志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1空间直角坐标系 课后·训练提升 1.点P(a,b,c)到坐标平面Oxy的距离是() A.Va2+b2 B.lal C. D.Icl 答案p 解析国为点P在Oy平面内的射影为P(a,b,0),所以PP'=c 2.在空间直角坐标系Oz中，点P(3,1,5)关于Ox平面的对称点的坐标为() A.(3,-1,5) B.(-3,-1,5) C.(3,-1,-5) D.(-3,1,-5) 答案A 3.若点P(-4,-2,3)关于Oy平面及y轴的对称点的坐标分别为a,b,c,(e,fd),则c与e的和为() A.7 B.-7 C.-1 D.1 含案p 解析由题意知，点P关于0y平面的对称点的坐标为(4，-2-3)，点P关于y轴的对称点的坐标为(4 2,-3),故c=-3,e=4,故c+e=-3+4=1. 4.在空间直角坐标系Ooz中，过点P(1,V2,√3)作Oy平面的垂线，垂足为Q,则点Q的坐标为() A.(0,0,3) B.(0,VZ,V3) C.(1,0,3) D.(1,V2,0) 答案D 5.在空间直角坐标系Ooz中，点M的坐标为(4,7,6)，则点M关于y轴的对称点在Oxz平面内的射影的 坐标为() A.(4,0,6) B.(-4,7,-6) C.(-4,0,-6) D.(-4,7,0) 答案c 解析点M关于y轴的对称点是M(-4,7,-6,点M在0x平面内的射影的坐标为(4,0，-6). 6.点M(-1,-2,3)关于x轴的对称点的坐标是
1 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1 空间直角坐标系 课后· 1.点 P(a,b,c)到坐标平面 Oxy 的距离是( ) A.√𝑎 2 + 𝑏 2 B.|a| C.|b| D.|c| 答案:D 解析:因为点 P 在 Oxy 平面内的射影为 P'(a,b,0),所以 PP'=|c|. 2.在空间直角坐标系 Oxyz 中,点 P(3,1,5)关于 Oxz 平面的对称点的坐标为( ) A.(3,-1,5) B.(-3,-1,5) C.(3,-1,-5) D.(-3,1,-5) 答案:A 3.若点 P(-4,-2,3)关于 Oxy 平面及 y 轴的对称点的坐标分别为(a,b,c),(e,f,d),则 c 与 e 的和为( ) A.7 B.-7 C.-1 D.1 答案:D 解析:由题意知,点 P 关于 Oxy 平面的对称点的坐标为(-4,-2,-3),点 P 关于 y 轴的对称点的坐标为(4,- 2,-3),故 c=-3,e=4,故 c+e=-3+4=1. 4.在空间直角坐标系 Oxyz 中,过点 P(1,√2,√3)作 Oxy 平面的垂线,垂足为 Q,则点 Q 的坐标为( ) A.(0,0,√3) B.(0,√2,√3) C.(1,0,√3) D.(1,√2,0) 答案:D 5.在空间直角坐标系 Oxyz 中,点 M 的坐标为(4,7,6),则点 M关于 y 轴的对称点在 Oxz 平面内的射影的 坐标为( ) A.(4,0,6) B.(-4,7,-6) C.(-4,0,-6) D.(-4,7,0) 答案:C 解析:点 M 关于 y 轴的对称点是 M'(-4,7,-6),点 M'在 Oxz 平面内的射影的坐标为(-4,0,-6). 6.点 M(-1,-2,3)关于 x 轴的对称点的坐标是
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 图案-1,2-3) 7.己知向量p用基底{a,b,c}可表示为8a+6b+4c,其中a=i+j,b=jtk,c=k+i,则向量p在空间的一个单位 正交基底ij,k}下的坐标为 答案12,14,10) 解析由题意可知，p=8(i+j)+6+k)+4k+i)=12i+14j+10k=(12,14,10). 8.在空间直角坐标系Oz中，点M(-2,4,-3)在Oxz平面内的射影为点M,则点M关于原点的对称点 的坐标为 管案20,3) 解析由题意知，点M的坐标为(-2,0，-3)，故点M关于原点的对称点的坐标为(20,3) 9.在直三棱柱AB0-A1B1O1中，∠AOB-240=4,B0=2,AM1=4,D为AB1的中点，建立适当的空间直角坐 标系，求D0,A1B的坐标. 0 B D B 解如图，以，丽，00}为单位正交基底，建立空间直角坐标系O 则0丽=41,0丽-2j,00-4k,故D0=0而=-(00+01D)=00+20+0丽J-00-20-0丽- 2i-j-4k=(-2,-1,-4) A1B=0E-0A=0元-(0A+00=0元-0A-00=.4i+2j-4k-(-4,2,-4). 2
2 答案:(-1,2,-3) 7.已知向量 p 用基底{a,b,c}可表示为 8a+6b+4c,其中 a=i+j,b=j+k,c=k+i,则向量 p 在空间的一个单位 正交基底{i,j,k}下的坐标为 . 答案:(12,14,10) 解析:由题意可知,p=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k=(12,14,10). 8.在空间直角坐标系 Oxyz 中,点 M(-2,4,-3)在 Oxz 平面内的射影为点 M1,则点 M1关于原点的对称点 的坐标为 . 答案:(2,0,3) 解析:由题意知,点 M1 的坐标为(-2,0,-3),故点 M1关于原点的对称点的坐标为(2,0,3). 9.在直三棱柱 ABO-A1B1O1 中,∠AOB=π 2 ,AO=4,BO=2,AA1=4,D 为 A1B1的中点,建立适当的空间直角坐 标系,求𝐷𝑂⃗⃗ ,𝐴⃗⃗⃗ 1 ⃗⃗𝐵 的坐标. 解:如图,以 1 4 𝑂𝐴⃗⃗⃗ , 1 2 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ , 1 4 𝑂𝑂1 ⃗⃗⃗ ⃗ 为单位正交基底,建立空间直角坐标系 Oxyz, 则𝑂𝐴⃗⃗⃗ =4i,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =2j,𝑂𝑂1 ⃗⃗⃗ ⃗ =4k,故𝐷𝑂⃗⃗ =-𝑂𝐷⃗⃗ =-(𝑂𝑂1 ⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑂⃗⃗ 1 ⃗𝐷⃗ )=- 𝑂𝑂1 ⃗⃗⃗ ⃗ + 1 2 (𝑂𝐴⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ ) =-𝑂𝑂1 ⃗⃗⃗ ⃗ − 1 2 𝑂𝐴⃗⃗⃗ − 1 2 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =- 2i-j-4k=(-2,-1,-4), 𝐴⃗⃗⃗ 1 ⃗⃗𝐵 = 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐴1 ⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ -(𝑂𝐴⃗⃗⃗ + 𝑂𝑂1 ⃗⃗⃗ ⃗ )=𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐴⃗⃗⃗ − 𝑂𝑂1 ⃗⃗⃗ ⃗ =-4i+2j-4k=(-4,2,-4)