志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 3.1椭圆 3.1.1 椭圆及其标准方程 课后·训练提升 基础巩固 1.己知F1,F2为两定点，且IFF2=6,若动点M满足IMF+MF=2FFl,则动点M的轨迹是() A.椭圆 B.直线 c.圆 D.线段 答案：A 解析：因为MF1+MF2=2FF=12>F1F,所以动点M的轨迹是椭圆. 2(多选题)下列m的取值，能够使方程 品+云1表示焦点在y轴上的椭圆的是() A.m=-2 B.m=0 C.m=-3 Dm-月 答案：ACD m4-1>0, 解析：若方程品+品1表示焦点在y轴上的鹅圆，则2肌二0解得m0)的左焦点为F-3,0),则m=() A.9 B.4 C.3 D.2 答案：B 解析：依题意，椭圆焦点在x轴上且c=3,因此25-m2=9,解得m=4(m=4舍去) 5.已知动点Mx,)满足方程(x-3)2+y2+(x+3)2+y2=10,则动点M的轨迹方程为() A+1 B+ 1
1 3.1 椭圆 3.1.1 椭圆及其标准方程 课后· 基础巩固 1.已知 F1,F2 为两定点,且|F1F2|=6,若动点 M 满足|MF1|+|MF2|=2|F1F2|,则动点 M 的轨迹是( ) A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 答案:A 解析:因为|MF1|+|MF2|=2|F1F2|=12>|F1F2|,所以动点 M 的轨迹是椭圆. 2.(多选题)下列 m 的取值,能够使方程 𝑥 2 |𝑚|-1 + 𝑦 2 2-𝑚 =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆的是( ) A.m=-2 B.m=0 C.m=-3 D.m= 5 4 答案:ACD 解析:若方程 𝑥 2 |𝑚|-1 + 𝑦 2 2-𝑚 =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则{ |𝑚|-1 > 0, 2-𝑚 > 0, |𝑚|-1 0)的左焦点为 F(-3,0),则 m=( ) A.9 B.4 C.3 D.2 答案:B 解析:依题意,椭圆焦点在 x 轴上且 c=3,因此 25-m2=9,解得 m=4(m=-4 舍去). 5.已知动点 M(x,y)满足方程√(𝑥-3) 2 + 𝑦 2 + √(𝑥 + 3) 2 + 𝑦 2=10,则动点 M 的轨迹方程为( ) A. 𝑥 2 25 + 𝑦 2 16=1 B. 𝑥 2 25 + 𝑦 2 21=1
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org c+片- 答案：A 解析：依题意，动点M(xy)到两定点(3,0).(-3,0)的距离之和等于常数10，且10>6，所以其轨迹为椭圆，且 2a=10c-3,尔=16，故功点M的轨遂方程为号+兰-1 6.已知椭圆的焦距是三且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于2，则椭圆的标准方程为） +会 r Cr2+ 6 答案D 、 解析：由已知得 C二解得alc则-心品故所求精国的标准方程为套1或了套l 2a=2, 7已知P是椭圆号+兰-上一点，椭圆的左、右焦点分别为FF.且cos∠F,PF则下列说法错误 的是( A.△PFF2的周长为12 B.△PF1F2的面积为2V2 C.点P到x轴的距离为2四 DPF·PF-2 答案：A 解析：由椭圆的方程知a=3,b=2,c=V5,则1PF1+1PF2=6,于是△PFF2的周长为2a+2c=6+25,故A项 错误；在△PFF2中，由余弦定理可得1FF2P=PFP+PF2P-2 PFPF2cos∠FPF2=(IPF+lPF2)2 2PFPF-2 PFPFalcos∠FPF,即20=36-2 PFlIPFPF PF,解得1 PFLIPE=6,则△PFF的 面积S-PFPF5n∠FPF:宁62号-2V厄，故B项正确：设点P到x轴的距离为d则△PFA的面 P
