人教版《高中数学》全程设计训练题库（A版必修第二册，课后习题，含答案）第8章 立体几何初步_第八章过关检测

第八章过关检测 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1.己知一个四边形的直观图如图所示，其中B'C∥A'D'∥x轴，AB'∥y轴，若A'B'=2,AD=2BC-4,则原四边形的 面积为(). A.4v3 B.8V3 C.12 D.10 答案 解析由题意可知，在原四边形中，AD=4,AB=4,BC=2,故原四边形的面积为SAD+CAB=12 2.己知圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为() A B.V3π c D.5π 案A 解析设圆锥的底面半径为片，母线长为R,高为h,则2r=πR,因为r=1,所以R-2,所以h=√R2r2=√3，所以圆锥的 体积V-×12xV原= 3.己知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则 该圆柱的表面积为( ) A12V2元 B.12π C.8V2m D.10元 答案B 解析过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面为圆柱的轴截面，设底面半径为八，母线长为1，因为轴截面是面积 为8的正方形，所以2r=1=2VZ,即r=VZ,所以圆柱的表面积为2πl+2π2=8π+4π=12元 4.已知m,n是两条不同的直线，aB,y是三个不同的平面，则下列结论正确的是() A.若a⊥y,a⊥B,则y∥B B.若m∥n,mCa,ncB,则a∥B C.若m∥n,m∥a则n∥a D.若m∥n,m⊥an⊥B,则a∥B 答案p 解析时于A,B与y也可能相交，故A错误；对于B,a与B也可能相交，故B错误；对于C,n也可能在a内，故C错 误；对于D,m/∥n,m⊥anLa,又nLB, .a∥B,故D正确： 5.如图，在三棱柱ABC-A1BC中，侧棱AA1⊥底面A1B1C,底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列 结论正确的是(). A.CC1与B1E是异面直线 B.AC⊥平面ABB1AI C.AE与B1C是异面直线，且AE⊥BC

第八章过关检测 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知一个四边形的直观图如图所示,其中 B'C'∥A'D'∥x'轴,A'B'∥y'轴,若 A'B'=2,A'D'=2B'C'=4,则原四边形的 面积为( ). A.4√3 B.8√3 C.12 D.10 答案 C 解析由题意可知,在原四边形中,AD=4,AB=4,BC=2,故原四边形的面积为 S=𝐴𝐷+𝐵𝐶 2 ·AB=12. 2.已知圆锥的底面半径为 1,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的体积为( ). A. √3 3 π B.√3π C. √5 3 π D.√5π 答案 A 解析设圆锥的底面半径为 r,母线长为 R,高为 h,则 2πr=πR,因为 r=1,所以 R=2,所以 h=√𝑅2-𝑟 2 = √3,所以圆锥的 体积 V=1 3 π×1 2×√3 = √3 3 π. 3.已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1,O2,过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形,则 该圆柱的表面积为( ). A.12√2π B.12π C.8√2π D.10π 答案 B 解析过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面为圆柱的轴截面,设底面半径为 r,母线长为 l,因为轴截面是面积 为 8 的正方形,所以 2r=l=2√2,即 r=√2,所以圆柱的表面积为 2πrl+2πr 2=8π+4π=12π. 4.已知 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面,则下列结论正确的是( ). A.若 α⊥γ,α⊥β,则 γ∥β B.若 m∥n,m⊂α,n⊂β,则 α∥β C.若 m∥n,m∥α,则 n∥α D.若 m∥n,m⊥α,n⊥β,则 α∥β 答案 D 解析对于 A,β 与 γ 也可能相交,故 A 错误;对于 B,α 与 β 也可能相交,故 B 错误;对于 C,n 也可能在 α 内,故 C 错 误;对于 D,∵m∥n,m⊥α,∴n⊥α,又 n⊥β, ∴α∥β,故 D 正确. 5.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 A1B1C1,底面三角形 A1B1C1 是正三角形,E 是 BC 的中点,则下列 结论正确的是( ). A.CC1 与 B1E 是异面直线 B.AC⊥平面 ABB1A1 C.AE 与 B1C1 是异面直线,且 AE⊥B1C1

D.A1C1∥平面AB1E 答案 解析树于A,显然CC1与B1E都在平面BCC1B1内，故CC与B1E不是异面直线，故A错误； 对于B,若AC⊥平面ABB1A1,则AC⊥AB,而由题意可知△ABC是正三角形，矛盾，故AC不可能垂直于平面 ABB1A1,故B错误； 对于C,显然AE与B1C1不同在任一平面内，故AE与B1C是异面直线，又易知AE⊥平面BCCB,故AE⊥B1C1, 故C正确； 对于D,延长CA1到点D,使CA1=A1D,连接BD,AD(图略)，易证AE∥BD,则平面ABE即是平面ADB1E,而C1D 与平面ADB1E相交于点D,故A1C与平面ABE不平行，故D错误 6.如图，在正方体ABCD-A1B1CD1中，若E为A1C1上的一点，则直线CE一定垂直于() D B A.AC B.BD C.AD D.AiD 答案B 解析在正方体ABCD-A1B1CD1中，易知BDLAC,BD⊥AA,故BD⊥平面A4CC,而CEC平面A4CCi,故BDL CE. 7.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即 榫卯结构)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，从外表上看，六根等 长的正四棱柱分成三组，成90°榫卯起来如图，若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进 一个球形容器内（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器的表面积的最小值为() A.36π B.40元 C.41π D.44π 答案c 解析由题意知，当该球为长、宽、高分别为2,1,6的长方体的外接球时，球的半径取最小值，即该球形容器的半径 的最小值为V4+1+36=要故该球形容器的表面积的最小值为4红×生-41 2 4 8如图，正方体ABCD-A1B1CD1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E,F,且EF-二则下列结论错误的是() A.AC⊥BE B.EF∥平面ABCD C.三棱锥A-BEF的体积为定值

