7.2.1复数的加、减运算及其几何意义 课后·训练提升 基础巩固 1已知复数1=2212之21，则1+2等于( A.0 B2+ c-引 D. 答案 解析+(2+》-（仔+2）i- 2.设1=2+bi,2=a+i,其中a,b∈R,当1+2=0时，复数a+bi为(). A.1+i B.2+i C.3 D.-2-i 昏案p 解桐由题意，可知1+2=2+a+(b+1)i=0, 则呢+二8解得8=子数a+6-21 3.若=5,2=3+4i且1+2∈R则复数1是() A.3+41 B.3-4i C.3+4i或3-41 D.3-4i或-3-41 答案D 解析：+2∈R,:设1=Q-4i(a∈R). 又=5，：a2+16=25,解得a=士3 .z1=3-4i或21=-3-41 4.已知复平面内点A,B,C对应的复数分别为i1,4+2i,作PABCD,则BD1等于(). A.5 B.√13 C.15 D.17 案B 解桐由题意，可知向量0A,0丽，0C对应的复数分别为i,1,4+2i :BA=0A-0B,BC=0C-0B,.:BA对应的复数为i-1,BC对应的复数为4+2i-1=3+2i,又 BD=B☑+B配，：BD对应的复数为(i-1)+(3+2i)=2+31 :BD1=2+3i1=v13. 5.己知复数a1=1+icos0,z2=sin0-i,0∈R,则le1-的最大值为(). A.3-2V2 B.√z-1 C.3+2v2 D.Z+1 答案D 解析1-2=l(1+icos0)-(sin0-il= J(1-sin8)2+(1+cos0)2-V3-2(sin8-cos6- 3-2v2sin(a-)≤V3+2V2=V2+1, 6.若复数2=3+4i,1-3=5-2i,则= 答案8+2i 解析由题意，可知1=5-2i+2=5-2i+(3+41=8+2i
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 课后· 基础巩固 1.已知复数 z1=2- 1 2 i,z2= 1 2 -2i,则 z1+z2 等于( ). A.0 B. 3 2 + 5 2 i C. 5 2 − 5 2 i D. 5 2 − 3 2 i 答案 C 解析 z1+z2=(2 + 1 2 ) − ( 1 2 + 2)i= 5 2 − 5 2 i. 2.设 z1=2+bi,z2=a+i,其中 a,b∈R,当 z1+z2=0 时,复数 a+bi 为( ). A.1+i B.2+i C.3 D.-2-i 答案 D 解析由题意,可知 z1+z2=2+a+(b+1)i=0, 则{ 2 + 𝑎 = 0, 𝑏 + 1 = 0, 解得{ 𝑎 = -2, 𝑏 = -1. 故 a+bi=-2-i. 3.若|z1|=5,z2=3+4i,且 z1+z2∈R,则复数 z1 是( ). A.3+4i B.3-4i C.3+4i 或 3-4i D.3-4i 或-3-4i 答案 D 解析∵z1+z2∈R,∴设 z1=a-4i(a∈R). 又|z1|=5,∴a 2+16=25,解得 a=±3. ∴z1=3-4i 或 z1=-3-4i. 4.已知复平面内点 A,B,C 对应的复数分别为 i,1,4+2i,作▱ABCD,则|𝐵𝐷⃗ ⃗ |等于( ). A.5 B.√13 C.√15 D.√17 答案 B 解析由题意,可知向量𝑂𝐴⃗⃗⃗ , 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ ,⃗𝑂𝐶⃗⃗ 对应的复数分别为 i,1,4+2i. ∵𝐵𝐴⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗ − 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ ,𝐵𝐶⃗⃗⃗ = ⃗𝑂𝐶⃗⃗ − 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ ,∴𝐵𝐴⃗⃗⃗ 对应的复数为 i-1,𝐵𝐶⃗⃗⃗ 对应的复数为 4+2i-1=3+2i,又 𝐵𝐷⃗ ⃗ = 𝐵𝐴⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗ ,∴𝐵𝐷⃗ ⃗ 对应的复数为(i-1)+(3+2i)=2+3i. ∴|𝐵𝐷⃗ ⃗ |=|2+3i|=√13. 5.已知复数 z1=1+icos θ,z2=sin θ-i,θ∈R,则|z1-z2|的最大值为( ). A.3-2√2 B.√2-1 C.3+2√2 D.√2+1 答案 D 解析|z1-z2|=|(1+icos θ)-(sin θ-i)|= √(1-sin𝜃) 2 + (1 + cos𝜃) 2 = √3-2(sin𝜃-cos𝜃)= √3-2√2sin(𝜃- π 4 ) ≤ √3 + 2√2 = √2+1. 6.若复数 z2=3+4i,z1-z2=5-2i,则 z1= . 答案 8+2i 解析由题意,可知 z1=5-2i+z2=5-2i+(3+4i)=8+2i