2 C. 𝑥 2 25 + 𝑦 2 4 =1 D. 𝑦 2 25 + 𝑥 2 16=1 答案:A 解析:依题意,动点 M(x,y)到两定点(3,0),(-3,0)的距离之和等于常数 10,且 10>6,所以其轨迹为椭圆,且 2a=10,c=3,b 2=16,故动点 M 的轨迹方程为𝑥 2 25 + 𝑦 2 16=1. 6.已知椭圆的焦距是1 2 ,且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于 2,则椭圆的标准方程为( ) A. 𝑥 2 4 + 𝑦 2 15 16 =1 B.x 2+ 𝑦 2 3 4 =1 C.x 2+ 𝑦 2 3 4 =1 或 y 2+ 𝑥 2 3 4 =1 D.x 2+ 𝑦 2 15 16 =1 或 y 2+ 𝑥 2 15 16 =1 答案:D 解析:由已知得{ 2𝑐 = 1 2 , 2𝑎 = 2, 解得 a=1,c= 1 4 ,则 b 2=a2 -c 2= 15 16,故所求椭圆的标准方程为 x 2+ 𝑦 2 15 16 =1 或 y 2+ 𝑥 2 15 16 =1. 7.已知 P 是椭圆𝑥 2 9 + 𝑦 2 4 =1 上一点,椭圆的左、右焦点分别为 F1,F2,且 cos∠F1PF2= 1 3 ,则下列说法错误 的是( ) A.△PF1F2 的周长为 12 B.△PF1F2 的面积为 2√2 C.点 P 到 x 轴的距离为2√10 5 D.𝑃𝐹1 ⃗⃗ ⃗ · 𝑃𝐹2 ⃗⃗⃗⃗ =2 答案:A 解析:由椭圆的方程知 a=3,b=2,c=√5,则|PF1|+|PF2|=6,于是△PF1F2 的周长为 2a+2c=6+2√5,故 A 项 错误;在△PF1F2 中,由余弦定理可得|F1F2| 2=|PF1| 2+|PF2| 2 -2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2=(|PF1|+|PF2|) 2 - 2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2,即 20=36-2|PF1||PF2|- 2 3 |PF1||PF2|,解得|PF1|·|PF2|=6,则△PF1F2的 面积 S=1 2 |PF1||PF2|sin∠F1PF2= 1 2 ×6× 2√2 3 =2√2,故 B 项正确;设点 P 到 x 轴的距离为 d,则△PF1F2 的面
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 积SFFd2V5d2Vz,得d2严故C项正确，P丽·P丽-P丽1丽kos∠F,PF6x-2,故D 5 项正确 8若椭圆号-片1的焦距等于2则实数m的值等于】 答案：-4或-6 解析：由题意可知，m>0,得mMN.由椭圆的定义知，点P的轨迹是以M,N为焦点的椭圆， 10.求过点P(3,0)且与圆x2+y2+6x-91=0相内切的动圆圆心的轨迹方程 解圆的方程可化为(x+3)2+y2=100,因此圆的圆心为C(-3,0),半径=10 设动圆圆心为C,半径为R,则依题意有|CP|=R且|CC=10-R 于是|CC+CP1=10,即动点C到两个定点C1(-3,0),P(3,0)的距离之和等于常数10，且10>lCP1, 故动圆圆心C的轨迹是以C(-3,0),P(3,0)为焦点的椭圆，且长轴长等于10. 于是设精圆方程为号+片-1o>b0,则2a=10c3-e=16 故所求动圆圆心的轨选方程为云+元1。 2 拓展提高 1椭圆尖。 5+每=1的焦点坐标是C A.(±5,0) B.(0,±5) C.(0,±12) D.(±12,0) 答案：C 解析：因为c2=2-b2=169-25=122,所以c=12,又焦点在y轴上，故焦点坐标为(0，士12) 2若椭圆号+兰-1上一点到两焦点的距离之和为m3,则m的值为） m A.1 B.7 C.9 D.7或9 3
