《高中数学》课程教学资源（课件讲稿）简单复合函数的导数

明 肥市第五中学 Hefei No.5 Senior High School 理驾学 5.2.3简单复合函数 的导数 善行健美

5 . 2 . 3简单复合函数 的导数

复习引入 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 Ax)=c f(x)=0 fx)=xn(n∈Q) f(x)= nxn-1 fx)=sinx f(x)= coSx fx)=cosx f (x)=-sinx fx)=ar(a>0且a≠1) f (x)=alna Ax)=ex f'(x)=ex x)=logx(a>0且a≠1) 1 f(x)= xIna fx)=Inx f(x)= 工 x

原函数 导函数 f(x)＝c f′(x)＝ f(x)＝x n(n∈Q*) f′(x)＝ f(x)＝sinx f′(x)＝ f(x)＝cosx f′(x)＝ f(x)＝ax (a>0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝e x f′(x)＝ f(x)＝logax(a>0且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝lnx f′(x)＝ 0 nx n－1 cosx －sinx ax lna e x 1 x 复习引入

复习引入 导数的运算法则： 法则1：两个函数的和（差）的导数，等于这两个函数的导数的和（差），即： [f(x)±g(x)]=f'(x)±g(x) 法则2：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加 上第一个函数乘第二个函数的导数，即： [f(x)g(x)]=f'(x)8(x)+f(x)g'(x) 法则3：两个函数的商的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，减去 第一个函数乘第二个函数的导数，再除以第二个函数的平方即： -f'(x)g(x)-f(x)g'(x (g(x)≠0) [g(x]

法则1:两个函数的和(差)的导数  f (x) g(x) f (x) g (x)       法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加 上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:  f (x) g(x) f (x)g(x) f (x)g (x)       法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去 第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方.即:   2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) 0) ( ) ( ) f x f x g x f x g x g x g x g x             法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差),即: 法则2:两个函数的积的导数 法则3:两个函数的商的导数 复习引入

学习新知 1.求函数y=(3x-2)2的导数，那么我们可以把平方式展开，利用导数的四则 运算法则求导.然后能否用其它的办法求导呢？ 2.我们知道函数y=hx的导数是y- 那么函数y=ln(2x-1)的导数又是什么呢？ 为了解决上面的问题，我们需要学习新的导数的运算法则，这就是复合函 数的导数

1.求函数y=(3x-2)2的导数,那么我们可以把平方式展开,利用导数的四则 运算法则求导.然后能否用其它的办法求导呢? 为了解决上面的问题,我们需要学习新的导数的运算法则,这就是复合函 数的导数. 学习新知

学习新知 般地，对于两个函数y=f(W)和u=g(x),如果通过变量u,y可以表示成的函数， 那么称这个函数为函数y=f(w)和u=g(x)的复合函数(composite fun ction), 记作y=f(8(x). (3x-27是由y=和y=3x-2复合得到的新函数 若设=2x-x>司则y=l血a从而y=n(2x-可以看成是由)=n” 和u=2x-> 经过"复合"得到的，即y可以通过中间变量表示为 自变量x的函数 如果把y与u的关系记作y=f(u),u和x的关系记作u=g(x), 那么这个"复合"过程可表示为y=f(u)=f(g(x)=ln(x+2)

           , , , , ( ), . y f u u g x u y x y f u u g x composite fun ction y f g x       一般地 对于两个函数 和 如果通过变量 可以表示成 的函数 那么称这个函数为函数 和 的复合函数 记作 2 1 (3 2) y x   是由 2 1 y x  和 y  3x  2 复合得到的新函数   1 2 1 , ln . ln 2 1 ln 2 1 2 1 " " , 2 . u x x y u y x y u u x x y u x                       若设 则 从而 可以看成是由 和 经过 复合 得到的 即 可以通过中间变量 表示为 自变量 的函数            , , " " ln 2 . y u y f u u x u g x y f u f g x x       如果把 与 的关系记作 和 的关系记作 那么这个 复合 过程可表示为 学习新知

尝试练习 我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过"复合"得到的， 例如，函数y=（2x+3)由y=n和u=2x+3"复合"而成，等等 判断下列函数哪些是复合函数 ()y=sim(2x+子是 (2)y=3x3+x-5不是 (3)y=2*sinx 不是 (4)y=ln(2x+3)是 (5)y=(2x+3)l0g2x不是 (6)y=(2x+3)°是 x+2 (7)y=22x+)1og2x是 (8)y= 2x+3 不是

  2 2 " " , , y  2x  3 y  u u  2x  3" " , . 我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过 复合 得到的 例如 函数 由 和 复合 而成 等等 是 不是 不是 是 不是 是 是 不是 尝试练习

