6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 课后·训练提升 基础巩固 1在下列向量组中，可以把向量a=(3,2)表示出来的是( A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=(-2,3) 含案B 解桐只有选项B中两个向量不共线可以表示向量a 2.己知点A1,1),B(4,2)和向量a=(2),若a∥AB,则实数1的值为). A号 B c D 答案 解桐根据A,B两点的坐标，可得AE=-(3,1), a∥丽2x1-3=0,解得号 3.若向量a=(-1,x)与b(-x,2)共线且方向相同，则x的值为() A.V2 B.-V2 C.2 D.-2 答案A 解析因为向量a=(-1,x)与b=(-x,2)共线，所以(-1)×2-x(x)=0,解得x=士VZ,又向量a与b方向 相同，所以x=VZ. 4.已知向量a=(2,1),b=(3,4),c=(k,2)k∈R).若(3a-b)∥c,则k的值为(). A.-8 B.-6 C.-1 D.6 答案B 解析由题意得3a-b=(3,-1),因为(3a-b)∥c, 所以6+k=0.解得k=-6. 5.已知向量a=(1-sin0,1),b-(传，1+sin0),且a/b,则锐角0等于( A.30° B.459 C.60° D.75 答案B 解韧由a/b,可得(1-sin01+sin0-之0， 即c0s0-=竖而0是锐角，故0-45」 6.己知向量0A=(1,-3),0死=-(2，-1)，0C=(k+1,k-2),若A,B,C三点不能构成三角形，则实数k应满 足的条件是( A.k=-2 B. C.k=1 D.k=.1 靥案c 解析因为A,B,C三点不能构成三角形，所以A,B,C三点共线，则AE‖AC,又AE=丽- 0A=(1,2),AC=0C-0A-(kk+1), 所以2k-(k+1)=0,解得k=1
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 课后· 基础巩固 1.在下列向量组中,可以把向量 a=(3,2)表示出来的是( ). A.e1=(0,0),e2=(1,2) B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2=(-2,3) 答案 B 解析只有选项 B 中两个向量不共线可以表示向量 a. 2.已知点 A(1,1),B(4,2)和向量 a=(2,λ),若 a∥𝐴𝐵⃗⃗⃗ ,则实数 λ 的值为( ). A.- 2 3 B. 3 2 C. 2 3 D.- 3 2 答案 C 解析根据 A,B 两点的坐标,可得𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(3,1), ∵a∥ 𝐴𝐵⃗⃗⃗ ,∴2×1-3λ=0,解得 λ= 2 3 . 3.若向量 a=(-1,x)与 b=(-x,2)共线且方向相同,则 x 的值为( ). A.√2 B.-√2 C.2 D.-2 答案 A 解析因为向量 a=(-1,x)与 b=(-x,2)共线,所以(-1)×2-x(-x)=0,解得 x=±√2,又向量 a 与 b 方向 相同,所以 x=√2. 4.已知向量 a=(2,1),b=(3,4),c=(k,2)(k∈R).若(3a-b)∥c,则 k 的值为( ). A.-8 B.-6 C.-1 D.6 答案 B 解析由题意得 3a-b=(3,-1),因为(3a-b)∥c, 所以 6+k=0,解得 k=-6. 5.已知向量 a=(1-sin θ,1),b=( 1 2 ,1 + sin𝜃),且 a∥b,则锐角 θ 等于( ). A.30° B.45° C.60° D.75° 答案 B 解析由 a∥b,可得(1-sin θ)(1+sin θ)- 1 2 =0, 即 cos θ=± √2 2 ,而 θ 是锐角,故 θ=45°. 6.已知向量𝑂𝐴⃗⃗⃗ =(1,-3),𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =(2,-1),⃗𝑂𝐶⃗⃗ =(k+1,k-2),若 A,B,C 三点不能构成三角形,则实数 k 应满 足的条件是( ). A.k=-2 B.k=1 2 C.k=1 D.k=-1 答案 C 解析因为 A,B,C 三点不能构成三角形,所以 A,B,C 三点共线,则𝐴𝐵⃗⃗⃗ ∥ 𝐴𝐶⃗⃗ ,又𝐴𝐵⃗⃗⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐴⃗⃗⃗ =(1,2),𝐴𝐶⃗⃗ = ⃗𝑂𝐶⃗⃗ − 𝑂𝐴⃗⃗⃗ =(k,k+1), 所以 2k-(k+1)=0,解得 k=1
