第六章过关检测 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的， 1.若0A=(-1,2),0元-(1，-1)，则AB-( A.(-2,3) B.(0,1) C.(-1,2) D.(2,-3) 答案D 解析因为0A=(-1,2),0元=(1，-1)， 所以AB=0元-0A=(2,-3). 2.在△ABC中，已知AB=5,BC=6,AC=8,则△ABC的形状是() A锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 答案B 解析：最大边AC所对的角为B, 又cosB 52+62.82 =4号=号 5.已知向量a,b满足ab=0,a=1,b=2,则2a+b=() A.2V2 B.4 C.6 D.8 答案A 解析：向量a,b满足ab=0,la=1,b=2, :2a+b2=(2a+b)2=4|a2+|b2+4a-b=4+4+0=8.则12a+b=2y2 6.若M为△ABC所在平面内一点，且满足(ME-MC(ME+MC-2MA=O,则△ABC的形状为( A等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 答案A 解析设BC的中点为D,则ME+MC-2MA=2M而-2MA=2AD :满足(M丽-MC)(ME+MC-2MA-0, .:CB·2AD=0,:CB1AD ,·△ABC是等腰三角形」
第六章过关检测 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.若𝑂𝐴⃗⃗⃗ =(-1,2),𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =(1,-1),则𝐴𝐵⃗⃗⃗ =( ). A.(-2,3) B.(0,1) C.(-1,2) D.(2,-3) 答案 D 解析因为𝑂𝐴⃗⃗⃗ =(-1,2),𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =(1,-1), 所以𝐴𝐵⃗⃗⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐴⃗⃗⃗ =(2,-3). 2.在△ABC 中,已知 AB=5,BC=6,AC=8,则△ABC 的形状是( ). A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 答案 B 解析∵最大边 AC 所对的角为 B, 又 cos B=5 2+6 2 -8 2 2×5×6 =4× 2 3 = 8 3 . 5.已知向量 a,b 满足 a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a+b|=( ). A.2√2 B.4 C.6 D.8 答案 A 解析∵向量 a,b 满足 a·b=0,|a|=1,|b|=2, ∴|2a+b|2=(2a+b) 2=4|a| 2+|b| 2+4a·b=4+4+0=8.则|2a+b|=2√2. 6.若 M 为△ABC 所在平面内一点,且满足(𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗ − 𝑀𝐶 ⃗⃗⃗ )·(𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶 ⃗⃗⃗ -2𝑀𝐴 ⃗⃗⃗⃗ )=0,则△ABC 的形状为( ). A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 答案 A 解析设 BC 的中点为 D,则𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶 ⃗⃗⃗ -2𝑀𝐴 ⃗⃗⃗⃗ =2𝑀𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ -2𝑀𝐴 ⃗⃗⃗⃗ =2𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ . ∵满足(𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗ − 𝑀𝐶 ⃗⃗⃗ )·(𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶 ⃗⃗⃗ -2𝑀𝐴 ⃗⃗⃗⃗ )=0, ∴𝐶𝐵⃗⃗⃗ ·2𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ =0,∴𝐶𝐵⃗⃗⃗ ⊥ 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ . ∴△ABC 是等腰三角形
