6.4.2向量在物理中的应用举例 课后·训练提升 基础巩固 1已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(7,-3)同时作用于某物上一点，为使该物体保持平衡，再 加上一个力F4,则F4等于() A.(-2,-2) B.(2,-2) C.(-1,2) D.(-2,2) 含案D 解析由物理知识知物体平衡，则所受合力为0，所以F1+F2+F+F4=0,故F4=-(F+F2+F)=(-2,2) 2.己知作用在A点的三个力F1=(3,4),F=(2,-5),F3(3,1)且A1,1),则合力F=F1+F2+F3的终点 坐标为( A.(9,1) B.(1,9) C.(9.0) D.(0.9) 答案A 解析F=F1+F2+F3=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0),设合力F的终点为Px,y),则AP=(x-1,y1), 故1=8。 1=8料=是 所以合力F的终点坐标为(9,1). 3.己知质点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v=(4,-3)(即点P的运动方向与v相同，且每 秒移动的距离为v个单位).设开始时点P的坐标为(-10,10)，则5秒后点P的坐标为() A.(-2,4) B.(-30,25) C.(10,-5) D.(5,-10) 答案 解析设A点的坐标为(-10,10)，5秒后点P的坐标为A1(x,y),则AA-(x+1010),由题意可 知，AA1=5y,即(x+10,10)=(20,-15), 所以+10=20， 10020解形=9 所以5秒后点P的坐标为(10，-5) 4.已知两个力F1,F2的夹角为90°，它们的合力F的大小为10N,F与F1的夹角为60°，那么 F的大小为() A.5V3 N B.5N C.10N D.5V2 N 答案B 解标如图，有F1=F1cos60°=10×-5N, 5.河水流速的大小为5m/s,若一艘小船沿垂直于河岸方向以12m/s的速度大小驶向对岸，则 小船在静水中的速度大小为( 人0 A.13m/s B.12 m/s C.17 m/s D.15 m/s 答案A 解析设小船在静水中的速度为V1,河水的流速为V2,V1与V2的合速度为V
6.4.2 向量在物理中的应用举例 课后· 基础巩固 1.已知三个力 F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(7,-3)同时作用于某物上一点,为使该物体保持平衡,再 加上一个力 F4,则 F4 等于( ). A.(-2,-2) B.(2,-2) C.(-1,2) D.(-2,2) 答案 D 解析由物理知识知物体平衡,则所受合力为 0,所以 F1+F2+F3+F4=0,故 F4=-(F1+F2+F3)=(-2,2). 2.已知作用在 A 点的三个力 F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1)且 A(1,1),则合力 F=F1+F2+F3 的终点 坐标为( ). A.(9,1) B.(1,9) C.(9,0) D.(0,9) 答案 A 解析 F=F1+F2+F3=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0),设合力 F 的终点为 P(x,y),则𝐴𝑃⃗⃗⃗ =(x-1,y-1), 故{ 𝑥-1 = 8, 𝑦-1 = 0, 解得{ 𝑥 = 9, 𝑦 = 1, 所以合力 F 的终点坐标为(9,1). 3.已知质点 P 在平面上做匀速直线运动,速度向量 ν=(4,-3)(即点 P 的运动方向与 ν 相同,且每 秒移动的距离为|ν|个单位).设开始时点 P 的坐标为(-10,10),则 5 秒后点 P 的坐标为( ). A.(-2,4) B.(-30,25) C.(10,-5) D.(5,-10) 答案 C 解析设 A 点的坐标为(-10,10),5 秒后点 P 的坐标为 A1(x,y),则𝐴𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+10,y-10),由题意可 知,𝐴𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗ =5ν,即(x+10,y-10)=(20,-15), 所以{ 𝑥 + 10 = 20, 𝑦-10 = -15, 解得{ 𝑥 = 10, 𝑦 = -5, 所以 5 秒后点 P 的坐标为(10,-5). 4.已知两个力 F1,F2 的夹角为 90°,它们的合力 F 的大小为 10 N,F 与 F1 的夹角为 60°,那么 F1 的大小为( ). A.5√3 N B.5 N C.10 N D.5√2 N 答案 B 解析如图,有|F1|=|F|cos 60°=10× 1 2 =5(N). 5.河水流速的大小为 5 m/s,若一艘小船沿垂直于河岸方向以 12 m/s 的速度大小驶向对岸,则 小船在静水中的速度大小为( ). A.13 m/s B.12 m/s C.17 m/s D.15 m/s 答案 A 解析设小船在静水中的速度为 v1,河水的流速为 v2,v1 与 v2 的合速度为 v
