第七章过关检测 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1.若i为虚数单位，则复数=5i(3-41)在复平面内对应的点所在的象限为(). A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案A 2.“复数：为实数”的充分不必要条件是(). A.l= B.z=Z C.2是实数 D.z+z是实数 答案A 解析由=z可知z必为实数，但由：为实数不一定能得出=z,如=-2，此时红，故“=”是“复数：为实数”的 充分不必要条件 3.已知复数=1-i,2的共轭复数是z,则-2等于（人 A.-1-2i B.-2+i C.-1+2i D.1+2i 答案 解析由题意可得三-21+出=31-1+2i z .1 (-1-i0(-1+i) 4已知i为虚数单位，若复数：a∈R)的虚部为3，则 A.V1⑩ B.2V3 C.13 D.5 答案C 器团回为：操==号-兴所以学-3解得a5所以23L所以42+3=V压 5.已知在复平面内，向量AB,B元，AD对应的复数分别为-2+i,3-i,1+5i,则C而对应的复数是(). A.-6i B.6i C.5i D.-5i 答案 懈析：C而=CB+BA+AD-BC-AB+AD :C而对应的复数为-(3-i)-(-2+i)+1+5i=5i 6.复数z=l-cosa-isin a(π<a<2π)的模为( A.2cos号 B.-2cos号 C.2sinm号 D.-2sin吃 答案 解粉1=(1-cosa)2+sin2a=V2-2cosa= 4sin2-2sin :r<a<2m<元si吃0， :sin-2sing 7.已知复数2+i与在复平面内对应的点分别为A,B,若0为坐标原点，则∠A0B等于(， A若 B时 c D号 客案B
第七章过关检测 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.若 i 为虚数单位,则复数 z=5i(3-4i)在复平面内对应的点所在的象限为( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 A 2.“复数 z 为实数”的充分不必要条件是( ). A.|z|=z B.z=𝑧 C.z 2 是实数 D.z+𝑧是实数 答案 A 解析由|z|=z 可知 z 必为实数,但由 z 为实数不一定能得出|z|=z,如 z=-2,此时|z|≠z,故“|z|=z”是“复数 z 为实数”的 充分不必要条件. 3.已知复数 z=-1-i,z 的共轭复数是𝑧,则 2-𝑧 𝑧 等于( ). A.-1-2i B.-2+i C.-1+2i D.1+2i 答案 C 解析由题意可得2-𝑧 𝑧 = 2-(-1+i) -1-i = (3-i)(-1+i) (-1-i)(-1+i) =-1+2i. 4.已知 i 为虚数单位,若复数 z= 1-𝑎i 1+i (a∈R)的虚部为-3,则|z|=( ). A.√10 B.2√3 C.√13 D.5 答案 C 解析因为 z= 1-𝑎i 1+i = (1-𝑎i)(1-i) (1+i)(1-i) = 1-𝑎 2 − 𝑎+1 2 i,所以- 𝑎+1 2 =-3,解得 a=5,所以 z=-2-3i,所以|z|=√(-2) 2 + (-3) 2 = √13. 5.已知在复平面内,向量𝐴𝐵⃗⃗⃗ , 𝐵𝐶⃗⃗⃗ ,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ 对应的复数分别为-2+i,3-i,1+5i,则𝐶𝐷⃗⃗⃗ 对应的复数是( ). A.-6i B.6i C.5i D.-5i 答案 C 解析∵𝐶𝐷⃗⃗⃗ = 𝐶𝐵⃗⃗⃗ + 𝐵𝐴⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ =-𝐵𝐶⃗⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ , ∴𝐶𝐷⃗⃗⃗ 对应的复数为-(3-i)-(-2+i)+1+5i=5i. 6.复数 z=1-cos α-isin α(π0, ∴2|sin 𝛼 2 |=2sin𝛼 2 . 7.已知复数 2+i 与 1 3+i在复平面内对应的点分别为 A,B,若 O 为坐标原点,则∠AOB 等于( ). A. π 6 B. π 4 C. π 3 D. π 2 答案 B
