第2课时与不等式性质有关的证明问题 课后·训练提升 1.不等式：①a2+2>2a,②a2+b2≥2(a-b-1)③a2+b2≥ab恒成立的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 解析：.a2+2-2a=(a-1)2+1>0,∴.①恒成立； a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+12≥0， ∴②恒成立； a2+6b-(a- ）+b2≥0， ∴③恒成立 答案D 2.已知a0 B.b2-.4ac=0 C.b2-4ac0. 答案A 3.要证a2+b2-1-a2b2≤0，只需证明() A.2ab-1-a2b2≤0B.a2+b2.1+b≤0 C.a+b1-a2b≤0D.(a2-1b2-1)≥0 解析：.(a2-1)b2-1)≥0→a2+b2-1-a2b2≤0， ∴.由分析法知选D 答案D 4用反证法证明“已知a,bc均为正实数，且a+b+c=l,求证（台-1）（信-1）（任-1）≥8 时，应假设( ) A.a+b+c≠1 B.(&-16-1)(-1)>8 c(任-1)信-1)-18 D(1)G-1)-1)8 答案D 5.设a,b∈R,若a+b0 B.a3+b3>0
第 2 课时 与不等式性质有关的证明问题 课后· 1.不等式:①a 2+2>2a;②a 2+b2≥2(a-b-1);③a 2+b2≥ab 恒成立的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:∵a 2+2-2a=(a-1)2+1>0,∴①恒成立; ∵a 2+b2 -2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2≥0, ∴②恒成立; ∵a 2+b2 -ab=(𝑎- 𝑏 2 ) 2 + 3 4 b 2≥0, ∴③恒成立. 答案:D 2.已知 a0 B.b 2 -4ac=0 C.b 2 -4ac0. 答案:A 3.要证 a 2+b2 -1-a 2b 2≤0,只需证明( ) A.2ab-1-a 2b 2≤0 B.a 2+b2 -1- 𝑎 4+𝑏 4 2 ≤0 C. (𝑎+𝑏) 2 2 -1-a 2b 2≤0 D.(a 2 -1)(b 2 -1)≥0 解析:∵(a 2 -1)(b 2 -1)≥0⇒a 2+b2 -1-a 2b 2≤0, ∴由分析法知选 D. 答案:D 4.用反证法证明“已知 a,b,c 均为正实数,且 a+b+c=1,求证:( 1 𝑎 -1) ( 1 𝑏 -1) ( 1 𝑐 -1)≥8” 时,应假设( ) A.a+b+c≠1 B.( 1 𝑎 -1) ( 1 𝑏 -1) ( 1 𝑐 -1)>8 C.( 1 𝑎 -1) ( 1 𝑏 -1) ( 1 𝑐 -1)≠8 D.( 1 𝑎 -1) ( 1 𝑏 -1) ( 1 𝑐 -1)0 B.a 3+b3>0
C.a2-b2-b>0,.a2>b2>0 又a0品b0.d>c>0→是>÷2a>b,c>dac>bt③g>÷→a>b6,④a>b→a>bn∈ N+,n>1) 解析：对于①，.a>b>0,d>c>0 “ad>bc,即>故①是真命题 对于②，令a=1,b=0,c=2,d=-10,满足a>b,c>d,但a-c=-1,b-d=10,有a-c0,∴是>是→>b,故③是真命题 对于④，令a=-1,b=-2,n=2,则有a>b,但a26。 9.己知a,bc均为正实数，且b>a,求证>（佣分析法证明）
C.a 2 -b 2-b>0,∴a 2>b2>0. 又 a0,∴ 𝑎 𝑎𝑏 b>0,d>c>0⇒ 𝑎 𝑐 > 𝑏 𝑑 ;②a>b,c>d⇒a-c>b-d;③ 𝑎 𝑐 2 > 𝑏 𝑐 2⇒a>b;④a>b⇒a n>bn (n∈ N+,n>1). 解析:对于①,∵a>b>0,d>c>0, ∴ad>bc,即 𝑎 𝑐 > 𝑏 𝑑 ,故①是真命题; 对于②,令 a=1,b=0,c=2,d=-10,满足 a>b,c>d,但 a-c=-1,b-d=10,有 a-c0,∴ 𝑎 𝑐 2 > 𝑏 𝑐 2⇒a>b,故③是真命题; 对于④,令 a=-1,b=-2,n=2,则有 a>b,但 a 20,∴| 𝑎 -𝑏 𝑏𝑎 | > | 𝑎 -𝑎 𝑏𝑏 |. 答案:| 𝑎 -𝑏 𝑏𝑎 | > | 𝑎 -𝑎 𝑏𝑏 | 9.已知 a,b,c 均为正实数,且 b>a,求证: 𝑎+𝑐 𝑏+𝑐 > 𝑎 𝑏 .(用分析法证明)
证明要证>号且a,bc均为正实数， b+c 只需证(a+c)b>a(b+c, 只需证bc>ac. 只需证b>a. 因为b>a成立所以>号 10.用反证法证明√2+V6<2V5. 证明：假设V2+V6≥2V5,则(W2+V6?≥(2V5),即8+4V3≥20，化简，得V3≥3. 因为√3≥3不成立， 所以假设不成立， 所以v2+√6<25
证明:要证𝑎+𝑐 𝑏+𝑐 > 𝑎 𝑏 ,且 a,b,c 均为正实数, 只需证(a+c)b>a(b+c), 只需证 bc>ac. 只需证 b>a. 因为 b>a 成立,所以𝑎+𝑐 𝑏+𝑐 > 𝑎 𝑏 . 10.用反证法证明:√2 + √6<2√5. 证明:假设√2 + √6≥2√5,则(√2 + √6) 2≥(2√5) 2 ,即 8+4√3≥20,化简,得√3≥3. 因为√3≥3 不成立, 所以假设不成立, 所以√2 + √6<2√5