1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系（2) 一、教材分析 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》， 本节课主要学习空间向量基本定理。 空间向量基本定理也成为空间向量分解定理，它与平面向量基本定理类似，区别仅在于基 底中多了一个向量，从而分解结果中多了一“项”证明的思路、步骤也基本相同.空间向量 基本定理的推论意在用分解定理确定点的位置，它对于今后用向量方法解几何问题很有用，也 为今后学习空间向量的直角坐标运算作准备】 二、学情分析 本节的学习一方面依托于“平面向量”的知识基础，实现“平面”到“空间”的推广； 一方面，空间向量的几何表示又常以空间几何图形为载体，因此必修第二册中的“平面向量”、 “立体几何初步”是学习本单元的重要基础.经过一系列的理论建构，学生拥有一套完整的空 间向量知识，才能够运用空间向量解决立体几何问题，这说明本单元的学习又为下一单元“空 间向量的应用”打下基础，是对立体几何的进一步补充： 三、教学目标 1.了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解. 2.会用空间三个不共面向量作为基底表示空间中其他向量. 四、教学重难点 1.教学重点：理解空间向量基本定理及其证明 2.教学难点：运用空间向量基本定理解决有关问题！ 五、课前准备 (一)学习资源 (二)学习任务单 (三)教学方法及工具：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。 多媒体。 六、教学过程 (一)学生反馈 问题1：我们已经学习过平面向量基本定理，那么平面向量基本定理的内容是什么呢？ 师生活动：学生独立思考、复习平面向量基本定理的内容
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（2） 一、教材分析 本节课选自《2019 人教 A 版高中数学选择性必修第一册》第一章《空间向量与立体几何》， 本节课主要学习空间向量基本定理。 空间向量基本定理也成为空间向量分解定理，它与平面向量基本定理类似，区别仅在于基 底中多了一个向量，从而分解结果中多了一“项”.证明的思路、步骤也基本相同．空间向量 基本定理的推论意在用分解定理确定点的位置，它对于今后用向量方法解几何问题很有用，也 为今后学习空间向量的直角坐标运算作准备． 二、学情分析 本节的学习一方面依托于“平面向量”的知识基础，实现“平面”到“空间”的推广；另 一方面，空间向量的几何表示又常以空间几何图形为载体，因此必修第二册中的“平面向量”、 “立体几何初步”是学习本单元的重要基础.经过一系列的理论建构，学生拥有一套完整的空 间向量知识，才能够运用空间向量解决立体几何问题，这说明本单元的学习又为下一单元“空 间向量的应用”打下基础，是对立体几何的进一步补充. 三、教学目标 1.了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解． 2.会用空间三个不共面向量作为基底表示空间中其他向量． 四、教学重难点 1.教学重点：理解空间向量基本定理及其证明. 2.教学难点：运用空间向量基本定理解决有关问题. 五、课前准备 （一）学习资源 （二）学习任务单 （三）教学方法及工具：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。 多媒体。 六、教学过程 （一）学生反馈 问题 1：我们已经学习过平面向量基本定理，那么平面向量基本定理的内容是什么呢？ 师生活动：学生独立思考、复习平面向量基本定理的内容．
追问：由平面向量基本定理知道，平面内任意一个向量都可以用两个不共线的向量表示.类似 地，任意一个空间向量p能否用任意三个不共面的向量a,b,c来表示呢？ 师生活动：学生充分思考，教师启发由三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论， 设计意图：引入一个新的数学对象后，关键在于引导学生思考“如何研究一个数学对象”，这 种思考有助学生学会研究数学对象，学会发现问题和提出问题.这里采用的“类比”就是一种 重要的数学思想方法，通过类比平面向量基本定理，提出要研究的问题。 (二)新课教授 知道平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示（平面向量基本定理），类似 的任意一个空间的向量，能否用任意三个不共面的向量来表示呢？ 因此，如果，，k是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个空间向量p存在唯一有序 实数组(xy,z),使得p=xi什y什zk。我们称xi,y,zk分别为向量p在i,j,k上的分向量。 图1.1 如图1.2-1，设，，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示他们的有向线段有公共起点 0,对于任意一个空间向量p=0P,设00为0P在i,j所确定的平面上的投影向量，则0P=00+QP, 又向量QP,k共线，因此存在唯一实数z,使得QP+zk,从而OP=0Q+zk,而在i,j所确定的 平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（xy),使得OQ=x计y.从而， OP-00+zk=xi+yi+zk 空间向量基本定理 1.定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(xy,), 使得p=xa+b+zC. 2.基底：我们把定理中的{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量.空间任意三个不共 面的向量都可以构成空间的一个基底 3.单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫 做单位正交基底，常用{i,j,k表示
