志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 第一章过关检测卷 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1.(多选题)若A,B,C,D为空间不同的四点，则下列式子可以化简为零向量的是() A.AB+2BC+2CD +DC B.2AB+2BC+3CD+3DA AC C.AB+CA+BD D.AB-CB+CD-AD 答案BD 解析A中，原式-正+2BD+DC-A正+D+BD+DC-AD+C,不符合题意；B中，原式-2(A正+ BC+C而+DA)+(AC+CD+DA=0:C中，原式=CD,不符合题意，D中，原式=(AB-AD)+(C而- CB)-DB+BD-0. 2.己知A(-1,0,1),B0,0,1),C(2,2,2),D0,0,3),则sin等于() A号 B明 c D 答案c 解析国为4正-(1,0,0)，C而=(-2，-2,1， 所以cos AB-CD 2 ABICDI 3 所以丽，而-e多x 所以sn号 3.已知直线1在平面a外，若直线1的方向向量为a,平面a的法向量为n,则下列选项能使1∥a的是 () A.a=(1,0,1),n=(-2,0,0) B.a=(1,3,5),n=(1,0,1) C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.a=(1,-1,3),n-(0,3,1) 答案p 解析若1∥a,则an=0,故选D. 1
1 第一章过关检测卷 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.(多选题)若 A,B,C,D 为空间不同的四点,则下列式子可以化简为零向量的是( ) A.𝐴𝐵⃗⃗⃗ +2𝐵𝐶⃗⃗⃗ +2𝐶𝐷⃗⃗⃗ + 𝐷𝐶⃗⃗⃗ B.2𝐴𝐵⃗⃗⃗ +2𝐵𝐶⃗⃗⃗ +3𝐶𝐷⃗⃗⃗ +3𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗ C.𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐶𝐴⃗⃗ + 𝐵𝐷⃗ ⃗ D.𝐴𝐵⃗⃗⃗ − 𝐶𝐵⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗ − 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ 答案:BD 解析:A 中,原式=𝐴𝐵⃗⃗⃗ +2𝐵𝐷⃗ ⃗ + 𝐷𝐶⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐵𝐷⃗ ⃗ + 𝐵𝐷⃗ ⃗ + 𝐷𝐶⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗ ,不符合题意;B 中,原式=2(𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗ + 𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗ )+(𝐴𝐶⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗ + 𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗ )=0;C 中,原式=𝐶𝐷⃗⃗⃗ ,不符合题意;D 中,原式=(𝐴𝐵⃗⃗⃗ − 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ )+(𝐶𝐷⃗⃗⃗ − 𝐶𝐵⃗⃗⃗ )=𝐷𝐵⃗ ⃗ + 𝐵𝐷⃗ ⃗ =0. 2.已知 A(-1,0,1),B(0,0,1),C(2,2,2),D(0,0,3),则 sin等于( ) A.- 2 3 B. 2 3 C. √5 3 D.- √5 3 答案:C 解析:因为𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(1,0,0),𝐶𝐷⃗⃗⃗ =(-2,-2,1), 所以 cos=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ||𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ | =- 2 3 , 所以∈ π 2 ,π , 所以 sin= √5 3 . 3.已知直线 l 在平面 α 外,若直线 l 的方向向量为 a,平面 α 的法向量为 n,则下列选项能使 l∥α 的是 ( ) A.a=(1,0,1),n=(-2,0,0) B.a=(1,3,5),n=(1,0,1) C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1) 答案:D 解析:若 l∥α,则 a·n=0,故选 D