7.已知在△1BC中，内角A,BC所对的边分别为a,bc,且2-R-ab,C号则的值为 A号 B.1 C.2 D.3 答案 解由余孩定理得2-=，2 abeosC--ab=ab,所以a=26,所以由正弦定理得器=号2 8.在平面直角坐标系中，O为原点，A(-1,0),B(0,3),C(3,0),动点D满足CD1=1,则10A+0元+0D1的最大值为 (） AV7+1 B.7-1 C.3 D.4 答案A 解析设Dxy),由CD-(x-3,)及CD=1,知(x-3)2+2-1,即动点D的轨迹是以，点C为圆心的单位圆 :OA+0元+0而=(-l,0)+(0,3)+x,y)=(x-1,y+3) :0丽+丽+0而1=x-12+0+V32 问题转化为圆(x-3)+y2=1上的点与点P(1,-V3)之间距离的最大值 :“圆心C3,0)与点P(1,-V3)之间的距离为，(3-1)2+(0+3)2=V7 x-1)2+y+V3)2的最大值为V7+1 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分 9.在菱形ABCD中，下列等式中成立的是( A.AC-AB=BC B.AD-BD=AB C.BD-AC BC D.BD-CD =BC 答案ABD 解析如图，根据向量减法的三角形法则知选项A,B,D中等式均正确， C中，BD-AC=AD-AB-(AE+AD)=2AB≠B配，故选ABD 10.四边形ABCD,四边形CEFG,四边形CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M,则下列关系一定成立的 是() A.ABI-EFI B.AB与F共线 C.B而与E共线 D.D元与EC共线 答案ABD
7.已知在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 c 2 -b 2=ab,C=π 3 ,则 sin𝐴 sin𝐵的值为( ). A. 1 2 B.1 C.2 D.3 答案 C 解析由余弦定理得 c 2 -b 2=a2 -2abcos C=a2 -ab=ab,所以 a=2b,所以由正弦定理得sin𝐴 sin𝐵 = 𝑎 𝑏 =2. 8.在平面直角坐标系中,O 为原点,A(-1,0),B(0,√3),C(3,0),动点 D 满足|𝐶𝐷⃗⃗⃗ |=1,则|𝑂𝐴⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐷⃗⃗ |的最大值为 ( ). A.√7+1 B.√7-1 C.3 D.4 答案 A 解析设 D(x,y),由𝐶𝐷⃗⃗⃗ =(x-3,y)及|𝐶𝐷⃗⃗⃗ |=1,知(x-3)2+y2=1,即动点 D 的轨迹是以点 C 为圆心的单位圆. ∵𝑂𝐴⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐷⃗⃗ =(-1,0)+(0,√3)+(x,y)=(x-1,y+√3), ∴|𝑂𝐴⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐷⃗⃗ |=√(𝑥-1) 2 + (𝑦 + √3) 2 . 问题转化为圆(x-3)2+y2=1 上的点与点 P(1,-√3)之间距离的最大值. ∵圆心 C(3,0)与点 P(1,-√3)之间的距离为√(3-1) 2 + (0 + √3) 2 = √7, ∴√(𝑥-1) 2 + (𝑦 + √3) 2的最大值为√7+1. 二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全 部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 2 分. 9.在菱形 ABCD 中,下列等式中成立的是( ). A.