第1课时向量数量积的概念 课后·训练提升 1.己知a,b为单位向量，a与b的夹角为60°，则ab=()】 A月 B吗 C.1 D月 答案A 解析ab=1×1×c0s60°之 2.已知向量a,b满足a=1,b=4,且ab=2,则a与b的夹角0为() A月 B明 c号 D 答案 解杨由条件可知，0s0瑞=最=克 又0e0,网，故0号 3.若ml=4,nl=6,m与n的夹角0为45°，则mn=(). A.12 B.12v2 C.-12v2 D.-12 答案B 解韧由已知条件得m=mlmicos0=4×6×号-12V2 4.己知a=6,b=3,ab=-12,且e是与b方向相同的单位向量，则向量a在向量b方向上的投 影向量为( A.-4e B.4e C.-2e D.2e 答案A 解析根据投影向量的定义，设a,b的夹角为O,可得向量a在向量b方向上的投影向量为 lalcos寄e=4e故选A 5.已知a-10,1bl=12,且(3a)(Gb)=-36,则a与b的夹角为( A.60° B.120° C.135° D.150° 答案B 解析设a与b的夹角为0. 由(3a)(b)=36,得ab=-60, 即1ablc0s0=-60,已知a=10,1b=12,解得cos0=2又0°≤0≤180°，故夹角0为120°. 6己知平面上三点A,B,C,满足AB=3,BC1=4,CA=5,则AE.BC+BC.CA+CA·AE的值等 于( A.-7 B.7 C.25 D.-25 答案D
第 1 课时 向量数量积的概念 课后· 1.已知 a,b 为单位向量,a 与 b 的夹角为 60°,则 a·b=( ). A. 1 2 B. √3 2 C.1 D.- 1 2 答案 A 解析 a·b=1×1×cos 60°= 1 2 . 2.已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=4,且 a·b=2,则 a 与 b 的夹角 θ 为( ). A. π 6 B. π 4 C. π 3 D. π 2 答案 C 解析由条件可知,cos θ= 𝑎·𝑏 |𝑎||𝑏| = 2 1×4 = 1 2 , 又 θ∈[0,π],故 θ= π 3 . 3.若|m|=4,|n|=6,m 与 n 的夹角 θ 为 45°,则 m·n=( ). A.12 B.12√2 C.-12√2 D.-12 答案 B 解析由已知条件得 m·n=|m||n|cos θ=4×6× √2 2 =12√2. 4.已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,且 e 是与 b 方向相同的单位向量,则向量 a 在向量 b 方向上的投 影向量为( ). A.-4e B.4e C.-2e D.2e 答案 A 解析根据投影向量的定义,设 a,b 的夹角为 θ,可得向量 a 在向量 b 方向上的投影向量为 |a|cos θe= 𝑎·𝑏 |𝑏| ·e=-4e.故选 A. 5.已知|a|=10,|b|=12,且(3a)·( 1 5 𝑏)=-36,则 a 与 b 的夹角为( ). A.60° B.120° C.135° D.150° 答案 B 解析设 a 与 b 的夹角为 θ. 由(3a)·( 1 5 𝑏)=-36,得 a·b=-60, 即|a||b|cos θ=-60,已知|a|=10,|b|=12,解得 cos θ=- 1 2 ,又 0°≤θ≤180°,故夹角 θ 为 120°. 6.已知平面上三点 A,B,C,满足|𝐴𝐵⃗⃗⃗ |=3,|𝐵𝐶⃗⃗⃗ |=4,|𝐶𝐴⃗⃗ |=5,则𝐴𝐵⃗⃗⃗ · 𝐵𝐶⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗ · 𝐶𝐴⃗⃗ + 𝐶𝐴⃗⃗ · 𝐴𝐵⃗⃗⃗ 的值等 于( ). A.-7 B.7 C.25 D.-25 答案 D
