志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 课后·训练提升 基础巩固 1.己知a+b=(2,√2,23)，a-b=(0,V2,0),则cos=( A写 B昭 C 答案c 解析由已知得，a-(1,VZ,V3,b=(10,V3,故cos-a 3 2.若向量a=(1,2,0),b=(-2,0,1),则() Acos号 B.a⊥b C.a∥b D.lal=bl 含案p 解析：a=(1,2,0),b=(-2,0,1, -la-/5.jbl-/5.xb-I*(-2+2x0+0x1-2.co<a.bj 易知A,B,C均不正确，D正确」 3.已知a=(1,0,1),b=(-2,-1,1),c=(3,1,0),则1a-b+2=(） A.310 B.2V10 C.10 D.5 答案A 懈析由已知得，a-b+2c-(9,3,0),故1a-b+2c-3V1而. 4.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),则() Ax字y=l Bx=2y=-4 Cx=2= D.x=l.y=-l 答案B 解析由题意知，a+2-2x+1,4,4-y),2a-b=(2-x,3,-2-2) (a+2b)∥(2a-b), ∴.存在实数元，使a+2b=(2a-b), 1
1 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 课后· 基础巩固 1.已知 a+b=(2,√2,2√3),a-b=(0,√2,0),则 cos=( ) A. 1 3 B. 1 6 C. √6 3 D. √6 6 答案:C 解析:由已知得,a=(1,√2,√3),b=(1,0,√3),故 cos=𝑎·𝑏 |𝑎||𝑏| = 1+0+3 √6×2 = √6 3 . 2.若向量 a=(1,2,0),b=(-2,0,1),则( ) A.cos=1 2 B.a⊥b C.a∥b D.|a|=|b| 答案:D 解析:∵a=(1,2,0),b=(-2,0,1), ∴|a|=√5,|b|=√5,a·b=1×(-2)+2×0+0×1=-2,cos=𝑎·𝑏 |𝑎||𝑏| =- 2 5 . 易知 A,B,C 均不正确,D 正确. 3.已知 a=(1,0,1),b=(-2,-1,1),c=(3,1,0),则|a-b+2c|=( ) A.3√10 B.2√10 C.√10 D.5 答案:A 解析:由已知得,a-b+2c=(9,3,0),故|a-b+2c|=3√10. 4.已知 a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),则( ) A.x= 1 3 ,y=1 B.x= 1 2 ,y=-4 C.x=2,y=- 1 4 D.x=1,y=-1 答案:B 解析:由题意知,a+2b=(2x+1,4,4-y),2a-b=(2-x,3,-2y-2). ∵(a+2b)∥(2a-b), ∴存在实数 λ,使 a+2b=λ(2a-b)
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 2x+1=(2-x), a=剂 4=3λ 解得 (4-y=(-2y-2) y=-4 5.在空间直角坐标系中，己知点A(1,-2,11),B4,2,3),C(6,-1,4),则△4BC是() A等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 含案 解析AB-(3,4,-8),AC-(5,1,-7),B元-(2-3,1)， ∴A=32+42+(-82=V89,AC1=52+12+(-7)2=V厉1BC=22+(-3)2+1=V4 ..ACP+BCP=ABP ∴，△ABC是直角三角形 6.己知向量a=(0,-1,1),b=(4,1,0),l1a+b=V2,且1>0，则1= 答案 解析：a=(0,-1,1),b-(41,0, .1a+b=(4,1-1,). ,1a+b=V29,.16+(1-)2+2=29. 即2-1-6=0，解得1=3或1=-2 又1>0，.1=3 7.若a=(x,2,2),b=(2,-3,5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围为 含案-0，-2) 解析由题意可知，a,b不可能反向共线，故要使a,b的夹角为钝角，只需ab<0,即2x-6+10<0,解得x<- 2.故x的取值范围为(-0，-2) 8.已知a=(1-1,1-1,0,b=(21,),则1b-a的最小值为 图案 解析：b-a=(2,40-(1-1,1-0=1+4,2-1,0) ∴b-a=1+t2+(2t-12+02=5c2-2t+2=5(c-)+号 “当1时，b-a的最小值为 9.已知a=(1,5,-1),b=(-2,3,5) 2
