7.3.1复数的三角表示式 课后·训练提升 1.若复数z(a+i的辐角的主值是织，则实数a的值是( A.l B.-1 C.-v2 D.-3 答案B 解韧：-a+iP-(-1)+2ami,arg: 82100,a-1 2复数+的三角形式是( A.cos60°+isin60° B.-cos60°+isin60° C.cos120°+isin60° D.cos120°+isin120° 客案D 解韧-1,60s0-号因为与号+号对应的点在第二象限，所以可取0=120°.所以+月-0s 120°+isin120° 3.复数-sin50°+icos50°的辐角的主值是( A.50° B.320° C.40° D.140° 含案D 解析sin50°+icos50°=cos140°+isin140°，则与之对应的点在第二象限，所以arg(-sin 50°+ic0s50°)=140° 4.复数：=-3(cos5-isin)(i是虚数单位)的三角形式是( ) A3cos()+isin()】 B.3(cos号+isin) C.3 cos+isin D.3cos+isin 答案 图-3(osgs引og+rg-osc9)nk)3o号g发 选C 5.己知复数=vZ+√6i,则arg二是(). A号 B.9 c D 答案B
7.3.1 复数的三角表示式 课后· 1.若复数 z=(a+i)2 的辐角的主值是3π 2 ,则实数 a 的值是( ). A.1 B.-1 C.-√2 D.-√3 答案 B 解析∵z=(a+i)2=(a 2 -1)+2ai,arg z= 3π 2 , ∴{ 𝑎 2 -1 = 0, 𝑎 < 0, ∴a=-1. 2.复数- 1 2 + √3 2 i 的三角形式是( ). A.cos 60°+isin 60° B.-cos 60°+isin 60° C.cos 120°+isin 60° D.cos 120°+isin 120° 答案 D 解析 r=1,cos θ=- 1 2 .因为与- 1 2 + √3 2 i 对应的点在第二象限,所以可取 θ=120°.所以- 1 2 + √3 2 i=cos 120°+isin 120°. 3.复数-sin 50°+icos 50°的辐角的主值是( ). A.50° B.320° C.40° D.140° 答案 D 解析-sin 50°+icos 50°=cos 140°+isin 140°,则与之对应的点在第二象限,所以 arg(-sin 50°+icos 50°)=140°. 4.复数 z=-3(cos π 5 -isinπ 5 )(i 是虚数单位)的三角形式是( ). A.3[cos (- π 5 ) + isin (- π 5 )] B.3(cos π 5 + isin π 5 ) C.3(cos 4π 5 + isin 4π 5 ) D.3(cos 6π 5 + isin 6π 5 ) 答案 C 解析 z=-3(cos π 5 -isin π 5 )=3 -cos π 5 +isinπ 5 =3 -cos(π- 4π 5 )+isin(π- 4π 5 ) =3 cos 4π 5 +isin4π 5 .故 选 C. 5.已知复数 z=√2 + √6i,则 arg 1 𝑧是( ). A. π 3 B. 5π 3 C. π 6 D. 11π 6 答案 B
解杨：2-V2+V6, =-传别 1 8 a时-故选B 6.设arg(3+4i)=0,则arg(8-6i)为)， A.2π-0 B5+0 C0 D.+0 答案p 解：arg(3+40-0.cos0-号sin0-0<0号 设ag(8-60=a则cosa号sna=是，受a<2m a-+0 7设：=1+i,则复数32+的三角形式是 z+1 图累vz(cos平+isin) 圈e-11融=出=头1 z+1 1+i+1 Z.cos0 又与1i对应的点在第四象限，：arg(1- 1-i-V2(cosg+isin9） 8.把下列复数表示为代数形式 ()3(cos号+isin) (2W3(cos号+isin号) (3)2/(cos-isin) 图1)3(cos+isin)=9+3吗 (2W(cos号+isin号）--多 (3)2/(cos-isin6+i 9.下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式 (1)-sin0-icos0,(2)cos60°+isin30° ☒1)不是.-sin0-icos0=cos(g-0）+isin(0)
解析∵z=√2 + √6i, ∴ 1 𝑧 = 1 √2+√6i = √2-√6i 8 = √2 4 ( 1 2 - √3 2 i). ∴arg 1 𝑧 = 5π 3 .故选 B. 6.设 arg(3+4i)=θ,则 arg(8-6i)为( ). A.2π-θ B. π 2 +θ C. 3π 2 -θ D. 3π 2 +θ 答案 D 解析∵arg(3+4i)=θ,∴cos θ= 3 5 ,sin θ= 4 5 ,0<θ< π 2 . 设 arg(8-6i)=α,则 cos α= 4 5 ,sin α=- 3 5 , 3π 2 <α<2π. ∴α= 3π 2 +θ. 7.设 z=1+i,则复数𝑧 2 -3𝑧+6 𝑧+1 的三角形式是 . 答案√2 (cos 7π 4 + isin 7π 4 ) 解析∵z=1+i,∴ 𝑧 2 -3𝑧+6 𝑧+1 = (1+i) 2 -3(1+i)+6 1+i+1 = 3-i 2+i =1-i, ∴r=√2,cos θ= √2 2 . 又与 1-i 对应的点在第四象限,∴arg(1-i)= 7π 4 . ∴1-i=√2 (cos 7π 4 + isin 7π 4 ). 8.把下列复数表示为代数形式. (1)3(cos π 4 + isin π 4 ); (2)√3 (cos 4π 3 + isin 4π 3 ); (3)2√2 (cos 7π 6 -isin7π 6 ). 解(1)3(cos π 4 + isin π 4 ) = 3√2 2 + 3√2 2 i. (2)√3 (cos 4π 3 + isin 4π 3 )=- √3 2 − 3 2 i. (3)2√2 (cos 7π 6 -isin7π 6 )=-√6 + √2i. 9.下列复数是不是三角形式?若不是,把它们表示成三角形式. (1)-sin θ-icos θ;(2)cos 60°+isin 30°. 解(1)不是.-sin θ-icos θ=cos( 3π 2 -𝜃)+isin( 3π 2 -θ)
(2)不是.cos60°+isin30°+2i-号受+7)-(cos+isin)引 10.求复数=1+cos0+isinπ<0<2π)的模与辐角的主值 解-1+cos0+isin0=-2cos2+2isin唱os号-2cos号(cos号+isin), :<0<2元<号元cs0. a=-2co号（(cos号-isin)-2cos号[cos(x+9+isin(+ .-2co号 又号<元 受<+2arg=π+号
(2)不是.cos 60°+isin 30°= 1 2 + 1 2 i= √2 2 ( √2 2 + √2 2 i)= √2 2 (cos π 4 + isin π 4 ). 10.求复数 z=1+cos θ+isin θ(π<θ<2π)的模与辐角的主值. 解 z=1+cos θ+isin θ=2cos2𝜃 2 +2i·sin𝜃 2 cos 𝜃 2 =2cos𝜃 2 (cos 𝜃 2 + isin 𝜃 2 ), ∵π<θ<2π,∴ π 2 < 𝜃 2 <π,∴cos 𝜃 2 <0. ∴z=-2cos𝜃 2 (-cos 𝜃 2 -isin 𝜃 2 )=-2cos𝜃 2 ·[cos(π+ 𝜃 2 )+isin(π + 𝜃 2 )]. ∴|z|=-2cos𝜃 2 . 又 π 2 < 𝜃 2 <π, ∴ 3π 2 <π+ 𝜃 2 <2π,∴arg z=π+ 𝜃 2