志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 3.3.2 抛物线的简单几何性质 课后·训练提升 基础巩固 1.若点M在抛物线x2=-8y上，且点M到x轴的距离为4，则点M到焦点的距离等于() A.6 B.8 C.2 D.10 答案：A 解析：因为2p=8,所以-2.由于点M到x轴的距离为4，所以点M到准线的距离为4+2-6.故点M到焦 点的距离等于6 2.(多选题)对抛物线y=4x2,下列描述正确的是() A.开口向上 B焦点为(0，) C.准线x=1 D.对称轴为y轴 答案：ABD 解析：抛物线方程可化为故抛物线开口向上，焦点为(0，)准线方程为=关于y轴对称 3.过抛物线2=4x焦点的直线1与抛物线交于A,B两点，线段AB的中点到y轴的距离为2，则 LABI=( A.4 B.6 C.3 D.8 答案：B 解析设4n,B,以则线段AB的中点为M任艺，产）)，依题意有生-2，所以+=4，于是 |AB|=x1+x2+2=4+2=6. 4.己知等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2-2x(p>0),O为抛物线的顶点，且OA⊥OB,则等腰直角 三角形AOB的面积是( ） A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2 答案B 解析：由题意可得，直线OA的斜率ko4=1,因此A,B两点的坐标分别为(2p,2p,(2p,-2p),故 SaABO-7x2px4p-4p. 5设斜率为V3的直线1过抛物线Cy-2pmp>0)的焦点，与抛物线C交于A,B两点，且4B1苧，则 p=() 1
1 3.3.2 抛物线的简单几何性质 课后· 基础巩固 1.若点 M 在抛物线 x 2=-8y 上,且点 M 到 x 轴的距离为 4,则点 M 到焦点的距离等于( ) A.6 B.8 C.2 D.10 答案:A 解析:因为 2p=8,所以𝑝 2 =2.由于点 M 到 x 轴的距离为 4,所以点 M 到准线的距离为 4+2=6.故点 M 到焦 点的距离等于 6. 2.(多选题)对抛物线 y=4x 2 ,下列描述正确的是( ) A.开口向上 B.焦点为(0, 1 16) C.准线 x=-1 D.对称轴为 y 轴 答案:ABD 解析:抛物线方程可化为 x 2= 1 4 y,故抛物线开口向上,焦点为(0, 1 16),准线方程为 y=- 1 16,关于 y 轴对称. 3.过抛物线 y 2=4x 焦点的直线 l 与抛物线交于 A,B 两点,线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 2,则 |AB|=( ) A.4 B.6 C.3 D.8 答案:B 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则线段 AB 的中点为 M( 𝑥1+𝑥2 2 , 𝑦 1 +𝑦 2 2 ),依题意有𝑥1+𝑥2 2 =2,所以 x1+x2=4,于是 |AB|=x1+x2+2=4+2=6. 4.已知等腰直角三角形 AOB 内接于抛物线 y 2=2px(p>0),O 为抛物线的顶点,且 OA⊥OB,则等腰直角 三角形 AOB 的面积是( ) A.8p 2 B.4p 2 C.2p 2 D.p 2 答案:B 解析:由题意可得,直线 OA 的斜率 kOA=1,因此 A,B 两点的坐标分别为(2p,2p),(2p,-2p),故 S△ABO= 1 2 ×2p×4p=4p 2 . 5.设斜率为√3的直线 l 过抛物线 C:y 2=2px(p>0)的焦点,与抛物线 C 交于 A,B 两点,且|AB|=16 3 ,则 p=( )