:为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向， 即小船在静水中的速度V1斜向上游方向，河水的流速V2平行于河岸，合速度V指向对岸，：静 水中的速度大小v=lu2+w2P=V122+5=13(m/S) 6.当两人提起重量为G的旅行包时，夹角为0，两人用力大小都为，若=G,则0的值为 ( A.30° B.60° C.90° D.120° 嗒案D 解析作0A=F1,0丽-F2,0元-G(图略)， 则0沉=0A+0E, 因为两人用力大小都为F,且F=G, 所以F=F2=G,此时△OAC为等边三角形， 故∠A0C=60°，从而∠A0B=120°.即0=120° 7.飞机以300k/h的速度大小斜向上飞行，方向与水平面成30°角，则飞机在水平方向的分 速度大小是 km/h. 答案150W3 解桐如图所示，设飞机的飞行速度为V,其在水平方向的分速度为V1, 则v1 -lvIcos30°=300x9-=150W3kmh. 8.一物体在力F1=(3,-4),F2=(2,-5),F3=(3,1)的共同作用下从点4(1,1)移动到点B(0,5).在这个过 程中三个力的合力所做的功为 答案40 解：下1=(3，-4)，F=(2,5),F3=(3,1, :合力=F1+F2+F3=(8,-8) 又AB-=(0-1,5-1)=(-1,4), :合力所做的功W-FAB=8×(-1)+(-8)×4-.40. 9.在水流速度大小为4km/h的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8km/h的速度大小 航行，求船实际航行的速度的大小 解如图，用V0表示水流速度，1表示与水流垂直方向的速度， 0 则vo+v1表示船实际航行的速度， 1vol=4 km/h,lvi|=8 km/h, :vo+v1=V42+8z-4v5(km/h). 即船实际航行的速度大小为4V5km/h 10.已知两恒力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)求：
∵为了使航向垂直河岸,船头必须斜向上游方向, 即小船在静水中的速度 v1 斜向上游方向,河水的流速 v2 平行于河岸,合速度 v 指向对岸,∴静 水中的速度大小|v1|=√|𝑣| 2 + |𝑣2 | 2 = √12 2 + 5 2=13(m/s). 6.当两人提起重量为 G 的旅行包时,夹角为 θ,两人用力大小都为|F|,若|F|=|G|,则 θ 的值为 ( ). A.30° B.60° C.90° D.120° 答案 D 解析作𝑂𝐴⃗⃗⃗ =F1,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =F2,⃗𝑂𝐶⃗⃗ =-G(图略), 则⃗𝑂𝐶⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ , 因为两人用力大小都为|F|,且|F|=|G|, 所以|F1|=|F2|=|G|,此时△OAC 为等边三角形, 故∠AOC=60°,从而∠AOB=120°.即 θ=120°. 7.飞机以 300 km/h 的速度大小斜向上飞行,方向与水平面成 30°角,则飞机在水平方向的分 速度大小是 km/h. 答案 150√3 解析如图所示,设飞机的飞行速度为 v,其在水平方向的分速度为 v1, 则|v1|=|v|cos 30°=300× √3 2 =150√3(km/h). 8.一物体在力 F1=(3,-4),F2=(2,-5),F3=(3,1)的共同作用下从点 A(1,1)移动到点 B(0,5).在这个过 程中三个力的合力所做的功为 . 答案-40 解析∵F1=(3,-4),F2=(2,-5),F3=(3,1), ∴合力 F=F1+F2+F3=(8,-8). 又𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(0-1,5-1)=(-1,4), ∴合力所做的功 W=F·𝐴𝐵⃗⃗⃗ =8×(-1)+(-8)×4=-40. 9.在水流速度大小为 4 km/h 的河流中,有一艘船沿与水流垂直的方向以 8 km/h 的速度大小 航行,求船实际航行的速度的大小. 解如图,用 v0 表示水流速度,v1 表示与水流垂直方向的速度. 则 v0+v1 表示船实际航行的速度, ∵|v0|=4 km/h,|v1|=8 km/h, ∴|v0+v1|=√4 2 + 8 2=4√5(km/h). 即船实际航行的速度大小为 4√5 km/h. 10.已知两恒力 F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点 A(20,15)移动到点 B(7,0).求:
(1)力F1,F2分别对质点所做的功： (2)力F1,F2的合力F对质点所做的功 邂1)：AE-(7,0)-(20,15)=(-13-15), :F1对质点所做的功W1=F1AE=(3,4)(13,-15)=3×-13)+4×(-15)=-99, F2对质点所做的功W2=F2AB=(6,-5)(-13,-15)=6×(-13)+(-5)×-15)=-3. 即力F1,F2对质点所做的功分别为-99和-3， (2)合力F对质点所做的功W=F·AB=(F+F2)AB=[3,4)+(6,-5)(-13,-15)=(9,-1)(13, 15)=9×-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102 即合力F对质点所做的功为-102 拓展提高 1.已知一条两岸平行的河流河水的流速大小为2m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的 速度大小驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为() A.10m/s B.2v26 m/s C.4v6 m/s D.12 m/s 含案B 2.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时，合力大小为20N,则当它们的夹角为 120°时，合力大小为(). A.40N B.10v2 N C.20V2 N D.10V3 N 答案B 懈析因为F=F2l,当F1⊥时，F+F=20N, 所以，F=F=10W2N. 故当F1与F2夹角为120°时，F+F2= √F径+2RB+受=]200+200+2×200×()=10W2N, 3.如图，一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3的作用而处于平衡状态.已知F,F2成120°角， 且F1,F2的大小分别为1N和2N,则有() A.F1,F3成90°角 B.F1,F3成150°角 C.F2,F3成90°角 D.F2,F3成60°角 答案A 解析由F1+F2+F3=0,得F=(F+F2), 则F号=(F1+FP=F+F+21FFc0s120°=1+4+4×()-3，得1F=V3 由F1=1,F2=2,F3=V3,知F1,F3成90°角. 4.初速度为vo,发射角为0，若要使炮弹在水平方向的速度为Yo,则发射角0应为()
(1)力 F1,F2 分别对质点所做的功; (2)力 F1,F2 的合力 F 对质点所做的功. 解(1)∵𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(7,0)-(20,15)=(-13,-15), ∴F1 对质点所做的功 W1=F1·𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(3,4)·(-13,-15)=3×(-13)+4×(-15)=-99, F2 对质点所做的功 W2=F2·𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(6,-5)·(-13,-15)=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3. 即力 F1,F2 对质点所做的功分别为-99 和-3. (2)合力 F 对质点所做的功 W=F·𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(F1+F2)·𝐴𝐵⃗⃗⃗ =[(3,4)+(6,-5)]·(-13,-15)=(9,-1)·(-13,- 15)=9×(-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102. 即合力 F 对质点所做的功为-102. 拓展提高 1.已知一条两岸平行的河流河水的流速大小为 2 m/s,一艘小船以垂直于河岸方向 10 m/s 的 速度大小驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为( ). A.10 m/s B.2√26 m/s C.4√6 m/s D.12 m/s 答案 B 2.两个大小相等的共点力 F1,F2,当它们的夹角为 90°时,合力大小为 20 N,则当它们的夹角为 120°时,合力大小为( ). A.40 N B.10√2 N C.20√2 N D.10√3 N 答案 B 解析因为|F1|=|F2|,当 F1⊥F2 时,|F1+F2|=20 N, 所以,|F1|=|F2|=10√2 N. 故当 F1 与 F2 夹角为 120°时,|F1+F2|= √𝐹1 2 + 2𝐹1 ·𝐹2 + 𝐹2 2 = √200 + 200 + 2 × 200 × (- 1 2 )=10√2(N). 3.如图,一质点受到平面上的三个力 F1,F2,F3 的作用而处于平衡状态.已知 F1,F2 成 120°角, 且 F1,F2 的大小分别为 1 N 和 2 N,则有( ). A.F1,F3 成 90°角 B.F1,F3 成 150°角 C.F2,F3 成 90°角 D.F2,F3 成 60°角 答案 A 解析由 F1+F2+F3=0,得 F3=-(F1+F2), 则𝐹3 2=(F1+F2) 2=𝐹1 2 + 𝐹2 2+2|F1||F2|cos 120°=1+4+4×(- 1 2 )=3,得|F3|=√3. 由|F1|=1,|F2|=2,|F3|=√3,知 F1,F3 成 90°角. 4.初速度为 v0,发射角为 θ,若要使炮弹在水平方向的速度为1 2 v0,则发射角 θ 应为( )
