10.1.3 古典概型 课后·训练提升 基础巩固 1.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是( A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8 答案A 解析由题意可知，试验的样本空间2-{(1,2)，(1,3)，(1,4).1,5)，2,3)，(2,4).(2,5)，(3,4)，(3,5) (4,5,M2)-10.设事件4和为5，则0-2，即1,423)故PA)品0.2 2.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品.现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概 率为( A.0.4 B.0.6 c.0.8 D.1 答案B 解析5件产品中的2件次品，记为ab,3件合格品，记为c,d,e,“从这5件产品中任取2件”，则 该试验的样本空间2-{(a,b),(ac),(ad),(ae).(b,c,(b,d).b,e),(c,d),(c,e).(d,e)},即2)=l0.设事 件A=“拾有一件次品”，则4)=6，故P(4=品-0.6， 3.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，那么称这3个数为一组勾股数.从 1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( ). A B明 c品 D六 含案 解析从1,2,3,4,5中任取3个数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，因此3个数构 成一组勾股数的取法只有一种，故所求概率为品 4.《易经》是中国传统文化中的精髓，如图，易经八卦图的每一卦由三根线组成(“一”表示一 根阳线，“__”表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线 的概率为(). 三目 x旧 A B时 c D 答案 解桐从八卦中任取一卦，可能结果有5种， 由题图知，一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线这个事件有3种可能结果，故所求概率
10.1.3 古典概型 课后· 基础巩固 1.从 1,2,3,4,5 中任意取出两个不同的数,其和为 5 的概率是( ). A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8 答案 A 解析由题意可知,试验的样本空间 Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5), (4,5)},n(Ω)=10.设事件 A=“和为 5”,则 n(A)=2,即(1,4),(2,3).故 P(A)= 2 10=0.2. 2.已知 5 件产品中有 2 件次品,其余为合格品.现从这 5 件产品中任取 2 件,恰有一件次品的概 率为( ). A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1 答案 B 解析 5 件产品中的 2 件次品,记为 a,b,3 件合格品,记为 c,d,e,“从这 5 件产品中任取 2 件”,则 该试验的样本空间 Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)},即 n(Ω)=10.设事 件 A=“恰有一件次品”,则 n(A)=6,故 P(A)= 6 10=0.6. 3.如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,那么称这 3 个数为一组勾股数.从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( ). A. 3 10 B. 1 5 C. 1 10 D. 1 20 答案 C 解析从 1,2,3,4,5 中任取 3 个数共有 10 种不同的取法,其中的勾股数只有 3,4,5,因此 3 个数构 成一组勾股数的取法只有一种,故所求概率为 1 10. 4.《易经》是中国传统文化中的精髓,如图,易经八卦图的每一卦由三根线组成(“ ”表示一 根阳线,“ ”表示一根阴线),从八卦中任取一卦,这一卦的三根线中恰有 2 根阳线和 1 根阴线 的概率为( ). A. 1 8 B. 1 4 C. 3 8 D. 1 2 答案 C 解析从八卦中任取一卦,可能结果有 5 种, 由题图知,一卦的三根线中恰有 2 根阳线和 1 根阴线这个事件有 3 种可能结果,故所求概率 P=3 8
5.为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花 种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( A号 B明 c号 D唔 答案 解桐总的可能结果是红黄，白紫；红白，黄紫；红紫，黄白，共3种满足条件的可能结果是红黄，白 紫，红白，黄紫，共2种故所求事件的概率P号 6.从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(). A月 B时 c D唱 答案 解桐由题意知试验的样本点为(1,2)，(1,3)，(1,4).(2,3).(2,4)，(3,4)，共6个，满足条件的样本点数为 2,因此所求的概率为 7.从2,3,8,9中任取两个不同的数，分别记为a,b,则logb为整数的概率是 图 解标从2,3,8,9中任取两个不同的数，分别记为ab,作为对数的底数与真数，共有12个不同的 可能结果，其中为整数的只有1og8,10g9两个可能结果，国此其概率P言 8.某食堂规定，每份午餐可以在4种水果中任选2种，则甲、乙两同学各自所选的2种水果相 同的概率为 含 解柯甲、乙两个同学从4种水果中任选2种各有6种选法，故共有36种等可能的结果，其中 各自所选的2种水果相同的结果有6种，则所求概率为号 9.某中学调查了某班45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表（单位：人）： 是否参加书法社团 是否参加演讲社团 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 5 未参加演讲社团 30 (1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率； (2)既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1,A2,A3,A4,A5,3名女同学 B1,B2,B;.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概 率 1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个 社团的共有45-30=15人.所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率 P= (2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，该试验的样本空间