追问：由平面向量基本定理知道，平面内任意一个向量都可以用两个不共线的向量表示．类似 地，任意一个空间向量 p 能否用任意三个不共面的向量 a b c , , 来表示呢？ 师生活动：学生充分思考，教师启发由三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论． 设计意图：引入一个新的数学对象后，关键在于引导学生思考“如何研究一个数学对象”，这 种思考有助学生学会研究数学对象，学会发现问题和提出问题．这里采用的“类比”就是一种 重要的数学思想方法，通过类比平面向量基本定理，提出要研究的问题． （二）新课教授 知道平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示(平面向量基本定理)，类似 的任意一个空间的向量，能否用任意三个不共面的向量来表示呢？ 因此，如果𝒊,𝒋, 𝒌是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个空间向量 p 存在唯一有序 实数组（x,y,z），使得 p= xi+ yj+z𝒌 。我们称 xi, yj,z𝒌分别为向量 p 在𝒊,𝒋, 𝒌上的分向量。 探究 如图 1.2-1， 设𝒊,𝒋, 𝒌是空间中三个两两垂直的向量，且表示他们的有向线段有公共起点 o，对于任意一个空间向量𝑝 = 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ ,设𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ 在𝒊,𝒋所确定的平面上的投影向量，则𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ , 又向量𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ ，𝒌共线，因此存在唯一实数 z，使得𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ + z𝒌，从而𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + z𝒌 ，而在i, j所确定的 平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对（x,y），使得𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =xi+ yj.从而， 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + z𝒌 = xi+ yj+z𝒌. 空间向量基本定理 1.定理:如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对任意一个空间向量 p,存在唯一的有序实数组(x,y,z), 使得 p=xa+yb+zc. 2.基底:我们把定理中的{𝑎, 𝑏, 𝑐}叫做空间的一个基底,a,b,c 都叫做基向量.空间任意三个不共 面的向量都可以构成空间的一个基底. 3.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为 1,那么这个基底叫 做单位正交基底,常用{𝑖,𝑗, 𝑘}表示
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,水 使=xi+yⅵ+k,像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交 分解 定理辨析 1空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底基底选定后，空间的所有向量均可由基 底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同 2.一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念 3.由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不 共面，就说明它们都不是零向量 做一做 1.判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“V,错误的打“X” (1)空间向量的基底是唯一的.() (2)若a,b,c是空间向量的一个基底，则a,b,c均为非零向量() (3)已知A,B,MN是空间四点，若BA,BM,BN不能构成空间的一个基底，则A,B,M,N共面.() (4)若{a,b,c}是空间的一个基底，且存在实数xy,z使得xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.() 答案：(1)×(2)N(3)N(4)V 2.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a,b.x},②{x,y,z},③ {b,c,z},④x,y,a+b+c以其中可以作为空间一个基底的向量组有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：C （三)典型例析 例1如图1.2-2，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上， 且N=oN,P=4N,用向量OO丽，OC表示O. 师生活动：学生独立思考，教师给出解答示范.指导学生将OA,OB,OC作为基 底，根据向量的有关运算将相关向量用基底表示.总结用基底表示空间向量的 步骤。 设计意图：本题是教科书中的例题，通过例题教学，巩固空间向量基本定理. 图1.2-2
由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量 a,均可以分解为三个向量 xi,yj,zk, 使 a=xi+yj+zk,像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交 分解. 定理辨析 1.空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后,空间的所有向量均可由基 底唯一表示;不同基底下,同一向量的表达式也有可能不同. 2.一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念. 3.由于零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个不共线的非零向量共面,所以若三个向量不 共面,就说明它们都不是零向量. 做一做 1.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. (1)空间向量的基底是唯一的.( ) (2)若 a,b,c 是空间向量的一个基底,则 a,b,c 均为非零向量.