7.已知点A(1,-2),若线段AB的中点坐标为(3,1)，且AB与向量a=(1)共线，则实数 = 答刻 解桐由题意得，点B的坐标为(3×2-1,1×2+2)=(5,4)，则A丽-(4,6， 又：与a=(1,)共线，4-6-0，解得2 8.已知0A=(k,2),0元=(1,2,0C-(1-k,-1),且相异三点A,B,C共线，则实数k= 含案} 解标4丽=0丽-0A-(1-k2k-2),4C=0元-0A-(1-2k-3),由题意可知A正∥AC,所以(-3)×(1- -(2k-21-2=0,解得k=或k=1,当k=1时4，B重合，故舍去所以实数k的值为是 9.己知向量a=(-2,3),b∥a,向量b的起点为A(1,2),终点B在坐标轴上，则点B的坐标 为 窨(o,分或(G,0) 解标由b∥a,可设b=1a=(-22,32∈R).设Bx,),则A正-(x-1,2)=-b. 故6贸料形4 y=3+2 又点B在坐标轴上，则1-21=0或3)+2=0， 当1-21=0，即1时x=0号 当3+2-0，即1-时x子-0 所以B(0,或(G0) 10.己知a=(1,0),b=(2,1) (1)求a+3b的坐标 (2)当k为何实数时，ka-b与+3b平行，平行时它们是同向还是反向？ 解1)因为a=(1,0),b=-(2,1, 所以a+3b=(1,0)+(6,3)=(7,3)】 (2)ka-b=(k-2,-1),a+3b=(7,3), 因为a-b与a+3b平行，所以3-2)+7-0，解得k=3此时a-b-(3-1 即当k=时，ka-b与a+3b平行，方向相反， 11.如图所示，在平行四边形ABCD中，A0,0),B3,1),C(4,3),D1,2),MN分别为DC,AB的中点， 求AM,C的坐标，并判断AM,CN是否共线
7.已知点 A(1,-2),若线段 AB 的中点坐标为(3,1),且𝐴𝐵⃗⃗⃗ 与向量 a=(1,λ)共线,则实数 λ= . 答案3 2 解析由题意得,点 B 的坐标为(3×2-1,1×2+2)=(5,4),则𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(4,6). 又∵𝐴𝐵⃗⃗⃗ 与 a=(1,λ)共线,∴4λ-6=0,解得 λ= 3 2 . 8.已知𝑂𝐴⃗⃗⃗ =(k,2),𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =(1,2k),⃗𝑂𝐶⃗⃗ =(1-k,-1),且相异三点 A,B,C 共线,则实数 k= . 答案- 1 4 解析𝐴𝐵⃗⃗⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐴⃗⃗⃗ =(1-k,2k-2),𝐴𝐶⃗⃗ = ⃗𝑂𝐶⃗⃗ − 𝑂𝐴⃗⃗⃗ =(1-2k,-3),由题意可知𝐴𝐵⃗⃗⃗ ∥ 𝐴𝐶⃗⃗ ,所以(-3)×(1- k)-(2k-2)(1-2k)=0,解得 k=- 1 4或 k=1,当 k=1 时,A,B 重合,故舍去.所以实数 k 的值为- 1 4 . 9.已知向量 a=(-2,3),b∥a,向量 b 的起点为 A(1,2),终点 B 在坐标轴上,则点 B 的坐标 为 . 答案(0, 7 2 )或 ( 7 3 ,0) 解析由 b∥a,可设 b=λa=(-2λ,3λ)(λ∈R).设 B(x,y),则𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(x-1,y-2)=b. 故{ -2𝜆 = 𝑥-1, 3𝜆 = 𝑦-2, 解得{ 𝑥 = 1-2𝜆, 𝑦 = 3𝜆 + 2. 又点 B 在坐标轴上,则 1-2λ=0 或 3λ+2=0, 当 1-2λ=0,即 λ= 1 2时,x=0,y= 7 2 ; 当 3λ+2=0,即 λ=- 2 3 时,x= 7 3 ,y=0. 所以 B(0, 7 2 )或( 7 3 ,0). 10.已知 a=(1,0),b=(2,1). (1)求 a+3b 的坐标; (2)当 k 为何实数时,ka-b 与 a+3b 平行,平行时它们是同向还是反向? 解(1)因为 a=(1,0),b=(2,1), 所以 a+3b=(1,0)+(6,3)=(7,3). (2)ka-b=(k-2,-1),a+3b=(7,3), 因为 ka-b 与 a+3b 平行,所以 3(k-2)+7=0,解得 k=- 1 3 ,此时 ka-b=(- 7 3 ,-1), 即当 k=- 1 3 时,ka-b 与 a+3b 平行,方向相反. 11.如图所示,在平行四边形 ABCD 中,A(0,0),B(3,1),C(4,3),D(1,2),M,N 分别为 DC,AB 的中点, 求𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ , 𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗ 的坐标,并判断𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ , 𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗ 是否共线
