8.4.1平面 课后·训练提升 1.与“直线1上的两点A,B在平面a内”含义不同的是( A.lca B.直线I在平面a内 C.直线I上只有点A,B在平面a内 D.直线1上所有的点都在平面a内 客案c 2.下列说法正确的是( ). A.若点A,B,C,D共面，点A,B,C,E共面，则点A,B,C,D,E共面 B.若四点不共面，则其中任意三点一定不共线 C两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点 D.三条平行直线共面 含案B 解桐对于A,当点A,B,C共线时，点A,B,C,D确定的平面与点A,B,C,E确定的平面不一定重合， 此时点A,B,C,D,E不一定共面，故A错误 对于B,假设有三点共线，则另外一点一定和这条直线在同一个平面内，此时四点共面，与题设 矛盾，故B正确. 对于C,两个相交平面交于一条直线，故两个相交平面的公共点一定都在交线上，故C错误 对于D,例如三棱柱三条侧棱所在直线平行，但不共面，故D错误 3.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点，如果EF与HG交于点M 那么() A.M一定在直线AC上 B.M一定在直线BD上 C.M可能在直线AC上，也可能在直线BD上 D.M既不在直线AC上，也不在直线BD上 答案A 4.(多选题)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O是B:D1的中点，直线A1C交平面ABD1于点 M,则下列结论正确的是( AA,M,O三点共线 B.A,M,O,A1四点共面 C.A,O,C,M四点共面 D.B,B1,O,M四点共面 答案ABC 解析连接AC(图略)，因为A,M,O三点既在平面ABD1内，又在平面A41C内，故A,MO三点共 线，从而易知ABC均正确
8.4.1 平面 课后· 1.与“直线 l 上的两点 A,B 在平面 α 内”含义不同的是( ). A.l⊂α B.直线 l 在平面 α 内 C.直线 l 上只有点 A,B 在平面 α 内 D.直线 l 上所有的点都在平面 α 内 答案 C 2.下列说法正确的是( ). A.若点 A,B,C,D 共面,点 A,B,C,E 共面,则点 A,B,C,D,E 共面 B.若四点不共面,则其中任意三点一定不共线 C.两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点 D.三条平行直线共面 答案 B 解析对于 A,当点 A,B,C 共线时,点 A,B,C,D 确定的平面与点 A,B,C,E 确定的平面不一定重合, 此时点 A,B,C,D,E 不一定共面,故 A 错误. 对于 B,假设有三点共线,则另外一点一定和这条直线在同一个平面内,此时四点共面,与题设 矛盾,故 B 正确. 对于 C,两个相交平面交于一条直线,故两个相交平面的公共点一定都在交线上,故 C 错误. 对于 D,例如三棱柱三条侧棱所在直线平行,但不共面,故 D 错误. 3.在空间四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 上分别取 E,F,G,H 四点,如果 EF 与 HG 交于点 M, 那么( ). A.M 一定在直线 AC 上 B.M 一定在直线 BD 上 C.M 可能在直线 AC 上,也可能在直线 BD 上 D.M 既不在直线 AC 上,也不在直线 BD 上 答案 A 4.(多选题)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是 B1D1 的中点,直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M,则下列结论正确的是( ). A.A,M,O 三点共线 B.A,M,O,A1 四点共面 C.A,O,C,M 四点共面 D.B,B1,O,M 四点共面 答案 ABC 解析连接 AC(图略),因为 A,M,O 三点既在平面 AB1D1 内,又在平面 AA1C 内,故 A,M,O 三点共 线,从而易知 ABC 均正确