解标由条件知∠ABC=90°，所以原式-0+4×5×cos(180°-CO+5×3×c0s180°-4)=-20cosC 15c0sA-20×号15x号-16-9=-25， 7.已知b=3,向量a在向量b方向上的投影向量为（其中e是与b方向相同的单位向量），则 ab的值为( A.3 B C.2 D 答案 解析设a与b的夹角为0. :1 a6e-子，即0= ab=alb1cos0=3x2=是 8.在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，则向量AE与向量B配的夹角为】 答案135° 9.已知a,b的夹角为0，lal=2,b=3,若a⊥b,则ab= 答案 10.已知在△4BC中，AB=AC=4,AB.AC=8,则△ABC的形状是 答案等边三角形 解析AB.AC=AB1AC1cos∠BAC, 即8=4×4×c0s∠BAC,于是c0s∠BAC-号 因为0°<∠BAC<180°，所以∠BAC=60° 又AB=AC,故△ABC是等边三角形. 11.已知ab=-9,向量a在向量b上的投影向量为-3e1(e1是与b方向相同的单位向量)，向量b 在向量a上的投影向量为-2(2是与a方向相同的单位向量)，求a与b的夹角0. (lalcos0 =-3, 解由题意可知 Iblcose =-7 3 3 ab =3 0a=6. ab 3 即 a=-2, Ub1=3. =议又0e0,0- .:cos 0=ab .91 12.如图，已知△ABC是等边三角形 (1)求向量AB与向量BC的夹角： (2)若E为BC的中点，求向量AE与EC的夹角， 解1)：△ABC为等边三角形
解析由条件知∠ABC=90°,所以原式=0+4×5×cos(180°-C)+5×3×cos(180°-A)=-20cos C- 15cos A=-20× 4 5 -15× 3 5 =-16-9=-25. 7.已知|b|=3,向量 a 在向量 b 方向上的投影向量为3 2 e(其中 e 是与 b 方向相同的单位向量),则 a·b 的值为( ). A.3 B. 9 2 C.2 D. 1 2 答案 B 解析设 a 与 b 的夹角为 θ. ∵|a|cos θe= 3 2 e,即|a|cos θ= 3 2 , ∴a·b=|a||b|cos θ=3× 3 2 = 9 2 . 8.在等腰直角三角形 ABC 中,∠A=90°,则向量𝐴𝐵⃗⃗⃗ 与向量𝐵𝐶⃗⃗⃗ 的夹角为 . 答案 135° 9.已知 a,b 的夹角为 θ,|a|=2,|b|=3,若 a⊥b,则 a·b= . 答案 0 10.已知在△ABC 中,AB=AC=4,𝐴𝐵⃗⃗⃗ · 𝐴𝐶⃗⃗ =8,则△ABC 的形状是 . 答案等边三角形 解析𝐴𝐵⃗⃗⃗ · 𝐴𝐶⃗⃗ =|𝐴𝐵⃗⃗⃗ ||𝐴𝐶⃗⃗ |cos∠BAC, 即 8=4×4×cos∠BAC,于是 cos∠BAC=1 2 . 因为 0°<∠BAC<180°,所以∠BAC=60°. 又 AB=AC,故△ABC 是等边三角形. 11.已知 a·b=-9,向量 a 在向量 b 上的投影向量为-3e1(e1 是与 b 方向相同的单位向量),向量 b 在向量 a 上的投影向量为- 3 2 e2(e2 是与 a 方向相同的单位向量),求 a 与 b 的夹角 θ. 解由题意可知{ |𝑎|cos𝜃 = -3, |𝑏|cos𝜃 = - 3 2 , ∴{ 𝑎·𝑏 |𝑏| = -3, 𝑎·𝑏 |𝑎| = - 3 2 , 即 { -9 |𝑏| = -3, -9 |𝑎| = - 3 2 , ∴ { |𝑎| = 6, |𝑏| = 3. ∴cos θ= 𝑎·𝑏 |𝑎||𝑏| = -9 6×3 =- 1 2 .又 θ∈[0,π],∴θ= 2π 3 . 12.如图,已知△ABC 是等边三角形. (1)求向量𝐴𝐵⃗⃗⃗ 与向量𝐵𝐶⃗⃗⃗ 的夹角; (2)若 E 为 BC 的中点,求向量𝐴𝐸⃗⃗⃗ 与𝐸𝐶⃗⃗ 的夹角. 解(1)∵△ABC 为等边三角形
,:∠ABC=60°. ￥D 如图，延长AB至点D,使AB=BD,则AB=BD,:∠DBC为向量AB与向量B配的夹角. 又∠DBC=120°，：向量AB与向量BC的夹角为120°， (2):点E为BC的中点， .:AE⊥BC, .:AE与E元的夹角为90°
∴∠ABC=60°. 如图,延长 AB 至点 D,使 AB=BD,则𝐴𝐵⃗⃗⃗ = 𝐵𝐷⃗ ⃗ ,∴∠DBC 为向量𝐴𝐵⃗⃗⃗ 与向量𝐵𝐶⃗⃗⃗ 的夹角. 又∠DBC=120°,∴向量𝐴𝐵⃗⃗⃗ 与向量𝐵𝐶⃗⃗⃗ 的夹角为 120°. (2)∵点 E 为 BC 的中点, ∴AE⊥BC, ∴𝐴𝐸⃗⃗⃗ 与𝐸𝐶⃗⃗ 的夹角为 90°