志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 3.2 双曲线 3.2.1 双曲线及其标准方程 课后·训练提升 基础巩固 1.己知F1(-8,3),F(2,3),动点P满足IPF-PF2=10,则点P的轨迹是() A双曲线 B.双曲线的一支 C直线 D.一条射线 答案D 解析：因为F1,F2是定点，且FF2=10,所以满足条件PF1PF2=10的点P的轨迹是以F2(2,3)为端点 的一条射线 2双曲线号-号1的焦点坐标 A.(-V7,0),(7,0) B.(0,-V7),(0,V7) C.(-5,0),(5,0) D.(0,-5),(0,5) 答案：C 解析：由双曲线的标准方程，知a=4,b=3,则c=5.又因为焦点在x轴上，所以焦点坐标为(-5,0)，（⑤，0） 3(多选题)已知关于xy的方程器+片-1表示的曲线为E,给出以下四个判断，其中判断正确的是 () A.当14或t4 答案：BCD 1
1 3.2 双曲线 3.2.1 双曲线及其标准方程 课后· 基础巩固 1.已知 F1(-8,3),F2(2,3),动点 P 满足|PF1|-|PF2|=10,则点 P 的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.直线 D.一条射线 答案:D 解析:因为 F1,F2 是定点,且|F1F2|=10,所以满足条件|PF1|-|PF2|=10 的点 P 的轨迹是以 F2(2,3)为端点 的一条射线. 2.双曲线𝑥 2 16 − 𝑦 2 9 =1 的焦点坐标为( ) A.(-√7,0),(√7,0) B.(0,-√7),(0,√7) C.(-5,0),(5,0) D.(0,-5),(0,5) 答案:C 解析:由双曲线的标准方程,知 a=4,b=3,则 c=5.又因为焦点在 x 轴上,所以焦点坐标为(-5,0),(5,0). 3.(多选题)已知关于 x,y 的方程𝑥 2 4-𝑡 + 𝑦 2 𝑡-1 =1 表示的曲线为 E.给出以下四个判断,其中判断正确的是 ( ) A.当 14 或 t4 答案:BCD
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 解析：A错误，当1时，曲线E为圆：B正确，若E为双曲线则(4-1)0，解得1K1或>4C正确，若曲 线E为焦点在x轴上的椭圆，则4>1>0，解得14 t-1>0, 4.已知F是双曲线C二-1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点4的坐标是(L,3》,则△4PF 的面积为) A号 B时 c D 答案D 解析：由题意知，实半轴长a=l,虚半轴长b-3,所以2=+-4，得c-2,则F2,0,将x2代入号l, 得y=士3，则PF=3.又点A的坐标是(1,3)，所以，点A到直线PF的距离为2-1=1，故△4PF的面积为 3×1是 5.已知方程(1+x2-(1-y2=1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为() A.(-1,1) B.(1,+0) C.(-o,-1) D.(-0,-1)U(1,+o) 答案：A 解析：白题意得引大0邦化之即11 6.一动圆P过定点M(-4,0),且与已知圆N(x-4)2+y2=16相切，则动圆圆心P的轨迹方程是() A号-台-1≥2)B片-告-1≤.2) c--1 答案：C 解析：由已知得N(4,0),当圆P与圆N内切时，定圆N在动圆P的内部，有1PN=PM-4;当圆P与圆N 外切时有PM=PM+4,故lPN-PM=4.由双曲线的定义得点P的轨迹为以MN为焦，点的双曲线，且 2a4c-4则G-46=12故动国圈心P的轨遂方程为号-台-1 23