𝐴𝐶⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗ B.𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ − 𝐵𝐷⃗ ⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗ C.𝐵𝐷⃗ ⃗ − 𝐴𝐶⃗⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗ D.𝐵𝐷⃗ ⃗ − 𝐶𝐷⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗ 答案 ABD 解析如图,根据向量减法的三角形法则知选项 A,B,D 中等式均正确, C 中,𝐵𝐷⃗ ⃗ − 𝐴𝐶⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗ -(𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ )=-2𝐴𝐵⃗⃗⃗ ≠ 𝐵𝐶⃗⃗⃗ ,故选 ABD. 10.四边形 ABCD,四边形 CEFG,四边形 CGHD 都是全等的菱形,HE 与 CG 相交于点 M,则下列关系一定成立的 是( ). A.|𝐴𝐵⃗⃗⃗ |=|𝐸𝐹⃗⃗ | B.𝐴𝐵⃗⃗⃗ 与𝐹𝐻⃗⃗⃗⃗ 共线 C.𝐵𝐷⃗ ⃗ 与𝐸𝐻⃗ ⃗ 共线 D.𝐷𝐶⃗⃗⃗ 与𝐸𝐶⃗⃗ 共线 答案 ABD
懈析：三个四边形都是菱形且全等，：AB=EF,AB∥CD∥FH,故AB与F共线.又D,C,E三点共线，：DC与E元 共线，故A,B,D都正确.故选ABD 11.己知△4BC是边长为2(a>0)的等边三角形，P为△4BC所在平面内一点，则PA·(PE+PC)的值可能是()， A.-2a2 B. C.知 D.-a2 答案BCD 解析健立平面直角坐标系，如图所示 设P(x,y),又A(0,3a),B(-a,0),C(a,0),则PA=(-x,V3a-y),PB-(-a-x,y),P=(a-xy). 所以7(+P西-xv3a0【-a*(a-x训H(x3a(2x2列-2r+2yr-2V3a-2r+2号a)/-x≥ 知 故选BCD. 12.如图，在△ABC中，已知BC=a,4C-b,AB=-C,V3(acos∠ACB+ccos∠CAB)-2 bsin B,.且∠CAB号若D是△ABC外 一点，DC=1,DA=3,下列说法中，正确的有( A△ABC的内角B胃 B.△ABC的内角∠ACB号 C.四边形ABCD面积的最大值为53+3 7 D.四边形ABCD的面积无最大值 答案ABC 解析：'V3(acos∠ACB+ccos∠CAB)-2 bsin B, .:V3(sin∠CABcos∠ACB+sin∠4CBcos∠CAB)=2sin2B, V3sin(∠CAB+∠4CB)=2sirR,即V3sinB=2simB,.sinB=9:∠CAB-受.：B∈(0，) B号：∠ACB-∠CAB-B号国此AB中说法均正确 设△ABC的面积为SAABC,△ACD的面积为S△4CD, 则四边形ABCD的面积S=Sc+SaCn渠4C+1D-DCsin∠ADC-TAD+DC22 ADDCo∠ AD0 D DCsin∠ADC-9x9+1-6cos∠ADO+2×3sin∠ADC-52+3sn(ADc到sy943. 因此C中说法正确，D中说法错误
解析∵三个四边形都是菱形且全等,∴|𝐴𝐵⃗⃗⃗ |=|𝐸𝐹⃗⃗ |,AB∥CD∥FH,故𝐴𝐵⃗⃗⃗ 与𝐹𝐻⃗⃗⃗⃗ 共线.又 D,C,E 三点共线,∴𝐷𝐶⃗⃗⃗ 与𝐸𝐶⃗⃗ 共线,故 A,B,D 都正确.故选 ABD. 11.已知△ABC 是边长为 2a(a>0)的等边三角形,P 为△ABC 所在平面内一点,则𝑃𝐴⃗⃗⃗ ·(𝑃𝐵⃗⃗⃗ + 𝑃𝐶⃗⃗ )的值可能是( ). A.-2a 2 B.- 3 2 a 2 C.- 4 3 a 2 D.-a 2 答案 BCD 解析建立平面直角坐标系,如图所示. 设 P(x,y),又 A(0,√3a),B(-a,0),C(a,0),则𝑃𝐴⃗⃗⃗ =(-x,√3a-y),𝑃𝐵⃗⃗⃗ =(-a-x,-y),𝑃𝐶⃗⃗ =(a-x,-y). 