D.A1C1∥平面 AB1E 答案 C 解析对于 A,显然 CC1 与 B1E 都在平面 BCC1B1 内,故 CC1 与 B1E 不是异面直线,故 A 错误; 对于 B,若 AC⊥平面 ABB1A1,则 AC⊥AB,而由题意可知△ABC 是正三角形,矛盾,故 AC 不可能垂直于平面 ABB1A1,故 B 错误; 对于 C,显然 AE 与 B1C1 不同在任一平面内,故 AE 与 B1C1 是异面直线,又易知 AE⊥平面 BCC1B1,故 AE⊥B1C1, 故 C 正确; 对于 D,延长 C1A1 到点 D,使 C1A1=A1D,连接 B1D,AD(图略),易证 AE∥B1D,则平面 AB1E 即是平面 ADB1E,而 C1D 与平面 ADB1E 相交于点 D,故 A1C1 与平面 AB1E 不平行,故 D 错误. 6.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,若 E 为 A1C1 上的一点,则直线 CE 一定垂直于( ). A.AC B.BD C.A1D D.A1D1 答案 B 解析在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,易知 BD⊥AC,BD⊥AA1,故 BD⊥平面 A1ACC1,而 CE⊂平面 A1ACC1,故 BD⊥ CE. 7.鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于中国古代建筑中的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即 榫卯结构)啮合,十分巧妙,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,从外表上看,六根等 长的正四棱柱分成三组,成 90°榫卯起来.如图,若正四棱柱的高为 6,底面正方形的边长为 1,现将该鲁班锁放进 一个球形容器内(容器壁的厚度忽略不计),则该球形容器的表面积的最小值为( ). A.36π B.40π C.41π D.44π 答案 C 解析由题意知,当该球为长、宽、高分别为 2,1,6 的长方体的外接球时,球的半径取最小值,即该球形容器的半径 的最小值为1 2 √4 + 1 + 36 = √41 2 ,故该球形容器的表面积的最小值为 4π× 41 4 =41π. 8.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,线段 B1D1 上有两个动点 E,F,且 EF=1 2 ,则下列结论错误的是( ). A.AC⊥BE B.EF∥平面 ABCD C.三棱锥 A-BEF 的体积为定值

D.△AEF的面积与△BEF的面积相等 答案D 解析连接BD(图略).：在正方体ABCD-AIB1C1D1中，BB⊥平面ABCD, :AC⊥B1B,又AC⊥BD,BDnB1B=B :AC⊥平面BDD1B1,又BEC平面BDD1B1, .AC⊥BE,故A正确： ·B1D1∥BD,B1D1丈平面ABCD,BDC平面ABCD, ,B1D1∥平面ABCD :EF∥平面ABCD,故B正确； Yer青xFxB,4C是 :三棱锥A-BEF的体积为定值，故C正确： :“点A到BD,的距离与点B到BD的距离不相等，而EF是 :△AEF的面积与△BEF的面积不相等，故D不正确. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9.己知a,B是两个不重合的平面，m,n是两条不重合的直线，则下列说法正确的是( ) A.若m∥n,m⊥a则n⊥a B.若m∥a,anB=n,则m∥n C.若m⊥a,m⊥B,则a∥B D.若m⊥am∥n,n⊥B,则a∥B 答案ACD 解析对于A,若m⊥a,则3a,bca且anb=P使得m⊥a,m⊥b,又m∥n,则n⊥a,nLb,由线面垂直的判定定理得n⊥ a,故A正确： D 对于B,若m∥a,anB=n,如图，设m=AB,平面AB1CD1为平面a,则m∥a,设平面ADD1A1为平面B,c∩B=A1D1=n, 则m⊥n,故B错误； 对于C,垂直于同一条直线的两个平面平行，故C正确； 对于D,若m⊥a,m∥n,则n⊥a,又n⊥B,则a∥B, 故D正确. 故选ACD, 10.如图，在长方体ABCD-A1B1CD1中，A41=AB-4,BC-2,M,N分别为棱C1D1,CC的中点，则下列说法正确的是 (). A.A,M,N,B四点共面 B.平面ADM⊥平面CDDC C.直线BW与B1M所成的角为60° D.BN∥平面ADM

