第一章测评 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题（每小题5分，共60分） 1.下列命题是真命题的是() A数学中的所有真命题组成的集合是无限集 B.若aN,则-a∈N C.2021年参加高考的所有女学生不能组成集合 D.锐角三角形的任意两边都不相等 答案：A 2.己知集合A=[-1,3),若BA,则下列集合中，可以作为集合B的是() A.{-1,0,1,2,3} B.[-1,3] C.(-2,4) D.{0,1} 答案D 3.设a,b∈R,集合{a,3}={0,a+b},则a-b=() A.1 B.-1 C.3 D.-3 解析：{a,3}={0,a+b}, 8+8=3郎得8=段 ∴.a-b=0-3=-3 答案D 4.设U为全集，A,B是集合，则存在集合C,使得A二C,BCCC是“A∩B=o”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：“存在集合C,使得A二C,BECUC”台“A∩B=O”故选C 答案：C 5.己知全集U=R集合A={0,1,2,3,4},B={xx>3},则图中阴影部分所表示的集合为 () A.{2,3,4} B.{0,1,2,3} C.{0,2,4} D.{3} 解析：题图阴影部分表示的集合为A∩(CuB) ,CuB={xx≤3}
第一章测评 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.下列命题是真命题的是( ) A.数学中的所有真命题组成的集合是无限集 B.若 a∉N,则-a∈N C.2021 年参加高考的所有女学生不能组成集合 D.锐角三角形的任意两边都不相等 答案:A 2.已知集合 A=[-1,3),若 B⫋A,则下列集合中,可以作为集合 B 的是( ) A.{-1,0,1,2,3} B.[-1,3] C.(-2,4) D.{0,1} 答案:D 3.设 a,b∈R,集合{a,3}={0,a+b},则 a-b=( ) A.1 B.-1 C.3 D.-3 解析:∵{a,3}={0,a+b}, ∴{ 𝑎 = 0, 𝑎 + 𝑏 = 3, 解得{ 𝑎 = 0, 𝑏 = 3, ∴a-b=0-3=-3. 答案:D 4.设 U 为全集,A,B 是集合,则“存在集合 C,使得 A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=⌀”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:“存在集合 C,使得 A⊆C,B⊆∁UC”⇔“A∩B=⌀”.故选 C. 答案:C 5.已知全集 U=R,集合 A={0,1,2,3,4},B={x|x>3},则图中阴影部分所表示的集合为 ( ) A.{2,3,4} B.{0,1,2,3} C.{0,2,4} D.{3} 解析:题图阴影部分表示的集合为 A∩(∁UB). ∵∁UB={x|x≤3}
∴.A∩(CUB)={0,1,2,3} 答案B 6.下列语句是命题的个数是( ①x+2 ②-5∈Z: ③πR; ④0}∈N A.1 B.2 C.3 D.4 解析：①不是命题，②③④都是命题 答案：C 7已知命题p30∈{0°≤0≤90°3.sm0-怎则p是( A30∈{l0°≤0≤90°}，cos0=5 B.∀0∈{9l0°≤0≤90°}，cos0= 5 Cv0∈90°≤0≤90}sin45 D30e00°≤0≤90°}sm0号 答案：C 8.已知集合A={0,1,2,3},B={x-x∈A,1-xE4,则集合B的真子集的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 解析：若x∈B,则-x∈A,故x只可能是0，-1，-2，-3. 当0∈B时，1-0=1∈A;当-1∈B时，1-(-1)=2∈A;当-2∈B时，1-(-2)=3∈A;当-3∈B 时，1-(-3)=4EA,所以B={-3}, 故B的真子集有2l-1=1(个) 答案：A 9.定义集合M与N的新运算：M⊕N={xK∈M或x∈N,且xMnW},则(M⊕ N⊕N=( A.MON B.MUN C.M D.N 解析：按定义，M⊕N表示如图①所示的阴影部分，两圆的公共部分表示M∩N.(M ⊕W⊕N应表示x∈MW或x∈N,且xM⊕N)nN的所有x的集合，(M⊕ N)门N表示如图②所示的空白部分，因此(M⊕N⊕W=M MON 图①
