10.2事件的相互独立性 课后·训练提升 基础巩固 1如图，在两个圆盘中，指针落在本圆盘中的每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落 在奇数所在区域的概率是( A号 B喝 D 答案A 解杨设事件A=“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区城”，则P()子事件B=“第二个圆盘的 指针落在奇数所在的区城”，则P(B)号 又事件A,B相互独立，故PAB)=PAPB)号×号= 2甲、乙、丙三人独立地去破译一个密码，分别能破译出的概率为龙，则此密码能被破译 出的概率是( A B明 c D号 答案 解析设事件A,B,C分别表示甲、乙、丙三人破译出密码，则事件A,B,C相互独立，A与B,C,B 与A,C,C与B,A也相互独立 由已知得PA)P(B)PO且PIBC)=P团PB)PC)号×号x是-月 故此密码被破译出的概率为1号= 3某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别对导 则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为()】 A号 B酷 c 答案D 解析分别设汽车在甲、乙、丙三处通行为事件A,B,C,则事件A,B,C相互独立，A与B,C,B与 A,C,C与B,A也相互独立
10.2 事件的相互独立性 课后· 基础巩固 1.如图,在两个圆盘中,指针落在本圆盘中的每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落 在奇数所在区域的概率是( ). A. 4 9 B. 2 9 C. 2 3 D. 1 3 答案 A 解析设事件 A=“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”,则 P(A)= 2 3 ,事件 B=“第二个圆盘的 指针落在奇数所在的区域”,则 P(B)= 2 3 . 又事件 A,B 相互独立,故 P(AB)=P(A)P(B)= 2 3 × 2 3 = 4 9 . 2.甲、乙、丙三人独立地去破译一个密码,分别能破译出的概率为1 5 , 1 3 , 1 4 ,则此密码能被破译 出的概率是( ). A. 1 60 B. 2 5 C. 3 5 D. 59 60 答案 C 解析设事件 A,B,C 分别表示甲、乙、丙三人破译出密码,则事件 A,B,C 相互独立,A 与𝐵, 𝐶,B 与𝐴, 𝐶,C 与𝐵,𝐴也相互独立, 由已知得 P(A)= 1 5 ,P(B)= 1 3 ,P(C)= 1 4 ,且 P(𝐴 𝐵 𝐶)=P(𝐴)P(𝐵)P(𝐶)= 4 5 × 2 3 × 3 4 = 2 5 . 故此密码被破译出的概率为 1- 2 5 = 3 5 . 3.某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯,汽车在这三处因遇绿灯而通行的概率分别为1 3 , 1 2 , 2 3 , 则汽车在这三处因遇红灯而停车一次的概率为( ). A. 1 9 B. 1 6 C. 1 3 D. 7 18 答案 D 解析分别设汽车在甲、乙、丙三处通行为事件 A,B,C,则事件 A,B,C 相互独立,A 与𝐵, 𝐶,B 与 𝐴, 𝐶,C 与𝐵,𝐴也相互独立
由已知得PA)3P(B)2P(C-事件D=“停车一次”，则D=ABCUABCUABC,且 ABC,ABC,ABC彼此互斥，因此PD)=P(ABC)+PCO)+P(ABC)=(1-)×3×号+3×(1： 引×+片××(1-)=品 4甲、乙两人参加知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为号和甲、乙两人是否获 得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为) A月 B明 c号 D是 答案p 解桐根据题意，恰有一人获得一等奖有两种情况：甲获得乙没有获得，甲没有获得乙获得，这两 个事件显然是互斥的，则所求概率是号×(1)+×(1)=是 5.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为3局2胜”，即以先赢2局者为胜根据经验，每局比 赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是() A.0.216 B.0.36 C.0.432 D.0.648 案pD 解析记事件为A(i-1,2,3)=“甲在第i局获胜”，则事件A1,A2,山相互独立 由已知得P(4)=0.6,甲获胜有两种情况，一是“甲以2：0获胜”=A14,此时P1=0.6×0.6=0.36, 二是“甲以21获胜”=A1A2A3+A1A2A3,又知A14A3与A1A2A3互斥，此时 P2=0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.288,故甲获胜的概率P=P1+P2=0.648. 6.