2 解析:A 错误,当 t= 5 2 时,曲线 E 为圆;B 正确,若 E 为双曲线,则(4-t)(t-1)4;C 正确,若曲 线 E 为焦点在 x 轴上的椭圆,则 4-t>t-1>0,解得 1 0, 解得 t>4. 4.已知 F 是双曲线 C:x 2 - 𝑦 2 3 =1 的右焦点,P 是 C 上一点,且 PF 与 x 轴垂直,点 A 的坐标是(1,3),则△APF 的面积为( ) A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 3 2 答案:D 解析:由题意知,实半轴长 a=1,虚半轴长 b=√3,所以 c 2=a2+b2=4,得 c=2,则 F(2,0).将 x=2 代入 x 2 - 𝑦 2 3 =1, 得 y=±3,则|PF|=3.又点 A 的坐标是(1,3),所以点 A 到直线 PF 的距离为 2-1=1,故△APF 的面积为 1 2 ×3×1= 3 2 . 5.已知方程(1+k)x 2 -(1-k)y 2=1 表示焦点在 x 轴上的双曲线,则 k 的取值范围为( ) A.(-1,1) B.(1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 答案:A 解析:由题意得{ 1 + 𝑘 > 0, 1-𝑘 > 0, 解得{ 𝑘 > -1, 𝑘 < 1, 即-1<k<1. 6.一动圆 P 过定点 M(-4,0),且与已知圆 N:(x-4)2+y2=16 相切,则动圆圆心 P 的轨迹方程是( ) A. 𝑥 2 4 − 𝑦 2 12=1(x≥2) B. 𝑥 2 4 − 𝑦 2 12=1(x≤-2) C. 𝑥 2 4 − 𝑦 2 12=1 D. 𝑦 2 4 − 𝑥 2 12=1 答案:C 解析:由已知得 N(4,0),当圆 P 与圆 N 内切时,定圆 N 在动圆 P 的内部,有|PN|=|PM|-4;当圆 P 与圆 N 外切时有|PN|=|PM|+4,故||PN|-|PM||=4.由双曲线的定义得点 P 的轨迹为以 M,N 为焦点的双曲线,且 2a=4,c=4,则 a 2=4,b 2=12.故动圆圆心 P 的轨迹方程为𝑥 2 4 − 𝑦 2 12=1
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 7已知双曲线C号-长1的左、右焦点分别为F1P为双曲线C的右支上一点，且PA=6FL则 △PF1F2的面积等于() A.24 B.36 C.48 D.96 答案：C 解析：由双商钱方程号-关-1可知a=3,6-4则2-+8-25，于是c-5,PF-5F-2c-10因为P为 双曲线C右支上的一点，所以PF-PF=2a=6,于是|PF=16.过F作FT⊥PF1于T,则T为PF的中 点.所以PT2PF-=8,所以FI=6,故△PFF的面积S×16x6-48 8.己知双曲线x2-y2=1,F1,F2为其焦点，P是双曲线上一点，且满足PF⊥PF2,则IPF+PF2等于() A.2V2 B.2V3 C.3v2 D.3V3 答案B 解析：由已知得a2-1,b-1,c=V2,因为PF-PF=±2，所以PF2+1PF2P-2IPF1lPF=4.因为PF⊥ PF2,所以PFP2+lPF2P=F1F22,即PF2+PF2P=(222-8,因此PF1PF2l=2,于是 (IPF+PF2)2=8+4=12.故1PF|+lPF2l=23. 9已知椭圆后+兰-1与双曲线等yr=1的公共焦点为F,F2,P是两曲线的一个交点，则c0s∠F,P5等 于() A月 B明 C D 答案D 解析不妨设点P在第一象限，左、右焦点分别为F,B,依题意有PE十PB二26解得 UPFHPEI=2V3 PF6+V3PFV6-V3.又IF4,所以由余弦定理可得os∠FPF,PFP过-专 2PF1PF2 3
3 7.已知双曲线 C: 𝑥 2 9 − 𝑦 2 16=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,P 为双曲线 C 的右支上一点,且|PF2|=|F1F2|,则 △PF1F2 的面积等于( ) A.24 B.36 C.48 D.96 答案:C 解析:由双曲线方程𝑥 2 9 − 𝑦 2 16=1 可知,a=3,b=4,则 c 2=a2+b2=25,于是 c=5,|PF2|=|F1F2|=2c=10.因为 P 为 双曲线 C 右支上的一点,所以|PF1|-|PF2|=2a=6,于是|PF1|=16.过 F2作 F2T⊥PF1 于 T,则 T为 PF1 的中 点.所以|PT|=1 2 |PF1|=8,所以|F2T|=6,故△PF1F2的面积 S=1 2 ×16×6=48. 8.