D.△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 答案 D 解析连接 BD(图略).∵在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,B1B⊥平面 ABCD, ∴AC⊥B1B,又 AC⊥BD,BD∩B1B=B, ∴AC⊥平面 BDD1B1,又 BE⊂平面 BDD1B1, ∴AC⊥BE,故 A 正确; ∵B1D1∥BD,B1D1⊄平面 ABCD,BD⊂平面 ABCD, ∴B1D1∥平面 ABCD, ∴EF∥平面 ABCD,故 B 正确; ∵VA-BEF= 1 3 × 1 2 EF×BB1× 1 2 AC=√2 24, ∴三棱锥 A-BEF 的体积为定值,故 C 正确; ∵点 A 到 B1D1 的距离与点 B 到 B1D1 的距离不相等,而 EF=1 2 , ∴△AEF 的面积与△BEF 的面积不相等,故 D 不正确. 二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全 部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 2 分. 9.已知 α,β 是两个不重合的平面,m,n 是两条不重合的直线,则下列说法正确的是( ). A.若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α B.若 m∥α,α∩β=n,则 m∥n C.若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β D.若 m⊥α,m∥n,n⊥β,则 α∥β 答案 ACD 解析对于 A,若 m⊥α,则∃a,b⊂α 且 a∩b=P 使得 m⊥a,m⊥b,又 m∥n,则 n⊥a,n⊥b,由线面垂直的判定定理得 n⊥ α,故 A 正确; 对于 B,若 m∥α,α∩β=n,如图,设 m=AB,平面 A1B1C1D1 为平面 α,则 m∥α,设平面 ADD1A1 为平面 β,α∩β=A1D1=n, 则 m⊥n,故 B 错误; 对于 C,垂直于同一条直线的两个平面平行,故 C 正确; 对于 D,若 m⊥α,m∥n,则 n⊥α,又 n⊥β,则 α∥β, 故 D 正确. 故选 ACD. 10.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AA1=AB=4,BC=2,M,N 分别为棱 C1D1,CC1 的中点,则下列说法正确的是 ( ). A.A,M,N,B 四点共面 B.平面 ADM⊥平面 CDD1C1 C.直线 BN 与 B1M 所成的角为 60° D.BN∥平面 ADM

含案BC 解析树于A,显然AM,BN是异面直线，则A,M,N,B四，点不共面，故A错误： D 对于B,由题意知AD⊥平面CDD1C1,则平面ADM⊥平面CDDC,故B正确； 对于C,如图，取CD的中点O,连接BO,ON,可知三角形BON为等边三角形，则直线BN与B1M所成的角为60°， 故C正确： 对于D.BN∥平面AA1D1D.显然BN与平面ADM不平行.故D错误 11.如图①E为正方形ABCD边BC上异于点B,C的动点，将△ABE沿AE翻折，得到四棱锥B-AECD如图②所 示，且平面BAE⊥平面AECD,F为线段BD上异于点B,D的动点，则在四棱锥B-AECD中，下列说法正确的有 () 图1 图② A.直线BE与直线CF必不在同一平面上 B.存在点E使得直线BE⊥平面DCE C.存在点F使得直线CF与平面BAE平行 D.存在点E使得直线BE与直线CD垂直 答案AC 懈析树于A,假设直线BE与直线CF在同一平面上，则E在平面BCF上，又在图①冲E在线段BC上，所以E与 C重合，与E异于C矛盾，所以直线BE与直线C℉必不在同一平面上 对于B,若存在点E使得直线BE⊥平面DCE,因为AEC平面DCE,所以BE⊥AE,又AB⊥BE,所以△ABE中有两 个直角.与三角形内角和为180°矛盾，所以不存在，点E使得直线BE⊥平面DCE 对于C,取F为BD的中点，ECAD,再取AB的中点G(图略)，则EC∥FG且EC=FG,所以四边形ECFG为平行 四边形，所以FC∥EG,则直线CF与平面BAE平行. 对于D,过B作BO⊥AE于O,过D作DH⊥AE于H(图略)，因为平面BAE⊥平面AECD,平面BAE∩平面 AECD=AE.所以BO⊥平面AECD. 因为平面BAE⊥平面AECD.平面BAE∩平面AECD=AE,DH⊥AE,所以DH⊥平面BAE,所以DH⊥BE. 若存在，点E使得直线BE与直线CD垂直，因为DHC平面AECD,DCc平面AECD,DH∩DC=D,所以BE⊥平面 AECD,所以E与O重合，与三角形ABE是以B为直角的三角形矛盾，所以不存在，点E使得直线BE与直线CD 垂直.故选AC. 12.如图，在矩形ABCD中，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M,连接B1D,N为B1D的中点，则在 翻折过程中，下列说法正确的是()

