志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 1.4空间向量的应用 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时用空间向量研究直线、平面的平行关系 课后·训练提升 基础巩固 1.己知平面a的一个法向量是(2,3，-1)，平面B的一个法向量是(4入，-2)，若a∥B,则1的值是() A号 B.6 C.-6 号 客案B 2.己知平面a内两条直线的方向向量分别为a=(1,2,1),b=(-1,1,2),则平面a的一个法向量为() A.(-1,-2,5) B.(-1,1,-1) C.(1,1,1) D.(1,-1,-1) 含案B 3.(多选题)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点MP,Q分别为棱AB,CD,BC的中点，若平行六面 体的各棱长均相等，则下列四个结论中，正确的是() A.A1M∥DP B.A1M∥B1Q C.A1M∥平面DCCD1 D.A1M∥平面DPQB1 答案ACD 解析A1M=A1A+AM=A1A+2AE,DP=D1D+DP=A1A+A正，所以A1MID1卫，即A1MW DP,故A正确； 1
1 1.4 空间向量的应用 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第 1 课时 用空间向量研究直线、平面的平行关系 课后· 基础巩固 1.已知平面 α 的一个法向量是(2,3,-1),平面 β 的一个法向量是(4,λ,-2),若 α∥β,则 λ的值是( ) A.- 10 3 B.6 C.-6 D. 10 3 答案:B 2.已知平面 α 内两条直线的方向向量分别为 a=(1,2,1),b=(-1,1,2),则平面 α 的一个法向量为( ) A.(-1,-2,5) B.(-1,1,-1) C.(1,1,1) D.(1,-1,-1) 答案:B 3. (多选题)如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 M,P,Q 分别为棱 AB,CD,BC 的中点,若平行六面 体的各棱长均相等,则下列四个结论中,正确的是( ) A.A1M∥D1P B.A1M∥B1Q C.A1M∥平面 DCC1D1 D.A1M∥平面 D1PQB1 答案:ACD 解析:𝐴⃗⃗ 1 ⃗⃗⃗𝑀⃗ = 𝐴⃗⃗⃗ 1 ⃗𝐴⃗ + 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ = 𝐴⃗⃗⃗ 1 ⃗𝐴⃗ + 1 2 𝐴𝐵⃗⃗⃗ ,𝐷⃗⃗ 1 ⃗⃗𝑃⃗ = 𝐷⃗⃗ 1 ⃗𝐷⃗ + 𝐷𝑃⃗⃗⃗ = 𝐴⃗⃗⃗ 1 ⃗𝐴⃗ + 1 2 𝐴𝐵⃗⃗⃗ ,所以𝐴⃗⃗ 1 ⃗⃗⃗𝑀⃗ ∥ 𝐷⃗⃗ 1 ⃗⃗𝑃⃗ ,即 A1M∥ D1P,故 A 正确;
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 由线面平行的判定定理可知，A1M∥平面DCCD1,A1M∥平面D1PQB,故C,D正确：因为PQ与D1B1 平行但不相等，所以四边形D1PQB1为梯形，即DP与B1Q不平行，从而A1M与B1Q不平行，故B不正 确. 4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别为AB,AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是 () A.相交 B.平行 c.垂直 D.不能确定 答案B 解析如图，建立空间直角坐标系。 D 设正方体的棱长为2， 则M2,1,1),N1,1,2), 所以MN-=(-1,0,1) 易知平面BB1C1C的一个法向量为n=(0,1,0). 因为MNn-O,MNt平面BB1CC, 所以MN∥平面BB1CC 5.(多选题)已知直线1过点P(1,0,-1),平行于向量a=(2,1,1),平面a过直线I与点M1,2,3),则下列向量 是平面a的法向量的是() A.(1,-4,2) B.(0,-1,1) 2