3 积 S=1 2 |F1F2|·d=1 2 ·2√5d=2√2,得 d=2√10 5 ,故 C 项正确;𝑃𝐹1 ⃗⃗ ⃗ · 𝑃𝐹2 ⃗⃗⃗⃗ =|𝑃𝐹1 ⃗⃗ ⃗ |·|𝑃𝐹2 ⃗⃗⃗⃗ |cos∠F1PF2=6× 1 3 =2,故 D 项正确. 8.若椭圆𝑥 2 5 − 𝑦 2 𝑚 =1 的焦距等于 2,则实数 m 的值等于 . 答案:-4 或-6 解析:由题意可知,-m>0,得 m|MN|.由椭圆的定义知,点 P 的轨迹是以 M,N 为焦点的椭圆. 10.求过点 P(3,0)且与圆 x 2+y2+6x-91=0 相内切的动圆圆心的轨迹方程. 解:圆的方程可化为(x+3)2+y2=100,因此圆的圆心为 C1(-3,0),半径 r=10. 设动圆圆心为 C,半径为 R,则依题意有|CP|=R 且|CC1|=10-R. 于是|CC1|+|CP|=10,即动点 C 到两个定点 C1(-3,0),P(3,0)的距离之和等于常数 10,且 10>|C1P|, 故动圆圆心 C 的轨迹是以 C1(-3,0),P(3,0)为焦点的椭圆,且长轴长等于 10. 于是设椭圆方程为𝑥 2 𝑎2 + 𝑦 2 𝑏 2=1(a>b>0),则 2a=10,c=3,b 2=a2 -c 2=16, 故所求动圆圆心的轨迹方程为𝑥 2 25 + 𝑦 2 16=1. 拓展提高 1.椭圆𝑥 2 25 + 𝑦 2 169=1 的焦点坐标是( ) A.(±5,0) B.(0,±5) C.(0,±12) D.(±12,0) 答案:C 解析:因为 c 2=a2 -b 2=169-25=122 ,所以 c=12,又焦点在 y 轴上,故焦点坐标为(0,±12). 2.若椭圆𝑥 2 4 + 𝑦 2 𝑚 =1 上一点到两焦点的距离之和为 m-3,则 m 的值为( ) A.1 B.7 C.9 D.7 或 9
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 答案：C 解析：若焦点在x轴上，则04,这时有m-3=2a=2Vm,解得m=9,故m的值为9. 3已知两定点02)02以点P在椭圆号+片1上，且满足丽丽-2，则币.F的值等于() A.-12 B.12 C.-9 D.9 答案D 解析：由题意易知40,2,0,2)为精圆号+总1的两焦点，又a=4,所以+-2x4-8国为丽 BP1=2,所以AP1=5,BP1=3,又因为AB=4,所以△ABP为直角三角形，故AP.BP-(AB+ BP)B乎-BF-9 4已知P为椭圆芳+后1上的一点MN分别为圆x+3y1和圆(~3+y=4上的点则PM+PN 的最小值为( A.5 B.7 C.13 D.15 答案：B 解析：由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心，且PF+PF-10,从而PM+PW的最小值 为PF+lPF21-2=7. 5已知点M是椭圆后+片-(a>b>0)上任意一点.两个焦点分别为F,A若MF1M的0最大值为8。 则a的值等于( A.8 B.4 C.22 D.2 答案：C 解析：因为1MF+MF2=2a 所以MFH≤(E- 当且仅当MF=|MF2时取等号， 故a2=8,a=2V2 6己知P是椭圆号+y2=1上一点，F,F,是其两个焦点，则∠FPF的大小不可能为） A婴 B c D用 答案：A 解析：设PF1l=m,PF2=n,则m>0,n>0,且m+n=2a=4,易知椭圆的焦距为2V3. A