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 4.在三棱锥A-BCD中，若△BCD为正三角形，且E为其中心，则A丽+B配-D正-A而等于() A.AB B.2BD c.0 D.2DE 含案c 解析连接DE并延长，交BC于点F,则由题意可知，F为BC的中点，DEDF,故A丽+配-正- A而-A丽+丽+ED+D1=丽+BF+D+DA-0. 5.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,-2),且ka+b与2a-b互相垂直，则k的值是() A.1 B时 c号 D吲 答案D 解析国为a=(1,1,0),b=(-1,0,-2),所以a+b-(k-1,k-2),2a-b-(32,2) 又ka+b与2a-b互相垂直，所以(a+b)(2a-b)-0,即3k3+2k4-0,解得居 6.已知a=3m-2n-4p≠0，b=(x+1)m+8n+2yp,且m,n,p不共面，若a∥b,则xy的值分别为(） A.-13,8 B.-13,5 C.7,5 D.7,8 答案A 解析：a∥b,且a≠0， .b=a, 即(x+1)m+8n+2p=31m-21n-4p. 又m,n,p不共面 (x+1=3, 2=-4, ..{8=-2入.解得{x=-13」 (2y=-4λ， y=8. 7.如图，在三棱锥A-BCD中，AB=AC=AD=2,∠BAD=90°，∠BAC-60°，则AE.CD等于() A.-2 B.2 C.-23 D.23 答案A 2
2 4.在三棱锥 A-BCD 中,若△BCD 为正三角形,且 E 为其中心,则𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 1 2 𝐵𝐶⃗⃗⃗ − 3 2 𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.𝐴𝐵⃗⃗⃗ B.2𝐵𝐷⃗ ⃗ C.0 D.2𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗ 答案:C 解析:连接 DE 并延长,交 BC 于点 F,则由题意可知,F 为 BC 的中点,DE=2 3 DF,故𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 1 2 𝐵𝐶⃗⃗⃗ − 3 2 𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐵𝐹⃗⃗⃗ + 3 2 𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐵𝐹⃗⃗⃗ + 𝐹𝐷⃗⃗⃗ + 𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗ =0. 5.已知向量 a=(1,1,0),b=(-1,0,-2),且 ka+b 与 2a-b 互相垂直,则 k 的值是( ) A.1 B. 1 5 C. 3 5 D. 7 5 答案:D 解析:因为 a=(1,1,0),b=(-1,0,-2),所以 ka+b=(k-1,k,-2),2a-b=(3,2,2). 又 ka+b 与 2a-b 互相垂直,所以(ka+b)·(2a-b)=0,即 3k-3+2k-4=0,解得 k=7 5 . 6.已知 a=3m-2n-4p≠0,b=(x+1)m+8n+2yp,且 m,n,p 不共面,若 a∥b,则 x,y 的值分别为( ) A.-13,8 B.-13,5 C.7,5 D.7,8 答案:A 解析:∵a∥b,且 a≠0, ∴b=λa, 即(x+1)m+8n+2yp=3λm-2λn-4λp. 又 m,n,p 不共面, ∴{ 𝑥 + 1 = 3𝜆, 8 = -2𝜆, 2𝑦 = -4𝜆, 解得{ 𝜆 = -4, 𝑥 = -13, 𝑦 = 8. 7. 如图,在三棱锥 A-BCD 中,AB=AC=AD=2,∠BAD=90°,∠BAC=60°,则𝐴𝐵⃗⃗⃗ · 𝐶𝐷⃗⃗⃗ 等于( ) A.-2 B.2 C.-2√3 D.2√3 答案:A
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 解析由题意可知，A正.C而=A正(A而-AC)=A丽·D-A正.AC-AADc0s90°-AAC1cos 60°=-2 8.己知平面a内的两个向量a=(2,3,1),b=(5,6,4),则平面a的一个法向量为) A.(1,-1,1) B.(2,-1,1) C.(-2,1,1) D.(-1,1,-1) 答案c 图园2发：与b不中行，设子而a的法向莹为化阳脚8=8即侣十十2。 分别验证各选项可知，只有C项特合 9.已知两平行平面a,B分别经过原点O和点A(2,1,1),且平面a的一个法向量n=(-1,0,1),则两平行平 面之间的距离为() A月 B C.3 D.3v2 2 答案B 解析由题意可知，两平行平面之间的距离即为点A到平面α的距离 因为O丽=21,1)，平面a的一个法向量n=10,1,所以点A到平面a的距离为四型-号即两平行平 m 21 而之间的距离为号 10.在矩形ABCD中，AB=1,BC=VZ,PA⊥平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD所成的角为() A.30° B.459 C.60 D.120° 答案A 解析如图，以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、二轴，建立空间直角坐标系，则 P(0,0,1),C1,V2,0),故P=(1,V2-1) 平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),所以cos 设PC与平面ABCD所成的角为O, 则sin0=cos2故0=-30° 3
