第2课时函数奇偶性的应用 课后·训练提升 基础巩固 1.已知奇函数x)在区间[3,6]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为-1， 则6)+-3)的值为( ) A.10 B.-10 C.9 D.15 解析：由已知得6)=8,3)=-1 x)是奇函数， ∴.6)+-3)=6)3)=8-(-1)=9 故选C 答案：C 2.若定义在R上的偶函数x)在区间(0，+o)内是增函数，则( A3)-4)-π) B-π)-4)3) C3)-π)-4) D-4)-π)≤3) 解析：x)在R上是偶函数， ∴.-π)=π)-4)=4) 又30 B-3)+-2)0 解析：因为x)是偶函数，所以4)=几-4)
第 2 课时 函数奇偶性的应用 课后· 基础巩固 1.已知奇函数 f(x)在区间[3,6]上是增函数,在区间[3,6]上的最大值为 8,最小值为-1, 则 f(6)+f(-3)的值为( ) A.10 B.-10 C.9 D.15 解析:由已知得,f(6)=8,f(3)=-1. ∵f(x)是奇函数, ∴f(6)+f(-3)=f(6)-f(3)=8-(-1)=9, 故选 C. 答案:C 2.若定义在 R 上的偶函数 f(x)在区间(0,+∞)内是增函数,则( ) A.f(3)0 B.f(-3)+f(-2)0 解析:因为 f(x)是偶函数,所以 f(4)=f(-4)
又x)在区间[-6,0]上单调递减， 所以-4)>-1)，即4)-1)>0. 答案D 5.若定义在R上的函数x)在区间(-o,2)内是增函数，且x+2)=f2-x)对任意x∈R 恒成立，则( A-1)3) B0)>3) C-1)=3) D0)=3) 解析：由题意，得x)的图象关于直线x=2对称，所以3)=1) 因为x)在区间(-0,2)内是增函数，所以-1)下1)=3) 答案：A 6.设偶函数x)的定义域为[-5,5]，若当x∈[0,5]时x)的图象如图所示，则不等式 x)<0的解集是 ty y=f(x) 解析：因为偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性确定不等式x)<0的解 集。 因为当x∈[0,5]时，x)<0的解集为{x2<x≤5}， 所以当x∈[-5,0]时x)<0的解集为{x-5≤x<-2} 所以x)<0的解集是{x-5≤x<-2或2<x≤5} 答案：{x-5≤x<-2或2<x≤5} 7.若函数x)=(k-2)x2+(k1)x+3是偶函数，则x)的单调递减区间是 解析：由x)是偶函数，得k-1=0,解得k=1,所以x)=-x2+3,其单调递减区间为 [0,+o), 答案[0，+o) 8.已知偶函数x)在区间[0，+∞)内单调递增，则满足2x-1)得的x的取值范围 是 解析：x)是偶函数，x)=fx), 2x1兮)，再根据x)在区间0，+0)内的单调性，得2x-号 解得子 答案（引 9.己知函数x)=x2+x-a+1,a∈R (1)试判断x)的奇偶性， (2)若a=0,求x)的最小值 解(1)当a=0时-x)=(-x2+-x+1=x2+x+1=x) 当a0时a)=a2+1
又 f(x)在区间[-6,0]上单调递减, 所以 f(-4)>f(-1),即 f(4)-f(-1)>0. 答案:D 5.若定义在 R 上的函数 f(x)在区间(-∞,2)内是增函数,且 f(x+2)=f(2-x)对任意 x∈R 恒成立,则( ) A.f(-1)f(3) C.f(-1)=f(3) D.f(0)=f(3) 解析:由题意,得 f(x)的图象关于直线 x=2 对称,所以 f(3)=f(1). 因为 f(x)在区间(-∞,2)内是增函数,所以 f(-1)<f(1)=f(3). 答案:A 6.设偶函数 f(x)的定义域为[-5,5],若当 x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式 f(x)<0 的解集是 . 解析:因为偶函数的图象关于 y 轴对称,所以可根据对称性确定不等式 f(x)<0 的解 集. 