8.3.2圆柱、圆推、圆台、球的表面积和体积 课后·训练提升 基础巩固 1若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为(). A.12 B.1V3 C.15 D.32 答案c 解析设圆锥底面半径为r,则高h=2r,:其母线长I=V5r :S侧=πl=V52,又S&=π2，：Sa:S制=1：V5. 2.把半径为R的半圆形纸片卷成一个圆锥，所得圆锥的体积是( A是R BR C器R: 答案A 解设圆维的底面半径为5母线长为L则=R22R.r号：圆维的高h :圆维的体积号2h= 24R3 3.木星体积约是地球体积的24030倍，则它的表面积约是地球表面积的(). A.60倍 B.60V3倍 C.120倍 D.120V30倍 案c 4.已知圆柱的底面周长为6cm,AC为底面圆的直径，母线BC=6cm,P为母线BC上一点，且 PC-BC,则一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的表面爬行到点P的最短距离为() A.(4+9)cm B.5cm C.3v5 cm D.7cm 答案B 解桐圆柱的侧面展开图如图所示 :圆柱的底面周长为6cm, .AC=3 cm. :PC-BC,PC-子x×6=4(cm, 在Rt△ACP中，AP2=AC2+PC, .:AP-V32+42=5(cm).故选B. 5.已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆 台较小底面的半径为). A.7 B.6 C.5 D.3 答案A
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 课后· 基础巩固 1.若某圆锥的高等于其底面直径,则它的底面积与侧面积之比为( ). A.1∶2 B.1∶√3 C.1∶√5 D.√3∶2 答案 C 解析设圆锥底面半径为 r,则高 h=2r,∴其母线长 l=√5r. ∴S 侧=πrl=√5πr 2 ,又 S 底=πr 2 ,∴S 底∶S 侧=1∶√5. 2.把半径为 R 的半圆形纸片卷成一个圆锥,所得圆锥的体积是( ). A. √3 24πR 3 B. √3 8 πR 3 C. √5 24πR 3 D. √5 8 πR 3 答案 A 解析设圆锥的底面半径为 r,母线长为 l,则 l=R,2πr= 1 2 ·2πR,∴r= 𝑅 2 .∴圆锥的高 h=√3 2 R. ∴圆锥的体积 V=1 3 ·πr 2·h=√3 24πR 3 . 3.木星体积约是地球体积的 240√30倍,则它的表面积约是地球表面积的( ). A.60 倍 B.60√3倍 C.120 倍 D.120√30倍 答案 C 4.已知圆柱的底面周长为 6 cm,AC 为底面圆的直径,母线 BC=6 cm,P 为母线 BC 上一点,且 PC=2 3 BC,则一只蚂蚁从点 A 出发,沿着圆柱的表面爬行到点 P 的最短距离为( ). A.(4 + 6 π )cm B.5 cm C.3√5 cm D.7 cm 答案 B 解析圆柱的侧面展开图如图所示. ∵圆柱的底面周长为 6 cm, ∴AC=3 cm. ∵PC=2 3 BC,∴PC=2 3 ×6=4(cm). 在 Rt△ACP 中,AP2=AC2+PC2 , ∴AP=√3 2 + 4 2=5(cm).故选 B. 5.已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,母线长为 3,圆台的侧面积为 84π,则圆 台较小底面的半径为( ). A.7 B.6 C.5 D.3 答案 A
解析设圆台较小底面半径为r,则另一底面半径为3r由S=π(r+3)3-84元，解得r=7. 6.已知圆台的上、下底面半径分别为r,R,若有一球与圆台的上、下底面及侧面相切，则球的 表面积为). A.4π(R+r2 B.4π2R2 C.4πRr D.π(R+r2 案c 解析如图，作DE⊥BC,交BC于点E.设球的半径为n,则在Rt△CDE中，DE=2n,CE=R r.DC=R+r. 由勾股定理得4r=(R+r2-(R-r)2,解得n=√RT, 故球的表面积为S,=4π=4πRr 7.如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为α，最小值为b. 那么圆柱被截后剩下部分的体积是 图r+包 2 解柯将剩下部分补成母线长为a+b的圆柱，则剩下部分的体积V-ra+b 2 8.圆柱内有一个内接长方体ABCD-A1B1CD1,长方体的体对角线长是10√Zcm,圆柱的侧面 展开图为矩形，此矩形的面积是100πcm2,则圆柱的底面半径为 cm,高为 cm 答案下 10 解析设圆柱底面半径为rcm,高为hcm,如图所示， 1 B 则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长， 则2r2+h2=(10v22, 2rh=100m, 所以二50 即圆柱的底面半径为5cm,高为10cm