已知双曲线 x 2 -y 2=1,F1,F2为其焦点,P 是双曲线上一点,且满足 PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|等于( ) A.2√2 B.2√3 C.3√2 D.3√3 答案:B 解析:由已知得 a 2=1,b 2=1,c=√2,因为|PF1|-|PF2|=±2,所以|PF1| 2+|PF2| 2 -2|PF1||PF2|=4.因为 PF1⊥ PF2,所以|PF1| 2+|PF2| 2=|F1F2| 2 ,即|PF1| 2+|PF2| 2=(2√2) 2=8,因此|PF1||PF2|=2,于是 (|PF1|+|PF2|) 2=8+4=12.故|PF1|+|PF2|=2√3. 9.已知椭圆𝑥 2 6 + 𝑦 2 2 =1 与双曲线𝑥 2 3 -y 2=1 的公共焦点为 F1,F2,P 是两曲线的一个交点,则 cos∠F1PF2 等 于( ) A. 1 2 B. 2 3 C. 1 4 D. 1 3 答案:D 解析:不妨设点 P 在第一象限,左、右焦点分别为 F1,F2,依题意有{ |𝑃𝐹1 | + |𝑃𝐹2 | = 2√6, |𝑃𝐹1 |-|𝑃𝐹2 | = 2√3, 解得 |PF1|=√6 + √3,|PF2|=√6 − √3,又|F1F2|=4,所以由余弦定理可得 cos∠F1PF2= |𝑃𝐹1| 2+|𝑃𝐹2| 2 -|𝐹1𝐹2| 2 2|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2| = 1 3
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 10过双曲线学-号的左焦点F的直线交双曲线的左支于MN两点，5为其右焦点则 IMF2+WF2-MM的值为. 答案8 解析：因为M,N两点在双曲线的左支上， 所以由双曲线的定义得MF2-MF=4,INF-NF=4,于是|MF-HMF+WF-HNF=8, 而lMFl+|WFl=MNM,所以MF2+|WF2-HMM=8. 11.焦点在x轴上的双曲线过点P(4vZ,-3),点Q0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方 程， 解：因为双曲线的焦点在x轴上， 所以可设双由线的标准方程为号-子-a>06>0,F(c0,Fc0 因为双曲线过点P(4VZ,-3), 所以号-是=1① 又因为点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直， 所以QE·0F=0, 即-c2+25=0. 解得c2-25.② 又c2=2+b2,③ 所以由①②③可解得2-16，b2-9, 故双曲钱的标准方程是号-号-1 拓展提高 1.己知F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足PF-PF=2a,当a=3和a=5时，点P的轨迹分别为() A.双曲线和一条直线 B.双曲线的一支和一条直线 C双曲线和一条射线 D.双曲线的一支和一条射线 答案D 解析：因为|FF2l-10,PF-PE=2a,所以当a=3时，2a=6<FFl,点P的轨迹为双曲线的一支；当a=5 时，2a=10=F1F2l,点P的轨迹为一条射线. 4
4 10.过双曲线𝑥 2 4 − 𝑦 2 3 =1 的左焦点 F1 的直线交双曲线的左支于 M,N 两点,F2 为其右焦点,则 |MF2|+|NF2|-|MN|的值为 . 答案:8 解析:因为 M,N 两点在双曲线的左支上, 所以由双曲线的定义得|MF2|-|MF1|=4,|NF2|-|NF1|=4,于是|MF2|-|MF1|+|NF2|-|NF1|=8, 而|MF1|+|NF1|=|MN|,所以|MF2|+|NF2|-|MN|=8. 11.焦点在 x 轴上的双曲线过点 P(4√2,-3),点 Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直,求此双曲线的标准方 程. 解:因为双曲线的焦点在 x 轴上, 所以可设双曲线的标准方程为𝑥 2 𝑎2 − 𝑦 2 𝑏 2=1(a>0,b>0),F1(-c,0),F2(c,0). 因为双曲线过点 P(4√2,-3), 所以32 𝑎2 − 9 𝑏 2=1.① 又因为点 Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直, 所以𝑄𝐹1 ⃗⃗⃗⃗ · 𝑄𝐹2 ⃗⃗⃗⃗ =0, 即-c 2+25=0. 解得 c 2=25.