7.若-2=+2，则-1川的最小值是 答案 解析由2=+2引，知在复平面内z对应的点到点(2,0)与(-2,0)的距离相等，故：对应的点的集 合为虚轴.1川表示z对应的点与点(1,0)的距离，故s-1min=1. 8.如果一个复数与它的模的和为5+V31,那么这个复数为 图+V3 图韧设这个复数为x中ixER,则x中i+√2+严=5+V3所以x+2+严2=5解得 y=V3, x=号 y=3 故这个复数为号+V31 9.计算：(1)3-5i)+(-4-i)(3+4i) (2)(-7i+5)-(9-8i1)+(3-2i). 属1)(3-5i+(-4-i)-(3+41)=(34-3)+(-51-4i=-4-10i (2)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i)=(5-9+3)+(-7+8-2)i=-1-i. 10.已知四边形ABCD是复平面内的平行四边形，且A,B,C三点对应的复数分别为1+3i,-i,2+i 求点D对应的复数 解设点D对应的复数为x+i(xER), 则AD对应的复数为(x+yi-(1+3i)=(x-1)+0-3)i,B配对应的复数为(2+i)-(-i)=2+2i. :AD=BC,(x-1)+0y3)i=2+2i 代妈2舞形子 故点D对应的复数为3+5i 拓展提高 1若1=2+i,2=3+ai(a∈R),且在复平面内1+2所对应的点在实轴上，则a的值为( ) A.3 B.2 C.1 D.-1 答案D 解析1+2-(2+i1)+(3+ai)=5+(1+a)i :在复平面内1+2所对应的点在实轴上 .:1+a=0,a=-1. 2.(多选题)已知i为虚数单位，下列说法中正确的是(). A.若复数：满足-=√5，则复数：对应的点在以(1,0)为圆心，√5为半径的圆上 B.若复数z满足z+日=2+8i,则复数=15+8i C,复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模 D.复数1对应的向量为0Z,复数2对应的向量为0Z2,若1+2=1-22l,则0Z⊥0Z 答案CD 解桐满足i=√5的复数：对应的点在以(0,1)为圆心，V5为半径的圆上，A错误；在B中，设 2=a+bi(a,b∈R),则l=va2+b2 由z+=2+8i,得a+bi+Va2+b2=2+8i
7.若|z-2|=|z+2|,则|z-1|的最小值是 . 答案 1 解析由|z-2|=|z+2|,知在复平面内 z 对应的点到点(2,0)与(-2,0)的距离相等,故 z 对应的点的集 合为虚轴.|z-1|表示 z 对应的点与点(1,0)的距离,故|z-1|min=1. 8.如果一个复数与它的模的和为 5+√3i,那么这个复数为 . 答案11 5 + √3i 解析设这个复数为 x+yi(x,y∈R),则 x+yi+√𝑥 2 + 𝑦 2=5+√3i,所以{ 𝑥 + √𝑥 2 + 𝑦 2 = 5, 𝑦 = √3, 解得 { 𝑥 = 11 5 , 𝑦 = √3. 故这个复数为11 5 + √3i. 9.计算:(1)(3-5i)+(-4-i)-(3+4i); (2)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i). 解(1)(3-5i)+(-4-i)-(3+4i)=(3-4-3)+(-5-1-4)i=-4-10i. (2)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i)=(5-9+3)+(-7+8-2)i=-1-i. 10.已知四边形 ABCD 是复平面内的平行四边形,且 A,B,C 三点对应的复数分别为 1+3i,-i,2+i, 求点 D 对应的复数. 解设点 D 对应的复数为 x+yi(x,y∈R), 则𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为(x+yi)-(1+3i)=(x-1)+(y-3)i,𝐵𝐶⃗⃗⃗ 对应的复数为(2+i)-(-i)=2+2i. ∵𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗ ,∴(x-1)+(y-3)i=2+2i. ∴{ 𝑥-1 = 2, 𝑦-3 = 2,解得{ 𝑥 = 3, 𝑦 = 5. 故点 D 对应的复数为 3+5i. 拓展提高 1.若 z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),且在复平面内 z1+z2 所对应的点在实轴上,则 a 的值为( ). A.3 B.2 C.1 D.-1 答案 D 解析 z1+z2=(2+i)+(3+ai)=5+(1+a)i. ∵在复平面内 z1+z2 所对应的点在实轴上, ∴1+a=0,∴a=-1. 2.(多选题)已知 i 为虚数单位,下列说法中正确的是( ). A.若复数 z 满足|z-i|=√5,则复数 z 对应的点在以(1,0)为圆心,√5为半径的圆上 B.若复数 z 满足 z+|z|=2+8i,则复数 z=15+8i C.