5.2.3简单复合函数的导数 一、教材分析 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习简单复 合函数的导数 本节内容通对复合函数的概念及其求导法则的学习，帮助学生进一步提高导数的运算能力，同 时提升学生为运用导数解决函数问题，打下坚实的基础。在学习过程中，注意特殊到一般、数形结 合、转化与化归的数学思想方法的渗透。 二、学情分析 从问题出发，引导学生探究复合函数的求导问题，并通过思考、讨论、练习进一步提升学生 的求导能力，发展学生的数学运算、逻辑推理等核心素养。 三、教学目标 课程目标 学科素养 A了解复合函数的概念 1数学抽象：复合函数 B.理解复合函数的求导法则，并能求简单 的复合函数的导数 2.逻辑推理：复合函数的求导法则 3数学运算：复合函数的求导 四、教学重难点 重点：复合函数的概念及求导法则 难点：复合函数的导数 五、课前准备 (一)学习资源 (二)学习任务单 (三)教学方法及工具：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。 多媒体。 六、教学过程 (一)新知探究 探究1.如何求y=(1+x)3导数呢？ 若求y=(1+x)的导数呢？还有其它求导方法吗？ 探究2.如何求y=ln(2x-1)导数呢？ 分析：函数y=ln(2x一1)不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的， 所以无法用现有的方法求它的导数，下面，我们分析这个函数的结构特点 若设u=2x-1(c>》,购=mu
5.2.3 简单复合函数的导数 一、教材分析 本节课选自《2019 人教 A 版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习简单复 合函数的导数 本节内容通对复合函数的概念及其求导法则的学习，帮助学生进一步提高导数的运算能力，同 时提升学生为运用导数解决函数问题，打下坚实的基础。在学习过程中，注意特殊到一般、数形结 合、转化与化归的数学思想方法的渗透。 二、学情分析 从问题出发，引导学生探究复合函数的求导问题，并通过思考、讨论、练习进一步提升学生 的求导能力，发展学生的数学运算、逻辑推理等核心素养。 三、教学目标 课程目标 学科素养 A.了解复合函数的概念． B．理解复合函数的求导法则，并能求简单 的复合函数的导数． 1.数学抽象：复合函数 2.逻辑推理：复合函数的求导法则 3.数学运算：复合函数的求导 四、教学重难点 重点： 复合函数的概念及求导法则 难点：复合函数的导数 五、课前准备 （一）学习资源 （二）学习任务单 （三）教学方法及工具：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。 多媒体。 六、教学过程 （一）新知探究 探究 1. 如何求 导数呢？ 若求 的导数呢？还有其它求导方法吗？ 探究 2. 如何求 导数呢？ 分析：函数 不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的， 所以无法用现有的方法求它的导数，下面，我们分析这个函数的结构特点 若设 ( ) 则
从而=ln(2x-1)可g看成是面=m=2x-1(x>》 经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量表示为自变量x的函数。 如果牺y与u的关系记作=f(u),ur的关系记作u=g(x), 那么这个复合”过程可表示为 若设y=f(u)=f(g(x)=ln(2x-1) 1.复合函数的概念 一般地，对于两个函数y=∫()和u=gx),如果通过中间变量山，y可以表示成x的函数，那么 称这个函数为函数y=f()和u=gx)的复合函数，记作 y=f(g(x)) 思考：函数y=log2(x十1)是由哪些函数复合而成的？ [提示]函数y=log2(x十1)是由y=log2u及u=x十1 两个函数复合而成的， 探究3：求函数y=sin2x的导数 分析：令u=2x,得y=sinu 以y以表示y对x的导数，y表示y对u的导数，一方面， y=(sin2x)=(2sinxcosx)'=[(sinx)'.cosx+sinx.(cosx)] 2[cosx.cosx+sinx.(-sinx)]=2(cos2x-sin2x)=2cos2x 另一方面yh=(sinu)=cosu,u以=(2x)=2 可以发现yX=2c0s2x =c0su·2=yH·以 2.复合函数的求导法则 复合函数y=∫(g(x)》的导数和函数y=f(w),u=gx)的导数间的关系为yx=,即y对x的 导数等于 (二)典例解析 例6.求下列函数的导数 1)y=3x+5)3: (2)y=e-0.05x+1; (3)y=n(2x-1) 解：(1)函数 y=(3x+5)3可以看作函数y=u3和=3x+5的复合函数，根据复合函数求导法则，有 =·4=(u3)'·(3x+5)'-3u3×3=93x+5)3
