第2课时了 正弦定理 课后·训练提升 基础巩固 1.在△4BC中，已知a=4,A=45°，B=60°，则边b的值为() A.3+1 B.2V3+1 C.26 D.2+2V3 窨案 解桐由已知及正弦定理，得4。 b fsin45°=sin60°， .:b=4sin60。 sin45 -2v6 2.在△4BC中，已知A=60°，a=4V3,b=4V2,则B等于() A.45°或135° B.135 C.45° D.以上答案都不对 窨案 解韧：'sin Bs=42x兰」 a 43= 2 .:B=45°或135 又a>b,A>B,:B=45° 3在△ABC中，已知A:B:C=41:1,则a:b:c等于(). A.411 B.211 C.2:1:1 D.3:1:1 答案D 解析A+B+C=180°，A:B,C=4:1:1, :A=120°，B=30°，C=30° 由正弦定理的变形公式得a:h:c=sin4:sinB:sinC=sin120°：sin30°：sin30°二罗： :1:1 4.在△ABC中，已知a=bsin A,则△ABC一定是(). A.锐角三角形 B.直角三角形 C钝角三角形 D.等腰三角形 答案B 醒扬：a=sin4.号in4nB=l, 又B∈(0，，：B-2即△ABC为直角三角形. 5.在△4BC中，已知B=60°，最大边与最小边的比为中，则三角形的最大角为( 2 A.60° B.75° C.90° D.115 答案B
第 2 课时 正弦定理 课后· 基础巩固 1.在△ABC 中,已知 a=4,A=45°,B=60°,则边 b 的值为( ). A.√3+1 B.2√3+1 C.2√6 D.2+2√3 答案 C 解析由已知及正弦定理,得 4 sin45° = 𝑏 sin60° , ∴b=4sin60° sin45° = 4× √3 2 √2 2 =2√6. 2.在△ABC 中,已知 A=60°,a=4√3,b=4√2,则 B 等于( ). A.45°或 135° B.135° C.45° D.以上答案都不对 答案 C 解析∵sin B=𝑏sin𝐴 𝑎 = 4√2× √3 2 4√3 = √2 2 , ∴B=45°或 135°. 又 a>b,∴A>B,∴B=45°. 3.在△ABC 中,已知 A∶B∶C=4∶1∶1,则 a∶b∶c 等于( ). A.4∶1∶1 B.2∶1∶1 C.√2∶1∶1 D.√3∶1∶1 答案 D 解析∵A+B+C=180°,A∶B∶C=4∶1∶1, ∴A=120°,B=30°,C=30°. 由正弦定理的变形公式得 a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=sin 120°∶sin 30°∶sin 30°= √3 2 ∶ 1 2 ∶ 1 2 = √3∶1∶1. 4.在△ABC 中,已知 a=bsin A,则△ABC 一定是( ). A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 答案 B 解析∵a=bsin A,∴ 𝑎 𝑏 =sin A=sin𝐴 sin𝐵 ,∴sin B=1, 又 B∈(0,π),∴B=π 2 ,即△ABC 为直角三角形. 5.在△ABC 中,已知 B=60°,最大边与最小边的比为√3+1 2 ,则三角形的最大角为( ). A.60° B.75° C.90° D.115° 答案 B
图不坊设a为最大边c为最小边，由题意有导=器=型即而=坠 sinc 2 整理得(3-V3)sinA=(3+V3)cosA. :tanA-2+V3,又0°<A<120°，A-75 6.在△ABC中，己知B=45°，C=60°，c=1,则最短边的边长等于 鉴累 解相由三角形内角和定理，知A=75°；由边角关系，知B所对的边b为最小边：由正弦定理 sinc 7.设△4BC的内角AB,C的对边分别为ab,c若a-V3,snBC-云则b= 答案 爵韧在△MBC中，sinB-2B∈(0，B若支B 6 又B+C<红C若：B号 61 品=品b--1 b sinA 8.在△ABC中，已知AB=V6,∠A=75°，∠B-45°，则AC= 含案♪ AC 解析由正弦定理可知s18075十45Fn45即G AB sin60 =S解得4C-2 9在△1BC中，已知A号a=V3c,则2= 答案1 解杨在△ABC中，A牙，a=V3C 由正弦定理，得品=品 益解得snC 即3c 由于c<a,且C∈(0，π)， 故C云则B=m号-君=君 故△ABC是等腰三角形，B=C,则b=C,即=1 10.在△4BC中，若C=2B,则的取值范围为 含案1,2) 解析因为A+B+C=π，C-2B