如图，用K,A1,A2三类不同的元件连接成一个系统当K正常工作且A1,42至少有一个正常工 作时，系统才正常工作己知K,A1,A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.8，则系统正常工作的概 率为() A A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576 答案B 解析方法一：由题意知K,A1,A2正常工作的概率分别为P(=0.9,P41)=0.8,P()=0.8,因为 K,A1,A2正常工作相互独立，所以A1,h至少有一个正常工作的概率为 P(A142)+P(41A2)+P414)=(1-0.8)×0.8+0.8×1-0.8)+0.8×0.8=0.96. 所以系统正常工作的概率为P(K[P(A142)+P41A2)+P(4142)]=0.9×0.96=0.864 方法二A1,A2至少有一个正常工作的概率为1-P(A1A2)=1-(1-0.8)10.8)=0.96,故系统正常工 作的概率为P([1-P(A1A2]=0.9×0.96=0.864 7.甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人都达标的概 率是 一，三人中至少有一人达标的概率是 答案0.240.96 解桐三人均达标的概率为0.8×0.6×0.5-0.24，三人均未达标的概率为0.2×0.4×0.5=0.04，故三 人中至少有一人达标的概率为1-0.04=0.96
由已知得 P(A)= 1 3 ,P(B)= 1 2 ,P(C)= 2 3 ,事件 D=“停车一次”,则 D=𝐴BC∪A𝐵C∪AB𝐶,且 𝐴BC,A𝐵C,AB𝐶彼此互斥,因此 P(D)=P(𝐴BC)+P(A𝐵C)+P(AB𝐶)=(1- 1 3 ) × 1 2 × 2 3 + 1 3 × (1- 1 2 ) × 2 3 + 1 3 × 1 2 × (1- 2 3 ) = 7 18. 4.甲、乙两人参加知识竞赛,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为2 3 和 3 4 ,甲、乙两人是否获 得一等奖相互独立,则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( ). A. 3 4 B. 2 3 C. 5 7 D. 5 12 答案 D 解析根据题意,恰有一人获得一等奖有两种情况:甲获得乙没有获得,甲没有获得乙获得,这两 个事件显然是互斥的,则所求概率是2 3 × (1- 3 4 ) + 3 4 × (1- 2 3 ) = 5 12. 5.甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3 局 2 胜”,即以先赢 2 局者为胜.根据经验,每局比 赛中甲获胜的概率为 0.6,则本次比赛甲获胜的概率是( ). A.0.216 B.0.36 C.0.432 D.0.648 答案 D 解析记事件为 Ai(i=1,2,3)=“甲在第 i 局获胜”,则事件 A1,A2,A3 相互独立. 由已知得 P(Ai)=0.6,甲获胜有两种情况,一是“甲以 2∶0 获胜”=A1A2,此时 P1=0.6×0.6=0.36, 二是“甲以 2∶1 获胜”=𝐴1A2A3+A1𝐴2A3,又知𝐴1A2A3 与 A1𝐴2A3 互斥,此时 P2=0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.288,故甲获胜的概率 P=P1+P2=0.648. 6.如图,用 K,A1,A2 三类不同的元件连接成一个系统.当 K 正常工作且 A1,A2 至少有一个正常工 作时,系统才正常工作.已知 K,A1,A2 正常工作的概率依次为 0.9,0.8,0.8,则系统正常工作的概 率为( ). A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576 答案 B 解析方法一:由题意知 K,A1,A2 正常工作的概率分别为 P(K)=0.9,P(A1)=0.8,P(A2)=0.8,因为 K,A1,A2 正常工作相互独立,所以 A1,A2 至少有一个正常工作的概率为 P(𝐴1A2)+P(A1𝐴2 )+P(A1A2)=(1-0.8)×0.8+0.8×(1-0.8)+0.8×0.8=0.96. 所以系统正常工作的概率为 P(K)[P(𝐴1A2)+P(A1𝐴2 )+P(A1A2)]=0.9×0.96=0.864. 方法二:A1,A2 至少有一个正常工作的概率为 1-P(𝐴1𝐴2 )=1-(1-0.8)(1-0.8)=0.96,故系统正常工 作的概率为 P(K)[1-P(𝐴1𝐴2 )]=0.9×0.96=0.864. 7.甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能达标的概率分别是 0.8,0.6,0.5,则三人都达标的概 率是 ,三人中至少有一人达标的概率是 . 答案 0.24 0.96 解析三人均达标的概率为 0.8×0.6×0.5=0.24,三人均未达标的概率为 0.2×0.4×0.5=0.04,故三 人中至少有一人达标的概率为 1-0.04=0.96