答案 BC 解析对于 A,显然 AM,BN 是异面直线,则 A,M,N,B 四点不共面,故 A 错误; 对于 B,由题意知 AD⊥平面 CDD1C1,则平面 ADM⊥平面 CDD1C1,故 B 正确; 对于 C,如图,取 CD 的中点 O,连接 BO,ON,可知三角形 BON 为等边三角形,则直线 BN 与 B1M 所成的角为 60°, 故 C 正确; 对于 D,BN∥平面 AA1D1D,显然 BN 与平面 ADM 不平行,故 D 错误. 11.如图①,E 为正方形 ABCD 边 BC 上异于点 B,C 的动点,将△ABE 沿 AE 翻折,得到四棱锥 B-AECD 如图②所 示,且平面 BAE⊥平面 AECD,F 为线段 BD 上异于点 B,D 的动点,则在四棱锥 B-AECD 中,下列说法正确的有 ( ). 图① 图② A.直线 BE 与直线 CF 必不在同一平面上 B.存在点 E 使得直线 BE⊥平面 DCE C.存在点 F 使得直线 CF 与平面 BAE 平行 D.存在点 E 使得直线 BE 与直线 CD 垂直 答案 AC 解析对于 A,假设直线 BE 与直线 CF 在同一平面上,则 E 在平面 BCF 上,又在图①中 E 在线段 BC 上,所以 E 与 C 重合,与 E 异于 C 矛盾,所以直线 BE 与直线 CF 必不在同一平面上. 对于 B,若存在点 E 使得直线 BE⊥平面 DCE,因为 AE⊂平面 DCE,所以 BE⊥AE,又 AB⊥BE,所以△ABE 中有两 个直角,与三角形内角和为 180°矛盾,所以不存在点 E 使得直线 BE⊥平面 DCE. 对于 C,取 F 为 BD 的中点,EC=1 2 AD,再取 AB 的中点 G(图略),则 EC∥FG 且 EC=FG,所以四边形 ECFG 为平行 四边形,所以 FC∥EG,则直线 CF 与平面 BAE 平行. 对于 D,过 B 作 BO⊥AE 于 O,过 D 作 DH⊥AE 于 H(图略),因为平面 BAE⊥平面 AECD,平面 BAE∩平面 AECD=AE,所以 BO⊥平面 AECD. 因为平面 BAE⊥平面 AECD,平面 BAE∩平面 AECD=AE,DH⊥AE,所以 DH⊥平面 BAE,所以 DH⊥BE. 若存在点 E 使得直线 BE 与直线 CD 垂直,因为 DH⊂平面 AECD,DC⊂平面 AECD,DH∩DC=D,所以 BE⊥平面 AECD,所以 E 与 O 重合,与三角形 ABE 是以 B 为直角的三角形矛盾,所以不存在点 E 使得直线 BE 与直线 CD 垂直.故选 AC. 12.如图,在矩形 ABCD 中,M 为 BC 的中点,将△ABM 沿直线 AM 翻折成△AB1M,连接 B1D,N 为 B1D 的中点,则在 翻折过程中,下列说法正确的是( )

A.存在某个位置，使得CNLAB1 B.翻折过程中，CN的长是定值 C.若AB=BM,则AMLB1D D.若AB=BM=1,当三棱锥B1-AMD的体积最大时，三棱锥B1-AMD的外接球的表面积是4π 答案BD 图① 解桐时于A,如图O,取AD的中点为E,连接CE交MD于点F,连接NE,则NE∥AB,NF∥MB1,如果CNLAB,则 EN⊥CN,又AB1⊥MB1,则EN⊥NF,由于三线NE,NF,NC共面且共点，故CN⊥AB1不成立，A错误 对于B,如图Q∠NEC=∠MAB1=∠MAB,且NE-AB1AB,AM=EC,则在△CEN中，由余弦定理 得，NC-NE2+EC2-2 NE-EC.cos∠NEC-AB2+AP-ABAM-cos∠MAB,为定值，故NC是定值，B正确， 图② 对于C,如图②取AM的中，点O,连接B1O,D1O,因为AB=BM,即AB1=B1M所以AMLB1O,若AMLB1D,则由 B1OnB1D=B1,且B1O,B1DC平面ODB1,得AML平面ODB1,又ODC平面ODB1,所以OD⊥AM则AD=MD,由于 AD≠MD,故AM⊥B1D不成立，C错误 对于D,由题意知，当平面B1AML平面AMD时，三棱锥B1-AMD的体积最大，取AD的中，点为E,连接OE,B1E,ME, 如图② 因为AB=BM=1,所以AB1=BM=1, 且AB1⊥B1M,平面B1AM∩平面AMD=AM, 所以B1O⊥AM,又B1OC平面B1AM, 所以B1O⊥平面AMD,又OEC平面AMD, 所以BO10E,则AM=2,B04M=是 oEpM--号 从而EB1= 易知EA=ED=EM=1. 所以AD的中点E就是三棱锥B1-AMD的外接球的球心，球的半径为1，表面积是4π，故D正确