因为当 x∈[0,5]时,f(x)<0 的解集为{x|2<x≤5}, 所以当 x∈[-5,0]时,f(x)<0 的解集为{x|-5≤x<-2}. 所以 f(x)<0 的解集是{x|-5≤x<-2 或 2<x≤5}. 答案:{x|-5≤x<-2 或 2<x≤5} 7.若函数 f(x)=(k-2)x 2+(k-1)x+3 是偶函数,则 f(x)的单调递减区间是 . 解析:由 f(x)是偶函数,得 k-1=0,解得 k=1,所以 f(x)=-x 2+3,其单调递减区间为 [0,+∞). 答案:[0,+∞) 8.已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,则满足 f(2x-1)<f( 1 3 )的 x 的取值范围 是 . 解析:∵f(x)是偶函数,∴f(x)=f(|x|), ∴f(|2x-1|)<f( 1 3 ),再根据 f(x)在区间[0,+∞)内的单调性,得|2x-1|<1 3 , 解得1 3 <x<2 3 . 答案:( 1 3 , 2 3 ) 9.已知函数 f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R. (1)试判断 f(x)的奇偶性; (2)若 a=0,求 f(x)的最小值. 解:(1)当 a=0 时,f(-x)=(-x) 2+|-x|+1=x2+|x|+1=f(x). 当 a≠0 时,f(a)=a2+1
-a=a2+2lal+1, 此时a机-a),且a)片a) ∴.当a=0时x)为偶函数；当a0时，x)既不是奇函数也不是偶函数 (2)当a=0时x)=x2+x+1为偶函数， .当x≥0时x)=x2+x+1, 当x=0时x)mim=1,,x)min=1 10已知函数)铝是定义在区间1，内的奇函数且付=号 (1)求函数x)的解析式， (2)用定义证明：x)在区间(-1,1)内是增函数； (3)解不等式-1)+)0,2)x1)=-=1-x2 1+经1+好 (1+x行)(1+x2) -10 ∴x2x1)>0,即x1)x2), x)在区间(1,1)内是增函数 (3)解由1)+03) B-5)3) C-3)>-5) D-3)-5) 解析：设00,得x1)H/x2)0, X1-X2 即x)Kx2) x)在区间(0，+o)内为增函数
f(-a)=a2+2|a|+1, 此时 f(a)≠f(-a),且 f(a)≠-f(a). ∴当 a=0 时,f(x)为偶函数;当 a≠0 时,f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)当 a=0 时,f(x)=x2+|x|+1 为偶函数, ∴当 x≥0 时,f(x)=x2+x+1, 当 x=0 时,f(x)min=1,∴f(x)min=1. 10.已知函数 f(x)= 𝑎𝑥+𝑏 1+𝑥 2是定义在区间(-1,1)内的奇函数,且 f( 1 2 ) = 2 5 . (1)求函数 f(x)的解析式; (2)用定义证明:f(x)在区间(-1,1)内是增函数; (3)解不等式:f(t-1)+f(t)0,f(x2)-f(x1)= 𝑥2 1+𝑥2 2 − 𝑥1 1+𝑥1 2 = (𝑥2 -𝑥1 )(1-𝑥1 𝑥2 ) (1+𝑥1 2 )(1+𝑥2 2 ) . ∵-10. ∴f(x2)-f(x1)>0,即 f(x1)0 对任意两个不 相等的正实数 x1,x2 都成立,则下列结论正确的是( ) A.f(-5)>f(3) B.f(-5)f(-5) D.f(-3)0,得 f(x1)-f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2), ∴f(x)在区间(0,+∞)内为增函数