∴A∩(∁UB)={0,1,2,3}. 答案:B 6.下列语句是命题的个数是( ) ①|x+2|; ②-5∈Z; ③π∉R; ④{0}∈N. A.1 B.2 C.3 D.4 解析:①不是命题,②③④都是命题. 答案:C 7.已知命题 p:∃θ∈{θ|0°≤θ≤90°},sin θ= √5 5 ,则 p 是( ) A.∃θ∈{θ|0°≤θ≤90°},cos θ= √5 5 B.∀θ∈{θ|0°≤θ≤90°},cos θ= √5 5 C.∀θ∈{θ|0°≤θ≤90°},sin θ≠ √5 5 D.∃θ∈{θ|0°≤θ≤90°},sin θ≠ √5 5 答案:C 8.已知集合 A={0,1,2,3},B={x|-x∈A,1-x∉A},则集合 B 的真子集的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:若 x∈B,则-x∈A,故 x 只可能是 0,-1,-2,-3. 当 0∈B 时,1-0=1∈A;当-1∈B 时,1-(-1)=2∈A;当-2∈B 时,1-(-2)=3∈A;当-3∈B 时,1-(-3)=4∉A,所以 B={-3}, 故 B 的真子集有 2 1 -1=1(个). 答案:A 9.定义集合 M 与 N 的新运算:M N={x|x∈M 或 x∈N,且 x∉(M∩N)},则(M N) N=( ) A.M∩N B.M∪N C.M D.N 解析:按定义,M N 表示如图①所示的阴影部分,两圆的公共部分表示 M∩N.(M N) N 应表示 x∈MN 或 x∈N,且 x∉(M N)∩N 的所有 x 的集合,(M N)∩N 表示如图②所示的空白部分,因此(M N) N=M. 图①
图② 答案：C 10.函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是( A.m=-2 B.m=2 C.m=-1 D.m=1 解析函数y=2+mx+1的图象的对称轴方程为x=受1，m=2 答案：A 11.下列说法错误的是( A.x=1”是“x2-3x+2=0的充分不必要条件 B.“x≥2”是“x>2的充分不必要条件 C.空集0的子集是它本身 D.若命题p:3xo∈R,xxo2”的必要不充分条件 答案B 12.定义A☒B={z2=xy+手，xEAy∈B以设集合A=0,2},B={1,2,C=I,则 集合(4B)☒C的所有元素之和为() A.3 B.9 C.18 D.27 解析A☒B={0,45,(4B)☒C={0,810,故4☒B☒C的所有元素之和 为18. 答案：C 二、填空题（每小题5分，共20分） 13.己知全集U={1,2,3,4},A是U的子集，满足A∩{1,2,3}={2}，AU{1,2,3}=U,则集 合A= 解析：利用维恩图进行分析求解 设B={1,2,3},由A∩B={2},AUB=U,可画出维恩图如图所示，则A={2,4} 答案：{2,4} 14.设集合A={x-2-a0},p:1∈A,q2∈A.若p,g一真一假，则实数a的取值 范围是 解析：若p为真命题，则-2-a1. 若q为真命题，则-2-a2
图② 答案:C 10.函数 y=x2+mx+1 的图象关于直线 x=1 对称的充要条件是( ) A.m=-2 B.m=2 C.m=-1 D.m=1 解析:∵函数 y=x2+mx+1 的图象的对称轴方程为 x=- 𝑚 2 =1,∴m=-2. 答案:A 11.下列说法错误的是( ) A.“x=1”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 B.“x≥2”是“x>2”的充分不必要条件 C.空集⌀的子集是它本身 D.若命题 p:∃x0∈R,𝑥0 2 -x02”的必要不充分条件. 答案:B 12.定义 A B={𝑧 |𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑥 𝑦 , 𝑥∈𝐴, 𝑦∈𝐵}.设集合 A={0,2},B={1,2},C={1},则 集合(A B) C 的所有元素之和为( ) A.3 B.9 C.18 D.27 解析:A B={0,4,5},(A B) C={0,8,10},故(A B) C 的所有元素之和 为 18. 答案:C 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.已知全集 U={1,2,3,4},A 是 U 的子集,满足 A∩{1,2,3}={2},A∪{1,2,3}=U,则集 合 A= . 解析:利用维恩图进行分析求解. 设 B={1,2,3},由 A∩B={2},A∪B=U,可画出维恩图如图所示,则 A={2,4}. 答案:{2,4} 14.设集合 A={x|-2-a0},p:1∈A,q:2∈A.若 p,q 一真一假,则实数 a 的取值 范围是 . 解析:若 p 为真命题,则-2-a1. 若 q 为真命题,则-2-a2
若P,9中一个是真命题，一个是假命题， 则858≤1支{6之as2所以1a2 答案(1,2] 15.己知M,N为集合I的非空真子集，且MN不相等若Nn(C)=②，则MU N= 解析：由N∩(C)=o,得N与CM没有公共元素，依据题意画出维恩图，如图，可得 NCM所以MUN=M M N 答案：M 16.若x∈Rx2+2x+a≥0”为假命题，则实数a的取值范围是 解析：，x2+2x+a=(x+1)2+a-1, 又“x∈R,x2+2x+a≥0”为假命题， ∴.a-10恒成立 .m∈R,x2+x-m2=0有实根， .一p为假命题 (2)q:x∈R,x2-x+1>0. 2x+1=(x》+0恒成主， .一g为真命题 19.(12分)已知全集U=R,集合A={xx≤-3或x≥6}，B={x-5≤x<14}. (1)求(CuB)nA; (2)若集合C={x2a<x<a+1,且BnC=C,求实数a的取值范围. 解(1)根据题意画出数轴，如图