解韧由题意可知，2+i对应0列=品-六对应丽，则2+（品）=品+贵对应网 故0-2+5,0死品=-+制=西 所以cos∠A0Bm+-号 20A0 所以∠AOB号 8.设△ABC的两个内角A,B所对的边分别为a,b,复数1=a+bi,2=cosA+icos B,若复数12在复平面内对应的点 在虚轴上，则△ABC是()】 A等腰三角形或直角三角形 B.等腰直角三角形 C等腰三角形 D.直角三角形 答案A 1z2=(a+bi)(cos A+icos B)=(acos A-bcos B)+(acos B+bcos A)i, :12在复平面内对应的点在虚轴上， .acos A-bcos B=0.Ep sin Acos A-sin Bcos B=0. .:sin2A=sin2B,.:2A-2B或2A+2B=元， A-B或A+B号 :△ABC是等腰三角形或直角三角形. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分 9.己知复数=x+yi(x,y∈R且≠0)，则() A.2≥0 B.z的虚部是i C.若=1+2i,则x=1,y=2 D.=√x2+y2 答案CD 解析对于A选项，取z=1,则2-1<0，A选项错误； 对于B选项，复数z的虚部为y,B选项错误； 对于C选项，若=1+2i,则x=1y=2,C选项正确； 对于D选项，=√x2+y2,D选项正确. 10.若复数：满足(1-i)z=3+i(其中i是虚数单位)，则()。 A:的实部是2 B.z的虚部是2i C.z=1-2i D.=V5 答案CD 解析告 =3+1+=2+=1+2i, 2 2 即z的实部是1，虚部是2，故AB均错误： 又z-1-21,=V12+22=V5,故C,D均正确 11.已知复数：满足2+=2+i(k∈Z),则：在复平面内对应的点可能位于(). A第一象限 B.第二象限C第三象限 D.第四象限 答案BD
解析由题意可知,2+i 对应𝑂𝐴⃗⃗⃗ , 1 3+i = 3 10 − 1 10i 对应𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ ,则 2+i-( 3 10 - 1 10 i) = 17 10 + 11 10i 对应𝐵𝐴⃗⃗⃗ . 故|𝑂𝐴⃗⃗⃗ |=|2+i|=√5,|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ |=| 3 10 - 1 10 i| = √10 10 ,|𝐵𝐴⃗⃗⃗ |=| 17 10 + 11 10 i| = √410 10 . 所以 cos∠AOB=|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ | 2+|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ | 2 -|𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ | 2 2|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ||𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ | = √2 2 . 所以∠AOB=π 4 . 8.设△ABC 的两个内角 A,B 所对的边分别为 a,b,复数 z1=a+bi,z2=cos A+icos B,若复数 z1z2 在复平面内对应的点 在虚轴上,则△ABC 是( ). A.等腰三角形或直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形 答案 A 解析 z1z2=(a+bi)(cos A+icos B)=(acos A-bcos B)+(acos B+bcos A)i, ∵z1z2 在复平面内对应的点在虚轴上, ∴acos A-bcos B=0,即 sin Acos A-sin Bcos B=0, ∴sin 2A=sin 2B,∴2A=2B 或 2A+2B=π, ∴A=B 或 A+B=π 2 . ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形. 二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全 部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 2 分. 9.已知复数 z=x+yi(x,y∈R 且 y≠0),则( ). A.z 2≥0 B.z 的虚部是 yi C.若 z=1+2i,则 x=1,y=2 D.|z|=√𝑥 2 + 𝑦 2 答案 CD 解析对于 A 选项,取 z=i,则 z 2=-1<0,A 选项错误; 对于 B 选项,复数 z 的虚部为 y,B 选项错误; 对于 C 选项,若 z=1+2i,则 x=1,y=2,C 选项正确; 对于 D 选项,|z|=√𝑥 2 + 𝑦 2,D 选项正确. 10.若复数 z 满足(1-i)z=3+i(其中 i 是虚数单位),则( ). A.z 的实部是 2 B.z 的虚部是 2i C.𝑧=1-2i D.|z|=√5 答案 CD 解析 z= 3+i 1-i = (3+i)(1+i) 2 = 2+4i 2 =1+2i, 即 z 的实部是 1,虚部是 2,故 A,B 均错误; 又𝑧=1-2i,|z|=√1 2 + 2 2 = √5,故 C,D 均正确. 11.已知复数 z 满足 i 2k+1 z=2+i(k∈Z),则 z 在复平面内对应的点可能位于( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 BD
