第2课时1 函数的定义域和值域 课后·训练提升 基础巩固 1.函数y=V1-x+√x的定义域为() A.{xx≤1} B.{xx≥0} C.{xr≥1或x≤0} D.{x0≤x≤1} 解析：由题意可知y0解得0≤x≤1 x≥0， 答案D 2.如果函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( A.{-1,0,3} B.{0,1,2,3} C.{y外-1≤y≤3} D.{y0≤y≤3} 解析：当x分别取0,1,2,3时y的值分别为0，-1,0,3，故所求值域为{-1,0,3} 答案：A 3.下列函数中，值域为(0，+o)的是( Ay=√x By=左 c D.y=x2+1 解析y=V元的值域为[0，+o0y=左的值域为(0，+0y=的值域为(o0,0)U (0,+0)y=x2+1的值域为[1，+o)】 答案B 4函数)的定义域是 A.(-0,1] B.(0,1)U(1,+o) C.(-o,0)U(0,1] D.(0,+oo) 解析：由函数x)的解析式可知 x-√元≠0，解得x>0,且x1 x≥0 答案B 5函数)=后的定义域是( A.(-0,1] B.(-oo,0)U(0,1) C.(-o,0)U(0,1] D[1,+o) 解析：由函数)的解析式可知1√≠0， (1-x≥0， 解得x≤1，且x0, 答案：C 6.已知集合A={xy=Vx+2,若函数x)=-x,x∈A,则函数x)的值域是( A.(2,+o) B.[2,3]
第 2 课时 函数的定义域和值域 课后· 基础巩固 1.函数 y=√1-𝑥 + √𝑥的定义域为( ) A.{x|x≤1} B.{x|x≥0} C.{x|x≥1 或 x≤0} D.{x|0≤x≤1} 解析:由题意可知{ 1-𝑥 ≥ 0, 𝑥 ≥ 0, 解得 0≤x≤1. 答案:D 2.如果函数 y=x2 -2x 的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为( ) A.{-1,0,3} B.{0,1,2,3} C.{y|-1≤y≤3} D.{y|0≤y≤3} 解析:当 x 分别取 0,1,2,3 时,y 的值分别为 0,-1,0,3,故所求值域为{-1,0,3}. 答案:A 3.下列函数中,值域为(0,+∞)的是( ) A.y=√𝑥 B.y= 1 √𝑥 C.y= 1 𝑥 D.y=x2+1 解析:y=√𝑥的值域为[0,+∞),y= 1 √𝑥的值域为(0,+∞),y= 1 𝑥的值域为(-∞,0)∪ (0,+∞),y=x2+1 的值域为[1,+∞). 答案:B 4.函数 f(x)= 2 𝑥-√𝑥的定义域是( ) A.(-∞,1] B.(0,1)∪(1,+∞) C.(-∞,0)∪(0,1] D.(0,+∞) 解析:由函数 f(x)的解析式可知, { 𝑥-√𝑥 ≠ 0, 𝑥 ≥ 0, 解得 x>0,且 x≠1. 答案:B 5.函数 f(x)= 𝑥 1-√1-𝑥 的定义域是( ) A.(-∞,1] B.(-∞,0)∪(0,1) C.(-∞,0)∪(0,1] D.[1,+∞) 解析:由函数 f(x)的解析式可知,{ 1-𝑥 ≥ 0, 1-√1-𝑥 ≠ 0, 解得 x≤1,且 x≠0. 答案:C 6.已知集合 A={x|y=√𝑥 + 2},若函数 f(x)=-x,x∈A,则函数 f(x)的值域是( ) A.(2,+∞) B.[2,3]
