9.2.4总体离散程度的估计 课后·训练提升 基础巩固 1.已知样本a,3,5,7的平均数是b,且a,b是方程x2-5x+4=0的两个根，则这个样本的方差是 (） A.3 B.4 C.5 D.6 答案 解析2-5x+4=0的两根是1,4. 当a=1时，a,3,5,7的平均数是4； 当a=4时，a,3,5,7的平均数不是1. 国此a=1,b=4,则方差2-×[(1-42+(3-42+(5-42+(7-42]=5. 2.同一总体的两个样本，甲样本的方差是二乙样本的方差是1，则() A.甲的样本量比乙小 B.甲的波动比乙大 C.乙的波动比甲大D.乙的平均数比甲小 答案C 3.己知一组数据按从小到大的顺序排列，得到-1,0,4，x,7,14,中位数为5，则这组数据的平均数和 方差分别为( A5号 B.5号 C49 D4号 答案A 解韧1,04x7,14中位数为5，生-5，x=6, :这组敦据的平均数是1+0+4+6+7414-5，这组数据的方差是2×[-1-52+(0-5}2+(4-5P+6- 5+7-5+(14-5]-号 4.下列各组数据中方差最大的是(). A.5,5,5,5,5,5,5,5,5B.4,4,4,5,5,5,6,6,6 C.3,3,4,4,5,6,6,7,7 D.2,2,2,2,5,8,8,8,8 客案D 解析这四个选项的平均数相同，都是5，A最集中，B次之，D最分散，因此D中数据的方差最大 故选D 5.在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表 班级 人数 平均分数 方差 20 甲 30 乙
9.2.4 总体离散程度的估计 课后· 基础巩固 1.已知样本 a,3,5,7 的平均数是 b,且 a,b 是方程 x 2 -5x+4=0 的两个根,则这个样本的方差是 ( ). A.3 B.4 C.5 D.6 答案 C 解析 x 2 -5x+4=0 的两根是 1,4. 当 a=1 时,a,3,5,7 的平均数是 4; 当 a=4 时,a,3,5,7 的平均数不是 1. 因此 a=1,b=4,则方差 s 2= 1 4 ×[(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(7-4)2 ]=5. 2.同一总体的两个样本,甲样本的方差是1 2 ,乙样本的方差是 1,则( ). A.甲的样本量比乙小 B.甲的波动比乙大 C.乙的波动比甲大 D.乙的平均数比甲小 答案 C 3.已知一组数据按从小到大的顺序排列,得到-1,0,4,x,7,14,中位数为 5,则这组数据的平均数和 方差分别为( ). A.5,74 3 B.5,73 3 C.4,76 3 D.4,77 3 答案 A 解析∵-1,0,4,x,7,14 中位数为 5,∴ 4+𝑥 2 =5,∴x=6, ∴这组数据的平均数是-1+0+4+6+7+14 6 =5,这组数据的方差是1 6 ×[(-1-5)2+(0-5)2+(4-5)2+(6- 5)2+(7-5)2+(14-5)2 ]= 74 3 . 4.下列各组数据中方差最大的是( ). A.5,5,5,5,5,5,5,5,5 B.4,4,4,5,5,5,6,6,6 C.3,3,4,4,5,6,6,7,7 D.2,2,2,2,5,8,8,8,8 答案 D 解析这四个选项的平均数相同,都是 5,A 最集中,B 次之,D 最分散,因此 D 中数据的方差最大, 故选 D. 5.在高一期中考试中,甲、乙两个班的数学成绩统计如下表: 班级 人数 平均分数 方差 甲 20 x甲 2 乙 30 x乙 3
其中元甲=元乙，则两个班数学成绩的方差为( A.3 B.2 C.2.6 D.2.5 答案 解桐由题意可知两个班的数学成绩平均数为元=元甲=元乙，则两个班数学成绩的方差为 子02+收甲-]0003+2-]0002+”03-26 30 6.样本中共有5个个体，其值分别为α，0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本的标准差为 (） A目 B唱 C.2 D./2 答案D 解粉由题意得+0+1+2+3-1，解得a=-1, 5 故样本的标准差为S= -1-1)2+0-1)2+1-1)2+2-1)2+(3-1)2 =√Z 7.高三学生小丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩为（单位：分）：xy,105,109,110.已知该同 学五次数学成绩数据的平均数为108，方差为35.2，则x-的值为). A.15 B.16 C.17 D.18 客案p 解杨由题意得+y4105+109+10-108, ① 5 x-1082+y108+9+1+4-35.2, ② 5 由02解6-，支化97得=18故选D 8.己知一组数据x1,x2,…,x10的方差是2，且(x1-3)2+(2-3)2+…+(x10-3P=380,则这组数据的平均 数元=」 答案3或9 解桐：数据x1,2,…,x10的方差为2， 6-+6-++(0-月=2，即61-+(-2++0-=20，可得(x好+ x2+…+x0)-10元2=20 又(x1-3)2+(x2-3)2+…+(10-3)2=380, .(x子+x2+…+xo)-6(1+x2+…+x10)+10×32=380, .:20+10元2-6×10元+10×32=380， 元6-27-0，解得元=-3或=9 9.为了调查公司员工的健康状况，用分层随机抽样的方法抽取样本，已知所抽取的所有员工的 平均体重为60kg,标准差为60，男员工的平均体重为70kg,标准差为50，女员工的平均体重为 50kg,标准差为60，若样本中有20名男员工，则女员工的人数为 答案200