2 由线面平行的判定定理可知,A1M∥平面 DCC1D1,A1M∥平面 D1PQB1,故 C,D 正确;因为 PQ 与 D1B1 平行但不相等,所以四边形 D1PQB1 为梯形,即 D1P 与 B1Q不平行,从而 A1M 与 B1Q 不平行,故 B 不正 确. 4.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别为 A1B,AC 的中点,则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是 ( ) A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 答案:B 解析:如图,建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为 2, 则 M(2,1,1),N(1,1,2), 所以𝑀𝑁⃗⃗⃗ =(-1,0,1). 易知平面 BB1C1C 的一个法向量为 n=(0,1,0). 因为𝑀𝑁⃗⃗⃗ ·n=0,MN⊄平面 BB1C1C, 所以 MN∥平面 BB1C1C. 5.(多选题)已知直线 l 过点 P(1,0,-1),平行于向量 a=(2,1,1),平面 α 过直线 l与点 M(1,2,3),则下列向量 是平面 α 的法向量的是( ) A.(1,-4,2) B.(0,-1,1)
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org C（1, D.(-1,) 答案ACD 解析P=02,4,直线1平行于向量a若n是平面a的法向量，则必须满足a二0，起选项代入验 PM=0, 证，选项A,C,D都满足，只有选项B不满足。 6已知A(02,）),B(1,1,),c（2,1是为平面a内的三点，设平面a的法向量为aK,则xy: z=( A.23.(-4) B.1:11 c()11 D.32.4 含案A 解析由已知得，A正=（1，-3，)，BC-(32,0) 因为平面a的法向量为a=(xy,), 所以 a正=x3y72=0, aBC=-3x+2y=0. 令y=3,则x=2,2=-4. 所以xy2=23,(-4). 7.己知直线1∥平面a,且直线1的一个方向向量为m=(2,-8,1),平面a的一个法向量为n=(1y,2),则 y= 答案 解析由题意可知，mn-2-8+2-0,解得y号 8.已知点O0,0,0),A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),以丽=(x-1,3)为方向向量的直线与平面ABC平行，则 X= 答案4 解析由题意可知，AE-(-2,2,-2),AC=(-1,6,-8),则平面ABC的一个法向量为n=(2,7,5) 心
3 C.(- 1 4 ,1,- 1 2 ) D.( 1 4 ,-1, 1 2 ) 答案:ACD 解析:𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗ =(0,2,4),直线 l 平行于向量 a,若 n 是平面 α 的法向量,则必须满足{ 𝑛·𝑎 = 0, 𝑛·𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗ = 0, 把选项代入验 证,选项 A,C,D 都满足,只有选项 B 不满足. 6.已知 A(0,2, 19 8 ),B(1,-1, 5 8 ),C -2,1,5 8 为平面 α 内的三点,设平面 α 的法向量为 a=(x,y,z),则 x∶y∶ z=( ) A.2∶3∶(-4) B.1∶1∶1 C.(- 1 2 )∶1∶1 D.3∶2∶4 答案:A 解析:由已知得,𝐴𝐵⃗⃗⃗ = (1,-3,- 7 4 ) ,𝐵𝐶⃗⃗⃗ =(-3,2,0). 因为平面 α 的法向量为 a=(x,y,z), 所以{ 𝑎·𝐴𝐵⃗⃗⃗ = 𝑥-3𝑦- 7 4 𝑧 = 0, 𝑎·𝐵𝐶⃗⃗⃗ = -3𝑥 + 2𝑦 = 0. 令 y=3,则 x=2,z=-4. 所以 x∶y∶z=2∶3∶(-4). 7.已知直线 l∥平面 α,且直线 l 的一个方向向量为 m=(2,-8,1),平面 α 的一个法向量为 n=(1,y,2),则 y= . 答案: 1 2 解析:由题意可知,m·n=2-8y+2=0,解得 y= 1 2 . 8.已知点 O(0,0,0),A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),以𝑂𝑃⃗⃗⃗ =(x,-1,3)为方向向量的直线与平面 ABC 平行,则 x= . 答案:-4 解析:由题意可知,𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(-2,2,-2),𝐴𝐶⃗⃗ =(-1,6,-8),则平面 ABC 的一个法向量为 n=(2,7,5)
