3.2.1双曲线及其标准方程 一、教材分析 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节 课主要学习双曲线及其标准方程 学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。 如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。所以说本节课的作用就是纵向承 接椭圆定义和标准方程的研究，横向加深对双曲线的标准方程及简单几何性质的理解与应用。 从高考大纲要求和课程标准角度来讲，双曲线的定义、标准方程作为了解内容，在高考的考查 当中以选择、填空为主。正因如此，学生在学习过程当中对双曲线缺少应有的重视，成为了学生的 一个失分点。而且由于学生对椭圆与双曲线的区别与联系认识不够，无法做到知识与方法的迁移， 在学习双曲线时极易与椭圆混淆。在教学中要时刻注意运用类比的方法，让学生充分的类比体会椭 圆与双曲线的异同点，使得椭圆与双曲线的学习能相互促进。 二、学情分析 学生已经系统的学习了直线的方程，双曲线的方程以及简单几何性质，会根据题目条件求简单 的双曲线的标准方程。但是由于接触学习双曲线的时间还相对较短，对双曲线的基本性质了解不深， 而且理性思维比较欠缺，且计算能力的短板约束使得在处理直线与双曲线等综合问题时还存在困难。 把新问题转化为已解决问题的能力有待提高，缺乏选择、调整解决问题策略的能力。 三、教学目标 1.掌握双曲线的标准方程及其求法 2.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题 3.与椭圆的标准方程进行比较，并加以区分. 四、教学重难点 重点：用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题 难点：双曲线的标准方程及其求法 五、课前准备 (一)学习资源 (二)学习任务单 (三)教学方法及工具：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。 多媒体
3.2.1 双曲线及其标准方程 一、教材分析 本节课选自《2019 人教 A 版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节 课主要学习双曲线及其标准方程 学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。 如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。所以说本节课的作用就是纵向承 接椭圆定义和标准方程的研究，横向加深对双曲线的标准方程及简单几何性质的理解与应用。 从高考大纲要求和课程标准角度来讲，双曲线的定义、标准方程作为了解内容，在高考的考查 当中以选择、填空为主。正因如此，学生在学习过程当中对双曲线缺少应有的重视，成为了学生的 一个失分点。而且由于学生对椭圆与双曲线的区别与联系认识不够，无法做到知识与方法的迁移， 在学习双曲线时极易与椭圆混淆。在教学中要时刻注意运用类比的方法，让学生充分的类比体会椭 圆与双曲线的异同点，使得椭圆与双曲线的学习能相互促进。 二、学情分析 学生已经系统的学习了直线的方程，双曲线的方程以及简单几何性质，会根据题目条件求简单 的双曲线的标准方程。但是由于接触学习双曲线的时间还相对较短，对双曲线的基本性质了解不深， 而且理性思维比较欠缺，且计算能力的短板约束使得在处理直线与双曲线等综合问题时还存在困难。 把新问题转化为已解决问题的能力有待提高，缺乏选择、调整解决问题策略的能力。 三、教学目标 1.掌握双曲线的标准方程及其求法. 2.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题. 3.与椭圆的标准方程进行比较,并加以区分. 四、教学重难点 重点：用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题. 难点：双曲线的标准方程及其求法. 五、课前准备 （一）学习资源 （二）学习任务单 （三）教学方法及工具：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。 多媒体
六、教学过程 (一)情景导学 双曲线型自然通风冷却塔 台灯 双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时 差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的 有关问题。 (二)探究新知 我们知道，平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于FF2)的点的 轨迹是椭圆，一个自然的问题是：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹 是什么？ 如图，在直线1上取两个定点A,B,P是直线1上的动点。 在平面内，取定点F,E,以点F为圆心、线段PA为半径作圆， 在以F为圆心、线段PB为半径作圆。 我们知道，当点P在线段AB上运动时，如果FFAB,两圆不相交，不存在交点轨迹。 PB PA=3.92 MF1=3.92 PB=0.93MF2=0.93 PA+PB=4.85 MF1+MF2=4.85 如图，在F>AB的条件下，让P点在线段AB外运动，这时动点满足什么几何条件？ 两圆的交点的轨迹是什么形状？