2 ∴{ 2𝑥 + 1 = 𝜆(2-𝑥), 4 = 3𝜆, 4-𝑦 = 𝜆(-2𝑦-2), 解得 { 𝜆 = 4 3 , 𝑥 = 1 2 , 𝑦 = -4. 5.在空间直角坐标系中,已知点 A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC 是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 答案:C 解析:∵𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(3,4,-8),𝐴𝐶⃗⃗ =(5,1,-7),𝐵𝐶⃗⃗⃗ =(2,-3,1), ∴|𝐴𝐵⃗⃗⃗ |=√3 2 + 4 2 + (-8) 2 = √89,|𝐴𝐶⃗⃗ |=√5 2 + 1 2 + (-7) 2 = √75,|𝐵𝐶⃗⃗⃗ |=√2 2 + (-3) 2 + 1 = √14, ∴|𝐴𝐶⃗⃗ | 2+|𝐵𝐶⃗⃗⃗ | 2=|𝐴𝐵⃗⃗⃗ | 2 , ∴△ABC 是直角三角形. 6.已知向量 a=(0,-1,1),b=(4,1,0),|λa+b|=√29,且 λ>0,则 λ= . 答案:3 解析:∵a=(0,-1,1),b=(4,1,0), ∴λa+b=(4,1-λ,λ). ∵|λa+b|=√29,∴16+(1-λ) 2+λ 2=29. 即 λ 2 -λ-6=0,解得 λ=3 或 λ=-2. 又 λ>0,∴λ=3. 7.若 a=(x,2,2),b=(2,-3,5)的夹角为钝角,则实数 x 的取值范围为 . 答案:(-∞,-2) 解析:由题意可知,a,b 不可能反向共线,故要使 a,b 的夹角为钝角,只需 a·b<0,即 2x-6+10<0,解得 x<- 2.故 x 的取值范围为(-∞,-2). 8.已知 a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值为 . 答案: 3√5 5 解析:∵b-a=(2,t,t)-(1-t,1-t,t)=(1+t,2t-1,0), ∴|b-a|=√(1 + 𝑡) 2 + (2𝑡-1) 2 + 0 2 = √5𝑡 2-2𝑡 + 2 = √5(𝑡- 1 5 ) 2 + 9 5 . ∴当 t= 1 5 时,|b-a|的最小值为3√5 5 . 9.已知 a=(1,5,-1),b=(-2,3,5)
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org (1)当(aa+b)∥(a-3b)时，求实数1的值： (2)当(a-3b)L(a+b)时，求实数1的值 解：a-(1,5,-1),b(-2,35), ∴.a-3b=(1,5,-1)-3(-2,3,5)=(7,-4,-16)a+b=(1,5,-1)+(-2,3,5)=(-2,51+3,-1+5) (1).(aa+b)∥(a-3b), 号治 解得号 (2):(a-3b)L(aa+b), ∴.(a-3b)(a+b)=0, 即7(1-2)-4(51+3)-16(-1+5)=0， 解得入9 拓展提高 1.已知A(3cosa,3sina,1),B(2cos0,2sin0,1),则AB的取值范围是() A.[0,5] B.[1,5] C.(1,5) D.(0,5) 答案B 解析由题意知，A正-(2cos0-3cosa2sin0-3sina,0),故A (2cos0-3cosa)2+(2sin0-3sina)2+0 =√13-12cos(a-0 因为-1≤cos(a-0≤1，所以1≤AB≤5. 2.已知空间向量a=(1,1,0),b-(-1,0,2),则与向量a+b方向相反的单位向量e的坐标是() A.(0,1,2) B.(0,-1,-2) c导婴 D09 含案p 3
3 (1)当(λa+b)∥(a-3b)时,求实数 λ 的值; (2)当(a-3b)⊥(λa+b)时,求实数 λ 的值. 解:∵a=(1,5,-1),b=(-2,3,5), ∴a-3b=(1,5,-1)-3(-2,3,5)=(7,-4,-16),λa+b=λ(1,5,-1)+(-2,3,5)=(λ-2,5λ+3,-λ+5). (1)∵(λa+b)∥(a-3b), ∴ 𝜆-2 7 = 5𝜆+3 -4 = -𝜆+5 -16 , 解得 λ=- 1 3 . (2)∵(a-3b)⊥(λa+b), ∴(a-3b)·(λa+b)=0, 即 7(λ-2)-4(5λ+3)-16(-λ+5)=0, 解得 λ= 106 3 . 拓展提高 1.已知 A(3cos α,3sin α,1),B(2cos θ,2sin θ,1),则|𝐴𝐵⃗⃗⃗ |的取值范围是( ) A.[0,5] B.[1,5] C.(1,5) D.(0,5) 答案:B 解析:由题意知,𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(2cos θ-3cos α,2sin θ-3sin α,0),故|𝐴𝐵⃗⃗⃗ | =√(2cos𝜃-3cos𝛼) 2 + (2sin𝜃-3sin𝛼) 2 + 0 =√13-12cos(𝛼-𝜃). 因为-1≤cos(α-θ)≤1,所以 1≤|𝐴𝐵⃗⃗⃗ |≤5. 2.已知空间向量 a=(1,1,0),b=(-1,0,2),则与向量 a+b 方向相反的单位向量 e 的坐标是( ) A.(0,1,2) B.(0,-1,-2) C. 0,√5 5 , 2√5 5 D. 0,- √5 5 ,- 2√5 5 答案:D
