7.2.2复数的乘、除运算 课后·训练提升 基础巩固 1已知i为虚数单位，则+++等于( A.0 B.2i C.-2i D.4i 客案A 解韧-13-13-17- 片+方++70 2路( ） A.1 B.-1 C.i D.-i 窨案D 图团=品粉=兴-鲁故选D 1+4 3在复平面内，复数：与对应的点关于虚轴对称，则复数一 A+ B- c号+ D号- 答案A 解韧由升号+气可知该复数在复平面内对应的点为（号）其关于虚轴的对称点为（得） 故复数号+ 4(多选题)下面关于复数：异ǘ为虚数单位)的说法，其中正确的为) A.=2 B.2-2i C.z的共轭复数为1+i D.z的虚部为-1 答案BD 解扬异=1i 2(-1-i) :=VZ,A错误；2-2i,B正确； z的共轭复数为-1+i,C错误； z的虚部为-1，D正确.故选BD. 5若a为实数且-3+i,则a( A.-4 B.-3 C.3 D.4
7.2.2 复数的乘、除运算 课后· 基础巩固 1.已知 i 为虚数单位,则 1 i + 1 i 3 + 1 i 5 + 1 i 7等于( ). A.0 B.2i C.-2i D.4i 答案 A 解析∵ 1 i =-i,1 i 3=i,1 i 5=-i, 1 i 7=i, ∴ 1 i + 1 i 3 + 1 i 5 + 1 i 7=0. 2. 2-i 1+2i=( ). A.1 B.-1 C.i D.-i 答案 D 解析 2-i 1+2i = (2-i)(1-2i) (1+2i)(1-2i) = 2-i-4i-2 1+4 = -5i 5 =-i,故选 D. 3.在复平面内,复数 z 与 2i 2-i对应的点关于虚轴对称,则复数 z=( ). A. 2 5 + 4 5 i B. 2 5 − 4 5 i C.- 2 5 + 4 5 i D.- 2 5 − 4 5 i 答案 A 解析由 2i 2-i =- 2 5 + 4 5 i,可知该复数在复平面内对应的点为(- 2 5 , 4 5 ),其关于虚轴的对称点为( 2 5 , 4 5 ), 故复数 z= 2 5 + 4 5 i. 4.(多选题)下面关于复数 z= 2 -1+i (i 为虚数单位)的说法,其中正确的为( ). A.|z|=2 B.z 2=2i C.z 的共轭复数为 1+i D.z 的虚部为-1 答案 BD 解析∵z= 2 -1+i = 2(-1-i) (-1+i)(-1-i) =-1-i, ∴|z|=√2,A 错误;z 2=2i,B 正确; z 的共轭复数为-1+i,C 错误; z 的虚部为-1,D 正确.故选 BD. 5.若 a 为实数,且 2+𝑎i 1+i =3+i,则 a=( ). A.-4 B.-3 C.3 D.4
答案p 解析因为+ 1+i 2+-学+受=3+i (1+i)1-i) 2 (a2=3 所以 2 2=1 解得a=4 ( 6.己知复数=1+√21，则2-2z= 答案3 解析：2=1+V21,2-2z=z(c-2)=(1+V21)(1+V2i-2)=(1+V21)(-1+V21)=-3 71为虚数单位，若复数：是：的共轭复数为z,则五 答案 团： =+212+=1 (2.i)(2+) 元=iz=1 8.设复数1,2在复平面内的对应点分别为A,B,点A与点B关于实轴对称，若1(1)=3-i,则 2= 答案5 爵闭31a者=21 :点A与点B关于实轴对称，1与2互为共轭复数， .2=z1=2-i,2=5 9.计算 (1)1+2+n 3 (2)/1+22+31迪 2+i °+2 ☑1)1+2+型=34-1-3i 3 21+22+3四=3+t33-克=2四=+ 2+i 2+i 2+1 5 告粉+。 但+2] V3-v2i 2 3.@=+i-1+i V3-V2i 10.已知复数：号 (1)求：的实部与虚部； (2)若2+mz+n-1-i(m,n∈R,z是：的共轭复数)，求m和n的值. 图品-2+1 5 所以：的实部为2，虚部为1. (2)把=2+i代入2+mz+n=1-i, 得(2+i)2+m(2-)+n=1-i