( ) (3)已知 A,B,M,N 是空间四点,若𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐵𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不能构成空间的一个基底,则 A,B,M,N 共面.( ) (4)若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数 x,y,z 使得 xa+yb+zc=0,则有 x=y=z=0.( ) 答案: (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2.设 x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③ {b,c,z},④{x,y,a+b+c}.其中可以作为空间一个基底的向量组有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 答案: C （三）典型例析 例 1 如图 1.2-2， M 是四面体 OABC 的棱 BC 的中点，点 N 在线段 OM 上，点 P 在线段 AN 上， 且 1 3 , , 2 4 MN ON AP AN 用向量 OA OB OC , , 表示 OP ． 师生活动：学生独立思考，教师给出解答示范．指导学生将 { , , } OA OB OC 作为基 底，根据向量的有关运算将相关向量用基底表示．总结用基底表示空间向量的 步骤． 设计意图：本题是教科书中的例题，通过例题教学，巩固空间向量基本定理．
一→ 跟踪训练1如图所示，在平行六面体ABCD-A'B'CD'中，AB=a,AD=b,AA'=C,P是CA 的中点，M是CD的中点，N是CD的中点，点Q在CA'上，且CQ:QA'=4:1,用基底{a, b,c}表示以下向量 (1)AP:(2)AM:(3)AN:(4)AQ A (四)小结点评 1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础. 2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题：利用数量积运算可以解 决一些距离、夹角问题. 3.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用己知向量表示未知 向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题.其中合理选取基底是优化运算的关键， (五)作业布置 课本第15页习题1.2第1,2,3,4题. 六、课后巩固 A组 1.已知正方体ABCD-A1B1CD1中，若点F是侧面CC1D1D的中心，且AF=AD+mAB-nAA1,则m,n 的值分别为() A进 B封 c D特 2.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若PA=a,PB=b,PC=c,则 BE= D
跟踪训练 1.如图所示，在平行六面体 ABCD-A′B′C′D′中，AB ―→ ＝a，AD ―→ ＝b，AA′ ―→ ＝c，P 是 CA′ 的中点，M 是 CD′的中点，N 是 C′D′的中点，点 Q 在 CA′上，且 CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a， b，c}表示以下向量. (1)AP ―→ ；(2)AM ―→ ；(3)AN ―→ ；(4)AQ ―→ . （四）小结点评 1．利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础． 2．利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解 决一些距离、夹角问题． 3．利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知 向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题．其中合理选取基底是优化运算的关键． （五）作业布置 课本第 15 页习题 1．2 第 1，2，3，4 题． 六、课后巩固 A 组 1.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,若点 F 是侧面 CC1D1D 的中心,且𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ +m𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ -n𝐴𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则 m,n 的值分别为( ) A.1 2 ,- 1 2 B.- 1 2 ,- 1 2 C.- 1 2 , 1 2 D.1 2 , 1 2 2.在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,E 为 PD 中点,若𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ =a,𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =b,𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则 𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ =
3.若{a,b,c}是空间的一个基底，试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为空间的一个基底. B组 如图，三棱柱ABC-ABC中，底面边长和侧棱长都等于1，∠BA4=∠CA4=60°. (1)设AA=a,AB=b,AC=c,用向量a,b,c表示BC,并求出BC,的长度： (2)求异面直线AB,与BC,所成角的余弦值
3.若{a,b,c}是空间的一个基底,试判断{a+b,b+c,c+a}能否作为空间的一个基底. B 组 如图，三棱柱 ABC A B C 1 1 1 中，底面边长和侧棱长都等于 1， BAA CAA 1 1 60 ． （1）设 AA a 1 ， AB b ， AC c ，用向量 a ，b ，c 表示 BC1 ，并求出 BC1 的长度； （2）求异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值．