4 答案:C 解析:若焦点在 x 轴上,则 04,这时有 m-3=2a=2√𝑚,解得 m=9,故 m 的值为 9. 3.已知两定点 A(0,-2),B(0,2),点 P 在椭圆𝑥 2 12 + 𝑦 2 16=1 上,且满足|𝐴𝑃⃗⃗⃗ |-|𝐵𝑃⃗⃗⃗ |=2,则𝐴𝑃⃗⃗⃗ · 𝐵𝑃⃗⃗⃗ 的值等于 ( ) A.-12 B.12 C.-9 D.9 答案:D 解析:由题意易知 A(0,-2),B(0,2)为椭圆𝑥 2 12 + 𝑦 2 16=1 的两焦点,又 a=4,所以|𝐴𝑃⃗⃗⃗ |+|𝐵𝑃⃗⃗⃗ |=2×4=8.因为|𝐴𝑃⃗⃗⃗ |- |𝐵𝑃⃗⃗⃗ |=2,所以|𝐴𝑃⃗⃗⃗ |=5,|𝐵𝑃⃗⃗⃗ |=3,又因为|𝐴𝐵⃗⃗⃗ |=4,所以△ABP 为直角三角形,故𝐴𝑃⃗⃗⃗ · 𝐵𝑃⃗⃗⃗ =(𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐵𝑃⃗⃗⃗ )·𝐵𝑃⃗⃗⃗ =|𝐵𝑃⃗⃗⃗ | 2=9. 4.已知 P 为椭圆𝑥 2 25 + 𝑦 2 16=1 上的一点,M,N 分别为圆(x+3)2+y2=1 和圆(x-3)2+y2=4 上的点,则|PM|+|PN| 的最小值为( ) A.5 B.7 C.13 D.15 答案:B 解析:由题意知椭圆的两个焦点 F1,F2 分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值 为|PF1|+|PF2|-1-2=7. 5.已知点 M 是椭圆𝑥 2 𝑎2 + 𝑦 2 𝑏 2=1(a>b>0)上任意一点,两个焦点分别为 F1,F2,若|MF1|·|MF2|的最大值为 8, 则 a 的值等于( ) A.8 B.4 C.2√2 D.2 答案:C 解析:因为|MF1|+|MF2|=2a, 所以|MF1|·|MF2|≤( |𝑀𝐹1|+|𝑀𝐹2| 2 ) 2 =a2 , 当且仅当|MF1|=|MF2|时取等号, 故 a 2=8,a=2√2. 6.已知 P 是椭圆𝑥 2 4 +y2=1 上一点,F1,F2是其两个焦点,则∠F1PF2 的大小不可能为( ) A. 3π 4 B. 2π 3 C. π 2 D. π 4 答案:A 解析:设|PF1|=m,|PF2|=n,则 m>0,n>0,且 m+n=2a=4,易知椭圆的焦距为 2√3
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 在AFPA中，由余孩定理可得os∠F,PA产型-@n业=品1， 2mn 2mn 因为mn≤ ）=4,所以c0s∠FPF≥克当且仅当mn时取等号。 故∠F,PF的最大值为号所以∠FPF:不可能为婴 7.已知直线2x+4-0过椭圆E号 三+=1(a>b>0)的右焦点F2,且与椭圆E在第一象限的交点为M,与 y轴交于点N,F是椭圆E的左焦点，且MWM=MFl,则椭圆E的方程为 答案号+y2- 解析：直线2x+y4=0与x轴、y轴分别交于点(2,0)，(0,4)，因此F(2,0),N(0,4),于是c=2,因为 2a=MF+MF-I-IMN+M=NF2-25,所以a=V5,从而F=5-4-1,故精圆E的方程为号+y2=1. 挑战创新 设P是椭圆后+至1上一点，F,F乃是椭圆的焦点若∠FPF5=60 (1)求△FPF2的面积 (2)求点P的坐标： (3)求PF·PE的值 解：()由椭圆方程，知a2-25,B-华 则2-华c2c5 在△F1PF2中，IF1F2P=|PF12+lPF2P-2 PFLIPE2Icos60°， 即25=PF2+PF2I2-PFLIPF.① 由椭圆的定义得10=PF+PF2, 则100=PF2+|PF22+2 IPFLIPE.② ②-①，得3 PFIPE=75, 则PFLIPF2=25, 故aFPF的面积SPF1 Psin60°_259 4
