第三章测评 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题（每小题5分，共60分） 1.函数y=V2x+3+区的定义域是( A{x<x≤1 B{xsx≤1 C{x2≤x≤1，且x≠0} D{x≤x<1,且x≠0} 2x+3≥0， 解析：由}1-x≥0， 解得3≤x≤1，且0 2 x≠0， 答案：C 2x2+3,x∈(-6，-1)， 2.已知x)= 是xe11. 则V②等于( x,x∈[1,6]， A号 B.v2 C.7 D.无法确定 解析：1<V2<6,V②)=V2 答案B 3.下列各组函数表示同一个函数的是( A./x)=Vx2.g(x)=(Vx) B./x)=1.g(x)=x C.fx)=Vx2.g(x)=(Vx)2 D)=x+1&) 解析：选项A,B,D中函数的定义域不同，不是同一个函数 答案C 4x)=x-1的图象是( 答案B
第三章测评 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.函数 y=√2𝑥 + 3 + √1-𝑥 𝑥 的定义域是( ) A.{𝑥 |- 3 2 < 𝑥 ≤ 1} B.{𝑥 |- 3 2 ≤ 𝑥 ≤ 1} C.{𝑥 |- 3 2 ≤ 𝑥 ≤ 1,且𝑥 ≠ 0} D.{𝑥 |- 3 2 ≤ 𝑥 < 1,且𝑥 ≠ 0} 解析:由{ 2𝑥 + 3 ≥ 0, 1-𝑥 ≥ 0, 𝑥 ≠ 0, 解得- 3 2 ≤x≤1,且 x≠0. 答案:C 2.已知 f(x)= { 2𝑥 2 + 3,𝑥∈(-6,-1), 1 𝑥 ,𝑥∈[-1,1), 𝑥,𝑥∈[1,6], 则 f(√2)等于( ) A. √2 2 B.√2 C.7 D.无法确定 解析:∵1<√2<6,∴f(√2)=√2. 答案:B 3.下列各组函数表示同一个函数的是( ) A.f(x)=√𝑥 2 ,g(x)=(√𝑥) 2 B.f(x)=1,g(x)=x0 C.f(x)=√𝑥 3 2 ,g(x)=(√𝑥 3 ) 2 D.f(x)=x+1,g(x)= 𝑥 2 -1 𝑥-1 解析:选项 A,B,D 中函数的定义域不同,不是同一个函数. 答案:C 4.f(x)=|x-1|的图象是( ) 答案:B
5.已知函数x)=2+则3)() A.8 B.9 C.11 D.10 解析x)=(（x)+2, ∴.3)=9+2=11. 答案：C 6.己知函数x)是定义在R上的奇函数，且满足x+2)=-x),则6)的值为( A.-1 B.0 C.1 D.2 解析：x)是定义在R上的奇函数， ∴.0)=0.又x+2)=x) ∴x+4)=x+2)=x), x)是周期为4的奇函数 ∴.6)=2)=0+2)=-0)=0. 答案B 7.若函数x)在区间(-0，-1]上是增函数，则下列关系式成立的是( A(--2) B-1)(-2) C-2)-)) D-2(-I) 解析：“)在区间(-0，-上是增函数，且2<-1， 2(》 答案D 8.己知实数α，b,c是图象连续不断的函数x)定义域中的三个数，且满足 a<b<c,ab)<0,b(c)<0,则函数y=x)在区间(a,c)内零点的个数为( A.2 B.奇数 C.偶数 D.至少是2 解析：由ab)<0知x)在区间(a,b)内至少有一个零点；由b)c)<0知，x)在区 间(b,c)内至少有一个零点，故x)在区间(a,c)内至少有两个零点 答案D 9.如果函数x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-oo,4]上单调递减，那么实数a的取值范围是 () A.(-0,-3] B.[-3,+o) C.(-0,5] D.[5,+oo) 解析：x)图象的对称轴为x=1-a,又x)在区间(-o,4]上单调递减， ∴.1-a≥4，即a≤-3. 答案：A