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org A月 B.1 C.2 D.4 答案：C 解析：依题意，直线1的方程为yV3(x),将y=√3(x)代入抛物线方程2-2pr得32-5pr+2=0, 设A),B62h则1+-号于是1A-1+0+p号+p=号=兰故p-2 6.己知直线y=kc-1与抛物线x2=8y相切，则双曲线x2-3y2=1的离心率为() A.V5 B.v3 C./2 答案B 解析：由化1得-8+8=0，依题意有4=64-32-0，则K三所以双曲钱的方程为.兰-1，故双 x2=8y, 曲线的离心率e=V3. 7.已知直线1过抛物线2-2pp>0)的焦点F,且与抛物线交于MN两点，若+六2，且-2PN, 1 则MM=() A结 B c+2 D.6 答案B 解析：因为M下-2F,所以点F在点M,N之间，且向量M下，F方向相同，因此有MF-2FNM.又因为 高+高-2，所以MF-2FN-是因此IMM=MF+FNM=号 8.已知直线y=x-2交抛物线，y2-8x于A,B两点，若线段AB的中点的横坐标为2，则k的值为() A.2或-2 B.1或-1 C.2 D.2或-1 答案：C 解桥852释4+240 设点A(x1yM1),B(22) 剥44+2-16然+契，由4小0得-l,由2-4得k2支二1（含去）故进C 2 9.己知抛物线y2=2x与过其焦点的直线交于A,B两点，则0A.0丽的值是 答案 2
2 A. 1 2 B.1 C.2 D.4 答案:C 解析:依题意,直线 l 的方程为 y=√3 (𝑥- 𝑝 2 ),将 y=√3 (𝑥- 𝑝 2 )代入抛物线方程 y 2=2px 得 3x 2 -5px+3 4 p 2=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= 5𝑝 3 ,于是|AB|=x1+x2+p=5𝑝 3 +p=8𝑝 3 = 16 3 ,故 p=2. 6.已知直线 y=kx-1 与抛物线 x 2=8y 相切,则双曲线 x 2 -k 2 y 2=1 的离心率为( ) A.√5 B.√3 C.√2 D. √3 2 答案:B 解析:由{ 𝑦 = 𝑘𝑥-1, 𝑥 2 = 8𝑦, 得 x 2 -8kx+8=0,依题意有 Δ=64k 2 -32=0,则 k 2= 1 2 ,所以双曲线的方程为 x 2 - 𝑦 2 2 =1,故双 曲线的离心率 e=√3. 7.已知直线 l 过抛物线 x 2=-2py(p>0)的焦点 F,且与抛物线交于 M,N 两点,若 1 |𝐹𝑀| + 1 |𝐹𝑁| =2,且𝑀𝐹 ⃗⃗⃗⃗ =2𝐹𝑁⃗⃗⃗⃗ , 则|MN|=( ) A. 1 8 B. 9 4 C. √2 2 +2 D.6 答案:B 解析:因为𝑀𝐹 ⃗⃗⃗⃗ =2𝐹𝑁⃗⃗⃗⃗ ,所以点 F 在点 M,N 之间,且向量𝑀𝐹 ⃗⃗⃗⃗ ,𝐹𝑁⃗⃗⃗⃗ 方向相同,因此有|MF|=2|FN|.又因为 1 |𝐹𝑀| + 1 |𝐹𝑁| =2,所以|MF|=3 2 ,|FN|=3 4 ,因此|MN|=|MF|+|FN|=9 4 . 8.已知直线 y=kx-2 交抛物线 y 2=8x 于 A,B 两点,若线段 AB 的中点的横坐标为 2,则 k 的值为( ) A.2 或-2 B.1 或-1 C.2 D.2 或-1 答案:C 解析:由{ 𝑦 2 = 8𝑥, 𝑦 = 𝑘𝑥-2, 得 k 2 x 2 -4(k+2)x+4=0. 设点 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 Δ=4 2 (k+2)2 -16k 2 ,x1+x2= 4(𝑘+2) 𝑘 2 ,由 Δ>0,得 k>-1,由 4(𝑘+2) 𝑘 2 =4,得 k=2 或 k=-1(舍去).故选 C. 9.已知抛物线 y 2=2x 与过其焦点的直线交于 A,B 两点,则𝑂𝐴⃗⃗⃗ · 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ 的值是 . 答案:- 3 4
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 解析当直线AB的斜率不存在时，不坊令《，传-1)则O丽，丽=是当直线AB的斜率存在时，设 卧率为k则直线B的方程为)-kx》由化K:可得1-0.若设4n,B,则 n+2是=1，从而x-(（民y+)(民y2+》=是于是0丽.0死-x1x+子1=子 综上可得，丽0死-星 10.己知抛物线Cy2=2px(p>0)经过点A(1,-2). (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程 (2)若直线1与0A平行，且与抛物线有公共点，直线04与1的距离为号，末直线1的方程 解：(1)将点A(1,-2)的坐标代入抛物线方程y2=2x(p>0),得(-2？