从而 可以看成是由 和 ( ) 经过 复合 得到的，即 可以通过中间变量 表示为自变量 的函数。 如果把 与 的关系记作 ， 和 的关系记作 ， 那么这个 复合 过程可表示为 若设 ( ) 1．复合函数的概念 一般地，对于两个函数 y＝f (u)和 u＝g(x)，如果通过中间变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么 称这个函数为函数 y＝f (u)和 u＝g(x)的复合函数，记作__________． y＝f (g(x)) 思考：函数 y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？ [提示] 函数 y＝log2(x＋1)是由 y＝log2u 及 u＝x＋1 两个函数复合而成的． 探究 3： 求函数 的导数 分析：令 ,得 以 表示 对 的导数， 表示 对 的导数，一方面， = =2[ ] 2[ ] 另一方面 = ， =2 可以发现 2．复合函数的求导法则 复合函数 y＝f (g(x))的导数和函数 y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为 y′x＝______，即 y 对 x 的 导数等于_________________________ _______． （二）典例解析 例 6.求下列函数的导数 （1） （ ） （2） (3) 解：（1）函数 （ ） 可以看作函数 和 的复合函数，根据复合函数求导法则，有 = = 3= （ ）
(2)函数 y=eo.05x+1可以看作函数=e“u=-0.05x+1的复合函数，根据复合函数求导法则，有 y=yh=(e)·(-0.05x+1)'=-0.05eu=-0.05e-0.05x+1 (3)函数 y=ln(2x-1)可以看成是y=lmuu=2x-1的复合函数，根据复合函数求导法则，有 g=发4=（四·2x-1)=-2×2是 1.解答此类问题常犯两个错误 (1)不能正确区分所给函数是否为复合函数： (2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成. 2.复合函数求导的步骤 分解 选定中间变量，正确分解复合关系，即 说明函数关系y=,w=g) 分步求导（弄清每一步求导是哪个变量 人求导) 对哪个变量求导)，要特别注意中间变量 对自变量求导，即先求y,再求： 何代 计算y1·,并把中间变量转化为自变 量的函数 跟踪训练1求下列函数的导数： (1y=e24+1:(2y=2x-19 In 3x (3y=51og2(1-x):(4)y= 例7某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：m),关于时间t(单位：s)的函数满足关系式 y=18sin(径t- 求函数在时的导数，并解释它的实际意义。 解：函数=18sin(受t-可以看作函数y=18 sinu fhu=牙t-的复合函数，根据复合函数的 求导法则，有 片=yh·=(18sin0)·t- =18c0su×-12πcos(径t- 当t=时，4=12πcos(受)=-0 它表示当t=3s时，弹簧振子振动的瞬时速度为0mm/s
（2）函数 可以看作函数 和 的复合函数，根据复合函数求导法则，有 = = = （3）函数 可以看成是由 和 的复合函数，根据复合函数求导法则，有 = = = 1．解答此类问题常犯两个错误 (1)不能正确区分所给函数是否为复合函数； (2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成． 2．复合函数求导的步骤 跟踪训练 1 求下列函数的导数： (1)y＝e 2x＋1 ；(2)y＝ 1 2x－1 3； (3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝ ln 3x e x . 例 7 某个弹簧振子在振动过程中的位移 (单位:mm),关于时间 (单位:s)的函数满足关系式 . 求函数在时的导数，并解释它的实际意义。 解：函数 可以看作函数 和 的复合函数，根据复合函数的 求导法则，有 = = = 当 =3 时， 它表示当 =3s 时，弹簧振子振动的瞬时速度为 0mm/s
跟踪训练2求下列函数的导数： （wy=cos{(sincos (2)y=x2+tanx. (三)小结点评 1,求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数：②求导时分清是对哪个变量求 导：③计算结果尽量简洁。 2.和与差的运算法则可以推广 [fxx2壮fxJ'=f'(xf(x壮..f"(x). (四)作业布置 七、教学反思
跟踪训练 2 求下列函数的导数： (1)y＝cos x 2 sin x 2 －cos x 2 ； (2)y＝x 2＋tan x. （三）小结点评 1．求复合函数的导数的注意点：①分解的函数通常为基本初等函数；②求导时分清是对哪个变量求 导；③计算结果尽量简洁． 2．和与差的运算法则可以推广 [f (x1)±f (x2)±…±f (xn)]′＝f ′(x1)±f ′(x2)±…±f ′(xn)． （四）作业布置 七、教学反思