解析不妨设 a 为最大边,c 为最小边,由题意有𝑎 𝑐 = sin𝐴 sin𝐶 = √3+1 2 ,即 sin𝐴 sin(120°-𝐴) = √3+1 2 . 整理得(3-√3)sin A=(3+√3)cos A. ∴tan A=2+√3,又 0°<A<120°,∴A=75°. 6.在△ABC 中,已知 B=45°,C=60°,c=1,则最短边的边长等于 . 答案√6 3 解析由三角形内角和定理,知 A=75°;由边角关系,知 B 所对的边 b 为最小边;由正弦定理 𝑏 sin𝐵 = 𝑐 sin𝐶 ,得 b=𝑐sin𝐵 sin𝐶 = 1× √2 2 √3 2 = √6 3 . 7.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 a=√3,sin B=1 2 ,C=π 6 ,则 b= . 答案 1 解析在△ABC 中,∵sin B=1 2 ,B∈(0,π),∴B=π 6或 B=5π 6 . 又 B+C<π,C=π 6 ,∴B=π 6 , ∴A=π- π 6 − π 6 = 2π 3 . ∵ 𝑎 sin𝐴 = 𝑏 sin𝐵 ,∴b=𝑎sin𝐵 sin𝐴 =1. 8.在△ABC 中,已知 AB=√6,∠A=75°,∠B=45°,则 AC= . 答案 2 解析由正弦定理可知 𝐴𝐵 sin[180°-(75°+45°)] = 𝐴𝐶 sin45° ,即 √6 sin60° = 𝐴𝐶 sin45° ,解得 AC=2. 9.在△ABC 中,已知 A=2π 3 ,a=√3c,则 𝑏 𝑐 = . 答案 1 解析在△ABC 中,A=2π 3 ,a=√3c, 由正弦定理,得 𝑎 sin𝐴 = 𝑐 sin𝐶 , 即 √3𝑐 sin 2π 3 = 𝑐 sin𝐶 ,解得 sin C=1 2 , 由于 c<a,且 C∈(0,π), 故 C=π 6 ,则 B=π- 2π 3 − π 6 = π 6 . 故△ABC 是等腰三角形,B=C,则 b=c,即 𝑏 𝑐 =1. 10.在△ABC 中,若 C=2B,则 𝑐 𝑏的取值范围为 . 答案(1,2) 解析因为 A+B+C=π,C=2B
所以A=元-3B>0,所以00， a=ksin A,b=ksin B.c=ksin C. 代入已知条件，得总=器=恶 即tanA=tanB=tanC 又A,B,C∈(0，π)， ,:A=B=C,:△ABC为等边三角形 12.在△4BC中，已知A=60°，sinB-之a=3,解这个三角形 圖由正弦定理得品=品 即b-asin=3x3 sin4 sin60=V3. 由于A=60°，则BB,则下列不等式中一定正确的是(). A.sin A>sin B B.cos Asin 2B D.cos 24B台a>b白sinA>sinB,故A中不等式一定正确. 由于在区间(0，π)内，函数y=c0sx单调递减， cosAsin B>0,..sin24>sin2B, ,:cos2A<cos2B,故D中不等式一定正确. 2.在△ABC中，a=4,b三5c0s(B+C)+3=0,则角B的大小为() A号 B明 c号 D
所以 A=π-3B>0,所以 00), 则 a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C. 代入已知条件,得 sin𝐴 cos𝐴 = sin𝐵 cos𝐵 = sin𝐶 cos𝐶 , 即 tan A=tan B=tan C. 又 A,B,C∈(0,π), ∴A=B=C,∴△ABC 为等边三角形. 12.在△ABC 中,已知 A=60°,sin B=1 2 ,a=3,解这个三角形. 解由正弦定理得 𝑎 sin𝐴 = 𝑏 sin𝐵 , 即 b=𝑎sin𝐵 sin𝐴 = 3× 1 2 sin60° = √3. 由于 A=60°,则 BB,则下列不等式中一定正确的是( ). A.sin A>sin B B.cos Asin 2B D.cos 2AB⇔a>b⇔sin A>sin B,故 A 中不等式一定正确. 由于在区间(0,π)内,函数 y=cos x 单调递减, ∴cos Asin B>0,∴sin2A>sin2B, ∴cos 2A<cos 2B,故 D 中不等式一定正确. 2.在△ABC 中,a=4,b=5 2 ,5cos(B+C)+3=0,则角 B 的大小为( ). A. π 6 B. π 4 C. π 3 D. 5π 6