解析设圆台较小底面半径为 r,则另一底面半径为 3r.由 S=π(r+3r)·3=84π,解得 r=7. 6.已知圆台的上、下底面半径分别为 r,R,若有一球与圆台的上、下底面及侧面相切,则球的 表面积为( ). A.4π(R+r) 2 B.4πr 2R 2 C.4πRr D.π(R+r) 2 答案 C 解析如图,作 DE⊥BC,交 BC 于点 E.设球的半径为 r1,则在 Rt△CDE 中,DE=2r1,CE=Rr,DC=R+r. 由勾股定理得 4𝑟1 2=(R+r) 2 -(R-r) 2 ,解得 r1=√𝑅𝑟, 故球的表面积为 S 球=4π𝑟1 2=4πRr. 7.如图,已知底面半径为 r 的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为 a,最小值为 b. 那么圆柱被截后剩下部分的体积是 . 答案π𝑟 2 (𝑎+𝑏) 2 解析将剩下部分补成母线长为 a+b 的圆柱,则剩下部分的体积 V=π𝑟 2 (𝑎+𝑏) 2 . 8.圆柱内有一个内接长方体 ABCD-A1B1C1D1,长方体的体对角线长是 10√2 cm,圆柱的侧面 展开图为矩形,此矩形的面积是 100π cm2 ,则圆柱的底面半径为 cm,高为 cm. 答案 5 10 解析设圆柱底面半径为 r cm,高为 h cm,如图所示, 则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长, 则{ (2𝑟) 2 + ℎ 2 = (10√2) 2 , 2π𝑟ℎ = 100π, 所以{ 𝑟 = 5, ℎ = 10. 即圆柱的底面半径为 5 cm,高为 10 cm
9.某养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪用）.已建的仓库的底面 直径为12m,高为4m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐.现有两种方案：一 是新建的仓库的底面直径增加4m(高不变)，二是高度增加4m(底面直径不变). (1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积 (2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积： (3)哪种方案更经济？ 解1)设两种方案所建的仓库的体积分别为山，2 方案一仓库的底面直径变成16m,则其体积h××()'×42m), 方案二：仓库的高变成8m,则其体积红×（受》x8=96mm) (2)设两种方案所建的仓库的表面积分别为S1,S2 方案一：仓库的底面直径变成16m,半径为8m,此时圆锥的母线长为1=V⑧2+42=4V5(m),则 仓库的表面积S1=π×8×(8+4V5)=(64+32V5)π(m2): 方案二：仓库的高变成8m,此时圆锥的母线长为h=√82+62=10(m), 则仓库的表面积S2=π×6×6+10)=96π(m2) (3)因为V2>1,2<S 所以方案二比方案一更加经济 拓展提高 1.己知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16V2元，则圆锥的体积是()，. A64知 B.128m C.64π D.128V2元 3 3 答案A 解析设圆锥的底面半径为八，母线长为1， 因为圆锥的轴截面是等腰直角三角形， 所以2r=V2l,即1=VZm 由题意得，侧面积S侧=l=√Zπ2=16vZπ，解得r=4. 所以14V2,高h4 2=4 2 所以圆锥的体积Vhx42x4= 3 2.若圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，母线长为10，则圆台的表面积为( ) A.81π B.100π C.168元 D.169元 客案c 解析作出圆台的轴截面如图所示，其中OC=r,OB='=4r,高CE=h=4r 则它的母线长1=h2+(r-r)2=(4r)2+(3r)2=5=l10 .=2.r=8 .:S=π(r+r）l=π(8+2)×10=100元
9.某养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪用).已建的仓库的底面 直径为 12 m,高为 4 m.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐.现有两种方案:一 是新建的仓库的底面直径增加 4 m(高不变);二是高度增加 4 m(底面直径不变). (1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积; (2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积; (3)哪种方案更经济? 解(1)设两种方案所建的仓库的体积分别为 V1,V2. 方案一:仓库的底面直径变成 16 m,则其体积 V1= 1 3 ×π×( 16 2 ) 2 ×4= 256 3 π(m3 ); 方案二:仓库的高变成 8 m,则其体积 V2= 1 3 ×π×( 12 2 ) 2 ×8=96π(m3 ). (2)设两种方案所建的仓库的表面积分别为 S1,S2. 