其中𝑥甲 = 𝑥乙,则两个班数学成绩的方差为( ). A.3 B.2 C.2.6 D.2.5 答案 C 解析由题意可知两个班的数学成绩平均数为𝑥 = 𝑥甲 = 𝑥乙 ,则两个班数学成绩的方差为 s 2= 20 20+30×[2+(𝑥甲 − 𝑥) 2 ]+ 30 20+30×[3+(𝑥乙 − 𝑥) 2 ]= 20 20+30×2+ 30 20+30×3=2.6. 6.样本中共有 5 个个体,其值分别为 a,0,1,2,3.若该样本的平均值为 1,则样本的标准差为 ( ). A.√ 6 5 B. 6 5 C.2 D.√2 答案 D 解析由题意得𝑎+0+1+2+3 5 =1,解得 a=-1, 故样本的标准差为 s= √(-1-1) 2+(0-1) 2+(1-1) 2+(2-1) 2+(3-1) 2 5 = √2. 7.高三学生小丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩为(单位:分):x,y,105,109,110.已知该同 学五次数学成绩数据的平均数为 108,方差为 35.2,则|x-y|的值为( ). A.15 B.16 C.17 D.18 答案 D 解析由题意得𝑥+𝑦+105+109+110 5 =108, ① (𝑥-108) 2+(𝑦-108) 2+9+1+4 5 =35.2, ② 由①②解得{ 𝑥 = 99, 𝑦 = 117或 { 𝑥 = 117, 𝑦 = 99, 得|x-y|=18.故选 D. 8.已知一组数据 x1,x2,…,x10 的方差是 2,且(x1-3)2+(x2-3)2+…+(x10-3)2=380,则这组数据的平均 数𝑥= . 答案-3 或 9 解析∵数据 x1,x2,…,x10 的方差为 2, ∴ 1 10[(x1-𝑥) 2+(x2-𝑥) 2+…+(x10-𝑥) 2 ]=2,即(x1-𝑥) 2+(x2-𝑥) 2+…+(x10-𝑥) 2=20,可得(𝑥1 2 + 𝑥2 2+…+𝑥10 2 )-10𝑥 2 =20. 又(x1-3)2+(x2-3)2+…+(x10-3)2=380, ∴(𝑥1 2 + 𝑥2 2+…+𝑥10 2 )-6(x1+x2+…+x10)+10×3 2=380, ∴20+10𝑥 2 -6×10𝑥+10×3 2=380, ∴𝑥 2 -6𝑥-27=0,解得𝑥=-3 或𝑥=9. 9.为了调查公司员工的健康状况,用分层随机抽样的方法抽取样本,已知所抽取的所有员工的 平均体重为 60 kg,标准差为 60,男员工的平均体重为 70 kg,标准差为 50,女员工的平均体重为 50 kg,标准差为 60,若样本中有 20 名男员工,则女员工的人数为 . 答案 200
解析设男、女员工的权重分别为0,0*，由题意可知2=0[s+(区男一x)]+ω$民女 1,即0502+(70-60月+1-w602+(50-60P1-=602,解得@s品0± 10因为样本中有20 名男员工，所以样本中女员工的人数为200 10.某校高一(1)班、(2)班各有49名学生，两班学生在一次数学测试（满分100分）中的成绩（单 位：分)统计如下表 班级 平均分 众数 中位数 标准差 高一(1)班 79 70 87 19.8 高一(2)班 79 70 79 5.2 (1)请你对下面的一段话给予简要分析： 高一(1)班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测试中，全班的平均分为79分，得70分的人最 多，我得了85分，在班里算是上游了” (2)请你根据表中的数据，对这两个班的测试情况进行简要分析，并提出教学建议 解1)由高一(1)班成绩的中位数是87分可知，85分排在25名以后，从名次上讲并不能说85 分在班里是上游，但也不能从这次测试的名次上来判断学习的好坏小刚得了85分，说明他对 这阶段的学习内容掌握得较好，从掌握的学习内容上讲也算是上游 (2)高一(1)班成绩的中位数是87分，说明高于87分的人数占一半左右，而平均分为79分，标 准差又很大，说明低分者很多，两极分化严重，建议加强对学习有困难的学生因材施教、个别 辅导. 高一(2)班成绩的中位数和平均数都是79分，标准差较小，说明学生成绩之间的差别也较小，学 习有很大困难的学生较少，但学习成绩突出的学生也很少，建议在保证全班学生成绩提高的同 时，让一部分同学的成绩更加优秀 拓展提高 1.