A.存在某个位置,使得 CN⊥AB1 B.翻折过程中,CN 的长是定值 C.若 AB=BM,则 AM⊥B1D D.若 AB=BM=1,当三棱锥 B1-AMD 的体积最大时,三棱锥 B1-AMD 的外接球的表面积是 4π 答案 BD 图① 解析对于 A,如图①,取 AD 的中点为 E,连接 CE 交 MD 于点 F,连接 NE,则 NE∥AB1,NF∥MB1,如果 CN⊥AB1,则 EN⊥CN,又 AB1⊥MB1,则 EN⊥NF,由于三线 NE,NF,NC 共面且共点,故 CN⊥AB1 不成立,A 错误. 对于 B,如图①,∠NEC=∠MAB1=∠MAB,且 NE=1 2 AB1= 1 2 AB,AM=EC,则在△CEN 中,由余弦定理 得,NC2=NE2+EC2 -2NE·EC·cos∠NEC=1 4 AB2+AM2 -AB·AM·cos∠MAB,为定值,故 NC 是定值,B 正确. 图② 对于 C,如图②,取 AM 的中点 O,连接 B1O,D1O,因为 AB=BM,即 AB1=B1M,所以 AM⊥B1O,若 AM⊥B1D,则由 B1O∩B1D=B1,且 B1O,B1D⊂平面 ODB1,得 AM⊥平面 ODB1,又 OD⊂平面 ODB1,所以 OD⊥AM,则 AD=MD,由于 AD≠MD,故 AM⊥B1D 不成立,C 错误. 对于 D,由题意知,当平面 B1AM⊥平面 AMD 时,三棱锥 B1-AMD 的体积最大,取 AD 的中点为 E,连接 OE,B1E,ME, 如图②. 因为 AB=BM=1,所以 AB1=B1M=1, 且 AB1⊥B1M,平面 B1AM∩平面 AMD=AM, 所以 B1O⊥AM,又 B1O⊂平面 B1AM, 所以 B1O⊥平面 AMD,又 OE⊂平面 AMD, 所以 B1O⊥OE,则 AM=√2,B1O=1 2 AM=√2 2 , OE=1 2 DM=1 2 AM=√2 2 , 从而 EB1=√( √2 2 ) 2 + ( √2 2 ) 2 =1, 易知 EA=ED=EM=1. 所以 AD 的中点 E 就是三棱锥 B1-AMD 的外接球的球心,球的半径为 1,表面积是 4π,故 D 正确

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为16V3,则a= 答案4 解依题意夏2a=163,解得a=4 14.如图，在长方体ABCD-A1B1CD1中，BC=2,AA1=1,点E,F分别在AD和BC上，且EF∥AB,若二面角C-EF-C 等于45°，则BF= D 客案 懈析由题意知EF⊥BC :CC⊥平面ABCD, .:CCi⊥EF,又BCnCC1=C, EF⊥平面CCF,:EF LC F. 故∠CFC为二面角C1-EF-C的平面角， 即∠C1FC=45°， AA1=1,:CF=1,又BC=2,:BF=1. 15.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD-A1B1CD,挖去四棱锥O- EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E,F,G,H分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打 印所用原料密度为0.9gcm3,不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为g D 0 客案118.8 解桐由题意得，四棱锥0-EFGH的底面积为4×6-4××2x3=12(cm2),点0到平面BB1CC的距离为3cm,则此四 棱锥的体积为号×12×3=12(cm) 又长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为3=4×6×6=144(cm),则该模型的体积为V=V2-V1=144-12=132(cm) 故其质量为0.9×132=118.8(g). 16.如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是」 (填序号) ①PB⊥AD,②平面PAB⊥平面PAE,③BC∥平面PAE;④直线PD与平面ABC所成的角为45°. 答案②④ 解析树于①，若PB⊥AD,而PA⊥AD,则AD⊥平面PAB,从而AD⊥AB,显然不成立，故①错误； 对于②易证AB⊥AE,AB⊥PA,从而AB⊥平面PAE,又因为ABC平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAE,故②正确；

三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.若正三棱柱的所有棱长均为 a,且其体积为 16√3,则 a= . 答案 4 解析依题意, √3 4 a 2·a=16√3,解得 a=4. 14.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,BC=2,AA1=1,点 E,F 分别在 AD 和 BC 上,且 EF∥AB,若二面角 C1-EF-C 等于 45°,则 BF= . 答案 1 解析由题意知 EF⊥BC. ∵CC1⊥平面 ABCD, ∴CC1⊥EF,又 BC∩CC1=C, ∴EF⊥平面 CC1F,∴EF⊥C1F. 故∠C1FC 为二面角 C1-EF-C 的平面角, 即∠C1FC=45°, ∵AA1=1,∴CF=1,又 BC=2,∴BF=1. 15.学生到工厂劳动实践,利用 3D 打印技术制作模型.如图,该模型为长方体 ABCD-A1B1C1D1 挖去四棱锥 O￾EFGH 后所得的几何体,其中 O 为长方体的中心,E,F,G,H 分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D 打 印所用原料密度为 0.9 g/cm3 ,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为 g. 答案 118.8 解析由题意得,四棱锥 O-EFGH 的底面积为 4×6-4× 1 2 ×2×3=12(cm2 ),点 O 到平面 BB1C1C 的距离为 3 cm,则此四 棱锥的体积为 V1= 1 3 ×12×3=12(cm3 ). 又长方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积为 V2=4×6×6=144(cm3 ),则该模型的体积为 V=V2-V1=144-12=132(cm3 ). 故其质量为 0.9×132=118.8(g). 16.如图,已知六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形,PA⊥平面 ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是 (填序号). ①PB⊥AD;②平面 PAB⊥平面 PAE;③BC∥平面 PAE;④直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45°. 答案②④ 解析对于①,若 PB⊥AD,而 PA⊥AD,则 AD⊥平面 PAB,从而 AD⊥AB,显然不成立,故①错误; 对于②,易证 AB⊥AE,AB⊥PA,从而 AB⊥平面 PAE,又因为 AB⊂平面 PAB,所以平面 PAB⊥平面 PAE,故②正确;