若 p,q 中一个是真命题,一个是假命题, 则{ 0 2 或 { 𝑎 > 1, 0 0 恒成立, ∴∀m∈R,x 2+x-m2=0 有实根, ∴ p 为假命题. (2) q:∀x∈R,x 2 -x+1>0. ∵x 2 -x+1=(𝑥- 1 2 ) 2 + 3 4 >0 恒成立, ∴ q 为真命题. 19.(12 分)已知全集 U=R,集合 A={x|x≤-3 或 x≥6},B={x|-5≤x<14}. (1)求(∁UB)∩A; (2)若集合 C={x|2a<x<a+1},且 B∩C=C,求实数 a 的取值范围. 解:(1)根据题意画出数轴,如图
_5_3 ∴.CuB=(-0,-5)U[14,+oo), ∴.(CuB)nA=(-o,-5)U[14,+∞) (2).BnC=C,∴.CcB. 当C=o时，2a≥a+1,解得a≥1； 2a6}. (I)若AnB=a,求a的取值范围； (2)若AUB=B,求a的取值范围. 解()AnB=@,由图①，得≥；2， a+3≤6， 解得-2≤a≤3. 门 -2 da+36 图① (2).AUB=B, ∴.A二B,由图②，得a>6或a+36或<-5. ▣ aa+32 口 6 aa+3x 图② 21.(12分)设集合A=(-0,-2]U[3,+oo),B=(-o,2a)U(-a,+o(a<0) (I)若“x∈A”是“x∈B的必要不充分条件，求a的取值范围 (2)设px∈A,gx∈B,且一p是一g的充分不必要条件，求a的取值范围 2a≤-2 解(1)由题意，得BA,则-Q≥3，解得a≤-3，故a的取值范围为(0，-3] a<0, (2).☐px∈{x-2<x<3},qx∈[2a,-ad, .{x-2<x<3}2a,-ad, (a<0, ∴2a≤-2，解得a≤-3 (-a≥3， a的取值范围是(-0，-3] 22.(14分)已知集合A={xx2-ax+a2-19=0},集合B={xr2-5x+6=0},是否存在实数a, 使得集合A,B同时满足下列三个条件： ①A+B; ②AUB=B: ③o(AnB) 若存在，求出这样的实数α的值；若不存在，请说明理由
∴∁UB=(-∞,-5)∪[14,+∞), ∴(∁UB)∩A=(-∞,-5)∪[14,+∞). (2)∵B∩C=C,∴C⊆B. 当 C=⌀时,2a≥a+1,解得 a≥1; 当 C≠⌀时,{ 2𝑎 6}. (1)若 A∩B=⌀,求 a 的取值范围; (2)若 A∪B=B,求 a 的取值范围. 解:(1)∵A∩B=⌀,由图①,得{ 𝑎 ≥ -2, 𝑎 + 3 ≤ 6, 解得-2≤a≤3. 图① (2)∵A∪B=B, ∴A⊆B,由图②,得 a>6 或 a+36 或 a<-5. 图② 21.(12 分)设集合 A=(-∞,-2]∪[3,+∞),B=(-∞,2a)∪(-a,+∞)(a<0). (1)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,求 a 的取值范围. (2)设 p:x∈A,q:x∈B,且 p 是 q 的充分不必要条件,求 a 的取值范围. 解:(1)由题意,得 B⫋A,则{ 2𝑎 ≤ -2, -𝑎 ≥ 3, 𝑎 < 0, 解得 a≤-3,故 a 的取值范围为(-∞,-3]. (2)∵ p:x∈{x|-2<x<3}, q:x∈[2a,-a], ∴{x|-2<x<3}⫋[2a,-a], ∴{ 𝑎 < 0, 2𝑎 ≤ -2, -𝑎 ≥ 3, 解得 a≤-3. ∴a 的取值范围是(-∞,-3]. 22.(14 分)已知集合 A={x|x2 -ax+a2 -19=0},集合 B={x|x2 -5x+6=0},是否存在实数 a, 使得集合 A,B 同时满足下列三个条件: ①A≠B; ②A∪B=B; ③⌀⫋(A∩B). 若存在,求出这样的实数 a 的值;若不存在,请说明理由
解：由已知条件可得B={2,3}. 因为AUB=B,且A+B,所以AB. 又o(A∩B),所以A≠0， 所以A={2}或A={3} 当A={2}时，将x=2代入A中方程 得a2-2a-15=0,解得a=-3或a=5, 但此时集合A分别为{2，-5}和{2,3}，与A={2}矛盾 当A={3}时，同上也能导出矛盾 综上所述，满足题设要求的实数α不存在
解:由已知条件可得 B={2,3}. 因为 A∪B=B,且 A≠B,所以 A⫋B. 又⌀⫋(A∩B),所以 A≠⌀, 所以 A={2}或 A={3}. 当 A={2}时,将 x=2 代入 A 中方程, 得 a 2 -2a-15=0,解得 a=-3 或 a=5, 但此时集合 A 分别为{2,-5}和{2,3},与 A={2}矛盾. 当 A={3}时,同上也能导出矛盾. 综上所述,满足题设要求的实数 a 不存在