解由中点坐标公式可得M2.5,2.5),N(1.5,0.5),故AM=(2.52.5),CN(-2.5,-2.5), 又因为2.5×(-2.5)-2.5×(-2.5)=0， 所以AM,C示共线， 拓展提高 1.(多选题)已知A(2,1),B0,2),C(-2,1),00,0),则下列结论正确的是() A.直线OC与直线BA平行 B.AB+BC =CA C.0A+0C=0B D.AC=0元-20A 答案ACD 解桐因为0C=-(-2,1),B☑-(2，-1)， 所以OC=BA,又直线OC,BA不重合，所以直线OC∥BA,所以A中结论正确；因为AB+B配= AC≠CA,所以B中结论错误；因为0A+0元-(0,2)=0B 所以C中结论正确： 因为AC=(-4,0),0元-20A-(0,2)-2(2,1)=(-4,0),所以D中结论正确 2.已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么(). A.k=1且c与d同向B.k=1且c与d反向 C.k=.1且c与d同向 D.k=-1且c与d反向 答案D 解析：c∥d,故可设c=da∈R), ab-a-b科货-及料得il :c=-d,且c与d反向， 3.己知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0)，(3,0)，(1，-5)，则第四个顶点的坐标是(). A.(1,5)或(5,5) B.(1,5)或(-3，-5) C.(5,-5)或(-3，-5) D.(1,5)或(5，-5)或(-3，-5) 答案p 解析设A(-1,0),B3,0),C(1,-5),第四个顶点为D, 若这个平行四边形为口ABCD, 则AE=D,:D(-3,-5) 若这个平行四边形为ACDB, 则AC=BD,:D5,-5): 若这个平行四边形为口ACBD 则AC=DB .D1,5). 综上所述，D点坐标为(1,5)或(5，-5)或(-3，-5). 4.己知△ABC的三个内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b,c-a),若p∥q 则角C为() A号 B段 c号 D男 答案
解由中点坐标公式可得 M(2.5,2.5),N(1.5,0.5),故𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ =(2.5,2.5),𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗ =(-2.5,-2.5), 又因为 2.5×(-2.5)-2.5×(-2.5)=0, 所以𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ , 𝐶𝑁⃗⃗⃗⃗ 共线. 拓展提高 1.(多选题)已知 A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),则下列结论正确的是( ). A.直线 OC 与直线 BA 平行 B.𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗ = 𝐶𝐴⃗⃗ C.𝑂𝐴⃗⃗⃗ + ⃗𝑂𝐶⃗⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ D.𝐴𝐶⃗⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ -2𝑂𝐴⃗⃗⃗ 答案 ACD 解析因为⃗𝑂𝐶⃗⃗ =(-2,1),𝐵𝐴⃗⃗⃗ =(2,-1), 所以⃗𝑂𝐶⃗⃗ =-𝐵𝐴⃗⃗⃗ ,又直线 OC,BA 不重合,所以直线 OC∥BA,所以 A 中结论正确;因为𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗ ≠ 𝐶𝐴⃗⃗ ,所以 B 中结论错误;因为𝑂𝐴⃗⃗⃗ +⃗𝑂𝐶⃗⃗ =(0,2)=𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ , 所以 C 中结论正确; 因为𝐴𝐶⃗⃗ =(-4,0),𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ -2𝑂𝐴⃗⃗⃗ =(0,2)-2(2,1)=(-4,0),所以 D 中结论正确. 2.已知向量 a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果 c∥d,那么( ). A.k=1 且 c 与 d 同向B.k=1 且 c 与 d 反向 C.k=-1 且 c 与 d 同向 D.k=-1 且 c 与 d 反向 答案 D 解析∵c∥d,故可设 c=λd(λ∈R), ∴ka+b=λ(a-b),得{ 𝑘 = 𝜆, 1 = -𝜆, 解得 k=λ=-1, ∴c=-d,且 c 与 d 反向. 3.