志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 3.3抛物线 3.3.1 抛物线及其标准方程 课后·训练提升 基础巩固 1.若动点P到定点F(1,1)的距离与它到直线1：3x+y-4=0的距离相等，则动点P的轨迹是() A椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线 答案D 解析：设动点P的坐标为(xy),则由题意可得 x-12+0y-1)2=3x4,化简、鉴理，得-3y+2=0,所以 V10 动点P的轨迹为直线 2.若抛物线y2-2px的焦点为3,0)，则下列点中，在抛物线y2-2px上的是() A.(1,2) B.(3,-6) C.(2,-2) D.(1,6 答案B 解析：由于抛物线2-2pr的焦点为(3,0)，则抛物线方程为2-12x,故(3，-6)在该抛物线上. 3.若抛物线x2=2p(P>0)的焦点到直线y=V3x的距离等于2，则抛物线的方程为() Ax- B.- C.x2=8y D.x2=16y 答案D 解析物线矿=2p00的兵点为0引，因比有-2解得p=8故能物线方程为=16 V3+1 4抛物线过原点，焦点在y轴上，其上一点P(m,1)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程是() A.)2=16x B.x2=16y C.x2=8y D.x2=-8y 答案：B 解析：由题意，知抛物线开口向上，所以可设抛物线的标准方程为x2-2pp>0),于是1+-5，解得p=8, 故抛物线的标准方程是x2=16y 1
1 3.3 抛物线 3.3.1 抛物线及其标准方程 课后· 基础巩固 1.若动点 P 到定点 F(1,1)的距离与它到直线 l:3x+y-4=0 的距离相等,则动点 P 的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线 答案:D 解析:设动点 P 的坐标为(x,y),则由题意可得√(𝑥-1) 2 + (𝑦-1) 2 = |3𝑥+𝑦-4| √10 ,化简、整理,得 x-3y+2=0,所以 动点 P 的轨迹为直线. 2.若抛物线 y 2=2px 的焦点为(3,0),则下列点中,在抛物线 y 2=2px 上的是( ) A.(1,2) B.(3,-6) C.(2,-2) D.(1,√6) 答案:B 解析:由于抛物线 y 2=2px 的焦点为(3,0),则抛物线方程为 y 2=12x,故(3,-6)在该抛物线上. 3.若抛物线 x 2=2py(p>0)的焦点到直线 y=√3x 的距离等于 2,则抛物线的方程为( ) A.x 2= 8√3 3 y B.x 2= 16√3 3 y C.x 2=8y D.x 2=16y 答案:D 解析:抛物线 x 2=2py(p>0)的焦点为(0, 𝑝 2 ),因此有 |√3×0- 𝑝 2 | √3+1 =2,解得 p=8,故抛物线方程为 x 2=16y. 4.抛物线过原点,焦点在 y 轴上,其上一点 P(m,1)到焦点的距离为 5,则抛物线的标准方程是( ) A.y 2=16x B.x 2=16y C.x 2=8y D.x 2=-8y 答案:B 解析:由题意,知抛物线开口向上,所以可设抛物线的标准方程为 x 2=2py(p>0),于是 1+ 𝑝 2 =5,解得 p=8, 故抛物线的标准方程是 x 2=16y
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 5.己知F为抛物线y2=12x的焦点，M为抛物线上一点，由M向抛物线的准线作垂线，垂足为N,若 INF=10,则MF=() A B C D号 答案B 解析：记准线与x轴的交点为A,因为AF=6,WF=10,所以4N=8,即点M的纵坐标为8或-8，则 w号=9故wAwu号=兰+3台 6.设F为抛物线C=4x的焦点，曲线yk>0)与抛物线C交于点P,PFLx轴，则k=(） A月 B.1 c D.2 答案：D 解析：易知F(1,0),设Px0,o),由于PF⊥x轴，所以x0=1,代入抛物线方程可得地=200=-2舍去)，把 P(1,2)的坐标代入曲线方程k>0)得k=2 7.