3 解析:由题意可知,𝐴𝐵⃗⃗⃗ · 𝐶𝐷⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗ ·(𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐶⃗⃗ )=𝐴𝐵⃗⃗⃗ · 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗ · 𝐴𝐶⃗⃗ =|𝐴𝐵⃗⃗⃗ ||𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ |cos 90°-|𝐴𝐵⃗⃗⃗ ||𝐴𝐶⃗⃗ |·cos 60°=-2. 8.已知平面 α 内的两个向量 a=(2,3,1),b=(5,6,4),则平面 α 的一个法向量为( ) A.(1,-1,1) B.(2,-1,1) C.(-2,1,1) D.(-1,1,-1) 答案:C 解析:显然 a 与 b 不平行,设平面 α 的法向量为 n=(x,y,z),则{ 𝑎·𝑛 = 0, 𝑏·𝑛 = 0, 即{ 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 0, 5𝑥 + 6𝑦 + 4𝑧 = 0. 分别验证各选项可知,只有 C 项符合. 9.已知两平行平面 α,β 分别经过原点 O 和点 A(2,1,1),且平面 α 的一个法向量 n=(-1,0,1),则两平行平 面之间的距离为( ) A. 3 2 B. √2 2 C.√3 D.3√2 答案:B 解析:由题意可知,两平行平面之间的距离即为点 A 到平面 α 的距离. 因为𝑂𝐴⃗⃗⃗ =(2,1,1),平面 α 的一个法向量 n=(-1,0,1),所以点 A 到平面 α 的距离为|𝑂⃗⃗⃗⃗𝐴⃗ ·𝑛| |𝑛| = √2 2 ,即两平行平 面之间的距离为√2 2 . 10.在矩形 ABCD 中,AB=1,BC=√2,PA⊥平面 ABCD,PA=1,则 PC 与平面 ABCD 所成的角为( ) A.30° B.45° C.60° D.120° 答案:A 解析:如图,以 A 为原点,AB,AD,AP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,则 P(0,0,1),C(1,√2,0),故𝑃𝐶⃗⃗ =(1,√2,-1), 平面 ABCD 的一个法向量为 n=(0,0,1),所以 cos= 𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗ ·𝑛 |𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗ ||𝑛| =- 1 2 . 设 PC 与平面 ABCD 所成的角为 θ, 则 sin θ=|cos|=1 2 ,故 θ=30°
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 1L.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，AE⊥平面ABCD,若AE=1,则平面ADE与平面BCE的夹 角为() A.120° B.45° C.150° D.60° 含案B 解析如图，以A为原点，AB,AD,AE所在直线分别为x轴、y轴、：轴，建立空间直角坐标系，则 E(0,0,1),B(1,0,0),C(1,1,0),所以EE=(1,0,-1),EC=(1,1,-1) 设平面BCE的法向量为n=(xy,2), 亚8即48-0 (nE元=0， 取x=1,则y=0,z=1,所以n=(1,0,1)为平面BCE的一个法向量 又平面ADE的一个法向量为AB=(1,0,0),设平面ADE与平面BCE的夹角为0， 则os0-16oscn6>点=号 所以0=45° 所以平面ADE与平面BCE的夹角为45° 12.(多选题)已知正方体ABCD-A1B1CD1的棱长为2，E,F,G分别为BC,CC,BB的中点，则() D A 4