8加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为%动高且各道工 序互不影响，则加工出来的零件的次品率为 含累品 解析加工出来的零件是次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得加工出来的零件的 次品率p=1号×器×品= 9.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即 停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是08，且每个问题的回答结果 相互独立，则该选手恰好回答了3个问题就晋级下一轮的概率等于 答案0.128 解桐根据题意，若该选手恰好回答3个问题就晋级，则该选手第2个，第3个问题均回答正确， 而第1个问题回答一定错误，故根据相互独立事件的概率乘法公式得其概率为 0.2×0.8×0.8=0.128 10.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每 人都己投球3次时投篮结束设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率号，且每 次投篮互不影响。 求(1)乙获胜的概率 (2)投篮结束时乙只投了2个球的概率， 国设A%,B联分别表示甲、乙在第k次投篮投中， 则P4)3P(B)之k=1,2,3) (1)记“乙获胜”为事件C,则 P(C)=P(A B)+P(A BA2B2)+P(A B,A2B2A3B3)=P(A)P(B)+P(A)P(B)P(A2)P(B2)+P(A)P( 五PM2)PE2)Pag)PB,)子×2+（③）×（月+(）×（月）°=号 (2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D,则 P(D)=P(A BA2B2)+P(A BA2B2A3)=P(A1)P(BP(A2)P(B2)+P(A1)P(BP(A2)P(B2)P(A3)= )×周+×)x=劳 拓展提高 1.已知两个独立事件A和B同时不发生的概率是P,A发生B不发生与A不发生B发生的概 率相同，则事件A发生的概率为( A.2p B吲 C.1- D.1-√2p 答案 解团根据题意，设事件A发生的概率为a事件B发生的概率为6，则有1-aX1-b)=p,D由 (a(1-b)=(1-a)b.② ②知a=b,代入①即得a=l-√万
8.加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为 1 70 , 1 69 , 1 68,且各道工 序互不影响,则加工出来的零件的次品率为 . 答案 3 70 解析加工出来的零件是次品的对立事件为零件是正品,由对立事件公式得加工出来的零件的 次品率 p=1- 69 70 × 68 69 × 67 68 = 3 70. 9.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的 5 个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即 停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8,且每个问题的回答结果 相互独立,则该选手恰好回答了 3 个问题就晋级下一轮的概率等于 . 答案 0.128 解析根据题意,若该选手恰好回答 3 个问题就晋级,则该选手第 2 个,第 3 个问题均回答正确, 而第 1 个问题回答一定错误,故根据相互独立事件的概率乘法公式得其概率为 0.2×0.8×0.8=0.128. 10.甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每 人都已投球 3 次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为1 3 ,乙每次投篮投中的概率为1 2 ,且每 次投篮互不影响. 求:(1)乙获胜的概率; (2)投篮结束时乙只投了 2 个球的概率. 解设 Ak,Bk分别表示甲、乙在第 k 次投篮投中, 则 P(Ak)= 1 3 ,P(Bk)= 1 2 (k=1,2,3). (1)记“乙获胜”为事件 C,则 P(C)=P(𝐴1B1)+P(𝐴1𝐵1𝐴2B2)+P(𝐴1𝐵1𝐴2𝐵2𝐴3B3)=P(𝐴1 )P(B1)+P(𝐴1 )P(𝐵1 )P(𝐴2 )P(B2)+P(𝐴1 )P( 𝐵1 )P(𝐴2 )·P(𝐵2 )P(𝐴3 )P(B3)= 2 3 × 1 2 + ( 2 3 ) 2 × ( 1 2 ) 2 + ( 2 3 ) 3 × ( 1 2 ) 3 = 13 27. (2)记“投篮结束时乙只投了 2 个球”为事件 D,则 P(D)=P(𝐴1𝐵1𝐴2B2)+P(𝐴1𝐵1𝐴2𝐵2A3)=P(𝐴1 )·P(𝐵1 )P(𝐴2 )P(B2)+P(𝐴1 )P(𝐵1 )P(𝐴2 )P(𝐵2 )·P(A3)= ( 2 3 ) 2 × ( 1 2 ) 2 + ( 2 3 ) 2 × ( 1 2 ) 2 × 1 3 = 4 27. 拓展提高 1.已知两个独立事件 A 和 B 同时不发生的概率是 p,A 发生 B 不发生与 A 不发生 B 发生的概 率相同,则事件 A 发生的概率为( ). A.2p B. 𝑝 2 C.1-√𝑝 D.1-√2𝑝 答案 C 解析根据题意,设事件 A 发生的概率为 a,事件 B 发生的概率为 b,则有{ (1-𝑎)(1-𝑏) = 𝑝,① 𝑎(1-𝑏) = (1-𝑎)𝑏.② 由 ②知 a=b,代入①即得 a=1-√𝑝