若点P(x,y)到点F(0,-5)的距离比它到直线y=4的距离大1，则点P的轨迹方程为() A.x2=16y B.x2=-16y C.x2-=20y D.x2=-20y 答案D 解析：依题意知，点P(x,)到点F0,-5)的距离与它到直线y=5的距离相等，并且点F0,-5)不在直线y=5 上，所以点P的轨迹是抛物线，并且F是焦点，直线y=5是准线，于是点P的轨迹方程为x2-20y 8.(多选题)已知点A(-2,4)在抛物线2=-2px(p>0)上，抛物线的焦点为F,延长AF与抛物线交于点B,则 下列结论正确的是() A.抛物线的准线方程为x=2 B.抛物线的焦点坐标为(-2,0) C.点B坐标为(-2，-2) 2
2 5.已知 F 为抛物线 y 2=12x 的焦点,M 为抛物线上一点,由 M 向抛物线的准线作垂线,垂足为 N,若 |NF|=10,则|MF|=( ) A. 16 3 B. 25 3 C. 28 3 D. 32 3 答案:B 解析:记准线与 x 轴的交点为 A,因为|AF|=6,|NF|=10,所以|AN|=8,即点 M 的纵坐标为 8或-8,则 xM= 8 2 12 = 16 3 ,故|MF|=xM+ 𝑝 2 = 16 3 +3= 25 3 . 6.设 F 为抛物线 C:y 2=4x 的焦点,曲线 y= 𝑘 𝑥 (k>0)与抛物线 C 交于点 P,PF⊥x 轴,则 k=( ) A. 1 2 B.1 C. 3 2 D.2 答案:D 解析:易知 F(1,0),设 P(x0,y0),由于 PF⊥x 轴,所以 x0=1,代入抛物线方程可得 y0=2(y0=-2 舍去),把 P(1,2)的坐标代入曲线方程 y= 𝑘 𝑥 (k>0)得 k=2. 7.若点 P(x,y)到点 F(0,-5)的距离比它到直线 y=4 的距离大 1,则点 P 的轨迹方程为( ) A.x 2=16y B.x 2=-16y C.x 2=20y D.x 2=-20y 答案:D 解析:依题意知点 P(x,y)到点 F(0,-5)的距离与它到直线 y=5 的距离相等,并且点 F(0,-5)不在直线 y=5 上,所以点 P 的轨迹是抛物线,并且 F 是焦点,直线 y=5 是准线,于是点 P 的轨迹方程为 x 2=-20y. 8.(多选题)已知点 A(-2,4)在抛物线 y 2=-2px(p>0)上,抛物线的焦点为 F,延长 AF 与抛物线交于点 B,则 下列结论正确的是( ) A.抛物线的准线方程为 x=2 B.抛物线的焦点坐标为(-2,0) C.点 B 坐标为(-2,-2)
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org D.△OAB的面积为8 答案：ABD 解析：将点A(-2,4)的坐标代入抛物线方程可得p=4,因此抛物线方程为2-8x,于是准线方程为x=2,焦 点坐标为(-2,0)，故A,B项正确；又易知AF⊥x轴，所以B-2,-4),故C项错误；又因为AB=8,所以 Sa04B8x2=8,故D项正确 9.设A,B是抛物线x2=4y上两点，O为原点，若1OA=OB,且△4OB的面积为16，则∠AOB等于() A.60° B.90° C.120° D.150° 答案B 解析：由OA=O8,知地物钱上点A,B关于y轴对称设4A(a,)(a,)其中a>0),由 SA108宁2ax号-16，解得a=4,所以△A0B为等腰直角三角形，∠A0B=90° 10.己知F为抛物线y2=-8x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，A在抛物线上，且AF可=4，则 IPA+POI的最小值是 答案：2V13 解析：由4F=4及抛物线定义得点A到准线的距离为4，所以，点A的横坐标为-2，所以AF⊥x轴，因此 不妨设A(-2,4),因为原点关于准线的对称点的坐标为B(4,0),所以PA+PO1的最小值为 |4B=V36+16=2√13 11.一座抛物线形拱桥如图所示，设水面宽AB引-18米，拱顶距离水面8米，一条货船在水面上的部分的 横断面为一矩形CDEF.若|CD=9米，那么DE不超过多少米才能使货船通过拱桥？ D 解：如图所示，以点O为原点，过点O且平行于AB的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平 面直角坐标系，则B(9,-8) 设抛物线方程为x2=-2pp>0). 因为点B在抛物线上，所以81=-2p(-8), 所以p器所以兆物线的方程为2受 3