C.(-0,2] D.(-0,0] 解析：，A={xy=Vx+2={xx≥-2}， ∴x≤2，即函数x)的值域是(0,2 答案：C 7.函数y=√x-2+√x+1的定义域为 解折委使禹数有意义，高化子0 解得x≥2. 答案[2，+0) 8.己知函数x)=2x-3x∈{x∈N1≤x≤5}，则函数x)的值域为 解析：.x=1,2,3,4,5, ∴.x)=2x-3=-1,1,3,5,7. 答案：{-1,1,3,5,7} 9.若函数x)的定义域为[2a-l,a+1],值域为a+3,4a,则实数a的取值范围 为 解析：由区间的定义知2a-1,<a+1, a+3<4a, 解得1<a<2. 答案：(1,2) 10.若函数x)的定义域为[-3,5]，求p(x)=-x)+x)的定义域. 解：由)的定义域为3,5，得x)的定义域需满足3≤x≤5， -3≤x≤5， 解得-3≤x≤3 所以函数0(x)的定义域为[-3,3] 11.求下列函数的定义域： (1)x)=V2x-I-V3-x+1; (2x)= x+1 解（仙）因为函数有意义当且仅当x-1≥0， 3-x≥0， 解得≤x≤3 所以x)的定义域是}3] 2)因为函数有意义当且仅当4-x2≥0， x+1≠0. 解得-2≤x≤2，且x≠-1 所以x)的定义域是[-2，-1)U(1,2] 拓展提高 1若函数x)=4的定义域为R,则实数m的取值范围是( mx2+4x+3
C.(-∞,2] D.(-∞,0] 解析:∵A={x|y=√𝑥 + 2}={x|x≥-2}, ∴-x≤2,即函数 f(x)的值域是(-∞,2]. 答案:C 7.函数 y=√𝑥-2 + √𝑥 + 1的定义域为 . 解析:要使函数有意义,需{ 𝑥-2 ≥ 0, 𝑥 + 1 ≥ 0, 解得 x≥2. 答案:[2,+∞) 8.已知函数 f(x)=2x-3,x∈{x∈N|1≤x≤5},则函数 f(x)的值域为 . 解析:∵x=1,2,3,4,5, ∴f(x)=2x-3=-1,1,3,5,7. 答案:{-1,1,3,5,7} 9.若函数 f(x)的定义域为[2a-1,a+1],值域为[a+3,4a],则实数 a 的取值范围 为 . 解析:由区间的定义知{ 2𝑎-1 < 𝑎 + 1, 𝑎 + 3 < 4𝑎, 解得 1<a<2. 答案:(1,2) 10.若函数 f(x)的定义域为[-3,5],求 φ(x)=f(-x)+f(x)的定义域. 解:由 f(x)的定义域为[-3,5],得 φ(x)的定义域需满足{ -3 ≤ -𝑥 ≤ 5, -3 ≤ 𝑥 ≤ 5, 解得-3≤x≤3. 所以函数 φ(x)的定义域为[-3,3]. 11.求下列函数的定义域: (1)f(x)=√2𝑥-1− √3-𝑥+1; (2)f(x)= √4-𝑥 2 𝑥+1 . 解:(1)因为函数有意义当且仅当{ 2𝑥-1 ≥ 0, 3-𝑥 ≥ 0, 解得1 2 ≤x≤3. 所以 f(x)的定义域是[ 1 2 ,3]. (2)因为函数有意义当且仅当{ 4-𝑥 2 ≥ 0, 𝑥 + 1 ≠ 0, 解得-2≤x≤2,且 x≠-1. 所以 f(x)的定义域是[-2,-1)∪(-1,2]. 拓展提高 1.若函数 f(x)= 𝑥-4 𝑚𝑥 2 +4𝑥+3 的定义域为 R,则实数 m 的取值范围是( )
A.(-0,+0) B(0,) c(作+ D.[0.) 解析(1)当m=0时，定义域不为R, 故m=0不符合题意 (2)当m≠0时，由题意，得 (m≠0， ☑=16-4×3m (12)知，实数m的取值范围是(，+∞） 答案：C 2.函数y=2x+4V1-x的值域为() A.(-0,4] B.(-o0,0)U(0,1) C.(-0,0)U(0,1] D.[1,+o) 解析：令=V1-x,则x=1-2(t≥0)，y=2x+4V1-x=2-22+41=-2(1-1)2+4. ,t≥0，.当t=1时max=4. 故原函数的值域是(0,4]. 