所以𝑃𝐴⃗⃗⃗ ·(𝑃𝐵⃗⃗⃗ + 𝑃𝐶⃗⃗ )=(-x,√3a-y)·[(-a-x,-y)+(a-x,-y)]=(-x,√3a-y)·(-2x,-2y)=2x 2+2y 2 -2√3ay=2x 2+2(𝑦- √3 2 𝑎) 2 − 3 2 a 2≥- 3 2 a 2 . 故选 BCD. 12.如图,在△ABC 中,已知 BC=a,AC=b,AB=c,√3(acos∠ACB+ccos∠CAB)=2bsin B,且∠CAB=π 3 .若 D 是△ABC 外 一点,DC=1,DA=3,下列说法中,正确的有( ). A.△ABC 的内角 B=π 3 B.△ABC 的内角∠ACB=π 3 C.四边形 ABCD 面积的最大值为5√3 2 +3 D.四边形 ABCD 的面积无最大值 答案 ABC 解析∵√3(acos ∠ACB+ccos ∠CAB)=2bsin B, ∴√3(sin ∠CABcos ∠ACB+sin ∠ACBcos ∠CAB)=2sin2B, ∴√3sin(∠CAB+∠ACB)=2sin2B,即√3sin B=2sin2B,∴sin B=√3 2 .∵∠CAB=π 3 ,∴B∈(0, 2π 3 ), ∴B=π 3 ,∴∠ACB=π-∠CAB-B=π 3 ,因此 A,B 中说法均正确. 设△ABC 的面积为 S△ABC,△ACD 的面积为 S△ACD, 则四边形 ABCD 的面积 S=S△ABC+S△ACD= √3 4 AC2+ 1 2 AD·DC·sin∠ADC=√3 4 (AD2+DC2 -2AD·DC·cos∠ ADC)+ 1 2 AD·DC·sin∠ADC=√3 4 ×(9+1-6cos∠ADC)+ 1 2 ×3sin∠ADC=5√3 2 +3sin(∠𝐴𝐷𝐶- π 3 ) ≤ 5√3 2 +3. 因此 C 中说法正确,D 中说法错误
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.若三点42,2)，B(a,0,C0,b)(ab-0)共线，则片+的值为 管 解桐由已知条件，得A正-(a-2,-2),4C-(-2,b-2,依题意，有(a-2b-24-0, 即ab-2a-2b=0,所以+日=号 14.在△ABC中，已知3a2-2ab+3b2.3c2=0,则cosC= 答刻 解桐由32-2ab+362-3c2-0,得2-2+bb. 根据余弦定理，得cosC2+b22 2ab 240型-青 2ab 15.在△ABC中，∠CAB=60°，AB=3,4C=2,若BD=2D元，A正=AC-AB(U∈R),且AD.A正-.4，则1的值 为■ 含号 解韧由已知条件得死·C-3×2×c0s60°=3，而=丽+号C,剥而.花-号丽+元元- 丽子×3+号49号3=4，得品 16.太湖中有一小岛C,沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A处测得小岛在公路的南偏西15°的方 向上，汽车行驶1k到达B处后，又测得小岛在公路的南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是 km 图翠 解析如图，由已知条件，可知AB-1km,∠CAB-15°，∠CBA-180°-75°=105°， 故∠ACB=180°-105°-15°=60° 在△ABC中，由正弦定理，得BC an=2a故Cnsn152k 6 设点C到直钱AB的距离为d则d=-BC.sin75°35×4=马km) 6 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(10分)己知AB=(-1,3),BC-(3m),C而-(1n),且AD‖BC. (1)求实数n的值： (2)若AC⊥BD,求实数m的值
三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则 1 𝑎 + 1 𝑏 的值为 . 答案1 2 解析由已知条件,得𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(a-2,-2),𝐴𝐶⃗⃗ =(-2,b-2),依题意,有(a-2)(b-2)-4=0, 即 ab-2a-2b=0,所以1 𝑎 + 1 𝑏 = 1 2 . 14.在△ABC 中,已知 3a 2 -2ab+3b 2 -3c 2=0,则 cos C= . 答案1 3 解析由 3a 2 -2ab+3b 2 -3c 2=0,得 c 2=a2+b2 - 2 3 ab. 