六、教学过程 （一）情景导学 双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时 差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的 有关问题。 （二）探究新知 我们知道，平面内与两个定点𝐹1，𝐹2的距离的和等于常数（大于|𝐹1𝐹2 |）的点的 轨迹是椭圆，一个自然的问题是：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹 是什么？ 1 2 1 2 1 2 1 2 如图，在直线 上取两个定点 , ， 是直线 上的动点。 在平面内，取定点 , ，以点 为圆心、线段 为半径作圆， 在以 为圆心、线段 为半径作圆。 我们知道，当点 在线段 上运动时，如果 ＜ ,那么两圆相交， 其交点 的轨迹是椭圆；如果 ＞ ，两圆不相交，不存在交点轨迹。 l A B P l F F F PA F PB P AB F F AB M F F AB 如图，在 1 2 ＞ 的条件下，让 点在线段 外运动，这时动点 满足什么几何条件？ 两圆的交点 的轨迹是什么形状？ F F AB P AB M M
BP PA=5.97MF1=5.97/ PB=1.12MF2=1.121 PA-PB=4.85 MF1-MF2=4.85 1.双曲线的定义 一般地，如果F,F2是平面内的两个 定点，a是一个正常数，且2adFF, 自然语言 则平面上满足IPF-PF=2a的动点 P的轨迹称为双曲线 符号语言 IPFl-PFl=2a(常数，0<2a<|FF 焦点与焦距 两个定点叫做双曲线的焦点，两 焦点的距离|FF2叫做双曲线的 焦距 以F,F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy, 此时双曲线的焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0) 设P(x,y)是双曲线上一点，则 IPFI-IPF2l =2a, 因为PFl=√x+c)2+yZ,IPF2l=√x-c)2+yZ, 所以vx+c)2+yz-√x-c)2+yz=±2a ① 0相2器 =±2a 整理得Vc+c2+y-Vc-c2+y=±ニx ②
1.双曲线的定义 以𝐹1, 𝐹2所在直线为𝑥 轴，线段𝐹1𝐹2的垂直平分线为𝑦轴，建立平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦， 此时双曲线的焦点分别为𝐹1（ − 𝑐, 0）, 𝐹2 （𝑐, 0） 设 P(𝑥, 𝑦)是双曲线上一点，则 ||𝑃𝐹1 | − |𝑃𝐹2 || =2a, 因为|𝑃𝐹1 | = √(𝑥 + 𝑐) 2 + 𝑦 2, |𝑃𝐹2 | = √(𝑥 − 𝑐) 2 + 𝑦 2, 所以√(𝑥 + 𝑐) 2 + 𝑦 2 − √(𝑥 − 𝑐) 2 + 𝑦 2 = ±2𝑎 ① 由①得 (𝑥+𝑐) 2+𝑦 2−[(𝑥−𝑐) 2+𝑦 2] √(𝑥+𝑐) 2+𝑦2+√(𝑥−𝑐) 2+𝑦2 = ±2𝑎 整理得√(𝑥 + 𝑐) 2 + 𝑦 2 − √(𝑥 − 𝑐) 2 + 𝑦 2=± 2𝑐 𝑎 𝑥. ②
且②与①右边同时取正号或负号，①+②整理得 √x+c)2+yz=±(a+x) ③ 将③式平方再整理得x2-y2=c2-2 ④ 因为c>a>0,所以c2-a2>0 设c2-a2=b2 且b>0,则④可化为 器-￥=1(a>0,b>0) 设双曲线的焦点为F和F2,焦距为2c,而且双曲线上的动点P满足 |lPFl-PF2=2a,其中c>a>0，以F,F2所在直线为y轴，线段FF2的垂直平分线 为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时：双曲线的标准方程是什么？ 2.双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 0 标准方程 32 (a>0.b>01 存=1(a0.b>0 焦点 Fc,0),F(c,0) (0,-c),F,0,c) a,b,c的关 222 b=c-a 系
且②与①右边同时取正号或负号，①+ ②整理得 √(𝑥 + 𝑐) 2 + 𝑦 2 =±(a+ 𝑐 𝑎 𝑥) ③ 将③式平方再整理得𝑐 2−𝑎 2 𝑎2 𝑥 2 − 𝑦 2 = 𝑐 2 − 𝑎 2 ④ 因为𝑐 > 𝑎 > 0 ，所以𝑐 2 − 𝑎 2>0 设𝑐 2 − 𝑎 2=𝑏 2 且𝑏 > 0,则④可化为 𝑥 2 𝑎2 − 𝑦 2 𝑏2 = 1 (𝑎>0，𝑏>0) 设双曲线的焦点为 𝐹1和𝐹2 ，焦距为2𝑐 ，而且双曲线上的动点 P 满足 ||𝑃𝐹1 | − |𝑃𝐹2 || =2a,其中𝑐 > 𝑎 > 0 ，以𝐹1, 𝐹2所在直线为𝑦轴，线段𝐹1𝐹2的垂直平分线 为𝑥轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时；双曲线的标准方程是什么？ 2.双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形 标准方程 (a>0,b>0) (a>0,b>0) 焦点 F 1 (-c,0),F 2 (c,0) F 1 (0,-c),F 2 (0,c) a,b,c 的关 系 b 2 =c 2 -a 2
(二)典例解析 例1求适合下列条件的双曲线的标准方程， (1)焦点在x轴上，a=2V5,经过点A(-5,2): (2)经过两点A(-7,-6V2),B(2V7,3) 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出 标准方程，然后用待定系数法求出α，b的值.若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上 两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂.若双曲线过两定点，可设其方程为 22 x+y=l(mn0所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此x≥340 x2 所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为 y2 1560-4400=10x≥340)