2.已知某批产品的合格率为不合格率为现对该产品进行测试，则事件“第3次首次取到正 品”的概率为( A3x用)× B3×图× c(份x是 D(x 答案c 解析根据题意，若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，则所求概 率p-× 3.某次战役中，狙击手A受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命 中机尾1次.已知A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2,0.4,0.1，未命中敌机的 概率为0.3，且各次射击相互独立.若A至多射击两次，则他能击落敌机的概率为() A.0.23 B.0.2 C.0.16 D.0.1 含案A 解析A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2,0.4,0.1，未命中敌机的概率为0.3， 且各次射击相互独立 若A射击一次就击落敌机，则他击中敌机的机尾，故概率为0.1； 若A射击两次就击落敌机，则他两次都击中敌机的机首，概率为0.2×0.2=0.04 或者A第一次没有击中机尾且第二次击中了机尾，概率为0.9×0.1=0.09 所以A至多射击两次，他能击落敌机的概率为0.1+0.04+0.09=0.23 4.从甲袋中摸出一个红球的概率是二从乙袋中摸出一个红球的概率是从两袋各摸出一个球， 则等于( A2个球不都是红球的概率 B.2个球都是红球的概率 C.至少有1个红球的概率 D.2个球中恰有1个红球的概率 答案c 解桐分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A,B,则P)P(B)三由于A,B相互独立，所 以1-Pan@)=1子x号 2 根据对立事件可知C正确」 5.某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计，甲、乙、丙三人100米跑（互不影响） 的成绩在13s内（称为合格）的概率分别为污，若对这三名短跑运动员的100m跑的成绩进 行一次检测，则下列事件概率最大的是( A.三人都合格 B.三人都不合格 C.恰有两人合格 D.恰有一人合格 客案D
2.已知某批产品的合格率为3 4 ,不合格率为1 4 ,现对该产品进行测试,则事件“第 3 次首次取到正 品”的概率为( ). A.3×( 1 4 ) 2 × 3 4 B.3×( 3 4 ) 2 × 1 4 C.( 1 4 ) 2 × 3 4 D.( 3 4 ) 2 × 1 4 答案 C 解析根据题意,若第 3 次首次取到正品,即前两次取到的都是次品,第 3 次取到正品,则所求概 率 P=( 1 4 ) 2 × 3 4 . 3.某次战役中,狙击手 A 受命射击敌机,若要击落敌机,需命中机首 2 次或命中机中 3 次或命 中机尾 1 次.已知 A 每次射击,命中机首、机中、机尾的概率分别为 0.2,0.4,0.1,未命中敌机的 概率为 0.3,且各次射击相互独立.若 A 至多射击两次,则他能击落敌机的概率为( ). A.0.23 B.0.2 C.0.16 D.0.1 答案 A 解析 A 每次射击,命中机首、机中、机尾的概率分别为 0.2,0.4,0.1,未命中敌机的概率为 0.3, 且各次射击相互独立. 若 A 射击一次就击落敌机,则他击中敌机的机尾,故概率为 0.1; 若 A 射击两次就击落敌机,则他两次都击中敌机的机首,概率为 0.2×0.2=0.04; 或者 A 第一次没有击中机尾且第二次击中了机尾,概率为 0.9×0.1=0.09. 所以 A 至多射击两次,他能击落敌机的概率为 0.1+0.04+0.09=0.23. 4.从甲袋中摸出一个红球的概率是1 3 ,从乙袋中摸出一个红球的概率是1 2 ,从两袋各摸出一个球, 则 2 3 等于( ). A.2 个球不都是红球的概率 B.2 个球都是红球的概率 C.至少有 1 个红球的概率 D.2 个球中恰有 1 个红球的概率 答案 C 解析分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件 A,B,则 P(A)= 1 3 ,P(B)= 1 2 ,由于 A,B 相互独立,所 以 1-P(𝐴)P(𝐵)=1- 2 3 × 1 2 = 2 3 . 根据对立事件可知 C 正确. 5.某田径队有三名短跑运动员,根据平时训练情况统计,甲、乙、丙三人 100 米跑(互不影响) 的成绩在 13 s 内(称为合格)的概率分别为2 5 , 3 4 , 1 3 ,若对这三名短跑运动员的 100 m 跑的成绩进 行一次检测,则下列事件概率最大的是( ). A.三人都合格 B.三人都不合格 C.恰有两人合格 D.恰有一人合格 答案 D