答案：A 3,若函数y=2-3x4的定义域为[0，m值域为孕，4，则m的取值范围是( A.0,4] B华4 c3] D..+) 解析：当x=0或x=3时y=-4; 当x=时y=要故m∈层3] 答案：C 4.己知函数x)的定义域为(-1,1)，则函数gx)=月+x-1)的定义域是 解析：由题意，得1<<1， -1<x-1<1, 解得0<x<2,于是函数gx)的定义域为(0,2) 答案：0,2) 5函数)x∈R)的值域是 解析“1六 .函数的值域为[0,1)。 答案[0,1) 6.若函数x+2)的定义域是[0,1]，则函数2x)的定义域为 解析：因为函数x+2)的定义域是[0,1]，所以2≤x+2≤3，所以函数x)的定义域是 2,31,所以2≤2x≤3，解得1≤x≤所以函数2)的定义域为[1，引
A.(-∞,+∞) B.(0, 4 3 ) C.( 4 3 , + ∞) D.[0, 4 3 ) 解析:(1)当 m=0 时,定义域不为 R, 故 m=0 不符合题意. (2)当 m≠0 时,由题意,得 { 𝑚 ≠ 0, 𝛥 = 16-4 × 3𝑚 4 3 . 由(1)(2)知,实数 m 的取值范围是( 4 3 , + ∞). 答案:C 2.函数 y=2x+4√1-𝑥的值域为( ) A.(-∞,4] B.(-∞,0)∪(0,1) C.(-∞,0)∪(0,1] D.[1,+∞) 解析:令 t=√1-𝑥,则 x=1-t 2 (t≥0),y=2x+4√1-𝑥=2-2t 2+4t=-2(t-1)2+4. ∵t≥0,∴当 t=1 时,ymax=4. 故原函数的值域是(-∞,4]. 答案:A 3.若函数 y=x2 -3x-4 的定义域为[0,m],值域为[- 25 4 ,-4],则 m 的取值范围是( ) A.(0,4] B.[- 25 4 ,-4] C.[ 3 2 ,3] D.[ 3 2 , + ∞) 解析:当 x=0 或 x=3 时,y=-4; 当 x= 3 2时,y=- 25 4 .故 m∈[ 3 2 ,3]. 答案:C 4.已知函数 f(x)的定义域为(-1,1),则函数 g(x)=f( 𝑥 2 )+f(x-1)的定义域是 . 解析:由题意,得{ -1 < 𝑥 2 < 1, -1 < 𝑥-1 < 1, 解得 0<x<2,于是函数 g(x)的定义域为(0,2). 答案:(0,2) 5.函数 y= 𝑥 2 𝑥 2 +1 (x∈R)的值域是 . 解析:∵y= 𝑥 2 𝑥 2 +1 =1- 1 𝑥 2 +1 , ∴函数的值域为[0,1). 答案:[0,1) 6.若函数 f(x+2)的定义域是[0,1],则函数 f(2x)的定义域为 . 解析:因为函数 f(x+2)的定义域是[0,1],所以 2≤x+2≤3,所以函数 f(x)的定义域是 [2,3],所以 2≤2x≤3,解得 1≤x≤ 3 2 ,所以函数 f(2x)的定义域为[1, 3 2 ]
答案1，引 7.求下列函数的定义域： （w x (2y=Vx-I·√1-x; 6加a (4y=(x-1)P+ 隔 解0)圆为函数有意义当且仅当02中0解得50，号且2 所以函数的定义城为{x≤0，且x≠引 2)因为函数有意义当且仅当1之0解得x=1 1-x≥0， 所以函数的定义域为{1} ③因为函数有意义当且仅当-y区≠0，解得x≤1，且0， 1-x≥0 所以函数的定义域为{xx≤1，且x0}. x-1≠0， (4)因为函数有意义当且仅当名≥0， x+1 x+1≠0， 解得x>-1,且x1, 所以函数的定义域为{xx>-l,且≠1} 8.