对于③若BC∥平面PAE,则BC∥AE,显然不成立，故③错误， 对于④易知∠PDA为直线PD与平面ABC所成的角，因为PA=2AB,AD=2BC=2AB,所以PA=AD,所以∠ PDA=45°，即直线PD与平面ABC所成的角为45°，故①正确. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.(10分)如图（单位：cm),求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积 B -51 厨由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面，则可得S*=8元，S=35元，S台 a=25π. 故所求几何体的表面积为68πcm2 由/红x2+m×22×n×5+x5列4=52元，"4学2×号= 故所求几何体的体积为V6-V=529=9(cm 3 18.(I2分)在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC,AB⊥BC,AS=AB.过点A作AF⊥SB,垂足为F,E,G分别为棱 S4A,SC的中点.求证： (I)平面EFG∥平面ABC: (2)BC⊥SA. 证明1)：AS=AB,AF⊥SB,:F为SB的中点. 又点E,G分别为棱SA,SC的中点， .·EF∥ABFG∥BC 又EFt平面ABC,FGt平面ABC,ABC平面ABC,BCC平面ABC,:EF∥平面ABC,FG∥平面ABC,又EFFG=F, :平面EFG∥平面ABC (2):·平面SAB⊥平面SBC,AF⊥SB,平面SAB∩平面SBC=SB, :AF⊥平面SBC,:AF⊥BC 又BC⊥AB,AFOAB=A, :BC⊥平面SAB. 又SAc平面SAB,:BC⊥SA. 19.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC-3,PA=BC=4,M为线段AD上一 点，AM=2MD,N为PC的中点. (1)求证：MN∥平面PAB: (2)求四面体NBCM的体积

对于③,若 BC∥平面 PAE,则 BC∥AE,显然不成立,故③错误; 对于④,易知∠PDA 为直线 PD 与平面 ABC 所成的角,因为 PA=2AB,AD=2BC=2AB,所以 PA=AD,所以∠ PDA=45°,即直线 PD 与平面 ABC 所成的角为 45°,故④正确. 四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10 分)如图(单位:cm),求图中阴影部分绕 AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积. 解由题意知,所求旋转体的表面积由三部分组成:圆台下底面、侧面和一半球面,则可得 S 半球=8π,S 圆台侧=35π,S 圆台 底=25π. 故所求几何体的表面积为 68π cm2 . 由 V 圆台= 1 3 ×(π×2 2+√π × 2 2 × π × 5 2+π×5 2 )×4=52π,V 半球= 4 3 π×2 3× 1 2 = 16π 3 , 故所求几何体的体积为 V 圆台-V 半球=52π- 16π 3 = 140π 3 (cm3 ). 18.(12 分)在三棱锥 S-ABC 中,平面 SAB⊥平面 SBC,AB⊥BC,AS=AB.过点 A 作 AF⊥SB,垂足为 F,E,G 分别为棱 SA,SC 的中点.求证: (1)平面 EFG∥平面 ABC; (2)BC⊥SA. 证明(1)∵AS=AB,AF⊥SB,∴F 为 SB 的中点. 又点 E,G 分别为棱 SA,SC 的中点, ∴EF∥AB,FG∥BC. 又 EF⊄平面 ABC,FG⊄平面 ABC,AB⊂平面 ABC,BC⊂平面 ABC,∴EF∥平面 ABC,FG∥平面 ABC,又 EF∩FG=F, ∴平面 EFG∥平面 ABC. (2)∵平面 SAB⊥平面 SBC,AF⊥SB,平面 SAB∩平面 SBC=SB, ∴AF⊥平面 SBC,∴AF⊥BC. 又 BC⊥AB,AF∩AB=A, ∴BC⊥平面 SAB. 又 SA⊂平面 SAB,∴BC⊥SA. 19.(12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M 为线段 AD 上一 点,AM=2MD,N 为 PC 的中点. (1)求证:MN∥平面 PAB; (2)求四面体 N-BCM 的体积

(1证明由已知得AM子AD-2 如图，取BP的中点T,连接AT,TN :N为PC的中点，：TN∥BC,TNBC-2 又AD∥BC,.:TNAM .:四边形ANT为平行四边形，.N∥AT 又ATC平面PAB,MNt平面PAB .MN∥平面PAB. (2解：PAL平面ABCD,N为PC的中点， ,:点N到平面ABCD的距离为PA=2 如图，取BC的中点E,连接AE. :AB=AC=3, .:AE LBC.AE=VAB2-BE2=5. 又AM∥BC,:点M到BC的距离为V5, SaBCM-7x4×V5-2W5. Vx.mew-jx2/5x2-45 3 20.(I2分)如图@，在直角梯形PBCD中，PB∥CD,CD⊥BC,BC=PB=2CD,A是PB的中点现沿AD将三角形PAD 折起，使得PA⊥AB,如图②所示，E,F分别为BC,AB的中点 ② (I)求证：PA⊥平面ABCD (2)求证：平面PAE⊥平面PDE (3)试在PA上找一点G,使得FG∥平面PDE,并证明你的结论 (I证明在直角梯形PBCD中， :PB∥CD,CD⊥BC,PB=2CD,A是PB的中点， ,·四边形ABCD是矩形.，·AD⊥PA

