6.3.5平面向量数量积的坐标表示 课后·训练提升 基础巩固 1.已知平面向量a=(1,m),b=(2,5),c=(m,0),且(a+c)L(a-b),则m=(). A.3+V10 B.3-v10 C.3±V10 D.-3±√10 答案c 解析：'a=(1,m,b=(2,5),c=(m,0), .·a+c-(1+m,m),a-b=(-1,m-5) 又(a+c)L(a-b,:-l-m+m(m-5)=m2-6m-1-0,解得m=3士√10. 2.己知a=(-4,3),b=(5,6,则3引a2.4ab等于() A.23 B.57 C.63 D.83 答案p 解桐因为a2=(-4)2+32=25,ab=(-4)×5+3×6=-2,所以3引a2-4ab=3×25-4×(-2)=83 3.设向量a与b的夹角为0，a=(2,1),a+3b=(5,4),则sin0等于(). A晋 B时 C 3V10 10 D 答案A 图团度b=c以则+3b-2+3x1+3.又因为a+3b-64所以十3y二5解得代二士 1+3y=4, 即b-1,所以cos0瑞=品=语 10 所以sn0-io西-晋 4.已知向量a=(1,-1),b=(1,2),向量c满足(c+b)La,(c-a)∥b,则c等于() A.(2,1) B.(1,0) c() D.(0,-1) 答案A 解析设向量c-(x,),则c+b=(x+1,y+2),c-a=(x-1,y+1),因为(c+b)La,所以(c+b)a=x+1- 0+2)=x-1=0,① 因为(ca)∥b, 所以2(x-1)-y+1)=0,即2x-y-3=0.② 联立0®解得形=子所以c-2 5.己知角A,B,C是锐角三角形ABC的三个内角，向量p-(sinA,1),q=(1,-cosB),则p与q的夹 角是( A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定 含案A 解桐因为△ABC是锐角三角形，所以A+B>受 即AB
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 课后· 基础巩固 1.已知平面向量 a=(1,m),b=(2,5),c=(m,0),且(a+c)⊥(a-b),则 m=( ). A.3+√10 B.3-√10 C.3±√10 D.-3±√10 答案 C 解析∵a=(1,m),b=(2,5),c=(m,0), ∴a+c=(1+m,m),a-b=(-1,m-5). 又(a+c)⊥(a-b),∴-1-m+m(m-5)=m2 -6m-1=0,解得 m=3±√10. 2.已知 a=(-4,3),b=(5,6),则 3|a|2 -4a·b 等于( ). A.23 B.57 C.63 D.83 答案 D 解析因为|a| 2=(-4)2+3 2=25,a·b=(-4)×5+3×6=-2,所以 3|a| 2 -4a·b=3×25-4×(-2)=83. 3.设向量 a 与 b 的夹角为 θ,a=(2,1),a+3b=(5,4),则 sin θ 等于( ). A. √10 10 B. 1 3 C. 3√10 10 D. 4 5 答案 A 解析设 b=(x,y),则 a+3b=(2+3x,1+3y),又因为 a+3b=(5,4),所以{ 2 + 3𝑥 = 5, 1 + 3𝑦 = 4, 解得{ 𝑥 = 1, 𝑦 = 1, 即 b=(1,1),所以 cos θ= 𝑎·𝑏 |𝑎||𝑏| = 3 √10 = 3√10 10 , 所以 sin θ=√1-cos 2𝜃 = √10 10 . 4.已知向量 a=(1,-1),b=(1,2),向量 c 满足(c+b)⊥a,(c-a)∥b,则 c 等于( ). A.(2,1) B.(1,0) C.( 3 2 , 1 2 ) D.(0,-1) 答案 A 解析设向量 c=(x,y),则 c+b=(x+1,y+2),c-a=(x-1,y+1),因为(c+b)⊥a,所以(c+b)·a=x+1- (y+2)=x-y-1=0,① 因为(c-a)∥b, 所以 2(x-1)-(y+1)=0,即 2x-y-3=0.② 联立①②,解得{ 𝑥 = 2, 𝑦 = 1,所以 c=(2,1). 5.已知角 A,B,C 是锐角三角形 ABC 的三个内角,向量 p=(sin A,1),q=(1,-cos B),则 p 与 q 的夹 角是( ). A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定 答案 A 解析因为△ABC 是锐角三角形,所以 A+B>π 2 , 即 A>π 2 -B