3 D.△OAB 的面积为 8 答案:ABD 解析:将点 A(-2,4)的坐标代入抛物线方程可得 p=4,因此抛物线方程为 y 2=-8x,于是准线方程为 x=2,焦 点坐标为(-2,0),故 A,B 项正确;又易知 AF⊥x 轴,所以 B(-2,-4),故 C 项错误;又因为|AB|=8,所以 S△OAB= 1 2 ×8×2=8,故 D 项正确. 9.设 A,B 是抛物线 x 2=4y 上两点,O 为原点,若|OA|=|OB|,且△AOB 的面积为 16,则∠AOB 等于( ) A.60° B.90° C.120° D.150° 答案:B 解析:由|OA|=|OB|,知抛物线上点 A,B 关于 y 轴对称.设 A(-𝑎, 𝑎 2 4 ),B(𝑎, 𝑎 2 4 )(其中 a>0),由 S△AOB= 1 2 ×2a× 𝑎 2 4 =16,解得 a=4,所以△AOB 为等腰直角三角形,∠AOB=90°. 10.已知 F 为抛物线 y 2=-8x 的焦点,O 为原点,点 P 是抛物线准线上一动点,A 在抛物线上,且|AF|=4,则 |PA|+|PO|的最小值是 . 答案:2√13 解析:由|AF|=4 及抛物线定义得点 A 到准线的距离为 4,所以点 A 的横坐标为-2,所以 AF⊥x 轴,因此 不妨设 A(-2,4).因为原点关于准线的对称点的坐标为 B(4,0),所以|PA|+|PO|的最小值为 |AB|=√36 + 16=2√13. 11.一座抛物线形拱桥如图所示,设水面宽|AB|=18 米,拱顶距离水面 8 米,一条货船在水面上的部分的 横断面为一矩形 CDEF.若|CD|=9 米,那么|DE|不超过多少米才能使货船通过拱桥? 解:如图所示,以点 O 为原点,过点 O 且平行于 AB 的直线为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立平 面直角坐标系,则 B(9,-8). 设抛物线方程为 x 2=-2py(p>0). 因为点 B 在抛物线上,所以 81=-2p·(-8), 所以 p= 81 16,所以抛物线的方程为 x 2=- 81 8 y
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 当x=时，=-2，则DE1=8-2=6. 故DE不超过6米才能使货船通过拱桥 拓展提高 1.设抛物线y的焦点为F,点P在抛物线上，则PF=3”是“点P到x轴的距离为2”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：C 解析：抛物线方程化为P=4,所以-1，由于点P在抛物线上，所以PF=3,即点P到准线的距离为3，国 此P到x轴的距离为3-1=2.故是充要条件。 2.已知点F是抛物线=2x2的焦点，M,W是该抛物线上的两点，若MF+WF-头则线段MN中点的纵 坐标为( A月 B.2 c D.3 答案B 解析：抛物线方程为2-，设线段MN的中点为Q(0,o),过点MN,Q分别作准线的垂线，垂足分别为 M,M,Q,则有MF+WF-MM+WNl=2100-子，所以1QQ-是因此日=号解得n=2 3.抛物线C2-8x的焦点为F,准线为1，P是准线I上一点，连接P℉并延长交抛物线C于点Q,若 IPFI-PO,则OF=() A.3 B.4 C.5 D.6 答案：C 解析：由点Q向抛物线的准线作垂线，垂足为Q1,设准线与x轴的交点为M由于△PMF∽△PQQ,所以 兴8=踢=善国为MA-4所以QQ=5故1QA=001=5 4.己知点A(3,0),点P在抛物线y2=4x上，过点P的直线与直线x=-1垂直，垂足为点B,1PB=PA,则cos ∠APB的值为() A月 B时 c 4