5.为美化环境,从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中,余下的 2 种花 种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ). A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 5 6 答案 C 解析总的可能结果是红黄,白紫;红白,黄紫;红紫,黄白,共 3 种.满足条件的可能结果是红黄,白 紫;红白,黄紫,共 2 种.故所求事件的概率 P=2 3 . 6.从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是( ). A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 6 答案 B 解析由题意知试验的样本点为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共 6 个,满足条件的样本点数为 2,因此所求的概率为1 3 . 7.从 2,3,8,9 中任取两个不同的数,分别记为 a,b,则 logab 为整数的概率是 . 答案1 6 解析从 2,3,8,9 中任取两个不同的数,分别记为 a,b,作为对数的底数与真数,共有 12 个不同的 可能结果,其中为整数的只有 log28,log39 两个可能结果,因此其概率 P=1 6 . 8.某食堂规定,每份午餐可以在 4 种水果中任选 2 种,则甲、乙两同学各自所选的 2 种水果相 同的概率为 . 答案1 6 解析甲、乙两个同学从 4 种水果中任选 2 种各有 6 种选法,故共有 36 种等可能的结果,其中 各自所选的 2 种水果相同的结果有 6 种,则所求概率为1 6 . 9.某中学调查了某班 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表(单位:人): 是否参加演讲社团 是否参加书法社团 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 8 5 未参加演讲社团 2 30 (1)从该班随机选 1 名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率; (2)既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中,有 5 名男同学 A1,A2,A3,A4,A5,3 名女同学 B1,B2,B3.现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人,求 A1 被选中且 B1 未被选中的概 率. 解(1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有 30 人,故至少参加上述一个 社团的共有 45-30=15 人.所以从该班随机选 1 名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率 P=15 45 = 1 3 . (2)从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人,该试验的样本空间
2={(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2,(A2,B3),(A,B1).(A3B2),(A3,B3),(A4,B1),(A4,B2),(A4 B3),(A5,B1).(As,B2).(As,B3)} 共15个样本，点. 根据题意，这些样本点发生的可能性相等 事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的样本点有(A1,B2),(A1,B3),共2个 国此A被选中且B1未被选中的概率P品 10.甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女 (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性 别相同的概率； (2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学 校的概率 解)甲校2名男教师分别用A,B表示，1名女教师用C表示；乙校1名男教师用D表示，2名 女教师分别用E,F表示 从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，样本空间 2={(A,D,(A,E),(A,F),B,D),B,E),(B,F),(C,D),C,E),(C,F)},共9个样本点. 设事件M=“从中选出2名教师性别相同”，则M={(A,D),(B,D),(C,E),(C,F),共4个样本点. 所以PM号 (2)从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名，样本空间 2={(AB),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),B,C),B,D).B,E),B,F).(C,D,(C,E).C,F),D,E,D,F),E,F) },共15个等可能出现的样本，点 设事件H=“从中选出2名教师来自同一学校”，则H={(A,B),(A,C),(B,C),D,),D,F),E,F)},共 6个样本点 所以P川是=手 拓展提高 1.在1,3,4,5,8路公共汽车都要停靠的一个站（假定这个站一次只能停靠一辆公共汽车），有一 名乘客等候4路或8路公共汽车假定当时各路公共汽车首先到站的可能性相等，则首先到站 正好是这名乘客所需乘的公共汽车的概率等于( A月 B c D 答案p 解桐由题知，在该问题中可能结果有5种，这位乘客等候的汽车首先到站这个事件有2种可 能结果，故所求概率为号 2.一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为xy,二，当且仅当y>xy>z时，称这样的数为 “凸数”（如243）.现从集合{5,6,7,8}中取出三个不同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸 数”的概率为( A号 B时 c D立 客案B