(多选题)若样本1+x1,1+x2,1+x3,…,1+xm的平均数是10，方差为2，则对于样本 2+x1,2+x2,…,2+xm,下列结论正确的是() A.平均数是10 B.平均数是11 C.方差为2 D.方差为3 靥案BC 解桐若，，…，xn的平均数为元，方差为3，那么x1+a,2+a,…,xn+a的平均数为元+a,方差为S,故 选BC 2.某校高一年级有甲、乙、丙三名学生，他们前三次月考的物理成绩如表所示： 次序 第一次 第二次 第三次 学生甲 80 185 90 学生乙 81 183 85 学生丙 90 86 82 则下列结论正确的是( A甲、乙、丙第三次月考物理成绩的平均数为86 B.在这三次月考物理成绩中，甲的成绩平均分最高 C.在这三次月考物理成绩中，乙的成绩最稳定
解析设男、女员工的权重分别为 ω 男,ω 女,由题意可知 s 2=ω 男[𝑠男 2 +(𝑥男 − 𝑥) 2 ]+ω 女[𝑠女 2 +(𝑥女 − 𝑥) 2 ],即 ω 男[502+(70-60)2 ]+(1-ω 男)[602+(50-60)2 ]=602 ,解得 ω 男= 1 11,ω 女= 10 11,因为样本中有 20 名男员工,所以样本中女员工的人数为 200. 10.某校高一(1)班、(2)班各有 49 名学生,两班学生在一次数学测试(满分 100 分)中的成绩(单 位:分)统计如下表: 班级 平均分 众数 中位数 标准差 高一(1)班 79 70 87 19.8 高一(2)班 79 70 79 5.2 (1)请你对下面的一段话给予简要分析: 高一(1)班的小刚回家对妈妈说:“昨天的数学测试中,全班的平均分为 79 分,得 70 分的人最 多,我得了 85 分,在班里算是上游了!” (2)请你根据表中的数据,对这两个班的测试情况进行简要分析,并提出教学建议. 解(1)由高一(1)班成绩的中位数是 87 分可知,85 分排在 25 名以后,从名次上讲并不能说 85 分在班里是上游,但也不能从这次测试的名次上来判断学习的好坏.小刚得了 85 分,说明他对 这阶段的学习内容掌握得较好,从掌握的学习内容上讲也算是上游. (2)高一(1)班成绩的中位数是 87 分,说明高于 87 分的人数占一半左右,而平均分为 79 分,标 准差又很大,说明低分者很多,两极分化严重,建议加强对学习有困难的学生因材施教、个别 辅导. 高一(2)班成绩的中位数和平均数都是 79 分,标准差较小,说明学生成绩之间的差别也较小,学 习有很大困难的学生较少,但学习成绩突出的学生也很少,建议在保证全班学生成绩提高的同 时,让一部分同学的成绩更加优秀. 拓展提高 1.(多选题)若样本 1+x1,1+x2,1+x3,…,1+xn 的平均数是 10,方差为 2,则对于样本 2+x1,2+x2,…,2+xn,下列结论正确的是( ). A.平均数是 10 B.平均数是 11 C.方差为 2 D.方差为 3 答案 BC 解析若 x1,x2,…,xn 的平均数为𝑥,方差为 s,那么 x1+a,x2+a,…,xn+a 的平均数为𝑥+a,方差为 s,故 选 BC. 2.某校高一年级有甲、乙、丙三名学生,他们前三次月考的物理成绩如表所示: 次序 第一次 第二次 第三次 学生甲 80 85 90 学生乙 81 83 85 学生丙 90 86 82 则下列结论正确的是( ). A.甲、乙、丙第三次月考物理成绩的平均数为 86 B.在这三次月考物理成绩中,甲的成绩平均分最高 C.在这三次月考物理成绩中,乙的成绩最稳定
D.在这三次月考物理成绩中，丙的成绩方差最大 答案 解析由题中表格数据知，甲、乙、丙的第三次月考物理成绩的平均数为0+85+82=25？3,可知方差不可能为3，可知假设错误，则必符合该标志，则 C正确； D选项：若10天内数据为0,0,1,1,2,2,3,3,3,10，满足中位数为2，众数为3，存在超过7人的情况， 不符合该标志，则D错误」 5.一组数据2，x,4,6,10的平均数是5，则此组数据的标准差是 答案v2 解桐：·一组数据2，x,4,6,10的平均数是5， ,:2+x+4+6+10=5×5,解得x=3 :此组数据的方差2号×[(2-52+(3-52+(4-5}2+(6-52+(10-5门=8， :此组数据的标准差s=2V瓦
D.在这三次月考物理成绩中,丙的成绩方差最大 答案 C 解析由题中表格数据知,甲、乙、丙的第三次月考物理成绩的平均数为90+85+82 3 = 257 3 3,可知方差不可能为 3,可知假设错误,则必符合该标志,则 C 正确; D 选项:若 10 天内数据为 0,0,1,1,2,2,3,3,3,10,满足中位数为 2,众数为 3,存在超过 7 人的情况, 不符合该标志,则 D 错误. 5.一组数据 2,x,4,6,10 的平均数是 5,则此组数据的标准差是 . 答案 2√2 解析∵一组数据 2,x,4,6,10 的平均数是 5, ∴2+x+4+6+10=5×5,解得 x=3, ∴此组数据的方差 s 2= 1 5 ×[(2-5)2+(3-5)2+(4-5)2+(6-5)2+(10-5)2 ]=8, ∴此组数据的标准差 s=2√2