解桐：-2+i器 il=i的=…=i,i3-=i7=…=i, :当k为奇数时器=牛-1+21 在复平面上对应的点为(1,2)，位于第二象限： 当k为偶数时=牛1-21在复平面上对应的点为1,2，位于第四象限故复数：在复平面内对应的点位 于第二象限或第四象限 12.已知复数0=1+2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为Po,复数z满足-1川=-i,下列结论正确的是(). A.点Po的坐标为(1,2) B.复数0的共轭复数对应的点与点Po关于虚轴对称 C.复数z对应的点Z在一条直线上 DP,与：对应的点Z间的距离的最小值为受 答案ACD 解析复数0=1+2i在复平面内对应的点为P(1,2),A正确； 复数0的共轭复数对应的，点与，点P0关于实轴对称，B错误； 设=x+yixy∈R),代入-1=-i,得1(x-)+yi1=x+0-1)i川，即(x-1)2+y2=x2+0y-1)2,整理得y=x,即点Z在 直线y=x上，C正确； 点P到直线)口r的线段的长度即为PA.Z之间距离的最小值，易知最小值为1sn45一号故D正确 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.计算②3 1-v2i 答案 -器-+湯- 14.己知i是虚数单位，若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数，则实数a的值为 答案2 解析由(1-2i)(a+i)=(a+2)+1-2a)i是纯虚数，可得a+2-0,且1-2a0,解得a=-2 15.已知将复数1+i对应的向量O丽绕点O按逆时针方向旋转于得到的向量为0M,则OM对应的复数是 (用代数形式表示) 答案v2i 解m对应的复数是(1+i(cos+isn明1+PZi 16定义运算ad6kc如果x)H(x+3)i-则实数x 答案12 解由定义运算|-ad-be得=3x+2i故+)+6x+3)i=3x+2+i 日为y为奖散所以十名=+2 解得x=-1y=2
解析∵i 2k+1 z=2+i,∴z= 2+i i 2𝑘+1 . ∵i 1=i 5=…=i,i3=i 7=…=-i, ∴当 k 为奇数时,z= 2+i i 2𝑘+1 = 2+i -i =-1+2i, 在复平面上对应的点为(-1,2),位于第二象限; 当 k 为偶数时,z= 2+i i 2𝑘+1 = 2+i i =1-2i,在复平面上对应的点为(1,-2),位于第四象限;故复数 z 在复平面内对应的点位 于第二象限或第四象限. 12.已知复数 z0=1+2i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点为 P0,复数 z 满足|z-1|=|z-i|,下列结论正确的是( ). A.点 P0 的坐标为(1,2) B.复数 z0 的共轭复数对应的点与点 P0 关于虚轴对称 C.复数 z 对应的点 Z 在一条直线上 D.P0 与 z 对应的点 Z 间的距离的最小值为√2 2 答案 ACD 解析复数 z0=1+2i 在复平面内对应的点为 P0(1,2),A 正确; 复数 z0 的共轭复数对应的点与点 P0 关于实轴对称,B 错误; 设 z=x+yi(x,y∈R),代入|z-1|=|z-i|,得|(x-1)+yi|=|x+(y-1)i|,即√(𝑥-1) 2 + 𝑦 2 = √𝑥 2 + (𝑦-1) 2 ,整理得 y=x,即点 Z 在 直线 y=x 上,C 正确; 点 P0 到直线 y=x 的垂线段的长度即为 P0,Z 之间距离的最小值,易知最小值为 1·sin 45°= √2 2 ,故 D 正确. 三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.计算: √2-i 3 1-√2i = . 答案 i 解析√2-i 3 1-√2i = √2+i 1-√2i = (√2+i)(1+√2i) (1-√2i)(1+√2i) = 3i 3 =i. 14.已知 i 是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数 a 的值为 . 