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 由n0丽-0，得2x-7+15=0,解得x=.4 9.如图，在长方体ABCD-A1B1CD1中，AB-3,AA1=4,AD=5.求证：平面A1BD∥平面B1D1C D 证明如图，以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则 D0,0,0),A1(5,0,4),B(5,3,0),D1(0,0,4),B1(5,3,4),C0,3,0),所以A1D=(-5,0,-4),A1B=(0,3,-4),D1C=-(0,3,- 4),B1C=(-5,0,-4). D 设平面A1BD的法向量为m=(x,y,), 则ma-0即84轻-0 .(-5x-4z=0. (mA1E=0, 所以 -z 令1，则x=月 所以m-怎参为平西BD的一个法向量 同理，a=手1}为平面BDC的一个法向量 因为m=n,所以平面A1BD∥平面B1D1C 10.如图，在四棱锥P-ABCD中，PAL平面ABCD,PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形， ∠ABC=∠BAD=90°，PA=BCAD=l,问在棱PD上是否存在一点E,使CE∥平面PAB?若存在，求出 点E的位置；若不存在，请说明理由. 4
4 由 n·𝑂𝑃⃗⃗⃗ =0,得 2x-7+15=0,解得 x=-4. 9.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=3,AA1=4,AD=5.求证:平面 A1BD∥平面 B1D1C. 证明:如图,以 D 为原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,则 D(0,0,0),A1(5,0,4),B(5,3,0),D1(0,0,4),B1(5,3,4),C(0,3,0),所以𝐴⃗⃗ 1 ⃗𝐷⃗ =(-5,0,-4),𝐴⃗⃗⃗ 1 ⃗⃗𝐵 =(0,3,-4),𝐷⃗⃗ 1 ⃗⃗𝐶 =(0,3,- 4),𝐵⃗⃗ 1 ⃗⃗𝐶 =(-5,0,-4). 设平面 A1BD 的法向量为 m=(x,y,z), 则{ 𝑚·𝐴⃗⃗ 1 ⃗𝐷⃗ = 0, 𝑚·𝐴⃗⃗⃗ 1 ⃗⃗𝐵 = 0, 即 { -5𝑥-4𝑧 = 0, 3𝑦-4𝑧 = 0, 所以{ 𝑥 = - 4 5 𝑧, 𝑦 = 4 3 𝑧. 令 z=1,则 x=- 4 5 ,y= 4 3 . 所以 m= - 4 5 , 4 3 ,1 为平面 A1BD 的一个法向量. 同理,n= - 4 5 , 4 3 ,1 为平面 B1D1C 的一个法向量. 因为 m=n,所以平面 A1BD∥平面 B1D1C. 10. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,PB 与底面所成的角为 45°,底面 ABCD 为直角梯形, ∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=1 2 AD=1,问在棱 PD 上是否存在一点 E,使 CE∥平面 PAB?若存在,求出 点 E 的位置;若不存在,请说明理由
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 解存在一点E,使CE∥平面PAB,此时E为PD的中点理由如下 如图，以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则由题意可 知，P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0),平面PAB的一个法向量为n=(0,1,0),所以CP=(-1,-1,1),PD=(0,2,-1). 设PE=PD(0≤1≤1)，则CE=C下+PE=(-1,2-1,1-) 若CE∥平面PAB,则C正n=0,即2-1-0，所以二此时E为PD的中点 故在棱PD上存在一点E,使CE∥平面PAB,此时E为PD的中点 拓展提高 1给出下列命题 ①若两个不同的平面a,B的法向量分别是n1,2,则n1∥m台a∥B ②若n是平面a的法向量，且以向量a为方向向量的直线在平面a内，则an=0, ③若向量1,2均为平面a的法向量，则∥2 其中真命题的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 答案p 2.己知点A(0,1,1),B(1,2,1),C(-1,0,-1)在平面ABC内，若a=(-1,y,)为平面ABC的法向量，则y2等于 () A.0 B.1 C.2 D.3 答案B 解析4正-(1,2,1)-(0,1,1=(1,10)，4元=(1,0-1)01,1)=(1，-1-2) 因为a=(-1,y,)为平面ABC的法向量， 所以aAB=0,aAC=-0. 5