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),则第四个顶点的坐标是( ). A.(1,5)或(5,5) B.(1,5)或(-3,-5) C.(5,-5)或(-3,-5) D.(1,5)或(5,-5)或(-3,-5) 答案 D 解析设 A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),第四个顶点为 D, 若这个平行四边形为▱ABCD, 则𝐴𝐵⃗⃗⃗ = 𝐷𝐶⃗⃗⃗ ,∴D(-3,-5); 若这个平行四边形为▱ACDB, 则𝐴𝐶⃗⃗ = 𝐵𝐷⃗ ⃗ ,∴D(5,-5); 若这个平行四边形为▱ACBD, 则𝐴𝐶⃗⃗ = 𝐷𝐵⃗ ⃗ , ∴D(1,5). 综上所述,D 点坐标为(1,5)或(5,-5)或(-3,-5). 4.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,设向量 p=(a+c,b),q=(b,c-a),若 p∥q, 则角 C 为( ). A. π 6 B. 2π 3 C. π 2 D. π 3 答案 C
解标国为p-(a+c,b),q=(b,ca,且p∥g 所以(a+c(c-a)-bb=0, 即c2=2+b 所以角C为 5.己知向量a=(√3,1)，b=(0,-1),c=(k3),若a-2b与c共线，则实数k=」 答案1 解析h-2b=-(V3,3),由a-2b与c共线，得3k=V3×V3,解得k=1. 6.己知AE-(6,1),BC=-(4,),CD=(2,1)若A,C,D三点共线，则实数k= 答案4 解析因为AB=(6,1),BC-(4,),CD=-(2,1), 所以AC=AB+B元-(10，k+1). 又A,C,D三点共线，所以AC‖CD,所以10×1-2k+1)=0,解得k=4 7.己知向量0A-(3,-4),0元=(6，-3)，0元-(5-m,-3-m),若点A,B,C能构成三角形，则实数m应满足 的条件为 答案nr片 解标4E=0丽-0A=(6,-3)-(3,4)=-(3,1,4C=0C-0A-(5-m,-3-m(3,-4)=(2m,1-m,由于点 A,B,C能构成三角形，则AC与A正不共线，则31-m)2-m0,解得m 8.如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2,6),B6,4),C(5,0),D1,0),则直线AC与BD交点P的 坐标为」 OD 靥案积) 解标Di-(5,4),CA-(-3,6),DC=(4,0). 由B,P,D三点共线可得DP-DB=(51,4)(1∈R), 又Cp=D乎-D元=(5-4,4)】 由C下与C共线得，(51-4)×6+121=0. 解得所以丽=丽=（侣，） 所以点P的坐标为（侣，） 9.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1). (I)求满足a=mb+nc的实数m,n的值； (2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k的值 解1)因为a=mb+nc,所以(3,2)=m(-1,2)+n4,1)=(-m+4n,2m+m. 所以6+2他月 n=号
解析因为 p=(a+c,b),q=(b,c-a),且 p∥q, 所以(a+c)(c-a)-b·b=0, 即 c 2=a2+b2 , 所以角 C 为 π 2 . 5.已知向量 a=(√3,1),b=(0,-1),c=(k,√3),若 a-2b 与 c 共线,则实数 k= . 答案 1 解析 a-2b=(√3,3),由 a-2b 与 c 共线,得 3k=√3 × √3,解得 k=1. 6.已知𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(6,1),𝐵𝐶⃗⃗⃗ =(4,k),𝐶𝐷⃗⃗⃗ =(2,1).若 A,C,D 三点共线,则实数 k= . 答案 4 解析因为𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(6,1),𝐵𝐶⃗⃗⃗ =(4,k),𝐶𝐷⃗⃗⃗ =(2,1), 所以𝐴𝐶⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗ =(10,k+1). 又 A,C,D 三点共线,所以𝐴𝐶⃗⃗ ∥ 𝐶𝐷⃗⃗⃗ ,所以 10×1-2(k+1)=0,解得 k=4. 7.