根据余弦定理,得 cos C=𝑎 2+𝑏 2 -𝑐 2 2𝑎𝑏 = 𝑎 2+𝑏 2 -𝑎 2 -𝑏 2+ 2 3 𝑎𝑏 2𝑎𝑏 = 1 3 . 15.在△ABC 中,∠CAB=60°,AB=3,AC=2,若𝐵𝐷⃗ ⃗ =2𝐷𝐶⃗⃗⃗ ,𝐴𝐸⃗⃗⃗ =λ𝐴𝐶⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗ (λ∈R),且𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ · 𝐴𝐸⃗⃗⃗ =-4,则 λ 的值 为 . 答案 3 11 解析由已知条件得𝐴𝐵⃗⃗⃗ · 𝐴𝐶⃗⃗ =3×2×cos 60°=3,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ = 1 3 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 2 3 𝐴𝐶⃗⃗ ,则𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ · 𝐴𝐸⃗⃗⃗ = 1 3 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 2 3 𝐴𝐶⃗⃗ ·(λ𝐴𝐶⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗ )= 𝜆 3 ×3+ 2𝜆 3 ×4- 1 3 ×9- 2 3 ×3=-4,得 λ= 3 11. 16.太湖中有一小岛 C,沿太湖有一条正南方向的公路,一辆汽车在公路 A 处测得小岛在公路的南偏西 15°的方 向上,汽车行驶 1 km 到达 B 处后,又测得小岛在公路的南偏西 75°的方向上,则小岛到公路的距离是 km. 答案√3 6 解析如图,由已知条件,可知 AB=1 km,∠CAB=15°,∠CBA=180°-75°=105°, 故∠ACB=180°-105°-15°=60°. 在△ABC 中,由正弦定理,得 𝐵𝐶 sin∠𝐶𝐴𝐵 = 𝐴𝐵 sin∠𝐴𝐶𝐵 ,故 BC= 1 sin60° ×sin 15°= 3√2-√6 6 (km). 设点 C 到直线 AB 的距离为 d,则 d=BC·sin 75°= 3√2-√6 6 × √6+√2 4 = √3 6 (km). 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10 分)已知𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(-1,3),𝐵𝐶⃗⃗⃗ =(3,m),𝐶𝐷⃗⃗⃗ =(1,n),且𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ ∥ 𝐵𝐶⃗⃗⃗ . (1)求实数 n 的值; (2)若𝐴𝐶⃗⃗ ⊥ 𝐵𝐷⃗ ⃗ ,求实数 m 的值
解国为A正-(1,3)，B元-(3，m),C而=(1，n, 所以AD=AB+BC+CD=(3,3+m+n) (1)因为ADⅡBC,所以设AD=BC,1∈R 哈+=m解得3 (2)因为AC=AB+BC=(2,3+m),BD=BC+CD=(4,m-3),又AC1BD,所以AC.BD-0,即8+(3+m)(m-3)=0,解得 m=士1 18.(I2分)已知非零向量ab满足a=l,且(a-b)(a+b)-子 (1)求b (2)当ab=时，求向量a与a+2b的夹角0的值， ☑1)根据已知条件，得(a-b)(a+b=a2-b2-1-b2-3b2-之 2)ab=是 a(a+2b)=a2+2ab=1-2=2a+2bl=- (a+2b)2=V1-1+I=1, .:cos 0-a(a+2b) lalla+2b1 又0e[0,0-3 19.(12分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(cosA-V3sinA)cosB=0. (1)求角B的大小； (2)若a+c=1,求b的取值范围. 解1)由已知得-cosA+B)+cos4cosB-V3 sin Acos B--0,即有sin Asin B-V3sin4cosB=0. 因为sinA≠0，所以sinB-V3cosB=-0. 又cosB≠0，所以tanB=V3. 又B∈0，，所以B号 (2)由余弦定理，有b2=2+2-2 accos B. 国为a+c=l,cosB号所以P=3(a-)+号 又0<a<1,于是有六2<1，即有b<1 20.(12分)在△ABC中，角4，B,C所对的边分别为ah,c已知sinC+cosC-1-sim写 (I)求sinC的值； (2)若△ABC的外接圆面积为(4+V7)元，试求AC·BC的取值范围， ☑1)AABC中，由sinC+cosC=l-sin号 得2sn5-2snrsn吃 :n0co号n吃-