A.15° B.30° C.45 D.60° 答案D 解扬：地弹的水平速度v0c0s00, c0s0-号又0°<0<90°，：0=60° 5.一个重20N的物体从倾斜角为0，斜面长为1m的光滑斜面顶端下滑到底端，若重力做的功 是10J,则0= 答案0 解析：重力所做的功WG=20×1×cos(90°-)=10J, c0s(90°-0-2又0°<0<90°，0-30° 6.如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为0， 绳子所受到的拉力为F1,求： (1)F,F2随角0的变化而变化的情况： (2)当F1≤2G时，角0的取值范围。 解1)如图，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知 G G -G=F,+f,F品F:J-lGItan当0从0°趋向于90°时，FF皆逐浙增大 2)F-品g≤21G,得c0s0≥2又0°≤0≤90°，则0°≤0≤60°. 挑战创新 某人骑车以每小时α千米的速度大小向东行驶，感到风从正北方向吹来，而当速度大小为每小 时2a千米时，感到风从东北方向吹来，求实际风速 阔段a表示此人以每小时a千米的速度大小向东行驶的向量，无风时此人感到风速为-a, 设实际风速为V,那么此时人感到风速为v-a, 设0A=-a,0元-2a,P0= v,因为P可+OA=PA,所以PA=v-a,感到由正北方向吹来的风速 因为P0+0元=PB,所以PB=v-2a. 于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是PB
A.15° B.30° C.45° D.60° 答案 D 解析∵炮弹的水平速度 v=v0cos θ= 1 2 v0, ∴cos θ= 1 2 .又 0°<θ<90°,∴θ=60°. 5.一个重 20 N 的物体从倾斜角为 θ,斜面长为 1 m 的光滑斜面顶端下滑到底端,若重力做的功 是 10 J,则 θ= . 答案 30° 解析∵重力所做的功 WG=20×1×cos(90°-θ)=10 J, ∴cos(90°-θ)= 1 2 ,又 0°<θ<90°,∴θ=30°. 6.如图,在细绳 O 处用水平力 F2 缓慢拉起所受重力为 G 的物体,绳子与铅垂方向的夹角为 θ, 绳子所受到的拉力为 F1,求: (1)|F1|,|F2|随角 θ 的变化而变化的情况; (2)当|F1|≤2|G|时,角 θ 的取值范围. 解(1)如图,由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知: -G=F1+F2,|F1|= |𝐺| cos𝜃 ,|F2|=|G|tan θ,当 θ 从 0°趋向于 90°时,|F1|,|F2|皆逐渐增大. (2)由|F1|= |𝐺| cos𝜃 ≤2|G|,得 cos θ≥ 1 2 ,又 0°≤θ≤90°,则 0°≤θ≤60°. 挑战创新 某人骑车以每小时 a 千米的速度大小向东行驶,感到风从正北方向吹来,而当速度大小为每小 时 2a 千米时,感到风从东北方向吹来,求实际风速. 解设 a 表示此人以每小时 a 千米的速度大小向东行驶的向量,无风时此人感到风速为-a, 设实际风速为 v,那么此时人感到风速为 v-a, 设𝑂𝐴⃗⃗⃗ =-a,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =-2a,𝑃𝑂⃗⃗⃗ = v,因为𝑃𝑂⃗⃗⃗ + 𝑂𝐴⃗⃗⃗ = 𝑃𝐴⃗⃗⃗ ,所以𝑃𝐴⃗⃗⃗ =v-a,感到由正北方向吹来的风速. 因为𝑃𝑂⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ = 𝑃𝐵⃗⃗⃗ ,所以𝑃𝐵⃗⃗⃗ =v-2a. 于是当此人的速度是原来的 2 倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是𝑃𝐵⃗⃗⃗
由题意得，∠PBO=45°，PA⊥BO,BA=AO, 从而，△POB为等腰直角三角形，所以PO=PB=V2a,即vl=V2a 所以实际风速是每小时VZa千米的西北风
由题意得,∠PBO=45°,PA⊥BO,BA=AO, 从而,△POB 为等腰直角三角形,所以 PO=PB=√2a,即|v|=√2a. 所以实际风速是每小时√2a 千米的西北风