方案一:仓库的底面直径变成 16 m,半径为 8 m,此时圆锥的母线长为 l1=√8 2 + 4 2=4√5(m),则 仓库的表面积 S1=π×8×(8+4√5)=(64+32√5)π(m2 ); 方案二:仓库的高变成 8 m,此时圆锥的母线长为 l2=√8 2 + 6 2=10(m), 则仓库的表面积 S2=π×6×(6+10)=96π(m2 ). (3)因为 V2>V1,S2<S1, 所以方案二比方案一更加经济. 拓展提高 1.已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形,侧面积是 16√2π,则圆锥的体积是( ). A. 64π 3 B. 128π 3 C.64π D.128√2π 答案 A 解析设圆锥的底面半径为 r,母线长为 l, 因为圆锥的轴截面是等腰直角三角形, 所以 2r=√2l,即 l=√2r. 由题意得,侧面积 S 侧=πrl=√2πr 2=16√2π,解得 r=4. 所以 l=4√2,高 h=4√2 √2 =4. 所以圆锥的体积 V=1 3 Sh=1 3 π×4 2×4= 64π 3 . 2.若圆台的上、下底面半径和高的比为 1∶4∶4,母线长为 10,则圆台的表面积为( ). A.81π B.100π C.168π D.169π 答案 C 解析作出圆台的轴截面如图所示,其中 O1C=r,OB=r'=4r,高 CE=h=4r. 则它的母线长 l=√ℎ 2 + (𝑟'-𝑟) 2 = √(4𝑟) 2 + (3𝑟) 2=5r=10, ∴r=2,r'=8. ∴S 侧=π(r'+r)l=π(8+2)×10=100π
S表=S+πu2+πr2=100元+4π+64π=168元. 3.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接 雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则 平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积：②一尺等于十寸）(). A2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸 昏案B 解析由题意可知，圆台形天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸 因为积水深9寸，所以水面半径为×(14+6)=10（寸），所以盆中积水的体积为 号x9×6+102+6×10)=58(立方寸)，又金口面积为元×14=196平方寸)，所以平地降雨量为 器3寸 4若圆锥的高等于其内切球半径的3倍，则圆锥的侧面积与球的表面积之比是(). A月 B明 c 03 答案A 解桐设球的半径为r,圆锥底面半径为R,母线长为1 由题意可知，2x2R3r×(2R+20r 所以1=2R,即轴截面是等边三角形 所以R2+(3r2-(2R)2, 得=3护所以=器=是 S球 5.若等边圆柱（轴截面是正方形）、球、正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是 () A.S球<S圆性<S正方体B.S正方体<S#<S圆性 C.S网性<S球<S正方体D.S球<SE方体<S网柱 答案A 解桐设等边圆柱底面圆半径为5，球半径为R,正方体棱长为a,则22rR3=, 得(-()°-2 S越=6π2，S=4πR2,S玉方体=6a2 5球= S圆柱 器-9-厚 -品=月-1故选A S圆柱 6.圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径 相同)后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 cm
S 表=S 侧+πr 2+πr'2=100π+4π+64π=168π. 3.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接 雨水,天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸,若盆中积水深九寸,则 平地降雨量是(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)( ). A.2 寸 B.3 寸 C.4 寸 D.5 寸 答案 B 解析由题意可知,圆台形天池盆上底面半径为 14 寸,下底面半径为 6 寸,高为 18 寸. 因为积水深 9 寸,所以水面半径为1 2 ×(14+6)=10(寸),所以盆中积水的体积为 π 3 ×9×(62+102+6×10)=588π(立方寸),又盆口面积为 π×142=196π(平方寸),所以平地降雨量为 588π 196π =3(寸). 4.若圆锥的高等于其内切球半径的 3 倍,则圆锥的侧面积与球的表面积之比是( ). A. 3 2 B. 2 3 C. 1 2 D. 1 3 答案 A 解析设球的半径为 r,圆锥底面半径为 R,母线长为 l. 由题意可知, 1 2 ×2R·3r= 1 2 ×(2R+2l)·r, 所以 l=2R,即轴截面是等边三角形. 所以 R 2+(3r) 2=(2R) 2 , 得 R 2=3r 2 ,所以 𝑆圆锥侧 𝑆球 = π𝑅𝑙 4π𝑟 2 = 3 2 . 5.若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等,则它们的表面积的大小关系是 ( ). A.S 球1.故选 A. 6.圆柱形容器内部盛有高度为 8 cm 的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径 相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是 cm