5 解:存在一点 E,使 CE∥平面 PAB,此时 E 为 PD的中点.理由如下: 如图,以 A 为原点,AB,AD,AP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,则由题意可 知,P(0,0,1),C(1,1,0),D(0,2,0),平面 PAB 的一个法向量为 n=(0,1,0),所以𝐶𝑃⃗⃗ =(-1,-1,1),𝑃𝐷⃗⃗⃗ =(0,2,-1). 设𝑃𝐸⃗⃗⃗ =λ𝑃𝐷⃗⃗⃗ (0≤λ≤1),则𝐶𝐸⃗⃗ = 𝐶𝑃⃗⃗ + 𝑃𝐸⃗⃗⃗ =(-1,2λ-1,1-λ). 若 CE∥平面 PAB,则𝐶𝐸⃗⃗ ·n=0,即 2λ-1=0,所以 λ= 1 2 ,此时 E 为 PD 的中点. 故在棱 PD 上存在一点 E,使 CE∥平面 PAB,此时 E 为 PD 的中点. 拓展提高 1.给出下列命题: ①若两个不同的平面 α,β 的法向量分别是 n1,n2,则 n1∥n2⇔α∥β; ②若 n 是平面 α 的法向量,且以向量 a 为方向向量的直线在平面 α 内,则 a·n=0; ③若向量 n1,n2 均为平面 α 的法向量,则 n1∥n2. 其中真命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案:D 2.已知点 A(0,1,1),B(1,2,1),C(-1,0,-1)在平面 ABC 内,若 a=(-1,y,z)为平面 ABC 的法向量,则 y 2等于 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案:B 解析: 𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(1,2,1)-(0,1,1)=(1,1,0),𝐴𝐶⃗⃗ =(-1,0,-1)-(0,1,1)=(-1,-1,-2). 因为 a=(-1,y,z)为平面 ABC 的法向量, 所以 a·𝐴𝐵⃗⃗⃗ =0,a·𝐴𝐶⃗⃗ =0
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 所以28解得)1所以户1 3.已知平面a内有一点A(2,-1,2),平面a的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点在平面a内的是() A.(1,-1,1) B(1,3引 c(1,-3引 D(1,3引 答案B 解析设平面a内任意一点为Pxy,则A币-(x-2y+1,2-2) 由题意可知，A亚.n=0,即3(x-2)+0y+1)+2(c-2)=0,所以3x+y+2x-9=0. 将选项代入，可知B满足故选B. 4.若平面a的一个法向量为山1=(-3，y,2),平面B的一个法向量为2=(6，-2，)，且a∥B,则 y+2= 答案3 解析：a∥R,山∥2， 1=(-3,y,2) ∴0∴浮=之=子解得y1,4 ∴y+2=-3 5.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=V2,AF=1,点M在EF上，且AM∥平面 BDE,以C为原点，建立空间直角坐标系，则点M的坐标为 靥案浮要，) 6.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD,E,F分别为AB,SC的中点. 求证：EF∥平面SAD. 6