=2p×1,得p=2. 故抛物线C的方程为y2=4x,其准线方程为x=1, (2)设直线1的方程为y=-2x+1 联立2=4红消去x得+2210. (y=-2x+t, 一方面，因为直线1与抛物线C有公共点，所以44+81≥0，解得≥是 另一方面，由直线0A与1的距高为气可得号=云解得1士1 综上可知1=1. 于是直线1的方程为2x+y-1=0. 11.已知直线1y=2x-m与抛物线Cy2=2px(p>0)交于A,B两点. (1)若m=p,且4B=5,求抛物线C的方程； (2)若m=4p,求证：OA⊥OB(O为坐标原点) （1解：联立=2c0,得4.6px+p-0 y2 2px, 设Amn),B2以则x+- 国为直线1过抛物线的焦点F(,0) 所以ABl=4F+lBF=xI++pp-5, 解得p=2,故抛物线C的方程为y2=4x 3
3 解析:当直线 AB 的斜率不存在时,不妨令 A 1 2 ,1 ,B( 1 2 ,-1),则𝑂𝐴⃗⃗⃗ · 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =- 3 4 ;当直线 AB 的斜率存在时,设 斜率为 k,则直线 AB 的方程为 y=k(𝑥- 1 2 ),由{ 𝑦 = 𝑘 (𝑥- 1 2 ) , 𝑦 2 = 2𝑥, 可得 y 2 - 2 𝑘 y-1=0.若设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2= 2 𝑘 ,y1y2=-1,从而 x1x2=( 1 𝑘 𝑦1 + 1 2 ) ( 1 𝑘 𝑦2 + 1 2 ) = 1 4 ,于是𝑂𝐴⃗⃗⃗ · 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =x1x2+y1y2= 1 4 -1=- 3 4 . 综上可得,𝑂𝐴⃗⃗⃗ · 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =- 3 4 . 10.已知抛物线 C:y 2=2px(p>0)经过点 A(1,-2). (1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (2)若直线 l 与 OA 平行,且与抛物线有公共点,直线 OA 与 l 的距离为√5 5 ,求直线 l 的方程. 解:(1)将点 A(1,-2)的坐标代入抛物线方程 y 2=2px(p>0),得(-2)2=2p×1,得 p=2. 故抛物线 C 的方程为 y 2=4x,其准线方程为 x=-1. (2)设直线 l 的方程为 y=-2x+t. 联立{ 𝑦 2 = 4𝑥, 𝑦 = -2𝑥 + 𝑡, 消去 x 得 y 2+2y-2t=0. 一方面,因为直线 l 与抛物线 C 有公共点,所以 Δ=4+8t≥0,解得 t≥- 1 2 . 另一方面,由直线 OA 与 l 的距离为√5 5 ,可得|𝑡| √5 = 1 √5 ,解得 t=±1. 综上可知 t=1. 于是直线 l 的方程为 2x+y-1=0. 11.已知直线 l:y=2x-m 与抛物线 C:y 2=2px(p>0)交于 A,B 两点. (1)若 m=p,且|AB|=5,求抛物线 C 的方程; (2)若 m=4p,求证:OA⊥OB(O 为坐标原点). (1)解:联立{ 𝑦 = 2𝑥-𝑝, 𝑦 2 = 2𝑝𝑥, 得 4x 2 -6px+p2=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= 3 2 p. 因为直线 l 过抛物线的焦点 F( 𝑝 2 ,0), 所以|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=5 2 p=5, 解得 p=2,故抛物线 C 的方程为 y 2=4x