② 又 c 2=a2+b2 ,③ 所以由①②③可解得 a 2=16,b 2=9, 故双曲线的标准方程是𝑥 2 16 − 𝑦 2 9 =1. 拓展提高 1.已知 F1(-5,0),F2(5,0),动点 P 满足|PF1|-|PF2|=2a,当 a=3 和 a=5 时,点 P 的轨迹分别为( ) A.双曲线和一条直线 B.双曲线的一支和一条直线 C.双曲线和一条射线 D.双曲线的一支和一条射线 答案:D 解析:因为|F1F2|=10,|PF1|-|PF2|=2a,所以当 a=3 时,2a=6<|F1F2|,点 P 的轨迹为双曲线的一支;当 a=5 时,2a=10=|F1F2|,点 P 的轨迹为一条射线
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org y2 x2 2(多选题)已知00,b>0若矩形ABCD的四个顶项点在E上，B,CD的中点为双曲线E的两 个焦点，且2AB=3引BC,BC-2,则双曲线E的标准方程是( A号--1 cr苦l 答案D 解析：如图，由BC=2,易知4B=3. 设AB,CD的中点分别为M,N,在RtABMN中，MN=2C=2,故BM=JBM2+MN2=-J(月+22- 由双曲线的定义，可得2a=BM-BM-号-三l,则a2于是a2寻从而P子 双的标准方为 3
5 2.(多选题)已知 00,b>0).若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上,AB,CD 的中点为双曲线 E 的两 个焦点,且 2|AB|=3|BC|,|BC|=2,则双曲线 E 的标准方程是( ) A. 𝑥 2 4 − 𝑦 2 3 =1 B. 𝑥 2 3 4 − 𝑦 2 1 4 =1 C.x 2 - 𝑦 2 3 =1 D. 𝑥 2 1 4 − 𝑦 2 3 4 =1 答案:D 解析:如图,由|BC|=2,易知|AB|=3. 设 AB,CD 的中点分别为 M,N,在 Rt△BMN 中,|MN|=2c=2,故|BN|=√|𝐵𝑀| 2 + |𝑀𝑁| 2 = √( 3 2 ) 2 + 2 2 = 5 2 . 由双曲线的定义,可得 2a=|BN|-|BM|=5 2 − 3 2 =1,则 a= 1 2 ,于是 a 2= 1 4 .从而 b 2= 3 4 , 故双曲线 E 的标准方程为𝑥 2 1 4 − 𝑦 2 3 4 =1
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 5已知双曲线号-兰-1的右焦点为F,P为双曲线左支上一点，点A0V②，则△PF的周长的最小值为 () A.4+V2 B.41+V2) C.2(Wz+√6) D.V6+3v2 答案：B 解析：设左焦点为G,则IPF-PG-=2×2=4,△APF的周长I=PA+PF+4F=AF+|PG+4+PA,当 P,A,G三点共线时，PA+PG取最小值，最小值为4G=2VZ,又4F可=2VZ,所以I的最小值为 4+2V2+2W2-4(1+V2) 6设F,R是双曲线子P-1的左、右焦点，点P在双曲线上，当△PF5的面积等于1时，P丽·P丽的值 为() A.0 B时 C.1 D.2 答案：A 解析：由己知得F(5,0),FV5.0)c=5,不坊设owo000).2cx0=1得n5代入双曲 钱方程可得o便即2四9，于是丽=(5酒身，丽-{5-9，故丽 55 5, PF-0. 7双曲线号-号1的左、右焦点分别为F,F,点M在双曲线上若△MFF:的周长为20，则△MF,5的 面积等于」 答案：10√2 解析：不妨设点M在双曲线的右支上.因为a2=4,b=5,所以c=√4+5-3，因此有1MF+MF+2c=20 所以MF1+MF2=14.又因为1MF-MF2=4,所以MF1=9,MF=5.在△MF1F中，由余弦定理，可得cos ∠FAM,Sg=子所以sn∠FMF9故△MFB的面积in∠ 2×9×5 FMF9x5 9=10W2 挑战创新 已知双曲线过点(3，-2)且与椭圆4x2+92=36有相同的焦点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若点M在双曲线上，F1,F2为双曲线的左、右焦点，且MF+MF2=6V3,试判断△MFF2的形状 6