又函数y-sinx在区间(0，)内单调递增，所以sinA>sin(侵-B-cosB,所以pq=sinA-cosB>0, 又由题意可知p与q不共线，所以p与q的夹角是锐角 6.己知向量a=(-1,x),b=(x+2,x),若a+b=a-bl,则x= 答率1或2 解析已知向量a=(-1,x),b=(x+2,x),因为a+bl=a-bl,两边平方得到ab=0,根据向量的坐标运算 公式得x2-x-2=0,解得x=-1或x=2. 7.已知a=(1,2),b=(-3,2),若ka+b与a-3b垂直，则实数k的值为 答案9 解析由已知得a+b=k1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4) 因为ka+b与a-3b垂直，所以(ka+b)(a-3b)=0 即(k-3)10+(2k+2)(-4)=0,得k=19. 8.如图，在2×4的方格纸中，若向量a,b的起点和终点均在格点上，则向量a+b,a-b的夹角的余 弦值是 图多悟 解标不妨设每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，如图所示，则a=(2,-1),b=(3,2)所 以a+b=(5,1),a-b=(-1,-3),所以(a+b)(a-b)=-5-3=-8,la+b=√26，la-b=v10,所以向量a+b,a-b 的夹角余弦值为726xm65 -84v65 9.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R) (1)若a⊥b,求x的值： (2)若a∥b,求a-b 解)a⊥b, .ab=0,即2xr+3+x(-x)=0, 解得x=-1或x=3. (2)'a∥b, -x-x(2x+3)=0,解得x=0或x=-2 当x=0时，a=(1,0),b=(3,0), .a-b=(-2,0)2la-bl=2; 当x=-2时，a=(1,-2),b=(-1,2) a-b=(2,-4),a-bl=2v5. 综上所述，la-b=2或2V5. 10.在△ABC中，AB=(2,3),AC=(1,),若△ABC是直角三角形，求k的值 解：A正-(2,3)，4C-(1,. :BC=AC-AB=(-1,k-3), 若∠A=90°，则AB·AC-=2×1+3k=0, 解得k号
又函数 y=sin x 在区间(0, π 2 )内单调递增,所以 sin A>sin( π 2 -𝐵)=cos B,所以 p·q=sin A-cos B>0, 又由题意可知 p 与 q 不共线,所以 p 与 q 的夹角是锐角. 6.已知向量 a=(-1,x),b=(x+2,x),若|a+b|=|a-b|,则 x= . 答案-1 或 2 解析已知向量 a=(-1,x),b=(x+2,x),因为|a+b|=|a-b|,两边平方得到 a·b=0,根据向量的坐标运算 公式得 x 2 -x-2=0,解得 x=-1 或 x=2. 7.已知 a=(1,2),b=(-3,2),若 ka+b 与 a-3b 垂直,则实数 k 的值为 . 答案 19 解析由已知得 ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4). 因为 ka+b 与 a-3b 垂直,所以(ka+b)·(a-3b)=0, 即(k-3)·10+(2k+2)·(-4)=0,得 k=19. 8.如图,在 2×4 的方格纸中,若向量 a,b 的起点和终点均在格点上,则向量 a+b,a-b 的夹角的余 弦值是 . 答案- 4√65 65 解析不妨设每个小正方形的边长为 1,建立平面直角坐标系,如图所示,则 a=(2,-1),b=(3,2),所 以 a+b=(5,1),a-b=(-1,-3),所以(a+b)·(a-b)=-5-3=-8,|a+b|=√26,|a-b|=√10,所以向量 a+b,a-b 的夹角余弦值为 -8 √26×√10=- 4√65 65 . 9.已知平面向量 a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R). (1)若 a⊥b,求 x 的值; (2)若 a∥b,求|a-b|. 解(1)∵a⊥b, ∴a·b=0,即 2x+3+x(-x)=0, 解得 x=-1 或 x=3. (2)∵a∥b, ∴-x-x(2x+3)=0,解得 x=0 或 x=-2. 当 x=0 时,a=(1,0),b=(3,0), ∴a-b=(-2,0),∴|a-b|=2; 当 x=-2 时,a=(1,-2),b=(-1,2), ∴a-b=(2,-4),∴|a-b|=2√5. 综上所述,|a-b|=2 或 2√5. 10.在△ABC 中,𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(2,3),𝐴𝐶⃗⃗ =(1,k),若△ABC 是直角三角形,求 k 的值. 解∵𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(2,3),𝐴𝐶⃗⃗ =(1,k), ∴𝐵𝐶⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(-1,k-3). 若∠A=90°,则𝐴𝐵⃗⃗⃗ · 𝐴𝐶⃗⃗ =2×1+3k=0, 解得 k=- 2 3 ;