已知向量𝑂𝐴⃗⃗⃗ =(3,-4),𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =(6,-3),⃗𝑂𝐶⃗⃗ =(5-m,-3-m),若点 A,B,C 能构成三角形,则实数 m 应满足 的条件为 . 答案 m≠ 1 2 解析𝐴𝐵⃗⃗⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐴⃗⃗⃗ =(6,-3)-(3,-4)=(3,1),𝐴𝐶⃗⃗ = ⃗𝑂𝐶⃗⃗ − 𝑂𝐴⃗⃗⃗ =(5-m,-3-m)-(3,-4)=(2-m,1-m),由于点 A,B,C 能构成三角形,则𝐴𝐶⃗⃗ 与𝐴𝐵⃗⃗⃗ 不共线,则 3(1-m)-(2-m)≠0,解得 m≠ 1 2 . 8.如图所示,在四边形 ABCD 中,已知 A(2,6),B(6,4),C(5,0),D(1,0),则直线 AC 与 BD 交点 P 的 坐标为 . 答案( 27 7 , 16 7 ) 解析𝐷𝐵⃗ ⃗ =(5,4),𝐶𝐴⃗⃗ =(-3,6),𝐷𝐶⃗⃗⃗ =(4,0). 由 B,P,D 三点共线可得𝐷𝑃⃗⃗⃗ =λ𝐷𝐵⃗ ⃗ =(5λ,4λ)(λ∈R). 又𝐶𝑃⃗⃗ = 𝐷𝑃⃗⃗⃗ − 𝐷𝐶⃗⃗⃗ =(5λ-4,4λ), 由𝐶𝑃⃗⃗ 与𝐶𝐴⃗⃗ 共线得,(5λ-4)×6+12λ=0. 解得 λ= 4 7 ,所以𝐷𝑃⃗⃗⃗ = 4 7 𝐷𝐵⃗ ⃗ = ( 20 7 , 16 7 ), 所以点 P 的坐标为( 27 7 , 16 7 ). 9.平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1). (1)求满足 a=mb+nc 的实数 m,n 的值; (2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k 的值. 解(1)因为 a=mb+nc,所以(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n). 所以{ -𝑚 + 4𝑛 = 3, 2𝑚 + 𝑛 = 2, 解得{ 𝑚 = 5 9 , 𝑛 = 8 9
(2)因为(a+kc)∥(2b-a), 又a+kc=(3+4k2+k),2b-a=(-5,2), 所以26+46(5)×2+=0，解得仁普 挑战创新 已知四边形ABCD是正方形，BE∥AC,AC=CE,EC的延长线交BA的延长线于点F,求 证：AF=AE 证明如图，建立平面直角坐标系，为了研究方便，不妨设正方形ABCD的边长为1，则 A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设E(xy,这里y>0, O(A)B 于是AC=0C=(1,1),BE=(x-1y),CE-(x-1y1). AC II BE, :1×(x-1)×1=0→y=x-1.① :AC=OC=CE, .:CE2=0C2→(x-1)2+0y-1)2=2.② x=3+g 由y>0,联立①②解得 2 2 即（兴，） AE=OE= (+( =3+1 设Fu,0)(1<0) 则π4正=(，生 :F,C,E三点共线， .:FC N CE. (1-0×+_1+3x1=0, 2 2 解得t=1-V3. .:AF=OF=1+V3, .:AF=AE
(2)因为(a+kc)∥(2b-a), 又 a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 所以 2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,解得 k=- 16 13. 挑战创新 已知四边形 ABCD 是正方形,BE∥AC,AC=CE,EC 的延长线交 BA 的延长线于点 F,求 证:AF=AE. 证明如图,建立平面直角坐标系,为了研究方便,不妨设正方形 ABCD 的边长为 1,则 A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设 E(x,y),这里 y>0, 于是𝐴𝐶⃗⃗ = ⃗𝑂𝐶⃗⃗ =(1,1),𝐵𝐸⃗⃗⃗ =(x-1,y),𝐶𝐸⃗⃗ =(x-1,y-1). ∵𝐴𝐶⃗⃗ ∥ 𝐵⃗⃗⃗𝐸 , ∴1×y-(x-1)×1=0⇒y=x-1.① ∵AC=OC=CE, ∴CE2=OC2⇒(x-1)2+(y-1)2=2.② 由 y>0,联立①②解得{ 𝑥 = 3+√3 2 , 𝑦 = 1+√3 2 , 即 E( 3+√3 2 , 1+√3 2 ). AE=OE=√( 3+√3 2 ) 2 + ( 1+√3 2 ) 2 = √3+1. 设 F(t,0)(t<0), 则𝐹𝐶⃗⃗ =(1-t,1),𝐶𝐸⃗⃗ = ( 1+√3 2 , -1+√3 2 ). ∵F,C,E 三点共线, ∴𝐹𝐶⃗⃗ ∥ 𝐶𝐸⃗⃗ . ∴(1-t)× -1+√3 2 − 1+√3 2 ×1=0, 解得 t=-1-√3. ∴AF=OF=1+√3, ∴AF=AE