挑战创新 某超市从全年甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，整理得到 如下数据分组及频率分布表和频率分布直方图： 分组（日销售量） 频率（甲种酸奶） [0,10) 0.10 10,20) 0.20 20.30) 0.30 30.40) 0.25 [40,50] 0.15 ↑频率/组距 0.030 0.025 0.020 0.010 1020304050乙种酸奶日销售量/箱 频率/组距 1020304050甲种酸奶日销售量/箱 (1)写出频率分布直方图中α的值，并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图； (2)记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为s子，s子，试比较s子和s的大小 (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中间值代替，试估计乙种酸奶在未来一个月（按 30天计算)的销售总量 解1)由乙种酸奶日销量的频率分布直方图可得，(0.020+0.010+0.030+a+0.025)×10-1,解得 a=0.015. 根据题中数据可得，甲种酸奶日销售量的频率分布直方图如下： ↑颜率组距 0.030f-r- 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 01020304050甲种酸奶日销售矗/箱 (2)记甲、乙两种酸奶日销售量的平均数分别为元甲，元乙，由频率分布直方图可 得，元m=5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.25+45×0.15=26.5,元2=5×0.2+15×0.1+25×0.3+35×0.15 +45×0.25=26.5,因此s2=(5-26.5)2×0.1+(15-26.5)2×0.2+(25-26.5)2×0.3+(35-26.5)2×0.25+(45-
挑战创新 某超市从全年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位:箱)的数据中分别随机抽取 100 个,整理得到 如下数据分组及频率分布表和频率分布直方图: 分组(日销售量) 频率(甲种酸奶) [0,10) 0.10 [10,20) 0.20 [20,30) 0.30 [30,40) 0.25 [40,50] 0.15 (1)写出频率分布直方图中 a 的值,并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图; (2)记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量(单位:箱)的方差分别为𝑠1 2 ,𝑠2 2 ,试比较𝑠1 2和𝑠2 2的大小; (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中间值代替,试估计乙种酸奶在未来一个月(按 30 天计算)的销售总量. 解(1)由乙种酸奶日销量的频率分布直方图可得,(0.020+0.010+0.030+a+0.025)×10=1,解得 a=0.015. 根据题中数据可得,甲种酸奶日销售量的频率分布直方图如下: (2)记甲、乙两种酸奶日销售量的平均数分别为𝑥甲 , 𝑥乙 ,由频率分布直方图可 得,𝑥甲 =5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.25+45×0.15=26.5,𝑥乙 =5×0.2+15×0.1+25×0.3+35×0.15 +45×0.25=26.5,因此𝑠1 2=(5-26.5)2×0.1+(15-26.5)2×0.2+(25-26.5)2×0.3+(35-26.5)2×0.25+(45-
26.5)2×0.15=142.75,s2=(5-26.5)2×0.2+(15-26.5)2×0.1+(25-26.52×0.3+(35-26.5)2×0.15+(45- 26.5)2×0.25-202.75,即s1<s2. (3)乙种酸奶的平均日销售量为x=5×0.20+15×0.10+25×0.30+35×0.15+45×0.25=26.5(箱)，估 计乙种酸奶未来一个月的销售量为26.5×30=795（箱）
26.5)2×0.15=142.75,𝑠2 2=(5-26.5)2×0.2+(15-26.5)2×0.1+(25-26.5)2×0.3+(35-26.5)2×0.15+(45- 26.5)2×0.25=202.75,即𝑠1 2 < 𝑠2 2 . (3)乙种酸奶的平均日销售量为𝑥=5×0.20+15×0.10+25×0.30+35×0.15+45×0.25=26.5(箱),估 计乙种酸奶未来一个月的销售量为 26.5×30=795(箱)