答案A 解杨由50s(B+C+3-0,得c0sA号 Ae(o,》)sinA 。即 由正孩定理得品=品 sinB .sinB 又a>b,A>B,且A∈(0，) B必为锐角，：B君 3在单位圆上有三点A,B,C设△ABC三边长分别为ab,c则品++品 b 2c 客案7 解析：△ABC的外接圆直径为2R=2(R为△MBC外接圆的半径)， 品=品=2R-2 品+品+器2+1+4=7 4.锐角三角形的内角分别是A,B,C,并且A>B.则sinA+sinB和cosA+cosB的大小关系 为 答案inA+sinB>cosA+cosB 解粉在锐角三角形中，：A+B受A受B, 函数y-sinx在区间[0，月上单调递增，则有sinA>sin(传-B),即sinA>cosB, 同理sinB>cosA,故sinA+sinB>cosA+cosB. 5△ABC的内角AB,C的对边分别为ab,c若c0 s4-cosC--言a=1,则b= 昏号 解韧在△MBC中，由osA-学cosC-是可得sinA号s sinC-12」 sin B-sin(4+C)-sin Acos C+cos 4sinC怨又a=l,由正孩定理得b-号 6在△4BC中，若a6c分别为内角4BC所对的边.则篇器-器二的值为 答案b 解析由正弦定理知， b sinA=sinB=sinc 代入0-中
答案 A 解析由 5cos(B+C)+3=0,得 cos A=3 5 , ∴A∈(0, π 2 ),∴sin A=4 5 . 由正弦定理得 𝑎 sin𝐴 = 𝑏 sin𝐵 ,即 4 4 5 = 5 2 sin𝐵 , ∴sin B=1 2 . 又 a>b,∴A>B,且 A∈(0, π 2 ), ∴B 必为锐角,∴B=π 6 . 3.在单位圆上有三点 A,B,C,设△ABC 三边长分别为 a,b,c,则 𝑎 sin𝐴 + 𝑏 2sin𝐵 + 2𝑐 sin𝐶 = . 答案 7 解析∵△ABC 的外接圆直径为 2R=2(R 为△ABC 外接圆的半径), ∴ 𝑎 sin𝐴 = 𝑏 sin𝐵 = 𝑐 sin𝐶 =2R=2, ∴ 𝑎 sin𝐴 + 𝑏 2sin𝐵 + 2𝑐 sin𝐶 =2+1+4=7. 4.锐角三角形的内角分别是 A,B,C,并且 A>B.则 sin A+sin B 和 cos A+cos B 的大小关系 为 . 答案 sin A+sin B>cos A+cos B 解析在锐角三角形中,∵A+B>π 2 ,∴A>π 2 -B, 函数 y=sin x 在区间[0, π 2 ]上单调递增,则有 sin A>sin( π 2 -𝐵),即 sin A>cos B, 同理 sin B>cos A,故 sin A+sin B>cos A+cos B. 5.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A=4 5 ,cos C= 5 13,a=1,则 b= . 答案21 13 解析在△ABC 中,由 cos A=4 5 ,cos C= 5 13,可得 sin A=3 5 ,sin C=12 13,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=63 65,又 a=1,由正弦定理得 b=𝑎sin𝐵 sin𝐴 = 21 13. 6.在△ABC 中,若 a,b,c 分别为内角 A,B,C 所对的边,则 𝑏cos𝐶-𝑎 𝑏cos𝐴-𝑐 − sin𝐶 sin𝐴的值为 . 答案 0 解析由正弦定理知, 𝑎 sin𝐴 = 𝑏 sin𝐵 = 𝑐 sin𝐶 , 代入𝑏cos𝐶-𝑎 𝑏cos𝐴-𝑐 − sin𝐶 sin𝐴中