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 解析：a=(1,1,0),b=(-1,0,2, .a+b=-(0,1,2),la+bl=5, 六与向量ab方向相反的单位向量t-学01,2099 3.己知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,),若a,b,c三个向量共面，则实数1为(） A号 B.9 c陪 D粤 含案p 解析：a,b,c三个向量共面， ∴.存在不全为零的实数x,y,使c=xa+b,即(7,5，)=x2,-1,3)t-1,4,-2)=(2x-y,-x+4y,3x-2y), 2x-y=7 ∴.-x+4y=5, (3x-2y=1. x= 7 解得y= 7 (1= 7 4.已知A(1,0,0),B(0,-1,1),00,0,0),0A+0元与0元的夹角为120°，则1的值为() A±号 a C D.±V6 客案 解析：0-(1,0,0)，0丽=(0，-1,1， ∴.0A+0丽=(1，-1，)， ".(0A+0丽)0E-1+1=22,0A+0B1=√1+2+z=V1+2z,0死1=√2. c0s120°=22∴2-是 又21 0, VZ√1+22 61 5若△4BC的三个顶点的坐标分别为A00,2,2要，号V2,C-l,0V2,则角A的大小 为 4
4 解析:∵a=(1,1,0),b=(-1,0,2), ∴a+b=(0,1,2),|a+b|=√5, ∴与向量 a+b 方向相反的单位向量 e=- √5 5 (0,1,2)= 0,- √5 5 ,- 2√5 5 . 3.已知 a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若 a,b,c 三个向量共面,则实数 λ为( ) A. 62 7 B.9 C. 64 7 D. 65 7 答案:D 解析:∵a,b,c 三个向量共面, ∴存在不全为零的实数 x,y,使 c=xa+yb,即(7,5,λ)=x(2,-1,3)+y(-1,4,-2)=(2x-y,-x+4y,3x-2y), ∴{ 2𝑥-𝑦 = 7, -𝑥 + 4𝑦 = 5, 3𝑥-2𝑦 = 𝜆. 解得 { 𝑥 = 33 7 , 𝑦 = 17 7 , 𝜆 = 65 7 . 4.已知 A(1,0,0),B(0,-1,1),O(0,0,0),𝑂𝐴⃗⃗⃗ +λ𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ 与𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ 的夹角为 120°,则 λ的值为( ) A.± √6 6 B. √6 6 C.- √6 6 D.±√6 答案:C 解析:∵𝑂𝐴⃗⃗⃗ =(1,0,0),𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1), ∴𝑂𝐴⃗⃗⃗ +λ𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =(1,-λ,λ), ∴(𝑂𝐴⃗⃗⃗ +λ𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ )·𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =λ+λ=2λ,|𝑂𝐴⃗⃗⃗ +λ𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ |=√1 + 𝜆 2 + 𝜆 2 = √1 + 2𝜆 2,|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ |=√2. ∴cos 120°= 2𝜆 √2· √1+2𝜆 2 =- 1 2 ,∴λ 2= 1 6 . 又 2𝜆 √2· √1+2𝜆 2 <0,∴λ=- √6 6 . 5.若△ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(0,0,√2),B - √3 2 , 1 2 ,√2 ,C(-1,0,√2),则角 A 的大小 为
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 答案30° 爵标由题意知-（号0元-10,0所以丽-1，c1-1 所以cOsA 需器是所以4的大小为 2 6.已知M1(2,5,-3),M(3,-2,-5),设在线段MM上的一点M满足M1M=4MM,则点M的坐标为_ 靥塞华 解析设Mxy),则M1M2(1,-7,-2),MM2=(3-x,-2y-5-. M M2=4MM2. (1=4(3-x), ∴.-7=4(-2-y)为 (2=4(-5-z), x=马 解得y=·4 .1 (2=是 442 挑战创新 如图，正四棱锥S-ABCD的侧棱长为VZ,底面边长为√3，E是SA的中点，O为底面ABCD的中心. SG D (I)求CE的长： (2)求异面直线BE与SC所成角的余弦值： (3)若OG⊥SC,垂足为G,求证：OG⊥BE. 解连接SO,AC,0B,以0为原点，OA,OB,OS所在直线分别为x轴、y轴、：轴，建立空间直角坐标系，如 图所示 3