4 当 x= 9 2 时,y=-2,则|DE|=8-2=6. 故|DE|不超过 6 米才能使货船通过拱桥. 拓展提高 1.设抛物线 y= 1 4 x 2 的焦点为 F,点 P 在抛物线上,则“|PF|=3”是“点 P 到 x 轴的距离为 2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:C 解析:抛物线方程化为 x 2=4y,所以𝑝 2 =1,由于点 P 在抛物线上,所以|PF|=3,即点 P 到准线的距离为 3,因 此 P 到 x 轴的距离为 3-1=2.故是充要条件. 2.已知点 F 是抛物线 y=2x 2 的焦点,M,N 是该抛物线上的两点,若|MF|+|NF|=17 4 ,则线段 MN 中点的纵 坐标为( ) A. 3 2 B.2 C. 5 2 D.3 答案:B 解析:抛物线方程为 x 2= 1 2 y,设线段 MN 的中点为 Q(x0,y0),过点 M,N,Q 分别作准线的垂线,垂足分别为 M1,N1,Q1,则有|MF|+|NF|=|MM1|+|NN1|=2|QQ1|=17 4 ,所以|QQ1|=17 8 ,因此 y0+ 1 8 = 17 8 ,解得 y0=2. 3.抛物线 C:y 2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是准线 l 上一点,连接 PF 并延长交抛物线 C 于点 Q,若 |PF|=4 5 |PQ|,则|QF|=( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案:C 解析:由点 Q 向抛物线的准线作垂线,垂足为 Q1,设准线与 x 轴的交点为 M,由于△PMF∽△PQ1Q,所以 |𝑀𝐹| |𝑄1 𝑄| = |𝑃𝐹| |𝑃𝑄| = 4 5 ,因为|MF|=4,所以|Q1Q|=5.故|QF|=|Q1Q|=5. 4.已知点 A(3,0),点 P 在抛物线 y 2=4x 上,过点 P 的直线与直线 x=-1 垂直,垂足为点 B,|PB|=|PA|,则 cos ∠APB 的值为( ) A. 1 2 B. 1 3 C.- 1 2 D.- 1 3
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 答案D 解析：由题意可得F(1,0),PB=PF,又因为IPB=PAL,所以PA=|PF1,所以点P的坐标为(2，±2V),于 是点B的坐标为(-L,±2V2,国而AB到-2V6,PB1=PA=3,所以cos∠APBP+PA-M= 2PB PAI 0片 2×3×3 5.与圆x2+y24x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是() A.y2=8x By2=8x(x>0)或y=0(x0)或y=0(x<0). 6.已知P为抛物线y2=4x上的动点，且点P到抛物线的准线的距离为d,Q为圆6x+2)2+0y4)2=1上一个 动点，则d+PQI的最小值为( A.5 B.4 C.25+1 D.13+1 答案B 解析：过点P作抛物线准线的垂线，垂足为点N.由抛物线的定义知，d=PF1,如图所示.连接圆心C与F 交圆C于点Q,交抛物线于点P,此即为使d+PQ最小时点P的位置 所以(d+PQI)min=PF+PC-1=FC-1. 因为C-2,4),F1,0) 所以Fq=(-2-1)2+(4-02=5, 所以(d+|PQ)min=5-1=4 故选B. 5
5 答案:D 解析:由题意可得 F(1,0),|PB|=|PF|,又因为|PB|=|PA|,所以|PA|=|PF|,所以点 P 的坐标为(2,±2√2),于 是点 B 的坐标为(-1,±2√2),因而|AB|=2√6,|PB|=|PA|=3,所以 cos∠APB=|𝑃𝐵| 2+|𝑃𝐴| 2 -|𝐴𝐵| 2 2·|𝑃𝐵|·|𝑃𝐴| = 3 2+3 2 -(2√6) 2 2×3×3 =- 1 3 . 5.与圆 x 2+y2 -4x=0 外切,且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程是( ) A.y 2=8x B.y 2=8x(x>0)或 y=0(x0)或 y=0(x<0). 6.已知 P 为抛物线 y 2=4x 上的动点,且点 P 到抛物线的准线的距离为 d,Q 为圆(x+2)2+(y-4)2=1 上一个 动点,则 d+|PQ|的最小值为( ) A.5 B.4 C.2√5+1 D.√13+1 答案:B 解析:过点 P 作抛物线准线的垂线,垂足为点 N.由抛物线的定义知,d=|PF|,如图所示.连接圆心 C 与 F, 交圆 C 于点 Q,交抛物线于点 P,此即为使 d+|PQ|最小时点 P 的位置. 所以(d+|PQ|)min=|PF|+|PC|-1=|FC|-1. 因为 C(-2,4),F(1,0), 所以|FC|=√(-2-1) 2 + (4-0) 2=5, 所以(d+|PQ|)min=5-1=4. 故选 B