4 11. 如图,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,AE⊥平面 ABCD,若 AE=1,则平面 ADE 与平面 BCE 的夹 角为( ) A.120° B.45° C.150° D.60° 答案:B 解析:如图,以 A 为原点,AB,AD,AE 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,则 E(0,0,1),B(1,0,0),C(1,1,0),所以𝐸𝐵⃗⃗⃗ =(1,0,-1),𝐸𝐶⃗⃗ =(1,1,-1). 设平面 BCE 的法向量为 n=(x,y,z), 则{ 𝑛·𝐸𝐵⃗⃗⃗ = 0, 𝑛·𝐸𝐶⃗⃗ = 0, 即{ 𝑥-𝑧 = 0, 𝑥 + 𝑦-𝑧 = 0, 取 x=1,则 y=0,z=1,所以 n=(1,0,1)为平面 BCE 的一个法向量. 又平面 ADE 的一个法向量为𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(1,0,0),设平面 ADE 与平面 BCE 的夹角为 θ, 则 cos θ=|cos|= 1 √2×1 = √2 2 , 所以 θ=45°. 所以平面 ADE 与平面 BCE 的夹角为 45°. 12. (多选题)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 2,E,F,G 分别为 BC,CC1,BB1 的中点,则( )
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org A.直线D1D与直线AF垂直 B.直线A1G与平面AEF平行 C.平面AEF与底面ABCD的夹角的余弦值为号 D.点C与点G到平面AEF的距离相等 答案BC 解析以D为原点，DA,DC,DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 D0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),E1,2,0),F0,2,1),D1(0,0,2),A1(2,0,2),G(2,2,1) 对于选项A,DD1=-(0,0,2),AF-(-2,2,1),因为DD·AF-2≠0，所以直线DD与直线AF不垂直，故A不正 确；对于选项B,A正-(-1,2,0)，EF-(-1,0,1),设平面AEF的法向量为n=(xy,),由nAE-0,mEF=0,得 n=(2,1,2)为平面AEF的一个法向量.因为A1C=(0,2,-1),所以nA1C=2-2=0,所以n⊥A1G,所以直线 A1G与平面AEF平行，故B正确；对于选项C,取平面ABCD的一个法向量Ⅱ=(0,0,1)，因为 c0s号所以平面AEF与底面ABCD的夫角的余弦值为导数C正确，对于选项D,因为C正(10,0， 所以，点C到平面AEF的距离为西型=号因为G正1,0-1，所以点G到平面ABF的距离为西型=美 故D不正确 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13.已知直线1/平面a且直线1的一个方向向量为a-2,m,l平面a的一个法向量为b:1）,则 m= 客案8 解析由题意可知，ab-0,即2+2m+2=0, 解得m=-8. 14.如图，在四面体OABC中，OA=a,0B=b,OC=c,D为BC的中点，E为AD的中点，用a,b,c表示OE,则 0死= 5
5 A.直线 D1D 与直线 AF 垂直 B.直线 A1G 与平面 AEF 平行 C.平面 AEF 与底面 ABCD 的夹角的余弦值为2 3 D.点 C 与点 G 到平面 AEF 的距离相等 答案:BC 解析:以 D 为原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),E(1,2,0),F(0,2,1),D1(0,0,2),A1(2,0,2),G(2,2,1). 对于选项 A,𝐷𝐷1 ⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2),𝐴𝐹⃗⃗⃗ =(-2,2,1),因为𝐷𝐷1 ⃗⃗⃗⃗ · 𝐴𝐹⃗⃗⃗ =2≠0,所以直线 D1D 与直线 AF 不垂直,故 A 不正 确;对于选项 B,𝐴𝐸⃗⃗⃗ =(-1,2,0),𝐸𝐹⃗⃗ =(-1,0,1),设平面 AEF 的法向量为 n=(x,y,z),由 n·𝐴𝐸⃗⃗⃗ =0,n·𝐸𝐹⃗⃗ =0,得 n=(2,1,2)为平面 AEF 的一个法向量.因为𝐴⃗⃗⃗ 1 ⃗𝐺⃗ =(0,2,-1),所以 n·𝐴⃗⃗⃗ 1 ⃗𝐺⃗ =2-2=0,所以 n⊥𝐴⃗⃗⃗ 1 ⃗𝐺⃗ ,所以直线 A1G 与平面 AEF 平行,故 B 正确;对于选项 C,取平面 ABCD 的一个法向量 u=(0,0,1),因为 cos=2 3 ,所以平面 AEF 与底面 ABCD 的夹角的余弦值为2 3 ,故 C 正确;对于选项 D,因为𝐶𝐸⃗⃗ =(1,0,0), 所以点 C 到平面 AEF 的距离为|𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗ ·𝑛| |𝑛| = 2 3 ,因为𝐺𝐸⃗⃗⃗ =(-1,0,-1),所以点 G 到平面 AEF 的距离为|𝐺𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑛| |𝑛| = 4 3 , 故 D 不正确. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知直线 l∥平面 α,且直线 l 的一个方向向量为 a=(2,m,1),平面 α 的一个法向量为 b= 1,1 2 ,2 ,则 m= . 答案:-8 解析:由题意可知,a·b=0,即 2+ 1 2 m+2=0, 解得 m=-8. 14.如图,在四面体 OABC 中,𝑂𝐴⃗⃗⃗ =a,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =b,⃗𝑂𝐶⃗⃗ =c,D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点,用 a,b,c 表示𝑂𝐸⃗⃗⃗ ,则 𝑂𝐸⃗⃗⃗ =
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 答案影+b+ 解析：D为BC的中点，E为AD的中点， ∴.0丽=0丽+而=0丽+0丽+0配=b+c 15.在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2),B(1,3,1),点M在y轴上，且点M到点A,B的距离相等，则点 M的坐标为 答案0，-1,0) 解析设点M的坐标为(0，y,0),. 由已知得，AM=BM,所以(0-1)2+00)2+(0-2？=(0-1P+0+3)2+(0-1)2, 整理得，6y+6=0, 解得y=-1. 故点M的坐标为(0，-1,0) 16.如图，在正方体ABCD-A1B1CD1中，M,N分别为CD,CC的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的 大小为 D B D M B 答案90° 解析如图，以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、轴，建立空间直角坐标系 D 不5设正方体的校长为1，对000人01o号0，d00 6
6 答案: 1 2 a+ 1 4 b+ 1 4 c 解析:∵D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点, ∴𝑂𝐸⃗⃗⃗ = 1 2 𝑂𝐴⃗⃗⃗ + 1 2 𝑂𝐷⃗⃗ = 1 2 𝑂𝐴⃗⃗⃗ + 1 4 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ + 1 4 ⃗𝑂𝐶⃗⃗ = 1 2 a+ 1 4 b+ 1 4 c. 15.在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0,2),B(1,-3,1),点 M 在 y 轴上,且点 M 到点 A,B 的距离相等,则点 M 的坐标为 . 答案:(0,-1,0) 解析:设点 M 的坐标为(0,y,0). 由已知得,|𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ |=|𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗ |,所以(0-1)2+(y-0)2+(0-2)2=(0-1)2+(y+3)2+(0-1)2 , 整理得,6y+6=0, 解得 y=-1. 故点 M 的坐标为(0,-1,0). 16.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别为 CD,CC1 的中点,则异面直线 A1M 与 DN 所成的角的 大小为 . 答案:90° 解析:如图,以 D 为原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系. 不妨设正方体的棱长为 1,则 D(0,0,0),N 0,1,1 2 ,M 0,1 2 ,0 ,A1(1,0,1)
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org m-(,1m-（1 DN.MA-02+20, ..DN L MAT, .A1M与DN所成的角的大小为90° 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(I0分)如图，己知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1的对 角线BC1上的点，且BN-3NC1.若MN=-aAE+bAD+cAAi,求a,b,c的值. 解因为MN=M死+丽=D丽+BC 2死-AD)+子CC-c) (E-而)+子本+而) 丽-而+瓜+而 号正+4D+AA, 所以ab-子c-是 18.(12分)已知空间内三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,1,5) (1)求以AB,AC为一组邻边的平行四边形的面积S (2)若向量a与向量AB,AC都垂直，且a=√3，求向量a的坐标 解1A正(-2-1,3)，AC-(1,-3,2, cos∠BAC=西C 而W= ∴.∠BAC=60°， .S=AEAC1sin60°-=73. 7