5.已知函数 f(𝑥- 1 𝑥 )=x2+ 1 𝑥 2 ,则 f(3)=( ) A.8 B.9 C.11 D.10 解析:∵f(𝑥- 1 𝑥 ) = (𝑥- 1 𝑥 ) 2 +2, ∴f(3)=9+2=11. 答案:C 6.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x+2)=-f(x),则 f(6)的值为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析:∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(0)=0.又 f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x), ∴f(x)是周期为 4 的奇函数, ∴f(6)=f(2)=f(0+2)=-f(0)=0. 答案:B 7.若函数 f(x)在区间(-∞,-1]上是增函数,则下列关系式成立的是( ) A.f(- 3 2 )<f(-1)<f(-2) B.f(-1)<f(- 3 2 )<f(-2) C.f(-2)<f(-1)<f(- 3 2 ) D.f(-2)<f(- 3 2 )<f(-1) 解析:∵f(x)在区间(-∞,-1]上是增函数,且-2<- 3 2 <-1, ∴f(-2)<f(- 3 2 )<f(-1). 答案:D 8.已知实数 a,b,c 是图象连续不断的函数 f(x)定义域中的三个数,且满足 a<b<c,f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,则函数 y=f(x)在区间(a,c)内零点的个数为( ) A.2 B.奇数 C.偶数 D.至少是 2 解析:由 f(a)f(b)<0 知,f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点;由 f(b)f(c)<0 知,f(x)在区 间(b,c)内至少有一个零点,故 f(x)在区间(a,c)内至少有两个零点. 答案:D 9.如果函数 f(x)=x2+2(a-1)x+2 在区间(-∞,4]上单调递减,那么实数 a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,-3] B.[-3,+∞) C.(-∞,5] D.[5,+∞) 解析:∵f(x)图象的对称轴为 x=1-a,又 f(x)在区间(-∞,4]上单调递减, ∴1-a≥4,即 a≤-3. 答案:A
10.若定义在R上的函数x)满足：对任意x1,x2∈R,有x1+x2)=x1)+x2)+1,则下 列说法一定正确的是() Ax)为奇函数Bx)为偶函数 Cx)+1为奇函数Dx)+1为偶函数 解析：令x1=x2=0,得0)=20)+1， 所以0)=-1 令x2=-x1,得0)=x1)+-x1)+1, 即-x1)+1=x1>1, 所以x)+1为奇函数 答案：C 11.如图①，四边形ABCD为直角梯形，动点P从点B出发，由B→C→D→A沿边运 动，设点P运动的路程为x,△ABP的面积为x).若函数y=x)的图象如图②，则 △ABC的面积为() 图① 14 图② A.10 B.16 C.18 D.32 解析：当，点P在线段DC上运动时，x)的值不变，则BC=4,CD=5,AD=5,易得AB=8, 所以Sa4Bc-子分x8×4=16 答案B 12.设奇函数x)在区间(0，+∞)内为增函数，且1)=0，则不等式f心0时x)0=-1)】 ,奇函数x)在区间(0，+o)内为增函数
10.若定义在 R 上的函数 f(x)满足:对任意 x1,x2∈R,有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下 列说法一定正确的是( ) A.f(x)为奇函数 B.f(x)为偶函数 C.f(x)+1 为奇函数D.f(x)+1 为偶函数 解析:令 x1=x2=0,得 f(0)=2f(0)+1, 所以 f(0)=-1. 令 x2=-x1,得 f(0)=f(x1)+f(-x1)+1, 即 f(-x1)+1=-f(x1)-1, 所以 f(x)+1 为奇函数. 答案:C 11.