答案-2 解析由(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i 是纯虚数,可得 a+2=0,且 1-2a≠0,解得 a=-2. 15.已知将复数 1+i 对应的向量𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗ 绕点 O 按逆时针方向旋转π 4 ,得到的向量为𝑂𝑀1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则𝑂𝑀1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是 (用代数形式表示). 答案√2i 解析𝑂𝑀1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是(1+i)(cos π 4 +isinπ 4 )= √2 2 (1+i)2=√2i. 16.定义运算| 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑 |=ad-bc,如果(x+y)+(x+3)i=| 3𝑥+2𝑦 -𝑦 i 1 |,则实数 x= ,y= . 答案-1 2 解析由定义运算| 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑 |=ad-bc 得| 3𝑥+2𝑦 -𝑦 i 1 |=3x+2y+yi,故(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi. 因为 x,y 为实数,所以{ 𝑥 + 𝑦 = 3𝑥 + 2𝑦, 𝑥 + 3 = 𝑦, 解得 x=-1,y=2
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(0分已知复数a=23器求(00号 图器=器--3 (2+i)2 25 (1)a12=(2-3i)(1-31=.7-91 哈-筒==贵+品 18.(12分)已知复数=g(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i(m∈R),m取何值时，：符合下列条件？ (1)是实数：(2)是纯虚数： (3)在复平面内对应的点位于第一象限 图1)若：是实数，则m2十3m+2=0, m2-2m-2>0, 解得m=1或m=2. 回去：成纯度其则20每得网 (3)若：在复平面内对应的点位于第一象限， 则13m2,2m-2)之0，解得m3, m2+3m+2>0, 19.(12分)已知复数1=4-m2+(m-2)i,2=+2sin0+(cos0-2)i(其中i是虚数单位，m,1,0∈R). (1)若1为纯虚数，求实数m的值： (2)若1=2，求实数1的取值范围， 圆)泊为地虚数0释得=2 (2)由，得-m2=1+2sin8 m-2=cos0-2, :1=4-cos20-2sin0=sin20-2sin0+3=(sin0-1)2+2. :-1≤sin0≤1，：当sin0=1时，mn=2, 当sin0=-1时，max=6, :实数1的取值范围是[2,6] 20.(12分)已知复数z1满足(1+i)1=-1+5i,2=Qa-2-i,其中i为虚数单位，a∈R若1-z2l<l,求a的取值范围. 邂国为(1+ia1=1+5i,2=0-2-1, 所以1451-2+31，z2=0-2+1, 1+i 所以a-V22+3z=V31-2l=(2+3)-(a-2+i训=4-a+2=(4-a)2+4. 又因为5-z2<,所以，(4-a)2+4<V13, 即a2-8a+7<0,解得1<a<7. 所以a的取值范围是(1,7). 21.(12分)设z为复数：的共轭复数，且-引=2V3. (1)若：为纯虚数，求： (2)若-z为实数，求 解1)设=bi(b∈R且b-0),则z=-bi 因为-=2V3,所以2bi=2bl=2V3,即|bl=V3,所以b=V3或b=-V3,所以=V3i或=-V31 (2)设2=x+yi(x,y∈R),则z=x-i,故2-z=2i,-z2=x+i-(x-yi1)2=x-x2+y2+0y+2y)i