Ω={(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A4,B1),(A4,B2),(A4, B3),(A5,B1),(A5,B2),(A5,B3)}, 共 15 个样本点. 根据题意,这些样本点发生的可能性相等. 事件“A1 被选中且 B1 未被选中”所包含的样本点有(A1,B2),(A1,B3),共 2 个. 因此 A1 被选中且 B1 未被选中的概率 P= 2 15. 10.甲、乙两校各有 3 名教师报名支教,其中甲校 2 男 1 女,乙校 1 男 2 女. (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名教师性 别相同的概率; (2)若从报名的 6 名教师中任选 2 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名教师来自同一学 校的概率. 解(1)甲校 2 名男教师分别用 A,B 表示,1 名女教师用 C 表示;乙校 1 名男教师用 D 表示,2 名 女教师分别用 E,F 表示. 从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名,样本空间 Ω={(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F)},共 9 个样本点. 设事件 M=“从中选出 2 名教师性别相同”,则 M={(A,D),(B,D),(C,E),(C,F)},共 4 个样本点. 所以 P(M)= 4 9 . (2)从甲校和乙校报名的 6 名教师中任选 2 名,样本空间 Ω={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F) },共 15 个等可能出现的样本点. 设事件 H=“从中选出 2 名教师来自同一学校”,则 H={(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F)},共 6 个样本点. 所以 P(H)= 6 15 = 2 5 . 拓展提高 1.在 1,3,4,5,8 路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站一次只能停靠一辆公共汽车),有一 名乘客等候 4 路或 8 路公共汽车.假定当时各路公共汽车首先到站的可能性相等,则首先到站 正好是这名乘客所需乘的公共汽车的概率等于( ). A. 1 2 B. 2 3 C. 3 5 D. 2 5 答案 D 解析由题知,在该问题中可能结果有 5 种,这位乘客等候的汽车首先到站这个事件有 2 种可 能结果,故所求概率为2 5 . 2.一个三位数,个位、十位、百位上的数字依次为 x,y,z,当且仅当 y>x,y>z 时,称这样的数为 “凸数”(如 243).现从集合{5,6,7,8}中取出三个不同的数组成一个三位数,则这个三位数是“凸 数”的概率为( ). A. 2 3 B. 1 3 C. 1 6 D. 1 12 答案 B
解析试验：从集合{5,6,7,8}中取出3个不同的数组成一个三位数，则该试验的样本空间 2={567,576,657,675,756,765,568,586,658,685,856,865,578,587,758,785,857,875,678,687,768,7 86,867,876},即n2)=24. 设事件A=“这个三位数是‘凸数’”，则A={576,675,586,685,587,785,687,786},得n()=8,故 这个三位数是“凸数的概率为是=月 3.一袋中装有大小质地完全相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中有放回地每次取一 个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为() A克 B c最 D品 答案P 解桐由树状图（图略）知(P)=64,设事件A=“两个球的编号和不小于15”，则4)=3，故取得两 个球的编号和不小于15的概率PA)忌 4.将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次.则出现面朝上的点数之和小于10的概率 是 图无 解桐方法一：将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，共有36种可能结果其中面朝上的点数之 和小于10的可能结果共有30种，所以所求概率为器=号 方法二：将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，共有36种可能结果.记事件A表示“向上的点 数之和小于10”，则A表示“向上的点数之和不小于10”，A的可能结果共有6种，所以 PM品=PA)=1-P酒-话 5.有除编号外其余完全相同的砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随 机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是 (结果用最简分数表示). 图刻 解标由题意知，从5个砝码中随机取3个，(P)=10,事件A=“总质量为9克”，共有 9=5+3+1,9=5+2+2两种情况，即MA)-2,故三个砝码的总质量为9克的概率P(4)号 6.己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层随机抽样 的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动. (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？ (2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫 生工作 ①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果： ②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率. 解1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3：22，由于采用分层随机抽样 的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2 人，2人
