人教版《高中数学》A版选择性必修三教学资源：二项式定理.pdf_大学文库

6.3.1二项式定理一、教材分析本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修三》第六章《6.3.1二项式定理》，本节课主要学习在中学阶段，二项式定理安排在计数原理、排列组合知识之后，随机变量及其分布知识之前，能让学生看到二项式定理的“联系性”，它既是计数原理和组合知识的应用，也是解决有关概率问题的基础，二、学情分析在古代，很多问题的解决需要开方，例如开河、筑堤等水利工程的设计与建造，就会涉及开三次方等计算就古代的开方算法而言，二项式系数是极为重要的为了研究各项系数所遵循的规律，就有了各种算术三角形，在我国称为“杨辉三角”，在西方称为“帕斯卡三角”。利用算术三角形，发现了二项式系数的各种性质，乃至一般规律，由此建立了二项式定理由此，让学生了解二项式定理是从哪里来的，并初步感受二项式定理的作用，激发学习的兴趣如果学生意犹未尽，也可以更具体一些，结合“数学探究杨辉三角的性质与应用”中的开方古算问题，让学生站在古人的角度，通过探究算法意识到建立二项式定理的必要性三、教学目标 1利用计数原理分析二项式的展开过程，归纳、猜想出二项式定理，并用计数原理加以说明： 2.会应用二项式定理求解二项展开式： 3通过经历二项式定理的研究过程，体验“归纳、猜想、证明”的数学发现过程，提高学生观察、分析、概括的能力，以及“从特殊到一般”、“从一般到特殊”等数学思想的应用能力. 四、教学重难点重点：二项式定理的推导、应用二项式定理求解二项展开式难点：利用计数原理分析二项式的展开式五、课前准备 (一)学习资源（二)学习任务单 (三)教学方法及工具：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。多媒体。六、教学过程 1.创设情境，提出问题探究我们知道，(a+b)2=a2+2ab+b,(a+b)3=ad2+3a2b+3ab2+b」 (1)观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？ (2)根据你发现的规律，你能写出（α+b)的展开式吗？ (3)进一步地，你能写出(a+b)”的展开式吗？设计意图：二项式定理的一种较为自然的发现方式是观察几个具体的二项展开式，分析展开式的结构，并从中发现一般都二项展开式的规律.引导学生自己发现规律我们先来分析的（α+b)展开过程，根据多项式乘法法则

1 6.3.1 二项式定理一、教材分析本节课选自《2019 人教 A 版高中数学选择性必修三》第六章《6.3.1 二项式定理》，本节课主要学习在中学阶段，二项式定理安排在计数原理、排列组合知识之后，随机变量及其分布知识之前，能让学生看到二项式定理的“联系性”，它既是计数原理和组合知识的应用，也是解决有关概率问题的基础. 二、学情分析在古代，很多问题的解决需要开方，例如开河、筑堤等水利工程的设计与建造，就会涉及开三次方等计算.就古代的开方算法而言，二项式系数是极为重要的.为了研究各项系数所遵循的规律，就有了各种算术三角形，在我国称为“杨辉三角”，在西方称为“帕斯卡三角”. 利用算术三角形，发现了二项式系数的各种性质，乃至一般规律，由此建立了二项式定理. 由此，让学生了解二项式定理是从哪里来的，并初步感受二项式定理的作用，激发学习的兴趣.如果学生意犹未尽，也可以更具体一些，结合“数学探究杨辉三角的性质与应用”中的开方古算问题，让学生站在古人的角度，通过探究算法意识到建立二项式定理的必要性. 三、教学目标 1.利用计数原理分析二项式的展开过程，归纳、猜想出二项式定理，并用计数原理加以说明； 2.会应用二项式定理求解二项展开式； 3.通过经历二项式定理的研究过程，体验“归纳、猜想、证明”的数学发现过程，提高学生观察、分析、概括的能力，以及“从特殊到一般”、“从一般到特殊”等数学思想的应用能力. 四、教学重难点重点：二项式定理的推导、应用二项式定理求解二项展开式. 难点：利用计数原理分析二项式的展开式五、课前准备（一）学习资源（二）学习任务单（三）教学方法及工具：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。多媒体。六、教学过程 1.创设情境，提出问题探究我们知道，   2 2 2 a b a ab b     2 ，   3 3 2 2 3 a b a a b ab b      3 3 . （1）观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？（2）根据你发现的规律，你能写出   4 a b  的展开式吗？（3）进一步地，你能写出   n a b  的展开式吗？设计意图：二项式定理的一种较为自然的发现方式是观察几个具体的二项展开式，分析展开式的结构，并从中发现一般都二项展开式的规律.引导学生自己发现规律. 我们先来分析的   2 a b  展开过程，根据多项式乘法法则