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org (2)证明：由 y=24p,得42-18px+16p2=0 ly2=2px, 9 设A(x1,n),B6,2)则x1+22P,x12=4p 所以0.0丽=x1nt2=1n+(2x1-4p)-(2n-4p)=5x12-8p1+2)+16p2-20pr2-8×3p2+16p2-0. 故OA⊥OB. 拓展提高 1已知抛物线x-2pp>0)的焦点为F,其准线与双曲线号-号1相交于A,B两点，若△1BF为等边三 角形，则p=() A.V3 B.3 C.6 D.8 答案：C 解析若设△4BF的边长为aa>0,依题意有p,则a号不坊设B(号引，代入方程苦-号-1得 p=6. 2.已知直线y=-2k及抛物线y2=2px(p>0),则() A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线没有公共点 D.直线与抛物线有一个或两个公共点 答案D 解析：由于y=-2k=x-2),所以直线经过点(2,0)，当k=0时，直线与抛物线有一个公共点，当0时，直 线与抛物线有两个公共点】 3.直线y=x-3与抛物线y2=4x交于A,B两点，过A,B两点分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P,Q, 则梯形APQB的面积为( A.48 B.56 C.64 D.72 答案：A 解析：由化3，得.10r+9=0, y2=4x, 期代=2化=8 :x=9, 4
4 (2)证明:由{ 𝑦 = 2𝑥-4𝑝, 𝑦 2 = 2𝑝𝑥, 得 4x 2 -18px+16p 2=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= 9 2 p,x1x2=4p 2 . 所以𝑂𝐴⃗⃗⃗ · 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =x1x2+y1y2=x1x2+(2x1-4p)·(2x2-4p)=5x1x2-8p(x1+x2)+16p 2=20p 2 -8× 9 2 p 2+16p 2=0. 故 OA⊥OB. 拓展提高 1.已知抛物线 x 2=2py(p>0)的焦点为 F,其准线与双曲线𝑥 2 3 − 𝑦 2 3 =1 相交于 A,B 两点,若△ABF 为等边三 角形,则 p=( ) A.√3 B.3 C.6 D.8 答案:C 解析:若设△ABF 的边长为 a(a>0),依题意有√3 2 a=p,则 a= 2𝑝 √3 .不妨设 B( 𝑝 √3 ,- 𝑝 2 ),代入方程𝑥 2 3 − 𝑦 2 3 =1 得 p=6. 2.已知直线 y=kx-2k 及抛物线 y 2=2px(p>0),则( ) A.直线与抛物线有一个公共点 B.直线与抛物线有两个公共点 C.直线与抛物线没有公共点 D.直线与抛物线有一个或两个公共点 答案:D 解析:由于 y=kx-2k=k(x-2),所以直线经过点(2,0),当 k=0 时,直线与抛物线有一个公共点,当 k≠0时,直 线与抛物线有两个公共点. 3.直线 y=x-3 与抛物线 y 2=4x 交于 A,B 两点,过 A,B 两点分别向抛物线的准线作垂线,垂足分别为 P,Q, 则梯形 APQB 的面积为( ) A.48 B.56 C.64 D.72 答案:A 解析:由{ 𝑦 = 𝑥-3, 𝑦 2 = 4𝑥, 得 x 2 -10x+9=0, 解得{ 𝑥 = 1, 𝑦 = -2 或 { 𝑥 = 9, 𝑦 = 6
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 不妨设A(9,6),B1,-2),则4P|=10,IBQ=2,IPQ=8,故梯形APQB的面积 S-2MP1+BQI)PQ1-7×(10+2)×8-48. 4.过抛物线y2=2pPx(p>0)的焦点作一条直线交抛物线于A(x1n),B(x2,2)两点，则ko4kos的值为() A.4 B.-4 C.p2 D.-p2 答案：B 解析：(1)当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x>0). 联立，号，得红=号支=号 ly2 =2px."ly=p.ly=p. 不妨令A(号p),B(号p) 则oro专登4 (2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=(x) 联主y,=k(x月消去3得p+2pr2坚-0 (y2 2px, 于是w2=(x1)x2》 ele5*四-2l (任-号+)r 以k兰会季 综上所述，koA koB-=-4 5.设抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线y=+2与抛物线C交于A,B两点，且AFBF=25,则k的值为 () A.±2 B.-1 C.±1 D.-2 答案：A 解析联立2三4化)消去y得24-8=0 (y =kx+2, 3