∴x)在区间(-0,0)内也是增函数 由-3>-5，可得-3)>-5) 答案：C 2.若函数x)满足x)+2-x)=0,且3)=2，则-1)的值为() A.3 B.-3 C.2 D.-2 解析：在x)+2-x)=0中，令x=-1, 得-1)+3)=-1)+2=0， 所以几-1)=-2 答案D 3.设x)是R上的偶函数，且在区间(0，+∞)内是减函数.若x10,则 () A-x1)>-x2) B-x1)=-x2) C.f-x1)-x2) D-x)与-2)的大小不确定 解析：，x10, ∴.x2>-x1>0. 又x)在区间(0，+∞)内是减函数， x2)-x1) )是偶函数， ∴.-x2)=x2)-x1) 答案：A 4设函数x)x∈R)为奇函数1)=三x+2)=x)+2),则5)= 解析：令x=-1 得1)=-1)+2)=1)+2)】 即22十+2)，则2)=1 令x=1,得3)=1)+2)=2+1=三 令x=3,得5)=3)+2)=三+1=号 答案 5已知函数)是奇函数且2)-则实数ab的值分别为 解析：x)是奇函数 函数)的定义城{xk≠}关于原点对称b=0, 又2)如=号解得a=2 6 答案2,0
∴f(x)在区间(-∞,0)内也是增函数. 由-3>-5,可得 f(-3)>f(-5). 答案:C 2.若函数 f(x)满足 f(x)+f(2-x)=0,且 f(3)=2,则 f(-1)的值为( ) A.3 B.-3 C.2 D.-2 解析:在 f(x)+f(2-x)=0 中,令 x=-1, 得 f(-1)+f(3)=f(-1)+2=0, 所以 f(-1)=-2. 答案:D 3.设 f(x)是 R 上的偶函数,且在区间(0,+∞)内是减函数.若 x10,则 ( ) A.f(-x1)>f(-x2) B.f(-x1)=f(-x2) C.f(-x1)0, ∴x2>-x1>0. 又 f(x)在区间(0,+∞)内是减函数, ∴f(x2)<f(-x1). ∵f(x)是偶函数, ∴f(-x2)=f(x2)<f(-x1). 答案:A 4.设函数 f(x)(x∈R)为奇函数,f(1)= 1 2 ,f(x+2)=f(x)+f(2),则 f(5)= . 解析:令 x=-1, 得 f(1)=f(-1)+f(2)=-f(1)+f(2), 即 1 2 =- 1 2 +f(2),则 f(2)=1. 令 x=1,得 f(3)=f(1)+f(2)= 1 2 +1= 3 2 . 令 x=3,得 f(5)=f(3)+f(2)= 3 2 +1= 5 2 . 答案: 5 2 5.已知函数 f(x)= 𝑎𝑥 2 +2 3𝑥+𝑏 是奇函数,且 f(2)= 5 3 ,则实数 a,b 的值分别为 . 解析:∵f(x)是奇函数, ∴函数 f(x)的定义域{𝑥 |𝑥 ≠ - 𝑏 3 }关于原点对称,∴b=0. 又 f(2)= 5 3 ,∴ 4𝑎+2 6 = 5 3 ,解得 a=2. 答案:2,0
6.设x)是定义在R上的奇函数，且y=x)的图象关于直线x=对称则 1)+2)+3)+4)+5)= 解析：x)是定义在R上的奇函数， ∴.0)=0 又)的图象关于直线x=之对称， 任-x=(+x@ 在①式中，当x=时，0)=1)=0. 在①式中，以+x代替x,得 得（任+x)+传+x 即-x)=1+x), ∴2)=1+1)=-1)=1)=0 3)=1+2)=-2)=-2)=0, 同理4)=5)=0. .1)+2)+3)+4)+5)=0. 答案：0 7研究函数y=x+二的性质，并作出函数的图象. 解：易知函数的定义域为(-oo,0)U(0,+0) 从而可知函数的图象有左、右两部分 设)=x+号 则对任意的x∈(-0,0)U(0,+0), 都有x∈(-0,0)U(0,+0, 而且x)=-x是-x), 所以函数y=x+上是奇函数，函数的图象关于原点对称 下面研究函数在区间(0，+∞)内的性质及图象 设x1,2∈(0，+0)，且x1≠x2 =安立=码 1 △x X2-X1 X2X1 所以当x1∈1，+n)时是0 当x1,2∈(0,1)时义<0， Ax 所以y=x+上在区间(0,1)内是减函数， 在区间(1，+o)内是增函数， 所以其在区间(0，+0)内的最小值是1)=2 列出部分函数值如下表所示，描，点作图