2        2 2 2 ( ) 2 a b abab a a b b a b a a a b b a b b a ab b                    可以看到，   2 a b  是 2 个 a b   相乘，只要从一个 a b   中选一项（选 a 或 b ），再从另一个 a b   中选一项（选 a 或 b ），就得到展开式的一项，于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，   2 a b  的展开式共有 1 1 2 2 2 C C  2 项，而且每一项都是 2 k k a b  （ k  0,1,2 ）的形式. 我们来分析一下形如 2 k k a b  的同类项的个数. 当 k  0 时， 2 2 = k k a b a  ，这是由 2 个 a b   中都不选 b 得到的，因此， 2 a 出现的次数相当于从 2 个 a b   中取 0 个 b （即都取 a ）的组合数 0 C2 ，即 2 a 只有 1 个；当 k 1 时， 2 = k k a b ab  ，这是由 1 个 a b   中选 a ，另一个 a b   中选 b 得到的，由于 b 选定后， a 的选法也随之确定，因此， ab 出现的次数相当于从 2 个 a b   中取 1 个 b 的组合数 1 C2 ，即 ab 只有 2 个；当 k  2 时， 2 2 = k k a b b  ，这是由 2 个 a b   中选 b 得到的，因此， 2 b 出现的次数相当于从 2 个 a b   中取 2 个 b 的组合数 2 C2 ，即 2 b 只有 1 个；由上述分析可以得到   2 0 2 1 2 2 2 2 2 a b C a C ab C b     设计意图：利用计数原理引入二项式定理，即用计数原理的知识去解决多项式乘积展开问题，学生是很难想到这样的方法的，但是一旦建立起知识之间的联系，转换看问题的角度之后，学生又会感到这种方法的巧妙与简单.这种方式对于建立不同领域知识之间的联系、灵活运用数学知识是有好处的，而且能潜移默化地让学生感受到数学的“整体性”. 思考仿照上述过程，你能利用计数原理，写出   3 a b  ，  4 a b  的展开式吗？

3 类似地，用同样的方法可知   3 0 3 1 2 2 2 3 3 = 3 3 3 3 a b C a C a b C ab C b       4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4 = 4 4 4 4 4 a b C a C a b C a b C ab C b      设计意图：交给学生进行模仿和推导，让学生熟悉系数变化的规律. 2.抽象概念，内涵辨析从上述对具体问题的分析得到启发，对于任意正整数 n ，我们有如下猜想：   0 1 1 * = , n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N          （1）设计意图：二项式定理的式子可以由教师给出，也可以请学生自行总结.让学生在总结归纳的过程中关注到系数变化的规律. 下面我们对上述猜想的正确性予以说明. 由于   n a b  是 n 个 a b   相乘，每个 a b   在相乘时有两种选择，选 a 或 b ，而且每个 a b   中的 a 或 b 都选定后，才能得到展开式的一项.因此，由分步乘法计数原理可知，在合并同类项之前，   n a b  的展开式共有 2 n 项，其中每一项都是 n k k a b  （k n   0,1, , ）的形式. 对于每个 k（k n   0,1, , ），对应的项 n k k a b  是由 n k   个 a b   中选 a ，另外 k 个 a b   中选 b 得到的.由于 b 选定后， a 的选法也随之确定，因此， n k k a b  出现的次数相当于从 n 个 a b   中取 k 个 b 的组合数 k Cn .这样，   n a b  的展开式中， n k k a b  共有 k Cn 个，将它们合并同类项，就可以得到上述二项展开式. 公式（1）叫做二项式定理，右边的多项式叫做   n a b  的二项展开式，其中各项的系数 k Cn （k n   0,1, , ）叫做二项式系数.式中的 k Cn n k k a b  叫做二项展开式的通项，用 Tk 1 表示，即通项为展开式的第 k 1 项: 1 = k n k k T C a b k n   在二项式定理中，若设 a 1， b x  则得到公式:   0 1 * 1 = , n k k n n n n n n        x C C x C x C x n N 设计意图：通过对于二项式定理正确性的阐述论证，可以进而引导学生对二项展开式进行细致的分析，并使学生认识到以下几点：①它有 n 1 项；②各项的次数都等于 n ；③字母 a 按