得-二a6器--=盖-0 sinBcosA-sinC sinA sinBcosA-sinAcosB-cosAsinB sinA sinAcosB 7.在△ABC中，A-30°，C=45°，c=VZ,则a= .b= 答案 +v互 2 解标因为A=30°，C-45°，c-√2， 所以由正弦定理，得acsi V2sin30° sinc sin45°1. 又B=180°(30°+45°)=105°bcs=2n105-2s9in sinc sin45° 105°-2sin(45°+60°)v642 2 8.已知方程x2-bcos Ax+-acos B=0的两根之积等于两根之和，且a,b为△ABC的两边，A,B为a,b 的对角，试判断△ABC的形状 解设方程的两根为1,2，由根与系数的关系得x1+2=bcosA,.x1=acos B,.由题意得bc0s A=acos B. 由正弦定理得sin Bcos A=sin Acos B, 故sin Acos B-cos Asin B=O,即sin(A-B)=O 在△ABC中，0<A<π，0<B<π，-π<A-B<π :A-B=0,即A=B,:△ABC为等腰三角形 挑战创新 在△4BC中，己知a=3,b=2V6,B=2A.求 (1)cosA的值； (2)c的值. 解1)因为a=3,b=2V6,B=2A,所以在△ABC中，由正弦定理得 sin= ,即3 sinB' sinA 26所以 sin2A 24-9故cos4- sinA ②)10知cos4-号 所以sinA-√1-cos2万= 3 又国为B=2A,所以c0sB=2c0s32A-1号 所以s如8-1-os西=9 在△4BC中，sinC=sin4+B)=sin Acos B+cos4sinB-55 所以asinC=5. sinA
得 sin𝐵cos𝐶-sin𝐴 sin𝐵cos𝐴-sin𝐶 − sin𝐶 sin𝐴 = sin𝐵cos𝐶-sin𝐵cos𝐶-cos𝐵sin𝐶 sin𝐵cos𝐴-sin𝐴cos𝐵-cos𝐴sin𝐵 − sin𝐶 sin𝐴 = cos𝐵sin𝐶 sin𝐴cos𝐵 − sin𝐶 sin𝐴 = sin𝐶 sin𝐴 − sin𝐶 sin𝐴 =0. 7.在△ABC 中,A=30°,C=45°,c=√2,则 a= ,b= . 答案 1 √6+√2 2 解析因为 A=30°,C=45°,c=√2, 所以由正弦定理,得 a= 𝑐sin𝐴 sin𝐶 = √2sin30° sin45° =1. 又 B=180°-(30°+45°)=105°,∴b=𝑐sin𝐵 sin𝐶 = √2sin105° sin45° =2sin 105°=2sin(45°+60°)= √6+√2 2 . 8.已知方程 x 2 -bcos Ax+acos B=0 的两根之积等于两根之和,且 a,b 为△ABC 的两边,A,B 为 a,b 的对角,试判断△ABC 的形状. 解设方程的两根为 x1,x2,由根与系数的关系得 x1+x2=bcos A,x1x2=acos B,由题意得 bcos A=acos B. 由正弦定理得 sin Bcos A=sin Acos B, 故 sin Acos B-cos Asin B=0,即 sin(A-B)=0. 在△ABC 中,0<A<π,0<B<π,-π<A-B<π, ∴A-B=0,即 A=B,∴△ABC 为等腰三角形. 挑战创新 在△ABC 中,已知 a=3,b=2√6,B=2A.求: (1)cos A 的值; (2)c 的值. 解(1)因为 a=3,b=2√6,B=2A,所以在△ABC 中,由正弦定理得 𝑎 sin𝐴 = 𝑏 sin𝐵 ,即 3 sin𝐴 = 2√6 sin2𝐴 ,所以 2sin𝐴cos𝐴 sin𝐴 = 2√6 3 .故 cos A=√6 3 . (2)由(1)知 cos A=√6 3 , 所以 sin A=√1-cos 2𝐴 = √3 3 . 又因为 B=2A,所以 cos B=2cos2A-1= 1 3 . 所以 sin B=√1-cos 2𝐵 = 2√2 3 . 在△ABC 中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=5√3 9 . 所以 c= 𝑎sin𝐶 sin𝐴 =5