5.如图，∩B=l,A∈a,C∈B,CL,直线ADn=D,过A,B,C三点确定的平面为，则平面y,B的交线 必过() A点A B.点B C.点C,但不过点DD.点C和点D 答案D 解析4，B,C确定的平面y与直线BD和点C确定的平面重合，故C,D∈y,且C,D∈B,故C,D在 y和B的交线上 6.三个互不重合的平面把空间分成n部分，则n所有可能的值为 案1,6,7或8 解析若三个平面互相平行，则可将空间分为4部分； 若三个平面有两个平行，第三个平面与其他两个平面相交，则可将空间分成6部分； 若三个平面交于同一直线，则可将空间分成6部分； 若三个平面两两相交且三条交线平行，则可将空间分成7部分： 若三个平面两两相交且三条交线交于一点（如墙角三个墙面的关系），则可将空间分成8部分 故n的所有可能值为4,6,7或8. 7.如图，AB∥CD,ABna=B,CDna=D,ACna=E.求证：B,E,D三点共线. 证明因为AB∥CD,所以AB,CD确定一个平面B,所以A∈B,B∈B,C∈B,D∈B,所以ACCB. 又E∈AC,所以E∈B. ABNa=B,CDNa=D,ACna=E, 所以B.D,E为平面Q与平面B的公共点 根据基本事实3，可知B,D,E三点共线 8.求证：如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交，那么这四条直线共面. 解知aWb∥c,lna=4,1nb=B,l1nc=C 求证：直线a,b,c和1共面 证明：如图，因为a∥b,所以直线a与直线b确定一个平面a 因为1na=A,l∩b=B,所以A∈a,B∈b,所以A∈aB∈a 又A∈I,B∈I,所以ICa 因为b∥c,所以直线b与直线c确定一个平面B,同理，1CB. 又bca,bCf,lnb=B, 所以平面a与B重合，故直线a,b,c和I共面 9.如图，已知△ABC在平面a外，其三边所在的直线满足ABna=P,BCna=Q,ACna=R,求 证：P,Q,R三点共线
5.如图,α∩β=l,A∈α,C∈β,C∉l,直线 AD∩l=D,过 A,B,C 三点确定的平面为 γ,则平面 γ,β 的交线 必过( ). A.点 A B.点 B C.点 C,但不过点 D D.点 C 和点 D 答案 D 解析 A,B,C 确定的平面 γ 与直线 BD 和点 C 确定的平面重合,故 C,D∈γ,且 C,D∈β,故 C,D 在 γ 和 β 的交线上. 6.三个互不重合的平面把空间分成 n 部分,则 n 所有可能的值为 . 答案 4,6,7 或 8 解析若三个平面互相平行,则可将空间分为 4 部分; 若三个平面有两个平行,第三个平面与其他两个平面相交,则可将空间分成 6 部分; 若三个平面交于同一直线,则可将空间分成 6 部分; 若三个平面两两相交且三条交线平行,则可将空间分成 7 部分; 若三个平面两两相交且三条交线交于一点(如墙角三个墙面的关系),则可将空间分成 8 部分. 故 n 的所有可能值为 4,6,7 或 8. 7.如图,AB∥CD,AB∩α=B,CD∩α=D,AC∩α=E.求证:B,E,D 三点共线. 证明因为 AB∥CD,所以 AB,CD 确定一个平面 β,所以 A∈β,B∈β,C∈β,D∈β,所以 AC⊂β. 又 E∈AC,所以 E∈β. 又 AB∩α=B,CD∩α=D,AC∩α=E, 所以 B,D,E 为平面 α 与平面 β 的公共点. 根据基本事实 3,可知 B,D,E 三点共线. 8.求证:如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交,那么这四条直线共面. 解已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C. 求证:直线 a,b,c 和 l 共面. 证明:如图,因为 a∥b,所以直线 a 与直线 b 确定一个平面 α. 因为 l∩a=A,l∩b=B,所以 A∈a,B∈b,所以 A∈α,B∈α. 又 A∈l,B∈l,所以 l⊂α. 因为 b∥c,所以直线 b 与直线 c 确定一个平面 β,同理,l⊂β. 又 b⊂α,b⊂β,l∩b=B, 所以平面 α 与 β 重合,故直线 a,b,c 和 l 共面. 9.如图,已知△ABC 在平面 α 外,其三边所在的直线满足 AB∩α=P,BC∩α=Q,AC∩α=R,求 证:P,Q,R 三点共线
证明方法一：ABna=P, .:P∈AB,P∈平面a 又ABC平面ABC,:P∈平面ABC :由基本事实3可知，点P在平面ABC与平面a的交线上，同理可证Q,R也在平面ABC与平 面a的交线上. P,Q,R三点共线 方法二：：AP∩AR=A ,:直线AP与直线AR确定平面APR 又ABna=P,ACna=R, :平面APR∩平面a=PR B∈平面APR,C∈平面APR,.:BCC平面APR :Q∈BC,:Q∈平面APR 又Q∈a:Q∈PR,:P,Q,R三点共线
证明方法一:∵AB∩α=P, ∴P∈AB,P∈平面 α. 又 AB⊂平面 ABC,∴P∈平面 ABC. ∴由基本事实 3 可知,点 P 在平面 ABC 与平面 α 的交线上,同理可证 Q,R 也在平面 ABC 与平 面 α 的交线上. ∴P,Q,R 三点共线. 方法二:∵AP∩AR=A, ∴直线 AP 与直线 AR 确定平面 APR. 又 AB∩α=P,AC∩α=R, ∴平面 APR∩平面 α=PR. ∵B∈平面 APR,C∈平面 APR,∴BC⊂平面 APR. ∵Q∈BC,∴Q∈平面 APR, 又 Q∈α,∴Q∈PR,∴P,Q,R 三点共线