(1)证明由已知得 AM=2 3 AD=2. 如图,取 BP 的中点 T,连接 AT,TN. ∵N 为 PC 的中点,∴TN∥BC,TN=1 2 BC=2. 又 AD∥BC,∴TN AM, ∴四边形 AMNT 为平行四边形,∴MN∥AT. 又 AT⊂平面 PAB,MN⊄平面 PAB, ∴MN∥平面 PAB. (2)解∵PA⊥平面 ABCD,N 为 PC 的中点, ∴点 N 到平面 ABCD 的距离为1 2 PA=2. 如图,取 BC 的中点 E,连接 AE. ∵AB=AC=3, ∴AE⊥BC,AE=√𝐴𝐵2-𝐵𝐸2 = √5. 又 AM∥BC,∴点 M 到 BC 的距离为√5, ∴S△BCM= 1 2 ×4×√5=2√5. ∴VN-BCM= 1 3 ×2√5×2= 4√5 3 . 20.(12 分)如图①,在直角梯形 PBCD 中,PB∥CD,CD⊥BC,BC=PB=2CD,A 是 PB 的中点.现沿 AD 将三角形 PAD 折起,使得 PA⊥AB,如图②所示,E,F 分别为 BC,AB 的中点. ① ② (1)求证:PA⊥平面 ABCD; (2)求证:平面 PAE⊥平面 PDE; (3)试在 PA 上找一点 G,使得 FG∥平面 PDE,并证明你的结论. (1)证明在直角梯形 PBCD 中, ∵PB∥CD,CD⊥BC,PB=2CD,A 是 PB 的中点, ∴四边形 ABCD 是矩形,∴AD⊥PA

又在图②冲，PA⊥AB,ABOAD=A, :PA⊥平面ABCD (2证明：PA⊥平面ABCD,EDc平面ABCD, :PA⊥ED.在矩形ABCD中， :BC-2CD-2AB-2BE-2EC,:∠BEA=45°，∠CED=45°，：∠AED-90°，即AE⊥ED 又PA∩AE=A,:ED⊥平面PAE 又EDC平面PDE,:平面PAE⊥平面PDE. (B解在PA上取一点G,使PG=3GA,则FG∥平面PDE 证明如下：取ED的中点M,在PD上取一点N,使PW=3ND,连接FG,FM,MN,GN(图略)，则FM∥AD,GN∥ AD.FM-(BE+AD)-AD.GN-AD. ..FM GN, :四边形FMNG为平行四边形，：FG∥MN 又MNC平面PDE,FGt平面PDE, ,FG∥平面PDE. 21.(12分)如图，正方体的棱长为1，B'CnBC"-O,求： D (1)AO与A'C所成的角的度数： (2)4O与平面ABCD所成的角的正切值； (3)平面AOB与平面AOC所成的角的度数， 邂)：AC∥AC :AO与AC所成的角就是∠OAC :在正方体中，AB⊥平面BBCC,OCC平面BBCC, .OC⊥AB. 又OC⊥OB,且ABOOB=B, ,:OC⊥平面ABO :OAC平面ABO,:OC⊥OA 在RaA0C中，0C号AC-2,sn∠0AC-=克：∠04C-30 即AO与A'C所成的角的度数为30°. (2)如图，作OE⊥BC于点E,连接AE. :平面BBCC⊥平面ABCD, :OE⊥平面ABCD,∠OAE为OA与平面ABCD所成的角. 在Ra0ME中.0EAE=12+白2= .tan∠0AB器=-写