若∠B=90°，则A丽.B屁-21)+3k-3)-0,解得k号 若∠C=90°，则AC.配=1×-1)+k-3)=0,解得k3±国 2 综上人的值为号我号或 2 拓展提高 L.己知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP.AE的取值范围是()， A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6) 答案A 解桐如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AE所在的直线为y轴建立平面直角坐标 系，易知A(0,0),B2,0),F-1,3),C(3,3) P(x.y) 设P(xy),则AP=(x,y),AB=(2,0),:AF.AB-2x :-1<x<3,:AF.AE的取值范围为(-2,6)】 2.己知a=(1,1),b=(0,-2),且ka-b与a+b的夹角为120°，则实数k=() A.-1+V3 B.-2 C.-1±3 D.1 答案c 解：1ka-b1=k2+(k+2)2,a+bl=12+(1)2=V2,(ka-b)-(a+b)=(kk+2)-(1,-1)=kk-2= 2,ka-b与a+b的夹角为120°， :cos120°-ka-b)(a+b) ka-blla+bl 即1、 -2 x2+k+2 化简并整理，得k2+2k-2=0,解得k=-1士V3. 3.己知O为坐标原点，0A=(-2,1),0死=(0,2)，且ACI0丽，BC⊥AE,则点C的坐标是() A.(2,6) B.(-2,-6) C.(2,-6) D.(-2,6) 客案D 解析设C(xy),则AC=(x+2y1), BC=(x-2),AB-(2,1). :ACI0B,:2(x+2)=0. ① :BC⊥AB,:2x+2=0. ② 由09得6=6.：q261 4.角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，点P在a的终边上，点Q(-3, 4),且tana=-2,则0丽与00夹角的余弦值为(). A号 B 11v5 25
若∠B=90°,则𝐴𝐵⃗⃗⃗ · 𝐵𝐶⃗⃗⃗ =2×(-1)+3(k-3)=0,解得 k=11 3 ; 若∠C=90°,则𝐴𝐶⃗⃗ · 𝐵𝐶⃗⃗⃗ =1×(-1)+k(k-3)=0,解得 k=3±√13 2 . 综上,k 的值为- 2 3 或 11 3 或 3±√13 2 . 拓展提高 1.已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点,则𝐴𝑃⃗⃗⃗ · 𝐴𝐵⃗⃗⃗ 的取值范围是( ). A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6) 答案 A 解析如图,以 A 为坐标原点,AB 所在的直线为 x 轴,AE 所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标 系,易知 A(0,0),B(2,0),F(-1,√3),C(3,√3). 设 P(x,y),则𝐴𝑃⃗⃗⃗ =(x,y),𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(2,0),∴𝐴𝑃⃗⃗⃗ · 𝐴𝐵⃗⃗⃗ =2x. ∵-1<x<3,∴𝐴𝑃⃗⃗⃗ · 𝐴𝐵⃗⃗⃗ 的取值范围为(-2,6). 2.已知 a=(1,1),b=(0,-2),且 ka-b 与 a+b 的夹角为 120°,则实数 k=( ). A.-1+√3 B.-2 C.-1±√3 D.1 答案 C 解析∵|ka-b|=√𝑘 2 + (𝑘 + 2) 2 ,|a+b|=√1 2 + (-1) 2 = √2,(ka-b)·(a+b)=(k,k+2)·(1,-1)=k-k-2=- 2,ka-b 与 a+b 的夹角为 120°, ∴cos 120°= (𝑘𝑎-𝑏)·(𝑎+𝑏) |𝑘𝑎-𝑏||𝑎+𝑏| , 即- 1 2 = -2 √2×√𝑘 2+(𝑘+2) 2 , 化简并整理,得 k 2+2k-2=0,解得 k=-1±√3. 3.已知 O 为坐标原点,𝑂𝐴⃗⃗⃗ =(-2,1),𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =(0,2),且𝐴𝐶⃗⃗ ∥ 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ ,𝐵𝐶⃗⃗⃗ ⊥ 𝐴𝐵⃗⃗⃗ ,则点 C 的坐标是( ). A.