7 ∴𝐷𝑁⃗⃗⃗ = 0,1,1 2 ,𝑀𝐴1 ⃗⃗⃗ ⃗ = 1,- 1 2 ,1 , ∴𝐷𝑁⃗⃗⃗ · 𝑀𝐴1 ⃗⃗⃗ ⃗ =0- 1 2 + 1 2 =0, ∴𝐷𝑁⃗⃗⃗ ⊥ 𝑀𝐴1 ⃗⃗⃗ ⃗ , ∴A1M 与 DN 所成的角的大小为 90°. 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (10 分)如图,已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1,设 M 是底面 ABCD 的中心,N 是侧面 BCC1B1的对 角线 BC1 上的点,且 BN=3NC1.若𝑀𝑁⃗⃗⃗ =a𝐴𝐵⃗⃗⃗ +b𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ +c𝐴𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求 a,b,c 的值. 解:因为𝑀𝑁⃗⃗⃗ = 𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑁⃗⃗ ⃗ = 1 2 𝐷𝐵⃗ ⃗ + 3 4 𝐵𝐶1 ⃗⃗⃗⃗ = 1 2 (𝐴𝐵⃗⃗⃗ − 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ )+ 3 4 (𝐶𝐶1 ⃗⃗⃗⃗ − 𝐶𝐵⃗⃗⃗ ) = 1 2 (𝐴𝐵⃗⃗⃗ − 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ )+ 3 4 (𝐴𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ ) = 1 2 𝐴𝐵⃗⃗⃗ − 1 2 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ + 3 4 𝐴𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 3 4 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ = 1 2 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 1 4 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ + 3 4 𝐴𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以 a= 1 2 ,b=1 4 ,c= 3 4 . 18.(12 分)已知空间内三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5). (1)求以 AB,AC 为一组邻边的平行四边形的面积 S; (2)若向量 a 与向量𝐴𝐵⃗⃗⃗ ,𝐴𝐶⃗⃗ 都垂直,且|a|=√3,求向量 a 的坐标. 解:(1)∵𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(-2,-1,3),𝐴𝐶⃗⃗ =(1,-3,2), ∴cos∠BAC= 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ||𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ | = 7 √14×√14 = 1 2 , ∴∠BAC=60°, ∴S=|𝐴𝐵⃗⃗⃗ ||𝐴𝐶⃗⃗ |sin 60°=7√3
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org (2)设a=(x,y,z) 由a⊥AB,得-2x-y+3z=0, 由a⊥AC,得x-3y+2z-0, 由a=V3,得x2+y2+2=3, .x=y=2=1或x=y=2=-1. ∴.a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1) 19.(12分)如图，在四棱柱ABCD-A1BCD1中，侧棱A1A⊥底面ABCD,AB⊥ AC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=V5,M,N分别为B1C,D1D的中点. (I)求证：MN∥平面ABCD, (2)求平面ACD1与平面ACB1的夹角的正弦值： (3)设E为AB1上的点，若直线NE与平面ABCD所成角的正弦值为求线段AE的长 (1证明如图，以A为原点，AC,AB,A4所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，依题意 可得，A(0,0,0),B0,1,0),C2,0,0),D1,-2,0)A1(0,0,2),B1(0,1,2),C1(2,0,2),D1(1,-2,2). 因为M,N分别为B1C,D1D的中点， 所以M1,1,1,-2,1) 所以0,0】 又n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量，所以MNn=0. 又MNt平面ABCD,所以MN∥平面ABCD, (2解由()可知，AD1(1,-2,2),A元-(2,0,0)，设n1=(x,)为平面4CD1的法向量， P