解因为𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(-1,3),𝐵𝐶⃗⃗⃗ =(3,m),𝐶𝐷⃗⃗⃗ =(1,n), 所以𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗ =(3,3+m+n), (1)因为𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ ∥ 𝐵𝐶⃗⃗⃗ ,所以设𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ =λ𝐵𝐶⃗⃗⃗ ,λ∈R, 则{ 3 = 3𝜆, 3 + 𝑚 + 𝑛 = 𝜆𝑚, 解得 n=-3. (2)因为𝐴𝐶⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗ =(2,3+m),𝐵𝐷⃗ ⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗ =(4,m-3),又𝐴𝐶⃗⃗ ⊥ 𝐵𝐷⃗ ⃗ ,所以𝐴𝐶⃗⃗ · 𝐵𝐷⃗ ⃗ =0,即 8+(3+m)(m-3)=0,解得 m=±1. 18.(12 分)已知非零向量 a,b 满足|a|=1,且(a-b)·(a+b)= 3 4 . (1)求|b|; (2)当 a·b=- 1 4时,求向量 a 与 a+2b 的夹角 θ 的值. 解(1)根据已知条件,得(a-b)·(a+b)=a2 -b 2=1-b 2= 3 4 ,∴b 2= 1 4 ,∴|b|=1 2 . (2)∵a·b=- 1 4 , ∴a·(a+2b)=a2+2a·b=1- 1 2 = 1 2 ,|a+2b|=√(𝑎 + 2𝑏) 2 = √1-1 + 1=1, ∴cos θ= 𝑎·(𝑎+2𝑏) |𝑎||𝑎+2𝑏| = 1 2 1×1 = 1 2 , 又 θ∈[0,π],∴θ= π 3 . 19.(12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos C+(cos A-√3sin A)·cos B=0. (1)求角 B 的大小; (2)若 a+c=1,求 b 的取值范围. 解(1)由已知得-cos(A+B)+cos Acos B-√3sin Acos B=0,即有 sin Asin B-√3sin Acos B=0. 因为 sin A≠0,所以 sin B-√3cos B=0. 又 cos B≠0,所以 tan B=√3. 又 B∈(0,π),所以 B=π 3 . (2)由余弦定理,有 b 2=a2+c2 -2accos B. 因为 a+c=1,cos B=1 2 ,所以 b 2=3(𝑎- 1 2 ) 2 + 1 4 . 又 00,∴cos 𝐶 2 -sin𝐶 2 =- 1 2
两边平方得1-sinC子解得sinC-子 (2)设△ABC的外接圆的半径为R, (1)加sm吃o5,专>景 :C受osC-V1sint-7 易得c-2 Rsin C.2-4R2sinC-×4+V⑦，由余弦定理，得c2-×4+7)-d2+-2ab(≥2ab(1+写) .04, 01, :当sin0时，sin0取得最大值受 号-4，得k-8,此时sin0号又0eb,引 0-8,0C-(4,8. :☑.0C=-(8,0)(4,8)=32 22.(12分)在锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若V3 bsin C+V3 csin B--4 asin Bsin C. (1)求角A的大小： (2)若2 bsin B+2 csin C=bc+√3a,求△ABC面积的最大值， ☑1)由V3 bsin C+-V3 csin B--4 asin Bsin C及正弦定理，得V3 sin Bsin C+V3 sin Csin B-4 sin Asin Bsin C