5 不妨设 A(9,6),B(1,-2),则|AP|=10,|BQ|=2,|PQ|=8,故梯形 APQB 的面积 S=1 2 (|AP|+|BQ|)·|PQ|=1 2 ×(10+2)×8=48. 4.过抛物线 y 2=2px(p>0)的焦点作一条直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 kOA·kOB 的值为( ) A.4 B.-4 C.p 2 D.-p 2 答案:B 解析:(1)当直线 AB 的斜率不存在时,直线 AB 的方程为 x= 𝑝 2 (p>0). 联立{ 𝑥 = 𝑝 2 , 𝑦 2 = 2𝑝𝑥, 得{ 𝑥 = 𝑝 2 , 𝑦 = 𝑝, 或{ 𝑥 = 𝑝 2 , 𝑦 = -𝑝. 不妨令 A( 𝑝 2 ,𝑝),B( 𝑝 2 ,-𝑝), 则 kOA·kOB= 𝑝 𝑝 2 · -𝑝 𝑝 2 =-4. (2)当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=k(𝑥- 𝑝 2 ). 联立{ 𝑦 = 𝑘 (𝑥- 𝑝 2 ) , 𝑦 2 = 2𝑝𝑥, 消去 y,得 k 2 x 2 -(k 2p+2p)x+𝑝 2𝑘 2 4 =0. 则 x1+x2= 𝑘 2 𝑝+2𝑝 𝑘 2 ,x1x2= 𝑝 2 4 , 于是 y1y2=k(𝑥1 - 𝑝 2 )·k(𝑥2 - 𝑝 2 ) =k2 x1x2- 𝑝 2 (x1+x2)+ 𝑝 2 4 =k2( 𝑝 2 4 - 𝑝 2 · 𝑘 2 𝑝+2𝑝 𝑘 2 + 𝑝 2 4 )=-p 2 . 所以 kOA·kOB= 𝑦 1 𝑥1 · 𝑦 2 𝑥2 =- 𝑝 2 𝑝2 4 =-4. 综上所述,kOA·kOB=-4. 5.设抛物线 C:x 2=4y 的焦点为 F,直线 y=kx+2 与抛物线 C 交于 A,B 两点,且|AF|·|BF|=25,则 k 的值为 ( ) A.±2 B.-1 C.±1 D.-2 答案:A 解析:联立{ 𝑥 2 = 4𝑦, 𝑦 = 𝑘𝑥 + 2, 消去 y 得 x 2 -4kx-8=0
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org 设4，n),B6e则+知-4kxn=-8,于是n+归=+)+4=4k4nn✉2-4因为 16 4F|BF=(0yM1+1)02+1)=y12+01+2)+1=4+42+4+1=25,所以k=±2. 6.已知点A(2,2V2)在抛物线Cy2=2x上，记抛物线C的焦点为F,直线AF与抛物线的另一交点为B, 则FA.FB=() A.-10 B.v2-3 C.-3 D号 答案D 解析：将点A(2,2V2)的坐标代入抛物线方程可得(2V2)2=2p×2,解得p=2,则抛物线方程为y2-4x 由已知得hA-2号=3，直线4F的方程为)22x.1,.即)-22- 联立y2=2V2(x-1消去得22-5x+2=0 y2=4x, 设点B(xa,),则xB+2-是得B是 所以BF1是于是F风.FPE=P网Fcos180°=MFBA-3×径号 7.已知直线4-4少k=0与抛物线2=x交于A,B两点，若4B=4,则弦AB的中点到直线x+0的距离 等于」 答案 解析：易知直线4-4少k-0过地物线2-x的焦点（仔，0），所以弦AB为过焦点的弦.设点 4mn),B2,则线段AB的中点入（产，产，国为AB卧=++p=4所以生兰=子故弦AB的 2 2 中点到直钱x+0的距离为好+号 挑战创新 已知过抛物线r-2p0>0)的焦点，斜率为的直线交抛物线于4(n,B20)的焦点为0，》则直线AB的方程为)马+号 6