试求下列函数的定义域与值域： (1x)=(x-12+1,x∈{-1,0,1,2,3}； (2)x)=(x-1)2+1; (6=兰 (4)/x)=x-Vx+1 解(1)函数的定义域为{-1,0,1,2,3}-1)=[(-1)1]2+1=5，同理可得 0)=21)=1,2)=23)=5,所以函数的值域为{1,2,5}. (2)函数的定义域为R因为(x1)P+1≥1，所以函数的值域为[1，+∞) (3)函数的定义域是{x≠1} 因为-5+品 .1 所以函数的值域为{≠5} (4)因为函数有意义当且仅当x+1≥0，即x≥-1，所以函数的定义域是{xx≥-1} 设=x+,则x=f-1≥0，于是0=f-14()°-月 国为≥0，所以0≥日 所以函数的值城是y少≥》
答案:[1, 3 2 ] 7.求下列函数的定义域: (1)y= √-𝑥 2𝑥 2 -3𝑥-2 ; (2)y=√𝑥-1· √1-𝑥; (3)y= 3 1-√1-𝑥 ; (4)y=(x-1)0+ √ 2 𝑥+1 . 解:(1)因为函数有意义当且仅当{ -𝑥 ≥ 0, 2𝑥 2 -3𝑥-2 ≠ 0, 解得 x≤0,x≠- 1 2 ,且 x≠2. 所以函数的定义域为{𝑥 |𝑥 ≤ 0,且𝑥 ≠ - 1 2 }. (2)因为函数有意义当且仅当{ 𝑥-1 ≥ 0, 1-𝑥 ≥ 0, 解得 x=1. 所以函数的定义域为{1}. (3)因为函数有意义当且仅当{ 1-√1-𝑥 ≠ 0, 1-𝑥 ≥ 0, 解得 x≤1,且 x≠0. 所以函数的定义域为{x|x≤1,且 x≠0}. (4)因为函数有意义当且仅当{ 𝑥-1 ≠ 0, 2 𝑥+1 ≥ 0, 𝑥 + 1 ≠ 0, 解得 x>-1,且 x≠1. 所以函数的定义域为{x|x>-1,且 x≠1}. 8.试求下列函数的定义域与值域: (1)f(x)=(x-1)2+1,x∈{-1,0,1,2,3}; (2)f(x)=(x-1)2+1; (3)f(x)= 5𝑥+4 𝑥-1 ; (4)f(x)=x-√𝑥 + 1. 解:(1)函数的定义域为{-1,0,1,2,3}.f(-1)=[(-1)-1]2+1=5,同理可得 f(0)=2,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=5,所以函数的值域为{1,2,5}. (2)函数的定义域为 R.因为(x-1)2+1≥1,所以函数的值域为[1,+∞). (3)函数的定义域是{x|x≠1}. 因为 y= 5𝑥+4 𝑥-1 =5+ 9 𝑥-1 , 所以函数的值域为{y|y≠5}. (4)因为函数有意义当且仅当 x+1≥0,即 x≥-1,所以函数的定义域是{x|x≥-1}. 设 t=√𝑥 + 1,则 x=t2 -1(t≥0),于是 f(t)=t2 -1-t=(𝑡- 1 2 ) 2 − 5 4 . 因为 t≥0,所以 f(t)≥- 5 4 . 所以函数的值域是{𝑦 |𝑦 ≥ - 5 4 }
挑战创新 (1)已知函数x)的定义域为[0,1]，求x2+1)的定义域； (2)已知Vx+1的定义域为[0,3]，求x)的定义域. 解：(1)，函数x2+1)中的x2+1相当于函数x)中的x, .0≤x2+1≤1， 解得x=0, ∴x2+1)的定义域为{0} (2).Vx+1)的定义域为[0,3]，.0≤x≤3， .1≤Vx+1≤2，.x)的定义域为[1,2]
挑战创新 (1)已知函数 f(x)的定义域为[0,1],求 f(x 2+1)的定义域; (2)已知 f(√𝑥 + 1)的定义域为[0,3],求 f(x)的定义域. 解:(1)∵函数 f(x 2+1)中的 x 2+1 相当于函数 f(x)中的 x, ∴0≤x 2+1≤1, 解得 x=0, ∴f(x 2+1)的定义域为{0}. (2)∵f(√𝑥 + 1)的定义域为[0,3],∴0≤x≤3, ∴1≤√𝑥 + 1≤2,∴f(x)的定义域为[1,2]