（二）典例解析 例 1 求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)焦点在 x 轴上,a=2√5,经过点 A(-5,2); (2)经过两点 A(-7,-6√2),B(2√7,3). 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可以先根据其焦点位置设出 标准方程,然后用待定系数法求出 a,b 的值.若焦点位置不确定,可按焦点在 x 轴和 y 轴上 两种情况讨论求解,此方法思路清晰,但过程复杂.若双曲线过两定点,可设其方程为 mx 2 +ny 2 =1(mn<0),通过解方程组即可确定 m,n,避免了讨论,从而简化求解过程. 跟踪训练 1 根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1)焦点在 x 轴上,经过点 P(4,-2)和点 Q(2√6,2√2); (2)过点 P(3, 15 4 ),Q(- 16 3 ,5)且焦点在坐标轴上. 例2.已知 , 两地相距800 ，在 地听到爆炸声比在 地晚2 ， 且声速为340m / ,求炮弹爆炸点的轨迹方程。 A B m A B s s 2 2 2 2 2 解：建立平面直角坐标系，使 , 两点在 上， 并且原点与线段 的中点重合。 设炮弹爆炸点 的坐标为（ , ），则 340 2 680 即2 680, 340 又 800，所以2 800， 400, 44400 因为 680＞0所以点 的轨迹是双曲线的右支，因此 340 所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为 1( 340) 115600 44400 A B x AB P x y PA PB a a AB c c b c a PA PB P x x y x − = = = = = = = = − = − = − =
跟踪训练2.“神舟”九号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指 挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记A,B,C,A在B的正东方向，相距6 千米，C在B的北偏西30°方向，相距4千米，P为航天员着陆点某一时刻，A接收到P的求 救信号，由于B,C两地比A距P远，在此4秒后，B,C两个救援中心才同时接收到这一信 号.已知该信号的传播速度为1千米秒，求在A处发现P的方位角 (四)小结点评 焦点 定义 焦距 双曲线 标准方程 实际应用 (五)作业布置 六、课后巩固 1.已知两定点F(-5,0),F,5,0),动点P满足PF,HPF,=2a,则当a=3和5时，P点的轨迹为) A双曲线和一条直线 B.双曲线和一条射线 C双曲线的一支和一条直线 D双曲线的一支和一条射线 2已知双曲线若-二=1(a>0,6>0),F5,为其两个焦点，若过焦点F的直线与双曲线的同一支相交，且 所得弦长AB=m,则△4ABF的周长为( A.4a B.4a-m C.4a+2m D.4a-2m 3已知方程云+名表示双曲线则m的取值范围是( A.(-1,+0) B.(2,+o) C.(-0,-1)U(2,+0) D.(-1,2) 4.一块面积为12公顷的三角形形状的农场.如图所示△PEF,已知tan∠PEF-之tan∠PFE=-2,试建立适 当直角坐标系，求出分别以E,F为左、右焦点且过点P的双曲线方程
跟踪训练 2. “神舟”九号飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指 挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记 A,B,C),A 在 B 的正东方向,相距 6 千米,C 在 B 的北偏西 30°方向,相距 4 千米,P 为航天员着陆点.某一时刻,A 接收到 P 的求 救信号,由于 B,C 两地比 A 距 P 远,在此 4 秒后,B,C 两个救援中心才同时接收到这一信 号.已知该信号的传播速度为 1 千米/秒,求在 A 处发现 P 的方位角. （四）小结点评 （五）作业布置 六、课后巩固 1.已知两定点 F 1 (-5,0),F 2 (5,0),动点 P 满足|PF 1 |-|PF 2 |=2a,则当 a=3 和 5 时,P 点的轨迹为( ) A.双曲线和一条直线 B.双曲线和一条射线 C.双曲线的一支和一条直线 D.双曲线的一支和一条射线 2.已知双曲线𝑥 2 𝑎2 − 𝑦 2 𝑏 2=1(a>0,b>0),F 1 ,F 2 为其两个焦点,若过焦点 F 1 的直线与双曲线的同一支相交,且 所得弦长|AB|=m,则△ABF 2 的周长为( ) A.4a B.4a-m C.4a+2m D.4a-2m 3.已知方程 𝑥 2 1+𝑚 + 𝑦 2 𝑚-2 =1 表示双曲线,则 m 的取值范围是( ) A.(-1,+∞) B.(2,+∞) C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(-1,2) 4. 一块面积为 12 公顷的三角形形状的农场.如图所示△PEF,已知 tan∠PEF=1 2 ,tan∠PFE=-2,试建立适 当直角坐标系,求出分别以 E,F 为左、右焦点且过点 P 的双曲线方程