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模 D.复数 z1 对应的向量为𝑂𝑍1 ⃗⃗⃗⃗⃗ ,复数 z2 对应的向量为𝑂𝑍2 ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若|z1+z2|=|z1-z2|,则𝑂𝑍1 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ 𝑂𝑍2 ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案 CD 解析满足|z-i|=√5的复数 z 对应的点在以(0,1)为圆心,√5为半径的圆上,A 错误;在 B 中,设 z=a+bi(a,b∈R),则|z|=√𝑎 2 + 𝑏 2. 由 z+|z|=2+8i,得 a+bi+√𝑎 2 + 𝑏 2=2+8i
8+2+b2=2,解得0二85-15+81B错误由复数的模的定义知C正确画 b=8. +2=1-2的几何意义知，以0Z,0Z2为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D正确. 故选CD 3.己知复平面内的△ABC的三个顶点所对应的复数分别为1,2,23，复数：满足上=-2= ,则复数：对应的点是△ABC的( A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 答案A 解析：1-a=-=l,:复数：的对应点P到△4ABC的三个顶点的距离相等，：P为△ABC 的外心 4.如果复数z满足+2i+-2i1=4,那么+i+1川的最小值为()。 A.1 B.V2 C.2 D.V5 案A 解析设复数-2i,2i,-1-i在复平面内对应的，点分别为Z,Z2,Z.因为+21+-2i=4,ZZ=4,所以 复数：在复平面内对应的点Z的集合为线段Z1Z2+i+1川的几何意义为点Z与Z之间的距 离，如图所示 y 2Z2 -2-7012x -2Z1 作Z3Z0⊥Z1Z于点Z,则当点Z与Z0重合时，点Z与Z3之间的距离最短，即|ZZ3m=1,故 +i+1川的最小值为1.故选A 5.若复数：满足-1，则-i的最大值为 答案2 解析：1=1，：复数z在复平面内对应的点Z的集合为以原点O为圆心，1为半径的圆.又 表示点Z与点(0,1)之间的距离，-imax=2 6.己知复数=x+yi(x,y∈R)满足4i=+2引，则2+4的最小值为 答案4v2 解桐：12-4i1=+2,即x+i-4i=x+yi+2 x2+0-4)2=(x+2)2+y2.x+2y=3. .:2+4y=2+22w≥2V2x22=2V2x+2-4V2 当且仅当2=2，即x时，等号成立 7.已知1=(3x+y)+0y-4x)i,2=(4y-2x)-(5x+3y)i,x,y∈R,2=21-2=13-2i,求1,2. 解=1-3=(3x+y)+04x)i-[(4少2x)-(5x+3y1=[(3x+-(4少-2x]+[0-4x)+(5x+3yi=5x- 3y)+(x+4y)i 国为=132所以+1是解得化-子 (x+4y=-2, 所以21=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i,22=[4×(-1)-2×2]-[5×2+3×(-1)]i=-8-7i 8.在复平面内，A,B,C,D四点所对应的复数分别为4+3i,6+4i,5+6i,3+5i,其中i为虚数单位.证 明四边形ABCD是正方形 证明AB对应的复数为(6+41-(4+3i)=2+i, AC对应的复数为(5+61)-(4+31)=1+3i
∴{ 𝑎 + √𝑎 2 + 𝑏 2 = 2, 𝑏 = 8. 解得{ 𝑎 = -15, 𝑏 = 8. ∴z=-15+8i,B 错误;由复数的模的定义知 C 正确;由 |z1+z2|=|z1-z2|的几何意义知,以𝑂𝑍1 ⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝑂𝑍2 ⃗⃗⃗⃗⃗ 为邻边的平行四边形为矩形,从而两邻边垂直,D 正确. 故选 CD. 3.已知复平面内的△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为 z1,z2,z3,复数 z 满足|z-z1|=|z-z2|=|zz3|,则复数 z 对应的点是△ABC 的( ). A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 答案 A 解析∵|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,∴复数 z 的对应点 P 到△ABC 的三个顶点的距离相等,∴P 为△ABC 的外心. 4.如果复数 z 满足|z+2i|+|z-2i|=4,那么|z+i+1|的最小值为( ). A.1 B.√2 C.2 D.√5 答案 A 解析设复数-2i,2i,-1-i 在复平面内对应的点分别为 Z1,Z2,Z3.