尝试练习 指出下列函数是由哪些基本初等函数复合成的. ①y=cos5x ②y=3-lnx ③y=log2(x2-2x)④y=sin(x2+1) 解析]①y=,=cosx ②y=u4,u33-nr ⑤ ve ③y=l0g2,u=x2-2x ne2 ⑤y=e",u=x2-2 ⑥y=lnl,u=v3,v=e+2

尝试练习

学习新知 一 般地，对于由函数y=孔0和u=g(x)复合而成的函数y=g(x),它的导数 与函数y=术0，u=g(x)的导数间的关系为yx'=y'4 y,表示对x的导数 即y对x的导数等于y对的导数与u对x的导数的乘积. 由此可得，y=ln(3x+2)对x的导数等于y=lnu对u的 导数与u=3x+2对x的导数的乘积，即 片=y4=血06x+2j=3=,3 3x+2 复合函数求导步骤：分解一求导一相乘一回代 法则：yx=y·

即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.      . 3 2 3 3 1 ln 3 2 3 2 , , ln 3 2 ln ' ' ' ' '              u x y y u u x u x x y x x y u u x u x 导数与 对 的导数的乘积 即 由此可得 对 的导数等于 对 的 yx ' 表示y对x的导数 复合函数求导步骤:分解—求导—相乘—回代. 法则： ' ' ' x u x y  y u 学习新知 一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数 与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx '=yu '·ux ‘

典型例题 例1求下列函数的导数 (1)y=(3x+5)3;(2)y=e-0.05x+1 (3)y=ln(2x-1) [分析] 抓住构成复合函数的基本初等函数是求复合函数导数的关键，解 题时可先把复合函数分拆成基本初等函数，再运用复合函数求导法则. 解 (I)函数y=(3x+5)可以看作函数y=和u=3x+5的复合函数 由复合函数求导法则有y=y,·4,=u2)·(2x+3片=2u×2=4(2x+3)=8x+12 (2)函数y=esx1可以看作函数y=e”和u=-0.05x+的复合函数 由复合函数求导法则有y:=y,·4=(e"（0.05x+1)=-0.05e”=-0.05e05x (3)函数y=ln(2x-1)可以看作函数y=lnu和u=2x-的复合函数 由复合函数求导法则有人=4，=(n0-(2x-)=×2=,2 -1

        3 0.05 1 1 1 3 5 ; 2 ; 3 ln(2 1) x y x y e y x        例 求 下 列 函 数 的 导 数     3 3 解 1 函数y  3x  5 可以看作函数y  u 和u  3x  5的复合函数. 由复合函数求导法则有 ' ' ' x u ux y  y      ' ' 2  u  2x  3  2u 2  4(2x  3)  8x 12.   0.05 1 2 0.05 1 . x u y e y e u x   函数  可以看作函数  和    的复合函数 由复合函数求导法则有 ' ' ' x u ux y  y      ' '  e   0.05x 1 u 0.05 0.05 . 0.05 1     u x e e [分析] 抓住构成复合函数的基本初等函数是求复合函数导数的关键，解 题时可先把复合函数分拆成基本初等函数，再运用复合函数求导法则． 典型例题 3函数 y  ln(2x 1) 可以看作函数 y  ln u 和u  2x 1的复合函数. 由复合函数求导法则有 ' ' ' x u ux y  y      ' '  ln u  2x 1 1 2 2 . u 2x 1    

巩固练习 练习：求y=sin(πx+p)(其中π，p均为常数) 解：函数y=sin(πx+p)可以看作函数y=sin和u=πx+的复合函数 由复合函数求导法则有 y=y。4=(sinu(a+)=πcosu=元cos(ar+p） 抓住构成复合函数的基本初等函数是求复合函数导数的关键，解题时可 先把复合函数分拆成基本初等函数，再运用复合函数求导法则. 求复合函数的导数需处理好以下环节： (1)中间变量的选择应是基本函数结构： (2)关键是正确分析函数的复合层次； (3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导； (4)善于把一部分表达式作为一个整体； (⑤)最后要把中间变量换成关于自变量的函数

解：函数y  sin  x 可以看作函数y  sin u和u   x 的复合函数. 由复合函数求导法则有 ' ' ' x u ux y  y      ' '  sin u  x    cosu   cosx . 练习：求 y  sin  x  其中 ,均为常数. 抓住构成复合函数的基本初等函数是求复合函数导数的关键，解题时可 先把复合函数分拆成基本初等函数，再运用复合函数求导法则． 巩固练习 求复合函数的导数需处理好以下环节: (1)中间变量的选择应是基本函数结构; (2)关键是正确分析函数的复合层次; (3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层地求导; (4)善于把一部分表达式作为一个整体; (5)最后要把中间变量换成关于自变量的函数