(2,6) B.(-2,-6) C.(2,-6) D.(-2,6) 答案 D 解析设 C(x,y),则𝐴𝐶⃗⃗ =(x+2,y-1), 𝐵𝐶⃗⃗⃗ =(x,y-2),𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(2,1). ∵𝐴𝐶⃗⃗ ∥ 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ ,∴2(x+2)=0. ① ∵𝐵𝐶⃗⃗⃗ ⊥ 𝐴𝐵⃗⃗⃗ ,∴2x+y-2=0. ② 由①②可得{ 𝑥 = -2, 𝑦 = 6, ∴C(-2,6). 4.角 α 的顶点与坐标原点 O 重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,点 P 在 α 的终边上,点 Q(-3,- 4),且 tan α=-2,则𝑂𝑃⃗⃗⃗ 与𝑂𝑄⃗ ⃗ 夹角的余弦值为( ). A.- √5 5 B. 11√5 25
c或9 D或 25 5 答案 解析：tana=-2, .:可设P(x,-2x),cos p.00 5x 0mò=5V5 当o0时，cwse0而，0号 当0时，cos= 5 5.已知平面向量a=-(x1n),b=(x22),若a=2,bl=3,ab=-6,则向量a与b的夹角 为 +出的值为。 x2+y2 图案180°号 解相设a,b的夹角为0， 则ab=a|blcos0=6cos0=-6,故cos0=-1, 又0°≤0≤180°，：0=180°， 即a,b共线且反向，：a=b, 6.已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠ADC=90°，AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点，则 PA+3P的最小值为 答案5 解析如图，以D为原点，线段DA,DC所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设 DC=a,DP=x,则A(2,0),B(1,a),C(0,a),D0,0),P0x)(0≤x≤a),则PA+3PB=(2,-x)+31,-x)=(5,3a 4x), D 所以PA+3PB=25+(3a-4x)2≥5， 7设平面向量a-(cos .sin a(a∈02).b-号号.且a与b不共线 (1)求证：向量a+b与a-b垂直： (2)若两个向量V3a+b与a-V√3b的模相等，求角a (证明由题意，知a+b-(cosasin a+. a-b-(cos at.sin a 因为(a+b)-(a-b)=cos2ar好+sin2a是0
C. √5 5 或- √5 5 D. 11√5 25 或 11√5 5 答案 C 解析∵tan α=-2, ∴可设 P(x,-2x),cos=𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ · ⃗𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ |𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ ||⃗𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ | = 5𝑥 5√5|𝑥| . 当 x>0 时,cos= √5 5 ; 当 x=- √5 5 . 5.已知平面向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a|=2,|b|=3,a·b=-6,则向量 a 与 b 的夹角 为 , 𝑥1+𝑦 1 𝑥2+𝑦 2 的值为 . 答案 180° - 2 3 解析设 a,b 的夹角为 θ, 则 a·b=|a||b|cos θ=6cos θ=-6,故 cos θ=-1, 又 0°≤θ≤180°,∴θ=180°, 即 a,b 共线且反向,∴a=- 2 3 b, ∴x1=- 2 3 x2,y1=- 2 3 y2,∴ 𝑥1+𝑦 1 𝑥2+𝑦 2 =- 2 3 . 6.已知在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动点,则 |𝑃𝐴⃗⃗⃗ +3𝑃𝐵⃗⃗⃗ |的最小值为 . 答案 5 解析如图,以 D 为原点,线段 DA,DC 所在的直线分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,设 DC=a,DP=x,则 A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0),P(0,x)(0≤x≤a),则𝑃𝐴⃗⃗⃗ +3𝑃𝐵⃗⃗⃗ =(2,-x)+3(1,a-x)=(5,3a- 4x), 所以|𝑃𝐴⃗⃗⃗ +3𝑃𝐵⃗⃗⃗ |=√25 + (3𝑎-4𝑥) 2≥5. 