答案 D 解析因为2+𝑎i 1+i = (2+𝑎i)(1-i) (1+i)(1-i) = 𝑎+2 2 + 𝑎-2 2 i=3+i, 所以{ 𝑎+2 2 = 3, 𝑎-2 2 = 1, 解得 a=4. 6.已知复数 z=1+√2i,则 z 2 -2z= . 答案-3 解析∵z=1+√2i,∴z 2 -2z=z(z-2)=(1+√2i)(1+√2i-2)=(1+√2i)(-1+√2i)=-3. 7.i 为虚数单位,若复数 z= 1+2i 2-i ,z 的共轭复数为𝑧,则 z𝑧= . 答案 1 解析∵z= 1+2i 2-i = (1+2i)(2+i) (2-i)(2+i) = 5i 5 =i, ∴𝑧=-i,∴z𝑧=1. 8.设复数 z1,z2 在复平面内的对应点分别为 A,B,点 A 与点 B 关于实轴对称,若 z1(1-i)=3-i,则 |z2|= . 答案√5 解析∵z1(1-i)=3-i,∴z1= 3-i 1-i = (3-i)(1+i) (1-i)(1+i) =2+i. ∵点 A 与点 B 关于实轴对称,∴z1 与 z2 互为共轭复数, ∴z2=𝑧1=2-i,∴|z2|=√5. 9.计算: (1)(-1+i)(2+i) i 3 ; (2)(1+2i) 2+3(1-i) 2+i ; (3)( 1+i 1-i ) 6 + √2+√3i √3-√2i . 解(1)(-1+i)(2+i) i 3 = -3+i -i =-1-3i. (2)(1+2i) 2+3(1-i) 2+i = -3+4i+3-3i 2+i = i 2+i = i(2-i) 5 = 1 5 + 2 5 i. (3)( 1+i 1-i ) 6 + √2+√3i √3-√2i = [ (1+i) 2 2 ] 6 + i(√3-√2i) √3-√2i =i 6+i=-1+i. 10.已知复数 z= 5 2-i . (1)求 z 的实部与虚部; (2)若 z 2+m𝑧+n=1-i(m,n∈R,𝑧是 z 的共轭复数),求 m 和 n 的值. 解(1)z= 5(2+i) (2-i)(2+i) = 5(2+i) 5 =2+i, 所以 z 的实部为 2,虚部为 1. (2)把 z=2+i 代入 z 2+m𝑧+n=1-i, 得(2+i)2+m(2-i)+n=1-i
即2m+n+3+(4-m)i=1-i, 所以m+3=1 解得m=5,n=-12 拓展提高 1设复数：3 (m∈R),若z=z,则m=()为 A号 B明 c D 答案A 解扬=况=-名且-之.-0，解得m=号 3+2i-(3+2i)(3-21) 13 13 2已知复数：+受a一+号则：-白炉在复平面内对应的点位于) A第一象限 B.第二象限 C第三象限 D.第四象限 答案A 解罚因为+是2-+气所以-+是(+到)+=1+1所以复数：在复年面内 对应的点位于第一象限故选A 3.(多选题)设1,2是复数，则下列命题中的真命题是() A.若1-22=0，则z1=z2 B.若1=22，则z1=22 C.若=2l,则21z1=2z2 D.