如图①,四边形 ABCD 为直角梯形,动点 P 从点 B 出发,由 B→C→D→A 沿边运 动,设点 P 运动的路程为 x,△ABP 的面积为 f(x).若函数 y= f(x)的图象如图②,则 △ABC 的面积为( ) 图① 图② A.10 B.16 C.18 D.32 解析:当点 P 在线段 DC 上运动时,f(x)的值不变,则 BC=4,CD=5,AD=5,易得 AB=8, 所以 S△ABC= 1 2 ×8×4=16. 答案:B 12.设奇函数 f(x)在区间(0,+∞)内为增函数,且 f(1)=0,则不等式𝑓(𝑥)-𝑓(-𝑥) 𝑥 0 时,f(x)0=f(-1). ∵奇函数 f(x)在区间(0,+∞)内为增函数
.奇函数x)在区间(-o,0)内为增函数 .0<x<1或-1<xr<0. 答案D 二、填空题（每小题5分，共20分） 13.已知A,B是非空集合，定义运算A-B={xx∈A,且x度B.若 M={xby=V1-x},N={yby=x2,-1≤x≤1}，则MN=」 解析：易知集合M={xx≤1}，集合N={yO≤y≤1}，则MN={xx∈M,且 xeN=(xx<0). 答案：{xx<0} 14函数-x20≤x≤3， x2+6x,-2≤x<0 的值域是 解析：设g(x)=2x-x2,0≤x≤3，结合二次函数的单调性可知， g(x)min=g(3)=-3,g(x)max=g(1)=1; 同理，设h(x)=x2+6x,-2≤x≤0 则h(x)mn=h(-2)=-8,h(x)max=h(0)=0, 所以x)max=g1)=1,x)min=h(-2)=-8 答案[-8,1] 15.己知函数x)是定义域为R的奇函数，-2是它的一个零点，且在区间(0，+o)内是 增函数，则函数x)有 个零点，这几个零点的和等于 解析：因为函数x)是定义域为R的奇函数，且在区间(0，+∞)内是增函数，所以 0)=0.又因为-2)=0，所以2)=-2)=0，故函数x)有3个零点，这3个零点之和 等于0 答案：30 16.如图，某单位计划建造三个相同的矩形饲养场，现有总长为1的围墙材料，则当 每个矩形的长、宽之比为 时，围出的饲养场的总面积最大 解析：如图所示，设一个矩形饲养场的长AB=x,宽AD=y, A D B C 则4x+6y=1,所以y=(1-4x),则饲养场的总面积为 5=3w刘140=2(}2+ 1 故当x立 即每个矩形的长、宽之比为始立3：2时，饲养场的总面积最大 答案32 三、解答题（共70分）
∴奇函数 f(x)在区间(-∞,0)内为增函数. ∴0<x<1 或-1<x<0. 答案:D 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 A,B 是非空集合,定义运算 A-B={x|x∈A,且 x∉B}.若 M={x|y=√1-𝑥},N={y|y=x2 ,-1≤x≤1},则 M-N= . 解析:易知集合 M={x|x≤1},集合 N={y|0≤y≤1},则 M-N={x|x∈M,且 x∉N}={x|x<0}. 答案:{x|x<0} 14.函数 f(x)={ 2𝑥-𝑥 2 ,0 ≤ 𝑥 ≤ 3, 𝑥 2 + 6𝑥,-2 ≤ 𝑥 < 0 的值域是 . 解析:设 g(x)=2x-x 2 ,0≤x≤3,结合二次函数的单调性可知, g(x)min=g(3)=-3,g(x)max=g(1)=1; 同理,设 h(x)=x2+6x,-2≤x≤0, 则 h(x)min=h(-2)=-8,h(x)max=h(0)=0. 所以 f(x)max=g(1)=1,f(x)min=h(-2)=-8. 答案:[-8,1] 15.已知函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,-2 是它的一个零点,且在区间(0,+∞)内是 增函数,则函数 f(x)有 个零点,这几个零点的和等于 . 解析:因为函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,且在区间(0,+∞)内是增函数,所以 f(0)=0.