因为|z+2i|+|z-2i|=4,Z1Z2=4,所以 复数 z 在复平面内对应的点 Z 的集合为线段 Z1Z2.|z+i+1|的几何意义为点 Z 与 Z3 之间的距 离,如图所示. 作 Z3Z0⊥Z1Z2 于点 Z0,则当点 Z 与 Z0 重合时,点 Z 与 Z3 之间的距离最短,即|ZZ3|min=1,故 |z+i+1|的最小值为 1.故选 A. 5.若复数 z 满足|z|=1,则|z-i|的最大值为 . 答案 2 解析∵|z|=1,∴复数 z 在复平面内对应的点 Z 的集合为以原点 O 为圆心,1 为半径的圆.又|z-i| 表示点 Z 与点(0,1)之间的距离,∴|z-i|max=2. 6.已知复数 z=x+yi(x,y∈R)满足|z-4i|=|z+2|,则 2 x+4 y的最小值为 . 答案 4√2 解析∵|z-4i|=|z+2|,即|x+yi-4i|=|x+yi+2|, ∴x 2+(y-4)2=(x+2)2+y2 .∴x+2y=3. ∴2 x+4 y=2 x+2 2y≥2√2 𝑥·2 2𝑦=2√2 𝑥+2𝑦=4√2, 当且仅当 2 x=2 2y ,即 x= 3 2 ,y= 3 4时,等号成立. 7.已知 z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i,x,y∈R,z=z1-z2=13-2i,求 z1,z2. 解 z=z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-[(4y-2x)-(5x+3y)i]=[(3x+y)-(4y-2x)]+[(y-4x)+(5x+3y)]i=(5x- 3y)+(x+4y)i. 因为 z=13-2i,所以{ 5𝑥-3𝑦 = 13, 𝑥 + 4𝑦 = -2, 解得{ 𝑥 = 2, 𝑦 = -1. 所以 z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i,z2=[4×(-1)-2×2]-[5×2+3×(-1)]i=-8-7i. 8.在复平面内,A,B,C,D 四点所对应的复数分别为 4+3i,6+4i,5+6i,3+5i,其中 i 为虚数单位.证 明四边形 ABCD 是正方形. 证明𝐴𝐵⃗⃗⃗ 对应的复数为(6+4i)-(4+3i)=2+i, 𝐴𝐶⃗⃗ 对应的复数为(5+6i)-(4+3i)=1+3i
AD对应的复数为(3+5i)-(4+31)=-1+2i, BD对应的复数为(3+5i)-(6+41)=-3+i, 因为AB+AD对应的复数为(2+i)+(-1+2i)=1+3i, 所以AC=AB+AD,又B,C,D不共线，所以四边形ABCD为平行四边形. 因为AE1=|2+i=√5，AD1=-1+2i=5,AC1=1+3i=√10,1BD1=-3+i=√10， 所以AB1=AD1,AC1=BD1, 所以平行四边形ABCD是正方形 挑战创新 设：为复数，且日=+1川=1，求s-1的值 解设=a+bi(a,b∈R),则+1-(a+l)+bi, (√a2+b=1, 又=+1川=1，所以 (a+1)2+b2=1, 即2+2-1 a2+b2+2a=0解得b2=3 故-1-a+bi-1=a-1)+bi-a-12+b=（2-1)+2=V3
𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为(3+5i)-(4+3i)=-1+2i, 𝐵𝐷⃗ ⃗ 对应的复数为(3+5i)-(6+4i)=-3+i, 因为𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为(2+i)+(-1+2i)=1+3i, 所以𝐴𝐶⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ ,又 B,C,D 不共线,所以四边形 ABCD 为平行四边形. 因为|𝐴𝐵⃗⃗⃗ |=|2+i|=√5,|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ |=|-1+2i|=√5,|𝐴𝐶⃗⃗ |=|1+3i|=√10,|𝐵𝐷⃗ ⃗ |=|-3+i|=√10, 所以|𝐴𝐵⃗⃗⃗ |=|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ |,|𝐴𝐶⃗⃗ |=|𝐵𝐷⃗ ⃗ |, 所以平行四边形 ABCD 是正方形. 挑战创新 设 z 为复数,且|z|=|z+1|=1,求|z-1|的值. 解设 z=a+bi(a,b∈R),则 z+1=(a+1)+bi, 又|z|=|z+1|=1,所以{ √𝑎 2 + 𝑏 2 = 1, √(𝑎 + 1) 2 + 𝑏 2 = 1, 即{ 𝑎 2 + 𝑏 2 = 1, 𝑎 2 + 𝑏 2 + 2𝑎 = 0, 解得{ 𝑎 = - 1 2 , 𝑏 2 = 3 4 , 故|z-1|=|(a+bi)-1|=|(a-1)+bi|=√(𝑎-1) 2 + 𝑏 2 = √(- 1 2 -1) 2 + 3 4 = √3