 6.已知棱长为 1,各面均为等边三角形的四面体,则它的表面积是 ,体积 是 . 答案√3 √2 12 解析 S 表=4× √3 4 ×1 2=√3,V 体= 1 3 × √3 4 ×1 2×√1 2-( √3 3 ) 2 = √2 12. 7.如图,在三棱柱 ABC-A'B'C'中,若 E,F 分别为 AC,AB 的中点,平面 EC'B'F 将三棱柱分成体积 为 V1(棱台 AEF-A'C'B'的体积)、V2 的两部分,则 V1∶V2= . 答案 7∶5 解析设三棱柱的高为 h,底面面积为 S,体积为 V,则 V=V1+V2=Sh. 因为 E,F 分别为 AC,AB 的中点,所以 S△AEF= 1 4 S
所以nhS+5+S)=%⅓=h品%所以h:⅓=7：5 8.己知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形，侧面是全等的等 腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高 解如图，在三棱台ABC-A'BC中，O,O分别为上、下底面的中心，D,D'分别为BC,BC的中点， 则DD'是等腰梯形BCC"B的高，所以S=3×空×(20+30)DD'=75DD 又A"B-20cmAB=30cm,所以上、下底面的面积之和为S1+5,-是×20+30)-325V3(cm 由S=上+Sr,得75DD-325V3, 所以DD133 3 cm. 又0D'ξ200gcm.0Dgx30-3cm, 6 所以棱台的高为O'O=DD2-(0D-0D)2 （-(69 -4v3(cm) 9.如图，正三棱锥P-ABC的底面边长为a,高为h.一个正三棱柱A1B1C1-4oBoCo的顶点A1,B1,C 分别在三条棱上，Ao,Bo,C6分别在底面△ABC上，求此三棱柱的侧面积的最大值 解设三棱锥的底面中心为O,连接P0(图略)，则P0为三棱锥的高，设A,B1,C所在的平面与 P0支于0点，则铝=号令AiA=-x而P0-h则P0含于是00-hP0-h哈-M1总 AB 所以所求三棱柱的侧面积为S-3xM1月兰a-碧号] 当x时，S有最大值为h,此时01为P0的中点
所以 V1= 1 3 ℎ (𝑆 + 1 4 𝑆 + √𝑆· 𝑆 4 ) = 7 12Sh,V2=V-V1= 5 12Sh.所以 V1∶V2=7∶5. 8.已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为 20 cm 和 30 cm 的正三角形,侧面是全等的等 腰梯形,且侧面面积等于上、下底面面积之和,求棱台的高. 解如图,在三棱台 ABC-A'B'C'中,O',O 分别为上、下底面的中心,D,D'分别为 BC,B'C'的中点, 则 DD'是等腰梯形 BCC'B'的高,所以 S 侧=3× 1 2 ×(20+30)·DD'=75DD'. 又 A'B'=20 cm,AB=30 cm,所以上、下底面的面积之和为 S 上+S 下= √3 4 ×(202+302 )=325√3(cm2 ). 由 S 侧=S 上+S 下,得 75DD'=325√3, 所以 DD'=13√3 3 cm. 又 O'D'=√3 6 ×20= 10√3 3 (cm),OD=√3 6 ×30=5√3(cm), 所以棱台的高为 O'O=√𝐷𝐷' 2 -(𝑂𝐷-𝑂'𝐷') 2 = √( 13√3 3 ) 2 - (5√3- 10√3 3 ) 2 =4√3(cm). 9.如图,正三棱锥 P-ABC 的底面边长为 a,高为 h.一个正三棱柱 A1B1C1-A0B0C0 的顶点 A1,B1,C1 分别在三条棱上,A0,B0,C0 分别在底面△ABC 上,求此三棱柱的侧面积的最大值. 解设三棱锥的底面中心为 O,连接 PO(图略),则 PO 为三棱锥的高,设 A1,B1,C1 所在的平面与 PO 交于 O1 点,则 𝐴1𝐵1 𝐴𝐵 = 𝑃𝑂1 𝑃𝑂 ,令 A1B1=x,而 PO=h,则 PO1= ℎ 𝑎 x,于是 OO1=h-PO1=h- ℎ 𝑎 x=h(1- 𝑥 𝑎 ). 所以所求三棱柱的侧面积为 S=3x·h(1- 𝑥 𝑎 )= 3ℎ 𝑎 (a-x)x= 3ℎ 𝑎 [ 𝑎 2 4 -(x- 𝑎 2 ) 2 ]. 当 x= 𝑎 2 时,S 有最大值为3 4 ah,此时 O1 为 PO 的中点