解析试验:从集合{5,6,7,8}中取出 3 个不同的数组成一个三位数,则该试验的样本空间 Ω={567,576,657,675,756,765,568,586,658,685,856,865,578,587,758,785,857,875,678,687,768,7 86,867,876},即 n(Ω)=24. 设事件 A=“这个三位数是‘凸数’”,则 A={576,675,586,685,587,785,687,786},得 n(A)=8,故 这个三位数是“凸数”的概率为 8 24 = 1 3 . 3.一袋中装有大小质地完全相同,编号分别为 1,2,3,4,5,6,7,8 的八个球,从中有放回地每次取一 个球,共取 2 次,则取得两个球的编号和不小于 15 的概率为( ). A. 1 32 B. 1 64 C. 3 32 D. 3 64 答案 D 解析由树状图(图略)知 n(Ω)=64,设事件 A=“两个球的编号和不小于 15”,则 n(A)=3,故取得两 个球的编号和不小于 15 的概率 P(A)= 3 64. 4.将一枚质地均匀的骰子先后抛掷 2 次,则出现面朝上的点数之和小于 10 的概率 是 . 答案5 6 解析方法一:将一枚质地均匀的骰子先后抛掷 2 次,共有 36 种可能结果.其中面朝上的点数之 和小于 10 的可能结果共有 30 种,所以所求概率为30 36 = 5 6 . 方法二:将一枚质地均匀的骰子先后抛掷 2 次,共有 36 种可能结果.记事件 A 表示“向上的点 数之和小于 10”,则𝐴表示“向上的点数之和不小于 10”,𝐴的可能结果共有 6 种,所以 P(𝐴)= 6 36 = 1 6 ,P(A)=1-P(𝐴)= 5 6 . 5.有除编号外其余完全相同的砝码,其中 5 克、3 克、1 克砝码各一个,2 克砝码两个,从中随 机选取三个,则这三个砝码的总质量为 9 克的概率是 (结果用最简分数表示). 答案1 5 解析由题意知,从 5 个砝码中随机取 3 个,n(Ω)=10,事件 A=“总质量为 9 克”,共有 9=5+3+1,9=5+2+2 两种情况,即 n(A)=2,故三个砝码的总质量为 9 克的概率 P(A)= 1 5 . 6.已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为 240,160,160.现采用分层随机抽样 的方法从中抽取 7 名同学去某敬老院参加献爱心活动. (1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人? (2)设抽出的 7 名同学分别用 A,B,C,D,E,F,G 表示,现从中随机抽取 2 名同学承担敬老院的卫 生工作. ①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果; ②设 M 为事件“抽取的 2 名同学来自同一年级”,求事件 M 发生的概率. 解(1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为 3∶2∶2,由于采用分层随机抽样 的方法从中抽取 7 名同学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取 3 人,2 人,2 人
(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为 (A,B),(A,C),(A,D),A,E).(A,F),(A,G),(B,C),B,D),(B,E,(B,F).B,G),C,D).C,E).(C,F,C,G),D E),(D,F),(D,G),E,F),EG),E,G),共21种. ②油(1)知，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年 级的是F,G,则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为 (A,B),(A,C),B,C),D,E),F,G),共5种. 所以事件M发生的概率P(M-是 挑战创新 汉字作为古老文字，字形结构体现着人类追求均衡对称，和谐稳定的天性如图，三个汉字可以 看成是轴对称图形. 小敏和小慧利用“土*口“木”三个汉字设计一个游戏，规则如下：将这三个汉字分别写在背面 都相同的三张卡片上，背面朝上，洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张，若两次抽出的汉字 能构成上下结构的汉字（如“土土”构成“圭”，则小敏获胜，否则小慧获胜你认为这个游戏对 谁有利？请说明理由 解海次游戏时，所有可能出现的结果如下（列表）上： 第一次 第二次 ◇ 木 (土，土) (土，口) (土，木) 口 (口，土) (口，口) (口，木) (木，土) (木，口) 【木，木) 共有9种可能结果，且每种结果出现的可能性相同.其中，能组成上下结构的汉字的结果有4 种，分别为（土，土）“圭”，（口，口）“吕”，（木，口）“杏”或“呆”，（口，木）“呆”或“杏”，所以小敏获胜的概率 为。小慧获胜的概率为所以这个游戏对小慧有利
(2)①从抽出的 7 名同学中随机抽取 2 名同学的所有可能结果为 (A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(A,G),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(B,G),(C,D),(C,E),(C,F),(C,G),(D, E),(D,F),(D,G),(E,F),(E,G),(F,G),共 21 种. ②由(1)知,不妨设抽出的 7 名同学中,来自甲年级的是 A,B,C,来自乙年级的是 D,E,来自丙年 级的是 F,G,则从抽出的 7 名同学中随机抽取的 2 名同学来自同一年级的所有可能结果为 (A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(F,G),共 5 种. 所以事件 M 发生的概率 P(M)= 5 21. 挑战创新 汉字作为古老文字, 字形结构体现着人类追求均衡对称,和谐稳定的天性.如图,三个汉字可以 看成是轴对称图形. 小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计一个游戏,规则如下:将这三个汉字分别写在背面 都相同的三张卡片上,背面朝上,洗匀后抽出一张,放回洗匀后再抽出一张,若两次抽出的汉字 能构成上下结构的汉字(如“土”“土”构成“圭”),则小敏获胜,否则小慧获胜.你认为这个游戏对 谁有利?请说明理由. 解每次游戏时,所有可能出现的结果如下(列表): 第二次 第一次 土 口 木 土 (土,土) (土,口) (土,木) 口 (口,土) (口,口) (口,木) 木 (木,土) (木,口) (木,木) 共有 9 种可能结果,且每种结果出现的可能性相同.其中,能组成上下结构的汉字的结果有 4 种,分别为(土,土)“圭”,(口,口)“吕”,(木,口)“杏”或“呆”,(口,木)“呆”或“杏”,所以小敏获胜的概率 为 4 9 ,小慧获胜的概率为5 9 ,所以这个游戏对小慧有利