6 5.已知双曲线𝑥 2 4 − 𝑦 2 2 =1 的右焦点为 F,P 为双曲线左支上一点,点 A(0,√2),则△APF 的周长的最小值为 ( ) A.4+√2 B.4(1+√2) C.2(√2 + √6) D.√6+3√2 答案:B 解析:设左焦点为 G,则|PF|-|PG|=2×2=4,△APF 的周长 l=|PA|+|PF|+|AF|=|AF|+|PG|+4+|PA|,当 P,A,G 三点共线时,|PA|+|PG|取最小值,最小值为|AG|=2√2,又|AF|=2√2,所以 l 的最小值为 4+2√2+2√2=4(1+√2). 6.设 F1,F2 是双曲线𝑥 2 4 -y 2=1 的左、右焦点,点 P 在双曲线上,当△PF1F2 的面积等于 1 时,𝑃𝐹1 ⃗⃗ ⃗ · 𝑃𝐹2 ⃗⃗⃗⃗ 的值 为( ) A.0 B. 1 2 C.1 D.2 答案:A 解析:由已知得 F1(-√5,0),F2(√5,0),c=√5,不妨设 P(x0,y0)(x0>0,y0>0),由 1 2 ×2c×y0=1 得 y0= √5 5 ,代入双曲 线方程可得 x0= 2√30 5 ,即 P 2√30 5 , √5 5 ,于是𝑃𝐹1 ⃗⃗ ⃗ = (-√5- 2√30 5 ,- √5 5 ) , 𝑃𝐹2 ⃗⃗⃗⃗ = √5 − 2√30 5 ,- √5 5 ,故𝑃𝐹1 ⃗⃗ ⃗ · 𝑃𝐹2 ⃗⃗⃗⃗ =0. 7.双曲线𝑥 2 4 − 𝑦 2 5 =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 M 在双曲线上,若△MF1F2的周长为 20,则△MF1F2 的 面积等于 . 答案:10√2 解析:不妨设点 M 在双曲线的右支上.因为 a 2=4,b 2=5,所以 c=√4 + 5=3,因此有|MF1|+|MF2|+2c=20, 所以|MF1|+|MF2|=14.又因为|MF1|-|MF2|=4,所以|MF1|=9,|MF2|=5.在△MF1F2 中,由余弦定理,可得 cos ∠F1MF2= 9 2+5 2 -6 2 2×9×5 = 7 9 ,所以 sin∠F1MF2= 4√2 9 ,故△MF1F2的面积 S=1 2 |MF1||MF2|·sin∠ F1MF2= 1 2 ×9×5× 4√2 9 =10√2. 挑战创新 已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆 4x 2+9y 2=36 有相同的焦点. (1)求双曲线的标准方程; (2)若点 M 在双曲线上,F1,F2 为双曲线的左、右焦点,且|MF1|+|MF2|=6√3,试判断△MF1F2 的形状
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 解（山）横圆方程可化为号+兰1怎点在x轴上，且697=V5. 剥可钱双曲线方程为5-兰-1a>0b0】 国5有侵寺：1，解得-3.公-2 (a2+b2=5, 所以双画钱的标准方程为号-兰引， (2)不妨设点M在双曲线的右支上， 则有MF-HMF2=2V3, 又|MFl+|MF2=6V3, 所以MF1=4V3,MF2=2V3. 又IF1F2=2V5, 因此在△MFF2中，边MF最长。 国为cos∠ME,F,WF2+E2-WwE=-232+25243_2 2MF2F1F2 2×2v3×2V5 Vis 0. 所以∠MF2F1为钝角 故△MF1F2为钝角三角形. 7
7 解:(1)椭圆方程可化为𝑥 2 9 + 𝑦 2 4 =1,焦点在 x 轴上,且 c=√9-4 = √5, 则可设双曲线方程为𝑥 2 𝑎2 − 𝑦 2 𝑏 2=1(a>0,b>0), 因而有{ 9 𝑎2 - 4 𝑏 2 = 1, 𝑎 2 + 𝑏 2 = 5, 解得 a 2=3,b 2=2, 所以双曲线的标准方程为𝑥 2 3 − 𝑦 2 2 =1. (2)不妨设点 M 在双曲线的右支上, 则有|MF1|-|MF2|=2√3, 又|MF1|+|MF2|=6√3, 所以|MF1|=4√3,|MF2|=2√3. 又|F1F2|=2√5, 因此在△MF1F2 中,边 MF1 最长. 因为 cos∠MF2F1= |𝑀𝐹2| 2+|𝐹1𝐹2| 2 -|𝑀𝐹1| 2 2|𝑀𝐹2|·|𝐹1𝐹2| = (2√3) 2+(2√5) 2 -(4√3) 2 2×2√3×2√5 =- 2 √15 <0, 所以∠MF2F1 为钝角, 故△MF1F2 为钝角三角形