8 (2)设 a=(x,y,z). 由 a⊥𝐴𝐵⃗⃗⃗ ,得-2x-y+3z=0, 由 a⊥𝐴𝐶⃗⃗ ,得 x-3y+2z=0, 由|a|=√3,得 x 2+y2+z2=3, ∴x=y=z=1 或 x=y=z=-1. ∴a=(1,1,1)或 a=(-1,-1,-1). 19. (12 分)如图,在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,侧棱 A1A⊥底面 ABCD,AB⊥ AC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=√5,M,N 分别为 B1C,D1D 的中点. (1)求证:MN∥平面 ABCD; (2)求平面 ACD1 与平面 ACB1 的夹角的正弦值; (3)设 E 为 A1B1上的点,若直线 NE 与平面 ABCD 所成角的正弦值为1 3 ,求线段 A1E 的长. (1)证明:如图,以 A 为原点,AC,AB,AA1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,依题意 可得,A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,-2,0),A1(0,0,2),B1(0,1,2),C1(2,0,2),D1(1,-2,2). 因为 M,N 分别为 B1C,D1D 的中点, 所以 M 1,1 2 ,1 ,N(1,-2,1). 所以𝑀𝑁⃗⃗⃗ = 0,- 5 2 ,0 . 又 n=(0,0,1)为平面 ABCD 的一个法向量,所以𝑀𝑁⃗⃗⃗ ·n=0. 又 MN⊄平面 ABCD,所以 MN∥平面 ABCD. (2)解:由(1)可知,𝐴𝐷1 ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2,2),𝐴𝐶⃗⃗ =(2,0,0),设 n1=(x,y,z)为平面 ACD1 的法向量
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 利。022=0 (n1AC=0, 不妨令=1，可得1=(0,1,1)为平面ACD1的一个法向量. 同理，2=(0，-2,1)为平面ACB1的一个法向量， 设平面ACD1与平面ACB1的夹角为O, 则cos0=lcosm- m1ln2=10 所以sin03四 10 所以平面ACD1与平面ACB1的夹角的正弦值为3四 10 (3)解依题意，可设A1正=A1B,其中1∈0,1， 则E(0,1,2),从而NE=(-11+2,1). 又n=0,0,1)为平面ABCD的一个法向量， 直线NE与平面ABCD所成角的正弦值为号所以c0s<NE,n严型 1 NEln 6-1)2+a+2)2+12 子整理 得，2+41-3=0，解得1=7-2或1-2-V7(舍去) 所以线段A1E的长为V7-2. 20.(12分)如图，己知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC,∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD,且 PA=AD=DC=1,AB=2,M是PB的中点 (I)求证：平面PAD⊥平面PCD (2)求AC与PB的夹角的余弦值； (3)求平面AMC与平面BMC的夹角的余弦值. (I证明如图，以A为原点，AD,AB,4AP所在直线分别为x轴、y轴、：轴，建立空间直角坐标系，则 40,00,B02,0.C1,10D1,0.0P0.0,1M0,1 9
9 则{ 𝑛1 ·𝐴𝐷1 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 0, 𝑛1 ·𝐴𝐶⃗⃗ = 0, 即 { 𝑥-2𝑦 + 2𝑧 = 0, 2𝑥 = 0. 不妨令 z=1,可得 n1=(0,1,1)为平面 ACD1 的一个法向量. 同理,n2=(0,-2,1)为平面 ACB1 的一个法向量. 设平面 ACD1 与平面 ACB1 的夹角为 θ, 则 cos θ=|cos|=|𝑛1·𝑛2| |𝑛1||𝑛2| = √10 10 , 所以 sin θ= 3√10 10 . 所以平面 ACD1 与平面 ACB1 的夹角的正弦值为3√10 10 . (3)解:依题意,可设𝐴⃗⃗ 1 ⃗⃗𝐸⃗ =λ𝐴1𝐵1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中 λ∈[0,1], 则 E(0,λ,2),从而𝑁𝐸⃗ ⃗ =(-1,λ+2,1). 