两边平方得 1-sin C=1 4 ,解得 sin C=3 4 . (2)设△ABC 的外接圆的半径为 R, 由(1)知 sin𝐶 2 >cos 𝐶 2 ,∴ 𝐶 2 > π 4 , ∴C>π 2 ,∴cos C=-√1-sin 2𝐶=- √7 4 . 易得 c=2Rsin C,∴c 2=4R 2 sin2C=9 4 ×(4+√7),由余弦定理得,c 2= 9 4 ×(4+√7)=a2+b2 -2ab·(- √7 4 )≥2ab·(1 + √7 4 ), ∴04,且 tsin θ 取最大值 4 时,求𝑂𝐴⃗⃗⃗ · ⃗𝑂𝐶⃗⃗ . 解(1)由题设知𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(n-8,t), ∵𝐴𝐵⃗⃗⃗ ⊥a,∴8-n+2t=0. 又√5|𝑂𝐴⃗⃗⃗ |=|𝐴𝐵⃗⃗⃗ |,∴5×64=(n-8)2+t2 , 联立方程{ 8-𝑛 + 2𝑡 = 0, (𝑛-8) 2 + 𝑡 2 = 320, 解得{ 𝑡 = 8, 𝑛 = 24或 { 𝑡 = -8, 𝑛 = -8. ∴𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =(24,8)或𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =(-8,-8). (2)由题设知𝐴𝐶⃗⃗ =(ksin θ-8,t), ∵𝐴𝐶⃗⃗ 与 a 共线, ∴-t-2(ksin θ-8)=0, ∴t=-2ksin θ+16,tsin θ=(-2ksin θ+16)sin θ=-2k(sin𝜃- 4 𝑘 ) 2 + 32 𝑘 . ∵k>4, ∴0< 4 𝑘 <1, ∴当 sin θ= 4 𝑘 时,tsin θ 取得最大值32 𝑘 . 由 32 𝑘 =4,得 k=8,此时 sin θ= 1 2 ,又 θ∈[0, π 2 ], ∴θ= π 6 , ⃗𝑂𝐶⃗⃗ =(4,8). ∴𝑂𝐴⃗⃗⃗ · ⃗𝑂𝐶⃗⃗ =(8,0)·(4,8)=32. 22.(12 分)在锐角三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若√3bsin C+√3csin B=4asin Bsin C. (1)求角 A 的大小; (2)若 2bsin B+2csin C=bc+√3a,求△ABC 面积的最大值. 解(1)由√3bsin C+√3csin B=4asin Bsin C 及正弦定理,得√3sin Bsin C+√3sin Csin B=4sin Asin Bsin C
因为角B,C为△ABC的内角， 所以sinB≠0，sinC≠0， 所以smA受又4∈(，》所以4号 (2)由正弦定理b a 得sinB- 2a ,sin C-V3e 2a 2bsin B+2csin C=bc+v3a, 得2b要2c是-kc3a 2a 即B+cd-马kc0 由纹无思保m4心_禁-品 2bc 则汽号解得a-3,代入①成可得+2-3=bc,即B+C=hc+3≥2bc得bc≤3，当且仅当6c时，取等号，△1BC的 面积SA度bcsin2识故△4BC西积的最大值为吗
因为角 B,C 为△ABC 的内角, 所以 sin B≠0,sin C≠0, 所以 sin A=√3 2 ,又 A∈(0, π 2 ),所以 A=π 3 . (2)由正弦定理 𝑏 sin𝐵 = 𝑐 sin𝐶 = 𝑎 sin𝐴 = 2√3 3 a, 得 sin B=√3𝑏 2𝑎 ,sin C=√3𝑐 2𝑎 , 由 2bsin B+2csin C=bc+√3a, 得 2b· √3𝑏 2𝑎 +2c· √3𝑐 2𝑎 =bc+√3a, 即 b 2+c2 -a 2= √3 3 abc,① 由余弦定理得,cos A=𝑏 2+𝑐 2 -𝑎 2 2𝑏𝑐 = √3 3 𝑎𝑏𝑐 2𝑏𝑐 = √3 6 a, 则 √3 6 a= 1 2 ,解得 a=√3,代入①式可得 b 2+c2 -3=bc,即 b 2+c2=bc+3≥2bc,得 bc≤3,当且仅当 b=c 时,取等号,△ABC 的 面积 S△ABC= 1 2 bcsin A≤ 3√3 4 ,故△ABC 面积的最大值为3√3 4