6.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 y=f(x)的图象关于直线 x= 1 2对称,则 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= . 解析:∵f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(0)=0. 又 f(x)的图象关于直线 x= 1 2对称, ∴f( 1 2 -𝑥)=f( 1 2 + 𝑥).① 在①式中,当 x= 1 2时,f(0)=f(1)=0. 在①式中,以 1 2 +x 代替 x,得 f( 1 2 - ( 1 2 + 𝑥))=f( 1 2 + ( 1 2 + 𝑥)), 即 f(-x)=f(1+x). ∴f(2)=f(1+1)=f(-1)=-f(1)=0, f(3)=f(1+2)=f(-2)=-f(2)=0, 同理,f(4)=f(5)=0. ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0. 答案:0 7.研究函数 y=x+1 𝑥的性质,并作出函数的图象. 解:易知函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 从而可知函数的图象有左、右两部分. 设 f(x)=x+1 𝑥 , 则对任意的 x∈(-∞,0)∪(0,+∞), 都有-x∈(-∞,0)∪(0,+∞), 而且 f(-x)=-x- 1 𝑥 =-f(x), 所以函数 y=x+1 𝑥是奇函数,函数的图象关于原点对称. 下面研究函数在区间(0,+∞)内的性质及图象. 设 x1,x2∈(0,+∞),且 x1≠x2, Δ𝑦 Δ𝑥 = 𝑥2 + 1 𝑥2 -𝑥1 - 1 𝑥1 𝑥2 -𝑥1 = 𝑥2 𝑥1 -1 𝑥2 𝑥1 , 所以当 x1,x2∈(1,+∞)时, Δ𝑦 Δ𝑥 >0; 当 x1,x2∈(0,1)时, Δ𝑦 Δ𝑥 <0, 所以 y=x+1 𝑥在区间(0,1)内是减函数, 在区间(1,+∞)内是增函数, 所以其在区间(0,+∞)内的最小值是 f(1)=2. 列出部分函数值如下表所示,描点作图
2 0 5-2 5-2 10 再根据函数是奇函数，可以得到函数的图象如图所示 综上，函数y=x+的定义域为(-0,0)U(0,+0, 值域为(-0，-2]U[2,+o,函数是奇函数，单调递增区间是(-0，-1]，[1，+0)，单调递减区 间是[-1,0)，0,1] 挑战创新 已知函数y=f几x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时x)=-x2+ax (1)若a=-2,求函数x)的解析式 (2)若函数x)为R上的减函数， ①求实数a的取值范围： ②若对任意实数m,m-1)+m2+)0. x)为奇函数，且a=-2 .当x0:在区间(0，+o)内x)0时，x)在区间(0,9)内单调递增，在区间(，+∞内单调递减，不合题意. ∴.当函数x)为R上的减函数时，a的取值范围为a≤0. ②.m-1)+m2+)-1-m2恒成立
x 1 2 1 2 3 y=x+1 x 5 2 2 5 2 10 3 再根据函数是奇函数,可以得到函数的图象如图所示. 综上,函数 y=x+1 𝑥的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 值域为(-∞,-2]∪[2,+∞),函数是奇函数,单调递增区间是(-∞,-1],[1,+∞),单调递减区 间是[-1,0),(0,1]. 挑战创新 已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=-x 2+ax. (1)若 a=-2,求函数 f(x)的解析式; (2)若函数 f(x)为 R 上的减函数, ①求实数 a 的取值范围; ②若对任意实数 m,f(m-1)+f(m2+t)0. ∵f(x)为奇函数,且 a=-2, ∴当 x0;在区间(0,+∞)内,f(x)0 时,f(x)在区间(0, 𝑎 2 )内单调递增,在区间( 𝑎 2 , + ∞)内单调递减,不合题意. ∴当函数 f(x)为 R 上的减函数时,a 的取值范围为 a≤0. ②∵f(m-1)+f(m2+t)-t-m2 恒成立
∴m2m+1=-(m+)+对任意实教m恒成立， 故1的取值范围是（得，+0）】
∴t>-m2 -m+1=-(𝑚 + 1 2 ) 2 + 5 4对任意实数 m 恒成立, ∴t>5 4 . 故 t 的取值范围是( 5 4 , + ∞)