又在图②中,PA⊥AB,AB∩AD=A, ∴PA⊥平面 ABCD. (2)证明∵PA⊥平面 ABCD,ED⊂平面 ABCD, ∴PA⊥ED.在矩形 ABCD 中, ∵BC=2CD=2AB=2BE=2EC,∴∠BEA=45°,∠CED=45°,∴∠AED=90°,即 AE⊥ED. 又 PA∩AE=A,∴ED⊥平面 PAE. 又 ED⊂平面 PDE,∴平面 PAE⊥平面 PDE. (3)解在 PA 上取一点 G,使 PG=3GA,则 FG∥平面 PDE. 证明如下:取 ED 的中点 M,在 PD 上取一点 N,使 PN=3ND,连接 FG,FM,MN,GN(图略),则 FM∥AD,GN∥ AD,FM=1 2 (BE+AD)= 3 4 AD,GN=3 4 AD, ∴FM GN, ∴四边形 FMNG 为平行四边形,∴FG∥MN. 又 MN⊂平面 PDE,FG⊄平面 PDE, ∴FG∥平面 PDE. 21.(12 分)如图,正方体的棱长为 1,B'C∩BC'=O,求: (1)AO 与 A'C'所成的角的度数; (2)AO 与平面 ABCD 所成的角的正切值; (3)平面 AOB 与平面 AOC 所成的角的度数. 解(1)∵A'C'∥AC, ∴AO 与 A'C'所成的角就是∠OAC. ∵在正方体中,AB⊥平面 B'BCC',OC⊂平面 B'BCC', ∴OC⊥AB. 又 OC⊥OB,且 AB∩OB=B, ∴OC⊥平面 ABO. ∵OA⊂平面 ABO,∴OC⊥OA. 在 Rt△AOC 中,OC=√2 2 ,AC=√2,sin∠OAC=𝑂𝐶 𝐴𝐶 = 1 2 ,∴∠OAC=30°. 即 AO 与 A'C'所成的角的度数为 30°. (2)如图,作 OE⊥BC 于点 E,连接 AE. ∵平面 B'BCC'⊥平面 ABCD, ∴OE⊥平面 ABCD,∠OAE 为 OA 与平面 ABCD 所成的角. 在 Rt△OAE 中,OE=1 2 ,AE=√1 2 + ( 1 2 ) 2 = √5 2 , ∴tan∠OAE=𝑂𝐸 𝐴𝐸 = √5 5

(3)由(1)知OC⊥平面AOB. 又OCC平面AOC, .:平面AOB⊥平面AOC 即平面AOB与平面AOC所成的角的度数为90° 22.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中AD∥BC,∠ADC=∠PAB=-90°，BC-CDAD.E为棱AD的中点，异面直线 PA与CD所成的角为90°. (I)在平面PAB内找一点M使得直线CM∥平面PBE,并说明理由； (2)若二面角PCD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成的角的正弦值 邂1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行. 7M B ---C E 如图，延长AB,DC,相交于点MM∈平面PAB),点M即为所求的一个点.理由如下 由题意知.BC∥ED.且BC=ED 所以四边形BCDE是平行四边形，从而CM∥EB. 又因为EBc平面PBE,CMt平面PBE,所以CM∥平面PBE (2)已知CD⊥PA,CD⊥AD,PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD. 因为PDC平面PAD,所以CD⊥PD,又因为ADLCD,所以∠PDA是二面角PCD-A的平面角， 所以∠PDA=45°. 设BC=1则在Rt△PAD中，PA=AD=2. 由题意知，AE=ED=CD=1,在Rt△PAE中，PE=V5,在Rt△CDE中，CE=VZ,在Rt△PAD中，PD=2VZ,在Rt△PDC 中，PC=3. 设点A到平面PCE的距离为m,PA与平面PCE所成的角为B. 已知△PEC的三边，根据余弦定理和三角形面积计算公式得SaPC是 又Sac1ECD-号则由ac-nr,得号子m号PA,已知PA-2,解得m号故snB册=行即直线PA与 平面PCE所成的角的正弦值为？

(3)由(1)知 OC⊥平面 AOB. 又 OC⊂平面 AOC, ∴平面 AOB⊥平面 AOC. 即平面 AOB 与平面 AOC 所成的角的度数为 90°. 22.(12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=1 2 AD.E 为棱 AD 的中点,异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90°. (1)在平面 PAB 内找一点 M,使得直线 CM∥平面 PBE,并说明理由; (2)若二面角 P-CD-A 的大小为 45°,求直线 PA 与平面 PCE 所成的角的正弦值. 解(1)在梯形 ABCD 中,AB 与 CD 不平行. 如图,延长 AB,DC,相交于点 M(M∈平面 PAB),点 M 即为所求的一个点.理由如下: 由题意知,BC∥ED,且 BC=ED, 所以四边形 BCDE 是平行四边形,从而 CM∥EB. 又因为 EB⊂平面 PBE,CM⊄平面 PBE,所以 CM∥平面 PBE. (2)已知 CD⊥PA,CD⊥AD,PA∩AD=A,所以 CD⊥平面 PAD. 因为 PD⊂平面 PAD,所以 CD⊥PD,又因为 AD⊥CD,所以∠PDA 是二面角 P-CD-A 的平面角, 所以∠PDA=45°. 设 BC=1,则在 Rt△PAD 中,PA=AD=2. 由题意知,AE=ED=CD=1,在 Rt△PAE 中,PE=√5,在 Rt△CDE 中,CE=√2,在 Rt△PAD 中,PD=2√2,在 Rt△PDC 中,PC=3. 设点 A 到平面 PCE 的距离为 m,PA 与平面 PCE 所成的角为 β. 已知△PEC 的三边,根据余弦定理和三角形面积计算公式得 S△PEC= 3 2 . 又 S△AEC= 1 2 AE·CD=1 2 ,则由 VA-PEC=VP-AEC,得 1 3 · 3 2 ·m= 1 3 · 1 2 ·PA,已知 PA=2,解得 m= 2 3 ,故 sin β= 𝑚 𝑃𝐴 = 1 3 ,即直线 PA 与 平面 PCE 所成的角的正弦值为1 3