含案4 解标设球的半径为rcm,放入3个球后，圆柱液面高度变为6rcm,则有2-6r=82+3,即 2r=8.解得=4. 7.如图，把底面半径为8cm的圆锥放倒在平面内，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这 个圆锥在平面内转回原位置时圆锥本身滚动了2.5周，则圆锥的母线长为 表面积 为 答案20cm224元cm2 解桐设圆锥的母线长为lcm,以S为圆心，SA为半径的圆的面积为S=πPcm2. 又圆锥的侧面积S1-8πlcm2,根据圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，得 πP=2.5×8πl,解得1=20. 故圆锥的表面积为S宽侧+Sa=π×8×20+π×82=224π(Cm2). 8.已知一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥里又有一个内切球求： (1)圆锥的侧面积 (2)圆锥内切球的体积 解1)如图，作出轴截面，则等腰三角形SAB内接于圆O,而圆O1内切于△SAB. 设圆0的半径为R,则有R3=972元，所以R=9.所以SE=2R-18 因为SD=16,所以ED=2. 连接AE,因为SE是直径，所以S4LAE,S4P=SDSE=16×18=288,所以SA=12Z. 因为AB⊥SD,所以AD2=SDDE=16×2=32 所以AD=4VZ 所以S国绿侧=π×4VZ×12VZ=96元 (2)设内切球O1的半径为r, 因为△S4B的周长为2×(12VZ+4v2)=32VZ 所以×32V2=×8V2×16,所以=4. 所以内切球01的体积V4等 挑战创新
答案 4 解析设球的半径为 r cm,放入 3 个球后,圆柱液面高度变为 6r cm,则有 πr 2·6r=8πr 2+3· 4 3 πr 3 ,即 2r=8,解得 r=4. 7.如图,把底面半径为 8 cm 的圆锥放倒在平面内,使圆锥在此平面内绕圆锥顶点 S 滚动,当这 个圆锥在平面内转回原位置时,圆锥本身滚动了 2.5 周,则圆锥的母线长为 ,表面积 为 . 答案 20 cm 224π cm2 解析设圆锥的母线长为 l cm,以 S 为圆心,SA 为半径的圆的面积为 S=πl 2 cm2 . 又圆锥的侧面积 S1=8πl cm2 ,根据圆锥在平面内转到原位置时,圆锥本身滚动了 2.5 周,得 πl 2=2.5×8πl,解得 l=20. 故圆锥的表面积为 S 圆锥侧+S 底=π×8×20+π×8 2=224π(cm2 ). 8.已知一个高为 16 的圆锥内接于一个体积为 972π 的球,在圆锥里又有一个内切球.求: (1)圆锥的侧面积. (2)圆锥内切球的体积. 解(1)如图,作出轴截面,则等腰三角形 SAB 内接于圆 O,而圆 O1 内切于△SAB. 设圆 O 的半径为 R,则有4 3 πR 3=972π,所以 R=9.所以 SE=2R=18. 因为 SD=16,所以 ED=2. 连接 AE,因为 SE 是直径,所以 SA⊥AE,SA2=SD·SE=16×18=288,所以 SA=12√2. 因为 AB⊥SD,所以 AD2=SD·DE=16×2=32, 所以 AD=4√2. 所以 S 圆锥侧=π×4√2×12√2=96π. (2)设内切球 O1 的半径为 r, 因为△SAB 的周长为 2×(12√2+4√2)=32√2, 所以1 2 r×32√2 = 1 2 ×8√2×16,所以 r=4. 所以内切球 O1 的体积 V 球= 4 3 πr 3= 256 3 π. 挑战创新
如图，已知圆柱底面圆直径为2，高为1，将其截成一个四棱柱，用和圆柱底面平行的平面截这个 四棱柱，得到的截面为矩形，设一条边长为x,截面的面积为A. (1)求面积A以x为自变量的函数关系式， (2)求出截得棱柱的体积的最大值 解1)横截面如图所示，由题意得A=xV4-x乙0<x<2). (2)=1xV4-x=4-(x2-2)2,国为0<x<2,所以当x=V2时，V=2 即截得棱柱的体积的最大值为2
如图,已知圆柱底面圆直径为 2,高为 1,将其截成一个四棱柱,用和圆柱底面平行的平面截这个 四棱柱,得到的截面为矩形,设一条边长为 x,截面的面积为 A. (1)求面积 A 以 x 为自变量的函数关系式; (2)求出截得棱柱的体积的最大值. 解(1)横截面如图所示,由题意得 A=x·√4-𝑥 2(0<x<2). (2)V=1·x√4-𝑥 2=√4-(𝑥 2-2) 2 ,因为 0<x<2,所以当 x=√2时,Vmax=2. 即截得棱柱的体积的最大值为 2