若=l,则z子=z 答案ABC 解析A,51-2=0→1-2=0→1=2→z1=z2,真命题：B,若1=z2,则z1等于z2的共轭复数，真命 题：C,l=2→2=22→z1z1=22z2,真命题；D,当1=2时，可取1=1,22=i,显然z好=1，z=-1,即 z1卡z,假命题 4.己知关于x的方程x2+x+p=0的两个虚根为1,2，且1-2=3，则实数p的值为). A.-1 B.1 c D 答案D 解韧依题意，不妨令+则k-=√p3,解得p 2 2 5.若1=a+2i,2-3-4i,且三为纯虚数，则实数a的值为 ,21225 含16号 解=轻-a+2Y34组=3+4+68-a84a+6 3.4i 9+16 25 25 号为地成数860a号 8 12-(得+2i3-40-8i+6i+8-1641
即 2m+n+3+(4-m)i=1-i, 所以{ 2𝑚 + 𝑛 + 3 = 1, 4-𝑚 = -1. 解得 m=5,n=-12. 拓展提高 1.设复数 z= 1-𝑚i 3+2i(m∈R),若 z=𝑧,则 m=( ). A.- 2 3 B. 2 3 C. 3 2 D.- 3 2 答案 A 解析∵z= 1-𝑚i 3+2i = (1-𝑚i)(3-2i) (3+2i)(3-2i) = 3-2𝑚 13 − 3𝑚+2 13 i,且 z=𝑧,∴ 3𝑚+2 13 =0,解得 m=- 2 3 . 2.已知复数 z1= 1 2 + √3 2 i,z2=- 1 2 + √3 2 i,则 z=-z1z2+i 5 在复平面内对应的点位于( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 A 解析因为 z1= 1 2 + √3 2 i,z2=- 1 2 + √3 2 i,所以 z=- 1 2 + √3 2 i (- 1 2 + √3 2 i)+i 5=1+i,所以复数 z 在复平面内 对应的点位于第一象限.故选 A. 3.(多选题)设 z1,z2 是复数,则下列命题中的真命题是( ). A.若|z1-z2|=0,则𝑧1 = 𝑧2 B.若 z1=𝑧2 ,则𝑧1=z2 C.若|z1|=|z2|,则 z1𝑧1=z2𝑧2 D.若|z1|=|z2|,则𝑧1 2 = 𝑧2 2 答案 ABC 解析 A,|z1-z2|=0⇒z1-z2=0⇒z1=z2⇒𝑧1 = 𝑧2 ,真命题;B,若 z1=𝑧2 ,则𝑧1等于𝑧2的共轭复数,真命 题;C,|z1|=|z2|⇒|z1| 2=|z2| 2⇒z1𝑧1=z2𝑧2 ,真命题;D,当|z1|=|z2|时,可取 z1=1,z2=i,显然𝑧1 2=1,𝑧2 2=-1,即 𝑧1 2 ≠ 𝑧2 2 ,假命题. 4.已知关于 x 的方程 x 2+x+p=0 的两个虚根为 x1,x2,且|x1-x2|=3,则实数 p 的值为( ). A.-1 B.1 C.- 5 2 D. 5 2 答案 D 解析依题意,不妨令 x1= -1+√4𝑝-1 i 2 ,x2= -1-√4𝑝-1 i 2 ,则|x1-x2|=√4𝑝-1=3,解得 p= 5 2 . 5.若 z1=a+2i,z2=3-4i,且 𝑧1 𝑧2 为纯虚数,则实数 a 的值为 ,z1z2= . 答案8 3 16- 14 3 i 解析𝑧1 𝑧2 = 𝑎+2i 3-4i = (𝑎+2i)(3+4i) 9+16 = 3𝑎+4𝑎i+6i-8 25 = (3𝑎-8)+(4𝑎+6)i 25 , ∵ 𝑧1 𝑧2 为纯虚数,∴{ 3𝑎-8 = 0, 4𝑎 + 6 ≠ 0, ∴a= 8 3 . ∴z1·z2=( 8 3 + 2i)(3-4i)=8- 32 3 i+6i+8=16- 14 3 i