6 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=4k,x1x2=-8,于是 y1+y2=k(x1+x2)+4=4k 2+4,y1y2= (𝑥1𝑥2) 2 16 =4.因为 |AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1=4+4k 2+4+1=25,所以 k=±2. 6.已知点 A(2,2√2)在抛物线 C:y 2=2px 上,记抛物线 C 的焦点为 F,直线 AF 与抛物线的另一交点为 B, 则𝐹𝐴⃗⃗⃗ · 𝐹𝐵⃗⃗⃗ =( ) A.-10 B.√2-3 C.-3 D.- 9 2 答案:D 解析:将点 A(2,2√2)的坐标代入抛物线方程可得(2√2) 2=2p×2,解得 p=2,则抛物线方程为 y 2=4x. 由已知得|AF|=2+ 𝑝 2 =3,直线 AF 的方程为 y= 2√2-0 2-1 (x-1),即 y=2√2(x-1), 联立{ 𝑦 = 2√2(𝑥-1), 𝑦 2 = 4𝑥, 消去 y,得 2x 2 -5x+2=0. 设点 B(xB,yB),则 xB+2= 5 2 ,得 xB= 1 2 . 所以|BF|=1 2 +1= 3 2 ,于是𝐹𝐴⃗⃗⃗ · 𝐹𝐵⃗⃗⃗ =|𝐹𝐴⃗⃗⃗ ||𝐹𝐵⃗⃗⃗ |cos 180°=-|AF||BF|=-3× 3 2 =- 9 2 . 7.已知直线 4kx-4y-k=0 与抛物线 y 2=x 交于 A,B 两点,若|AB|=4,则弦 AB 的中点到直线 x+1 2 =0 的距离 等于 . 答案: 9 4 解析:易知直线 4kx-4y-k=0 过抛物线 y 2=x 的焦点( 1 4 ,0),所以弦 AB 为过焦点的弦.设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则线段 AB 的中点 N 𝑥1+𝑥2 2 , 𝑦 1 +𝑦 2 2 ,因为|AB|=x1+x2+p=4,所以𝑥1+𝑥2 2 = 7 4 .故弦 AB 的 中点到直线 x+1 2 =0 的距离为7 4 + 1 2 = 9 4 . 挑战创新 已知过抛物线 x 2=2py(p>0)的焦点,斜率为√2 4 的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)(x10)的焦点为(0, 𝑝 2 ),则直线 AB 的方程为 y= √2 4 x+𝑝 2
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 由ps x+ 2'消去x得42-5py+p2=0, (x2=2py, 则n+归买 由抛物线的定义，得AB=y1+2+p=9, 即平+p=9,解得p-4. 故抛物线的方程为x2-8y (2)由p=4知，方程4y2-5py+p2=0,可化为y2-5y+4=0,解得1=12=4， 则x1=-2VZ,x2=4vZ 所以A(-2VZ,1),B(4VZ,4) 于是0C=0A+0B=(-2√2,1)+4v2,4)=(-2v2+4V21,1+4) 因为C为抛物线上一点， 所以(-2V2+4V21)2=8(1+4), 整理得2-21=0，解得1=0或1=2 7
7 由{ 𝑦 = √2 4 𝑥 + 𝑝 2 , 𝑥 2 = 2𝑝𝑦, 消去 x 得 4y 2 -5py+p2=0, 则 y1+y2= 5𝑝 4 . 由抛物线的定义,得|AB|=y1+y2+p=9, 即 5𝑝 4 +p=9,解得 p=4. 故抛物线的方程为 x 2=8y. (2)由 p=4 知,方程 4y 2 -5py+p2=0,可化为 y 2 -5y+4=0,解得 y1=1,y2=4, 则 x1=-2√2,x2=4√2. 所以 A(-2√2,1),B(4√2,4). 于是⃗𝑂𝐶⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗ +λ𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =(-2√2,1)+λ(4√2,4)=(-2√2+4√2λ,1+4λ). 因为 C 为抛物线上一点, 所以(-2√2+4√2λ) 2=8(1+4λ), 整理得 λ 2 -2λ=0,解得 λ=0 或 λ=2