6.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每 车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元（不足1小时 的部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游各租一车一次).设甲、乙 不超过两小时还车的概率分别为，2两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，两人 租车时间都不会超过四小时 求：(1)甲、乙两人所付租车费用相同的概率； (2)甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率， 解)设事件A1-“甲不超过两小时还车”，事件42=“甲两小时以上且不超过三小时还车”，事件 A3=“甲三小时以上且不超过四小时还车”，事件B1=“乙不超过两小时还车”，事件B2=“乙两小 时以上且不超过三小时还车”，事件B3=“乙三小时以上且不超过四小时还车”，则上述六个事 件相互独立 由已知得P41)P4)2P4)PB)2PB)PB) 设事件C=“所付费用相同”，则C=A1B1UA2B2UA3B3,且A1B1,B2,AB3彼此互斥， 故Pq-4,BUB:UABP4B)HPkB+PB)片×+×+x=音 (2)设事件D=“甲、乙两人所付的租车费用之和为4元”，则D=A1B3UA2B2UA3B1,且 AiB,AB2,4B1彼此互斥，故PD)=PU4 BUAB2UAB)=PAiB)HP(4B)+P4B)×+ 挑战创新 某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考 试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书现某人参加这 项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为号科目B每次考试成绩合格的概率均为假设 各次考试成绩合格与否均互不影响， (1)求他不需要补考就可获得证书的概率： (2)在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，求他参加4次考试的概率， 解设事件A1=“科目A第一次考试合格”，事件A2=“科目A补考合格”，事件B1=“科目B第一 次考试合格”，事件B2=“科目B补考合格” (1)记事件C=“不需要补考就获得证书”，则C=A1B1,且A1与B1相互独立， 故P41B)=PA)PB,)号×生=号 (2)设事件D=“参加四次考试”， 则D-A14E1且1，E,相互独立，PD)-Pa14)Pa,)P4P@)片×号×=
6.本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每 车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费标准为 2 元(不足 1 小时 的部分按 1 小时计算).有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙 不超过两小时还车的概率分别为1 4 , 1 2 ;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为1 2 , 1 4 ;两人 租车时间都不会超过四小时. 求:(1)甲、乙两人所付租车费用相同的概率; (2)甲、乙两人所付的租车费用之和为 4 元的概率. 解(1)设事件 A1=“甲不超过两小时还车”,事件 A2=“甲两小时以上且不超过三小时还车”,事件 A3=“甲三小时以上且不超过四小时还车”;事件 B1=“乙不超过两小时还车”,事件 B2=“乙两小 时以上且不超过三小时还车”,事件 B3=“乙三小时以上且不超过四小时还车”,则上述六个事 件相互独立. 由已知得 P(A1)= 1 4 ,P(A2)= 1 2 ,P(A3)= 1 4 ,P(B1)= 1 2 ,P(B2)= 1 4 ,P(B3)= 1 4 . 设事件 C=“所付费用相同”,则 C=A1B1∪A2B2∪A3B3,且 A1B1,A2B2,A3B3 彼此互斥, 故 P(C)=P(A1B1∪A2B2∪A3B3)=P(A1B1)+P(A2B2)+P(A3B3)= 1 4 × 1 2 + 1 2 × 1 4 + 1 4 × 1 4 = 5 16. (2)设事件 D=“甲、乙两人所付的租车费用之和为 4 元”,则 D=A1B3∪A2B2∪A3B1,且 A1B3,A2B2,A3B1 彼此互斥,故 P(D)=P(A1B3∪A2B2∪A3B1)=P(A1B3)+P(A2B2)+P(A3B1)= 1 4 × 1 4 + 1 2 × 1 4 + 1 4 × 1 2 = 5 16. 挑战创新 某项考试按科目 A、科目 B 依次进行,只有当科目 A 成绩合格时,才可继续参加科目 B 的考 试.已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得证书.现某人参加这 项考试,科目 A 每次考试成绩合格的概率均为2 3 ,科目 B 每次考试成绩合格的概率均为1 2 .假设 各次考试成绩合格与否均互不影响. (1)求他不需要补考就可获得证书的概率; (2)在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,求他参加 4 次考试的概率. 解设事件 A1=“科目 A 第一次考试合格”,事件 A2=“科目 A 补考合格”;事件 B1=“科目 B 第一 次考试合格”,事件 B2=“科目 B 补考合格”. (1)记事件 C=“不需要补考就获得证书”,则 C=A1B1,且 A1 与 B1 相互独立, 故 P(A1B1)=P(A1)P(B1)= 2 3 × 1 2 = 1 3 . (2)设事件 D=“参加四次考试”, 则 D=𝐴1A2𝐵1 ,且𝐴1 ,A2,𝐵1相互独立,P(D)=P(𝐴1A2𝐵1 )=P(𝐴1 )·P(A2)P(𝐵1 )= 1 3 × 2 3 × 1 2 = 1 9