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 7.设F为抛物线y2-4x的焦点，A,B,C为该抛物线上三个不同的点，若FA+FE+FC=0,则 FA+FBI+FCI= 答案：6 解析：因为FA+FB+F元-0，所以A,B,C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍.设点A,B,C的横坐 标分别为xA,xB,xC,则x4+xB+xC=3,故由抛物线的定义，可得FA+FB+|FC1=x4+1+xB+1+xC+1=6. 挑战创新 如图，A地在B地东偏北45°方向，相距2√2km处，B地与东西走向的高铁线（近似看成直线）1相距 4k.己知曲线形公路PQ上任意一点到点B的距离等于到高铁线1的距离，现在要在公路旁建造一 个变电房M(变电房与公路之间的距离忽略不计)，分别向A,B两地送电 北 →东 (1)试建立适当的坐标系，求出曲线形公路PQ所在曲线的方程； (2)变电房M应建在相对A地的什么位置（方位和距离），才能使得架设电路所用电线长度最短？并求出 最短长度， 解：(1)如图，以经过点B且垂直于直线（垂足为K)的直线为y轴，线段BK的垂直平分线为x轴，建立平 面直角坐标系.由题意可知，公路PQ所在曲线为抛物线.设抛物线方程为x2=2p(p>0),由题可知，P=4, 所以抛物线方程为x2=8y,且B(0,2),A(2,4) 0 H (2)架设电路所用电线长度最短，即使|M4+MB最小，过点M作MH⊥I,垂足为H根据抛物线的定义， 只需M4+Ml最小，因此只需A,M,H三点共线即可，此时M(2,月，且|M4+Ml=6,故变电房M应建 在A地的正南方向，且距离A地km处，才能使得架设电路所用电线长度最短，且最短长度为6km 6
6 7.设 F 为抛物线 y 2=4x 的焦点,A,B,C 为该抛物线上三个不同的点,若𝐹𝐴⃗⃗⃗ + 𝐹𝐵⃗⃗⃗ + 𝐹𝐶⃗⃗ =0,则 |𝐹𝐴⃗⃗⃗ |+|𝐹𝐵⃗⃗⃗ |+|𝐹𝐶⃗⃗ |= . 答案:6 解析:因为𝐹𝐴⃗⃗⃗ + 𝐹𝐵⃗⃗⃗ + 𝐹𝐶⃗⃗ =0,所以 A,B,C 三点的横坐标之和为点 F 的横坐标的三倍.设点 A,B,C 的横坐 标分别为 xA,xB,xC,则 xA+xB+xC=3,故由抛物线的定义,可得|𝐹𝐴⃗⃗⃗ |+|𝐹𝐵⃗⃗⃗ |+|𝐹𝐶⃗⃗ |=xA+1+xB+1+xC+1=6. 挑战创新 如图,A 地在 B 地东偏北 45°方向,相距 2√2 km 处,B 地与东西走向的高铁线(近似看成直线)l 相距 4 km.已知曲线形公路 PQ 上任意一点到点 B 的距离等于到高铁线 l 的距离,现在要在公路旁建造一 个变电房 M(变电房与公路之间的距离忽略不计),分别向 A,B 两地送电. (1)试建立适当的坐标系,求出曲线形公路 PQ 所在曲线的方程; (2)变电房 M 应建在相对 A 地的什么位置(方位和距离),才能使得架设电路所用电线长度最短?并求出 最短长度. 解:(1)如图,以经过点 B 且垂直于直线 l(垂足为 K)的直线为 y 轴,线段 BK 的垂直平分线为 x 轴,建立平 面直角坐标系.由题意可知,公路 PQ 所在曲线为抛物线.设抛物线方程为 x 2=2py(p>0),由题可知,p=4, 所以抛物线方程为 x 2=8y,且 B(0,2),A(2,4). (2)架设电路所用电线长度最短,即使|MA|+|MB|最小,过点 M 作 MH⊥l,垂足为 H,根据抛物线的定义, 只需|MA|+|MH|最小,因此只需 A,M,H 三点共线即可,此时 M(2, 1 2 ),且|MA|+|MH|=6,故变电房 M 应建 在 A 地的正南方向,且距离 A 地 7 2 km 处,才能使得架设电路所用电线长度最短,且最短长度为 6 km