四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10 分)已知复数 z1=2-3i,z2= 15-5i (2+i) 2 ,求:(1)z1z2;(2)𝑧1 𝑧2 . 解 z2= 15-5i (2+i) 2 = 15-5i 3+4i = (15-5i)(3-4i) (3+4i)(3-4i) = 25-75i 25 =1-3i. (1)z1z2=(2-3i)(1-3i)=-7-9i. (2)𝑧1 𝑧2 = 2-3i 1-3i = (2-3i)(1+3i) (1-3i)(1+3i) = 11 10 + 3 10i. 18.(12 分)已知复数 z=lg(m2 -2m-2)+(m2+3m+2)i(m∈R),m 取何值时,z 符合下列条件? (1)是实数;(2)是纯虚数; (3)在复平面内对应的点位于第一象限. 解(1)若 z 是实数,则{ 𝑚2 + 3𝑚 + 2 = 0, 𝑚2 -2𝑚-2 > 0, 解得 m=-1 或 m=-2. (2)若 z 是纯虚数,则{ lg(𝑚2 -2𝑚-2) = 0, 𝑚2 + 3𝑚 + 2 ≠ 0, 解得 m=3. (3)若 z 在复平面内对应的点位于第一象限, 则{ lg(𝑚2 -2𝑚-2) > 0, 𝑚2 + 3𝑚 + 2 > 0, 解得 m3. 19.(12 分)已知复数 z1=4-m2+(m-2)i,z2=λ+2sin θ+(cos θ-2)i(其中 i 是虚数单位,m,λ,θ∈R). (1)若 z1 为纯虚数,求实数 m 的值; (2)若 z1=z2,求实数 λ 的取值范围. 解(1)∵z1 为纯虚数,∴{ 4-𝑚2 = 0, 𝑚-2 ≠ 0, 解得 m=-2. (2)由 z1=z2,得{ 4-𝑚2 = 𝜆 + 2sin𝜃, 𝑚-2 = cos𝜃-2, ∴λ=4-cos2θ-2sin θ=sin2θ-2sin θ+3=(sin θ-1)2+2. ∵-1≤sin θ≤1,∴当 sin θ=1 时,λmin=2, 当 sin θ=-1 时,λmax=6, ∴实数 λ 的取值范围是[2,6]. 20.(12 分)已知复数 z1 满足(1+i)z1=-1+5i,z2=a-2-i,其中 i 为虚数单位,a∈R,若|z1-𝑧2 |<|z1|,求 a 的取值范围. 解因为(1+i)z1=-1+5i,z2=a-2-i, 所以 z1= -1+5i 1+i =2+3i,𝑧2=a-2+i, 所以|z1|=√2 2 + 3 2 = √13,|z1-𝑧2 |=|(2+3i)-(a-2+i)|=|4-a+2i|=√(4-𝑎) 2 + 4. 又因为|z1-𝑧2 |<|z1|,所以√(4-𝑎) 2 + 4 < √13, 即 a 2 -8a+7<0,解得 1<a<7. 所以 a 的取值范围是(1,7). 21.(12 分)设𝑧为复数 z 的共轭复数,且|z-𝑧|=2√3. (1)若 z 为纯虚数,求 z. (2)若 z-𝑧 2为实数,求|z|. 解(1)设 z=bi(b∈R,且 b≠0),则𝑧=-bi. 因为|z-𝑧|=2√3,所以|2bi|=2|b|=2√3,即|b|=√3,所以 b=√3或 b=-√3,所以 z=√3i 或 z=-√3i. (2)设 z=x+yi(x,y∈R),则𝑧=x-yi,故 z-𝑧=2yi,z-𝑧 2 =x+yi-(x-yi)2=x-x 2+y2+(y+2xy)i
因为1-z=2V3,所以2yi川=2b川=2V3, 所以y=士V3. 又子为实数，所以y+2=0,所以x=2 所以+可=+3=要 22.(12分)己知复数z满足引=V2,2的虚部是2. (1)求复数 (2)设：，2，-2在复平面内对应的点分别为A,B,C,求△ABC的面积 ☒1)设=a+bi(a,b∈R),则2=a2-2+2abi 由题意得Va2+b2=V2,且2ab=2,解得a=b=1或a=b=-l.故=1+i或z=-1-i. (2)当=1+i时，2-21,2=1-i,对应点坐标分别为A1,1),B0,2).C1,-1),所以SaBc之2×1=l. 当=-1-i时，2=2i,3-2=-1-31,对应点坐标分别为A(-1,-1),B0,2),C-1,-3), 所以SaBc-2x2x1=l. 故△ABC的面积为1
因为|z-𝑧|=2√3,所以|2yi|=2|y|=2√3, 所以 y=±√3. 又 z-𝑧 2为实数,所以 y+2xy=0,所以 x=- 1 2 . 所以|z|=√𝑥 2 + 𝑦 2 = √ 1 4 + 3 = √13 2 . 22.(12 分)已知复数 z 满足|z|=√2,z 2 的虚部是 2. (1)求复数 z; (2)设 z,z 2 ,z-z 2 在复平面内对应的点分别为 A,B,C,求△ABC 的面积. 解(1)设 z=a+bi(a,b∈R),则 z 2=a2 -b 2+2abi. 由题意得√𝑎 2 + 𝑏 2 = √2,且 2ab=2,解得 a=b=1 或 a=b=-1.故 z=1+i 或 z=-1-i. (2)当 z=1+i 时,z 2=2i,z-z 2=1-i,对应点坐标分别为 A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所以 S△ABC= 1 2 ×2×1=1. 当 z=-1-i 时,z 2=2i,z-z 2=-1-3i,对应点坐标分别为 A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3), 所以 S△ABC= 1 2 ×2×1=1. 故△ABC 的面积为 1