又因为 f(-2)=0,所以 f(2)=-f(-2)=0,故函数 f(x)有 3 个零点,这 3 个零点之和 等于 0. 答案:3 0 16.如图,某单位计划建造三个相同的矩形饲养场,现有总长为 1 的围墙材料,则当 每个矩形的长、宽之比为 时,围出的饲养场的总面积最大. 解析:如图所示,设一个矩形饲养场的长 AB=x,宽 AD=y, 则 4x+6y=1,所以 y= 1 6 (1-4x),则饲养场的总面积为 S=3xy= 1 2 x(1-4x)=-2(𝑥- 1 8 ) 2 + 1 32 , 故当 x= 1 8 ,y= 1 12 , 即每个矩形的长、宽之比为1 8 ∶ 1 12 =3∶2 时,饲养场的总面积最大. 答案:3∶2 三、解答题(共 70 分)
17.(10分)已知x)是R上的偶函数，当x∈(0，+o)时x)=x2+2x+3,求当x∈(-o,0) 时x)的解析式 解：设x0,-x)=(-x)2+(-2x)+3=x2-2x+3. ,函数x)是偶函数，∴-x)=x), .当x0,x2-x1>0. 所以x1)x2)>0,即x)Px2) 所以x)在定义域上是减函数， 19.(12分)已知关于x的一元二次方程x2+(m-1)x+1=0在区间[0,2]上有解，求实数 m的取值范围， 解：设x)=x2+(m-1)x+1,x∈[0,2] ①若x)=0在区间[0,2]上有一个解 由0=1>0，得2≤0或{0≤-学≤2 (4=0, 由2)≤0，得m≤三但当m=时，方程x2x+1=0有两根2，故舍去. 由4=0 (0≤.s2,得m-1. m0, (m-1)2-4>0, 则{0<.m1<2,即 -3<m<1, 2 f(2)≥0 4+(m-1)×2+1≥0， 解得≤m<1 由①②可知m的取值范围为(-0，-1]】 20.(12分)A,B两城相距100km,在两地之间距A城xkm处的D地建一核电站给 A,B两城供电.为保证城市安全，核电站与城市距离不得少于10km.已知供电费用 与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数1=0.25.若A城供电量为20亿 千瓦时/月，B城为10亿千瓦时/月. (1)求x的取值范围； (2)把月供电总费用y表示成x的函数； (3)核电站建在距A城多远，才能使供电费用最小？ 解(1)x的取值范围为[10,90]
17.(10 分)已知 f(x)是 R 上的偶函数,当 x∈(0,+∞)时,f(x)=x2+2x+3,求当 x∈(-∞,0) 时,f(x)的解析式. 解:设 x0,∴f(-x)=(-x) 2+(-2x)+3=x2 -2x+3. ∵函数 f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x). ∴当 x0,x2-x1>0. 所以 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). 所以 f(x)在定义域上是减函数. 19.(12 分)已知关于 x 的一元二次方程 x 2+(m-1)x+1=0 在区间[0,2]上有解,求实数 m 的取值范围. 解:设 f(x)=x2+(m-1)x+1,x∈[0,2]. ①若 f(x)=0 在区间[0,2]上有一个解, 由 f(0)=1>0,得 f(2)≤0 或{ 𝛥 = 0, 0 ≤ - 𝑚-1 2 ≤ 2. 由 f(2)≤0,得 m≤- 3 2 .但当 m=- 3 2时,方程 x 2 - 5 2 x+1=0 有两根1 2 ,2,故舍去. 由{ 𝛥 = 0, 0 ≤ - 𝑚-1 2 ≤ 2, 得 m=-1. ∴m 0, 0 0, -3 < 𝑚 < 1, 4 + (𝑚-1) × 2 + 1 ≥ 0, 解得- 3 2 ≤m<-1. 由①②可知 m 的取值范围为(-∞,-1]. 20.(12 分)A,B 两城相距 100 km,在两地之间距 A 城 x km 处的 D 地建一核电站给 A,B 两城供电.