6 所以{ -1 + 𝑦 = 0, 1-𝑦-2𝑧 = 0, 解得 y=1.所以 y 2=1. 3.已知平面 α 内有一点 A(2,-1,2),平面 α 的一个法向量为 n=(3,1,2),则下列点在平面 α 内的是( ) A.(1,-1,1) B.(1,3, 3 2 ) C.(1,-3, 3 2 ) D.(-1,3,- 3 2 ) 答案:B 解析:设平面 α 内任意一点为 P(x,y,z),则𝐴𝑃⃗⃗⃗ =(x-2,y+1,z-2). 由题意可知,𝐴𝑃⃗⃗⃗ ·n=0,即 3(x-2)+(y+1)+2(z-2)=0,所以 3x+y+2z-9=0. 将选项代入,可知 B 满足.故选 B. 4.若平面 α 的一个法向量为 u1=(-3,y,2),平面 β 的一个法向量为 u2=(6,-2,z),且 α∥β,则 y+z= . 答案:-3 解析:∵α∥β,∴u1∥u2. ∵u1=(-3,y,2), ∴z≠0.∴ -3 6 = 𝑦 -2 = 2 𝑧 ,解得 y=1,z=-4. ∴y+z=-3. 5.如图,正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在平面互相垂直,AB=√2,AF=1,点 M 在 EF 上,且 AM∥平面 BDE,以 C 为原点,建立空间直角坐标系,则点 M 的坐标为 . 答案:( √2 2 , √2 2 ,1) 6.如图,在四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 为正方形,侧棱 SD⊥底面 ABCD,E,F 分别为 AB,SC 的中点. 求证:EF∥平面 SAD
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org S 4 B 证明如图，以D为原点，DA,DC,DS所在直线分别为x轴、y轴、二轴，建立空间直角坐标系. 设B=n50-6,则E号0号，所以F-（a0唱 由题意可知，CD⊥平面SAD,故DC=(0,a,0)为平面SAD的一个法向量. 因为EF.D元=O,EFt平面SAD,所以EF∥平面SAD 挑战创新 如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC-AP-2,D为AP的中点，E,F,G分别为 PC,PD,BC的中点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD.求证：AP∥平面EFG. 证明如图，以D为原点，DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、：轴，建立空间直角坐标系，则 P(0,0,2),G1,2,0),E0,1,1),F0,0,1),A2,0,0),所以Ap-(-2,0,2),EF-(0,-1,0),EC-(1,1,-1) 设平面EFG的法向量为n=(xy,=), E8化+，0：-0所以=6 'In EG=0. 7
7 证明:如图,以 D 为原点,DA,DC,DS 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系. 设 AB=a,SD=b,则 E a, 𝑎 2 ,0 ,F 0,𝑎 2 , 𝑏 2 ,所以𝐸𝐹⃗⃗ = -a,0,𝑏 2 . 由题意可知,CD⊥平面 SAD,故𝐷𝐶⃗⃗⃗ =(0,a,0)为平面 SAD 的一个法向量. 因为𝐸𝐹⃗⃗ · 𝐷𝐶⃗⃗⃗ =0,EF⊄平面 SAD,所以 EF∥平面 SAD. 挑战创新 如图,在直角梯形 ABCP 中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=1 2 AP=2,D 为 AP 的中点,E,F,G 分别为 PC,PD,BC 的中点,将△PCD 沿 CD 折起,使得 PD⊥平面 ABCD.求证:AP∥平面 EFG. 证明:如图,以 D 为原点,DA,DC,DP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,则 P(0,0,2),G(1,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1),A(2,0,0),所以𝐴𝑃⃗⃗⃗ =(-2,0,2),𝐸𝐹⃗⃗ =(0,-1,0),𝐸𝐺⃗⃗⃗ =(1,1,-1). 设平面 EFG 的法向量为 n=(x,y,z), 则{ 𝑛·𝐸𝐹⃗⃗ = 0, 𝑛·𝐸𝐺⃗⃗⃗ = 0, 即{ -𝑦 = 0, 𝑥 + 𝑦-𝑧 = 0. 所以{ 𝑥 = 𝑧, 𝑦 = 0
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 令=1，则x=1 所以n=(1,0,1)为平面EFG的一个法向量 因为n:AP-1×(-2)+0×0+1×2=0,APt平面EFG,所以AP∥平面EFG. 8
8 令 z=1,则 x=1. 所以 n=(1,0,1)为平面 EFG 的一个法向量. 因为 n·𝐴𝑃⃗⃗⃗ =1×(-2)+0×0+1×2=0,AP⊄平面 EFG,所以 AP∥平面 EFG