又 n=(0,0,1)为平面 ABCD 的一个法向量, 直线 NE 与平面 ABCD 所成角的正弦值为1 3 ,所以|cos|=| ⃗𝑁𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑛| | ⃗𝑁𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ ||𝑛| = 1 √(-1) 2+(𝜆+2) 2+1 2 = 1 3 ,整理 得,λ 2+4λ-3=0,解得 λ=√7-2 或 λ=-2-√7(舍去). 所以线段 A1E 的长为√7-2. 20. (12 分)如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面 ABCD,且 PA=AD=DC=1,AB=2,M 是 PB 的中点. (1)求证:平面 PAD⊥平面 PCD; (2)求 AC 与 PB 的夹角的余弦值; (3)求平面 AMC 与平面 BMC 的夹角的余弦值. (1)证明:如图,以 A 为原点,AD,AB,AP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M 0,1,1 2
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org AP=(0,0,1),AD=(1,0,0),DC=-(0,1,0) .AF.D元=0，AD.D元-0 ∴.AP⊥DC,AD⊥DC 又APAD=A,∴.DC⊥平面PAD 又DCc平面PCD, ∴.平面PAD⊥平面PCD (2解：AC-(1,1,0),P丽-(0,2，-1)， .AC|=V2,PBI=V5,AC.PB=2, C,丽爱需-四 IACIPBI 5 AC与PB的夹角的余弦值为四 (3解设平面AMC的法向量为n1=(x,y, c=1,104W-0,1 :nC=0.即+y=0, “nAm=0,y+2z=0. 令x=1,则y=-1,2=2 .1=(1,-1,2)为平面AMC的一个法向量 同理，2=(1,1,2)为平面BMC的一个法向量 设平面AMC与平面BMC的夹角为O, 剥cos0=Hm.2=号 故平面AMC与平面BMC的夹角的余弦值为号 21.(I2分)如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BCAB⊥AD,AB⊥PA,BC=2AB=2AD=4BE,平面PAB⊥平 面ABCD. 10
10 ∵𝐴𝑃⃗⃗⃗ =(0,0,1),𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0),𝐷𝐶⃗⃗⃗ =(0,1,0), ∴𝐴𝑃⃗⃗⃗ · 𝐷𝐶⃗⃗⃗ =0,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ · 𝐷𝐶⃗⃗⃗ =0, ∴AP⊥DC,AD⊥DC. 又 AP∩AD=A,∴DC⊥平面 PAD. 又 DC⊂平面 PCD, ∴平面 PAD⊥平面 PCD. (2)解:∵𝐴𝐶⃗⃗ =(1,1,0),𝑃𝐵⃗⃗⃗ =(0,2,-1), ∴|𝐴𝐶⃗⃗ |=√2,|𝑃𝐵⃗⃗⃗ |=√5,𝐴𝐶⃗⃗ · 𝑃𝐵⃗⃗⃗ =2, ∴cos= 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ·𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ||𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ | = √10 5 . ∴AC 与 PB 的夹角的余弦值为√10 5 . (3)解:设平面 AMC 的法向量为 n1=(x,y,z), ∵𝐴𝐶⃗⃗ =(1,1,0),𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ = 0,1,1 2 , ∴{ 𝑛1 ·𝐴𝐶⃗⃗ = 0, 𝑛1 ·𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ = 0, 即{ 𝑥 + 𝑦 = 0, 𝑦 + 1 2 𝑧 = 0. 令 x=1,则 y=-1,z=2. ∴n1=(1,-1,2)为平面 AMC 的一个法向量. 同理,n2=(1,1,2)为平面 BMC 的一个法向量. 设平面 AMC 与平面 BMC 的夹角为 θ, 则 cos θ=|cos|=|𝑛1·𝑛2| |𝑛1||𝑛2| = 2 3 . 故平面 AMC 与平面 BMC 的夹角的余弦值为2 3 . 21. (12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AD∥BC,AB⊥AD,AB⊥PA,BC=2AB=2AD=4BE,平面 PAB⊥平 面 ABCD