为保证城市安全,核电站与城市距离不得少于 10 km.已知供电费用 与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数 λ=0.25.若 A 城供电量为 20 亿 千瓦时/月,B 城为 10 亿千瓦时/月. (1)求 x 的取值范围; (2)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数; (3)核电站建在距 A 城多远,才能使供电费用最小? 解:(1)x 的取值范围为[10,90]
(2y=0.25×20x2+0.25×10(100-xP=5x2+100-xP(10≤x≤90) (3)油2)得)=5x2+100-xP-22-500x+25000-(x.1)+00 则当x-时，y最小 故当核电站建在距A城km时，才能使供电费用最小 21.(12分)若x)是定义在区间0，+o)内的增函数，且对一切x>0y>0,满足 月)=) (1)求1)的值： 2)若6)=1，解不等式x+3)()2 解：(1)在食=x0)中，令x=y=1,则1)=1)1)，即1)=0 26)=1,x+3)(得2=6)+6).3x+96)6,即（生）6) x)是定义在区间(0，+∞)内的增函数 (x+3>0, 0, 22.(14分)已知奇函数x) 0,x=0 x2+mx,x0, 则-x)=-(-x2+2(-x)=-x2-2x 函数x)为奇函数，儿-x)=x) x)=--x)=-(-x2-2x)=x2+2x ,当x<0时x)=x2+mx, .对任意x<0,总有x2+2x=x2+mx, .m=2 函数x)的图象如图所示
(2)y=0.25×20x 2+0.25×10(100-x) 2=5x 2+ 5 2 (100-x) 2 (10≤x≤90). (3)由(2)得 y=5x 2+ 5 2 (100-x) 2= 15 2 x 2 -500x+25 000= 15 2 (𝑥- 100 3 ) 2 + 50 000 3 . 则当 x= 100 3 时,y 最小. 故当核电站建在距 A 城 100 3 km 时,才能使供电费用最小. 21.(12 分)若 f(x)是定义在区间(0,+∞)内的增函数,且对一切 x>0,y>0,满足 f( 𝑥 𝑦 )=f(x)-f(y). (1)求 f(1)的值; (2)若 f(6)=1,解不等式 f(x+3)-f( 1 3 ) 0, 𝑥+3 2 0, 0,𝑥 = 0, 𝑥 2 + 𝑚𝑥,𝑥 0, 则 f(-x)=-(-x) 2+2(-x)=-x 2 -2x. ∵函数 f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x). ∴f(x)=-f(-x)=-(-x 2 -2x)=x2+2x. ∵当 x<0 时,f(x)=x2+mx, ∴对任意 x<0,总有 x 2+2x=x2+mx, ∴m=2. 函数 f(x)的图象如图所示
-x2+2x,x>0, (2)由(1)知x)=0,x=0, x2+2x,x<0. 由图象可知，函数x)的图象在区间[1,1]上是上升的， 函数x)在区间[1,1]上是增函数 要使侧在区州[2]上是塔函，高有公2≥士解得1a53。 即实数a的取值范围是(1,3] (3)由图象可知，函数x)的图象在区间[-2,2]上的最高点是(11)，最低点是(-1- 1) 又因为1)=-1+2=1，-1)=1-2=-1， 所以函数x)在区间[-2,2]上的最大值是1，最小值是-1
(2)由(1)知 f(x)={ -𝑥 2 + 2𝑥,𝑥 > 0, 0,𝑥 = 0, 𝑥 2 + 2𝑥,𝑥 -1, 𝑎-2 ≤ 1, 解得 1<a≤3, 即实数 a 的取值范围是(1,3]. (3)由图象可知,函数 f(x)的图象在区间[-2,2]上的最高点是(1,f(1)),最低点是(-1,f(- 1)). 又因为 f(1)=-1+2=1,f(-1)=1-2=-1, 所以函数 f(x)在区间[-2,2]上的最大值是 1,最小值是-1