7.设平面向量 a=(cos α,sin α)(α∈[0,2π)),b=(- 1 2 , √3 2 ),且 a 与 b 不共线. (1)求证:向量 a+b 与 a-b 垂直; (2)若两个向量√3a+b 与 a-√3b 的模相等,求角 α. (1)证明由题意知,a+b=(cos α- 1 2 ,sin α+ √3 2 ), a-b=(cos α+ 1 2 ,sin α- √3 2 ). 因为(a+b)·(a-b)=cos2α- 1 4 +sin2α- 3 4 =0
所以向量a+b与a-b垂直 (2解a=l,bl=l,由题意知，(3a+b2-(a-V3b,化简得ab=0, 即nsa+na-0, 整理可得na得 又国为a∈0,2m,所以a若载a召 挑战创新 己知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4). (1)求证：AB⊥AD: (2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD的两对角线所成的锐角的余弦 值 (1证明：A(2,1),B(3,2),D-1,4), :AE-(1,1),AD=(-3,3). 又AE.AD-1×(-3)+1×3-0 :AB⊥AD,即AB⊥AD. (2解：四边形ABCD为矩形，：A正=DC. 设C点坐标为(xy),:A(2,1),B(3,2),D(-1,4), :AE=(1,1),DC=(x+1y4) 641得形9点C的金标为05 :AC-(-2,4),Bd=(-4,2) :AC.BD=8+8=16,AC1=25,BD1=25. 设AC与BD的夹角为0， 则s0需-治-手 :矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为
所以向量 a+b 与 a-b 垂直. (2)解|a|=1,|b|=1,由题意知,(√3a+b) 2=(a-√3b) 2 ,化简得 a·b=0, 即- 1 2 cos α+ √3 2 sin α=0, 整理可得 tan α= √3 3 . 又因为 α∈[0,2π),所以 α= π 6或 α= 7π 6 . 挑战创新 已知三个点 A(2,1),B(3,2),D(-1,4). (1)求证:AB⊥AD; (2)要使四边形 ABCD 为矩形,求点 C 的坐标以及矩形 ABCD 的两对角线所成的锐角的余弦 值. (1)证明∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4), ∴𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(1,1),𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ =(-3,3). 又𝐴𝐵⃗⃗⃗ · 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ =1×(-3)+1×3=0, ∴𝐴𝐵⃗⃗⃗ ⊥ 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ ,即 AB⊥AD. (2)解∵四边形 ABCD 为矩形,∴𝐴𝐵⃗⃗⃗ = 𝐷𝐶⃗⃗⃗ . 设 C 点坐标为(x,y),∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4), ∴𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(1,1),𝐷𝐶⃗⃗⃗ =(x+1,y-4), ∴{ 𝑥 + 1 = 1, 𝑦-4 = 1, 解得{ 𝑥 = 0, 𝑦 = 5, ∴点 C 的坐标为(0,5). ∵𝐴𝐶⃗⃗ =(-2,4),𝐵𝐷⃗ ⃗ =(-4,2), ∴𝐴𝐶⃗⃗ · 𝐵𝐷⃗ ⃗ =8+8=16,|𝐴𝐶⃗⃗ |=2√5,|𝐵𝐷⃗ ⃗ |=2√5. 设𝐴𝐶⃗⃗ 与𝐵𝐷⃗ ⃗ 的夹角为 θ, 则 cos θ= 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ · ⃗𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ||⃗𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ | = 16 20 = 4 5 , ∴矩形 ABCD 的两条对角线所成的锐角的余弦值为4 5