6.已知复数z满足2-3+4i1是虚数单位)，则=」 答案V5 解析设z=a+bi(a,beR), 则2-a2-b2+2abi-3+41, kg的22二子6=子 2ab=4, 故-√a2+b7=V5. 7.已知3+2i是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，求实数P,q的值 解国为3+2i是方程2x2+px+g-0的根， 所以2(3+2i)2+p(3+21+q=0, 即2(9+12i-4)+(3p+2pi)+q=0, 整理得(10+3p+q)+(24+2p)i=0, 4+2±80g=26 所以24+2p=0, 挑战创新 设：是虚数，0=+是实数，且-1<w<2, (1)求的值及：的实部的取值范围， (2)设u￥证明“为纯虚数 (圖段ti-xJER.且)0，所以oexi+xi+装x+)》 因为0是实数且≠0， 所以中0，所以2y2-1,即1 此时0=2x 国为-1<0<2，所以-1<2x<2,从而有x<1,即：的实部的取值范国是(，1 (2证明设=x+i,xy∈R,且0， (1)知，x2+y2=1,所以M=1兰=-x+m=11+xn=x2y2-2.y 1+z1+(x+yi) (1+x)2+y2 (1+x)2+y21+x 因为xe()小0， 所以)0，所以1为纯虚数 1+x
6.已知复数 z 满足 z 2=3+4i(i 是虚数单位),则|z|= . 答案√5 解析设 z=a+bi(a,b∈R), 则 z 2=a2 -b 2+2abi=3+4i, 故{ 𝑎 2 -𝑏 2 = 3, 2𝑎𝑏 = 4, 解得{ 𝑎 = 2, 𝑏 = 1 或 { 𝑎 = -2, 𝑏 = -1. 故|z|=√𝑎 2 + 𝑏 2 = √5. 7.已知 3+2i 是关于 x 的方程 2x 2+px+q=0 的一个根,求实数 p,q 的值. 解因为 3+2i 是方程 2x 2+px+q=0 的根, 所以 2(3+2i)2+p(3+2i)+q=0, 即 2(9+12i-4)+(3p+2pi)+q=0, 整理得(10+3p+q)+(24+2p)i=0, 所以{ 10 + 3𝑝 + 𝑞 = 0, 24 + 2𝑝 = 0, 解得{ 𝑝 = -12, 𝑞 = 26. 挑战创新 设 z 是虚数,ω=z+1 𝑧是实数,且-1<ω<2, (1)求|z|的值及 z 的实部的取值范围; (2)设 u= 1-𝑧 1+𝑧 ,证明 u 为纯虚数. (1)解设 z=x+yi,x,y∈R,且 y≠0,所以 ω=z+1 𝑧 =x+yi+ 1 𝑥+𝑦i =x+yi+ 𝑥-𝑦i 𝑥 2+𝑦2=x+ 𝑥 𝑥 2+𝑦2 + (𝑦- 𝑦 𝑥 2+𝑦2 )i. 因为 ω 是实数且 y≠0, 所以 y- 𝑦 𝑥 2+𝑦2=0,所以 x 2+y2=1,即|z|=1. 此时 ω=2x. 因为-1<ω<2,所以-1<2x<2,从而有- 1 2 <x<1,即 z 的实部的取值范围是(- 1 2 ,1). (2)证明设 z=x+yi,x,y∈R,且 y≠0, 由(1)知,x 2+y2=1,所以 u= 1-𝑧 1+𝑧 = 1-(𝑥+𝑦i) 1+(𝑥+𝑦i) = (1-𝑥-𝑦i)(1+𝑥-𝑦i) (1+𝑥) 2+𝑦2 = 1-𝑥 2 -𝑦 2 -2𝑦i (1+𝑥) 2+𝑦2 =- 𝑦 1+𝑥 i. 因为 x∈(- 1 2 ,1),y≠0, 所以 𝑦 1+𝑥 ≠0,所以 u 为纯虚数