5 在△F1PF2 中,由余弦定理可得 cos∠F1PF2= 𝑚2+𝑛 2 -12 2𝑚𝑛 = (𝑚+𝑛) 2 -2𝑚𝑛-12 2𝑚𝑛 = 2 𝑚𝑛 -1, 因为 mn≤( 𝑚+𝑛 2 ) 2 =4,所以 cos∠F1PF2≥- 1 2 ,当且仅当 m=n 时取等号, 故∠F1PF2 的最大值为2π 3 ,所以∠F1PF2不可能为3π 4 . 7.已知直线 2x+y-4=0 过椭圆 E: 𝑥 2 𝑎2 + 𝑦 2 𝑏 2=1(a>b>0)的右焦点 F2,且与椭圆 E 在第一象限的交点为 M,与 y 轴交于点 N,F1 是椭圆 E 的左焦点,且|MN|=|MF1|,则椭圆 E 的方程为 . 答案: 𝑥 2 5 +y2=1 解析:直线 2x+y-4=0 与 x 轴、y 轴分别交于点(2,0),(0,4),因此 F2(2,0),N(0,4),于是 c=2,因为 2a=|MF1|+|MF2|=|MN|+|MF2|=|NF2|=2√5,所以 a=√5,从而 b 2=5-4=1,故椭圆 E 的方程为𝑥 2 5 +y2=1. 挑战创新 设 P 是椭圆𝑥 2 25 + 𝑦 2 75 4 =1 上一点,F1,F2 是椭圆的焦点,若∠F1PF2=60°. (1)求△F1PF2 的面积; (2)求点 P 的坐标; (3)求𝑃𝐹1 ⃗⃗ ⃗ · 𝑃𝐹2 ⃗⃗⃗⃗ 的值. 解:(1)由椭圆方程,知 a 2=25,b 2= 75 4 , 则 c 2= 25 4 ,c= 5 2 ,2c=5. 在△F1PF2 中,|F1F2| 2=|PF1| 2+|PF2| 2 -2|PF1|·|PF2|cos 60°, 即 25=|PF1| 2+|PF2| 2 -|PF1|·|PF2|.① 由椭圆的定义得 10=|PF1|+|PF2|, 则 100=|PF1| 2+|PF2| 2+2|PF1|·|PF2|.② ②-①,得 3|PF1|·|PF2|=75, 则|PF1|·|PF2|=25, 故△F1PF2 的面积 S=1 2 |PF1|·|PF2|sin 60°= 25√3 4
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org (2)设点PoJw,则△FPF,的面积SF5bw,由()可得25=5nl解得ol-5将wl-59代 入椭圆方程得要 (4 =1,解得0=0， 于是点P的坐标为(0，或(0) （3)()可得F(0F(,0) 于是所=(9)，四-9所-（婴四-) 故四所-+（盟）-空 6
6 (2)设点 P(x0,y0),则△F1PF2 的面积 S=1 2 ·|F1F2|·|y0|,由(1)可得25√3 4 = 1 2 ×5|y0|,解得|y0|=5√3 2 ,将|y0|=5√3 2 代 入椭圆方程得𝑥0 2 25 + ( 5√3 2 ) 2 75 4 =1,解得 x0=0, 于是点 P 的坐标为(0, 5√3 2 )或(0,- 5√3 2 ). (3)由(1)可得 F1(- 5 2 ,0),F2( 5 2 ,0), 于是𝑃𝐹1 ⃗⃗ ⃗ = (- 5 2 ,- 5√3 2 ) ,𝑃𝐹2 ⃗⃗⃗⃗ = 5 2 ,- 5√3 2 或𝑃𝐹1 ⃗⃗ ⃗ = - 5 2 , 5√3 2 ,𝑃𝐹2 ⃗⃗⃗⃗ = 5 2 , 5√3 2 , 故𝑃𝐹1 ⃗⃗ ⃗ · 𝑃𝐹2 ⃗⃗⃗⃗ =-( 5 2 ) 2 + ( 5√3 2 ) 2 = 25 2