5 答案:30° 解析:由题意,知𝐴𝐵⃗⃗⃗ = - √3 2 , 1 2 ,0 ,𝐴𝐶⃗⃗ =(-1,0,0),所以|𝐴𝐵⃗⃗⃗ |=1,|𝐴𝐶⃗⃗ |=1. 所以 cos A= 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ||𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ | = √3 2 1×1 = √3 2 ,所以角 A 的大小为 30°. 6.已知 M1(2,5,-3),M2(3,-2,-5),设在线段 M1M2上的一点 M 满足𝑀1𝑀2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4𝑀𝑀2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则点 M 的坐标为 . 答案: 11 4 ,- 1 4 ,- 9 2 解析:设 M(x,y,z),则𝑀1𝑀2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-7,-2),𝑀𝑀2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3-x,-2-y,-5-z). ∵𝑀1𝑀2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4𝑀𝑀2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴{ 1 = 4(3-𝑥), -7 = 4(-2-𝑦), -2 = 4(-5-𝑧), 解得 { 𝑥 = 11 4 , 𝑦 = - 1 4 , 𝑧 = - 9 2 . ∴M 11 4 ,- 1 4 ,- 9 2 . 挑战创新 如图,正四棱锥 S-ABCD 的侧棱长为√2,底面边长为√3,E 是 SA 的中点,O 为底面 ABCD 的中心. (1)求 CE 的长; (2)求异面直线 BE 与 SC 所成角的余弦值; (3)若 OG⊥SC,垂足为 G,求证:OG⊥BE. 解:连接 SO,AC,OB,以 O 为原点,OA,OB,OS 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,如 图所示
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 因为侧棱长为√Z,底面边长为V3,E为SA的中点， 所以4受0.0)so.o.c(0)(o,)（ 正=(g09 所以C正 9++(9- 即cE罗 (2)因为B配 (停9，元-90号，所以死，3死正立-a -1 BEISCI 故异面直线BE和SC所成角的余弦值为2 (3)证明：因为G在SC上，所以SC与SC共线， 所以可设5C-C=（20,号)，2∈R 剥0元=不+3x=(00r90号-(90，号1- 因为OG⊥SC,即0G1S元，所以0G·S元=0. 所以1-)-0，解得1子 所以0C=(=0. 又配 (停 所以0元.正=是+0+豆0， 所以O元1BE,即OG⊥BE. 6
6 因为侧棱长为√2,底面边长为√3,E 为 SA 的中点, 所以 A( √6 2 ,0,0),S(0,0, √2 2 ),C(- √6 2 ,0,0),B(0, √6 2 ,0),E √6 4 ,0,√2 4 . (1)𝐶𝐸⃗⃗ = ( 3√6 4 ,0, √2 4 ), 所以|𝐶𝐸⃗⃗ |=√( 3√6 4 ) 2 + 0 2 + ( √2 4 ) 2 = √14 2 , 即 CE=√14 2 . (2)因为𝐵𝐸⃗⃗⃗ = ( √6 4 ,- √6 2 , √2 4 ) ,⃗𝑆𝐶⃗⃗ = - √6 2 ,0,- √2 2 ,所以 cos= 𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ ·𝑆𝐶⃗⃗⃗⃗ |𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ ||𝑆𝐶⃗⃗⃗⃗ | = -1 √2×√2 =- 1 2 . 故异面直线 BE 和 SC 所成角的余弦值为1 2 . (3)证明:因为 G 在 SC 上,所以SG⃗⃗⃗ 与SC⃗⃗ 共线, 所以可设SG⃗⃗⃗ =λSC⃗⃗ = (- √6 2 λ,0,- √2 2 λ),λ∈R, 则𝑂𝐺⃗⃗⃗ = 𝑂𝑆⃗ ⃗ + 𝑆𝐺⃗ = (0,0, √2 2 )+ - √6 2 λ,0,- √2 2 λ =(- √6 2 𝜆,0, √2 2 (1-𝜆)). 因为 OG⊥SC,即𝑂𝐺⃗⃗⃗ ⊥ ⃗𝑆𝐶⃗⃗ ,所以𝑂𝐺⃗⃗⃗ · ⃗𝑆𝐶⃗⃗ =0. 所以3 2 λ- 1 2 (1-λ)=0,解得 λ= 1 4 . 所以𝑂𝐺⃗⃗⃗ = (- √6 8 ,0, 3√2 8 ). 又𝐵𝐸⃗⃗⃗ = ( √6 4 ,- √6 2 , √2 4 ), 所以𝑂𝐺⃗⃗⃗ · 𝐵𝐸⃗⃗⃗ =- 6 32 +0+ 6 32=0. 所以𝑂𝐺⃗⃗⃗ ⊥ 𝐵𝐸⃗⃗⃗ ,即 OG⊥BE