7.1.2复数的几何意义 课后·训练提升 基础巩固 1.当子m0m-1<0.故点Z位于第四象限故选D 2.己知xyi=2xi-1(x,y∈R),则r+yi川-() A.1 B.2 C.3 D.5 案D 解标i=2xi-l(JyeR), 6,=2即长 x+yi=√x2+y2=V5.故选D】 3.在复平面内，O为原点，向量OA对应的复数为-1+2i若点A关于直线y=-x的对称点为点B 则向量死对应的复数为(). A-2-i B.-2+i C.1+2i D.-1+2i 答案B 解析：向量0A对应的复数为-1+2i, :点A的坐标为(1,2)，又点A关于直线y=-x的对称点为点B,:点B的坐标为(-2,1)， .:向量0丽对应的复数为-2+i 4.己知复数：满足P-2-3=0,则复数z在复平面内对应的点Z的集合是() A.一个圆 B.一条线段 C两个点 D.两个圆 答案A 解析由题意可知(-3)4+1)0. :1≥0，l=3. ,:复数：在复平面内对应的点Z的集合是一个圆 5.已知复数：=(cos0+sin0)+(sin0-cos0)i,若0∈(：，)，则z在复平面内所对应的点在( A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 解析由题意可知z-(cos0+sin0)-(sin0-cos)i .co0+sin 00.sin0-cos0 :五在复平面内所对应的点在第三象限 6.已知复数=1+i,则z= 答V2 解标a=-√2
7.1.2 复数的几何意义 课后· 基础巩固 1.当 2 3 0,m-10, ∴𝑧在复平面内所对应的点在第三象限. 6.已知复数 z=1+i,则|𝑧|= . 答案√2 解析|𝑧|=|z|=√2
7.若复数=5cosa-4i(-π0, 若复数：对应的点位于复平面的第二象限， 则lg(m2+2m-14)0, 即f0m2+2m-140. m2-m-6>0, m2+2m-150, 解得-5<m<-1-V15 9.当实数m取何值时，复数z=(m2.4m)+(㎡2-m-6)i在复平面内对应的点分别满足下列条件？ (1)在第三象限；(2)在虚轴上：(3)在直线y=x+3上 解复数=(m-4m)+(m2-m-6)i在复平面内对应的点Z的坐标为m2-4m㎡2-m-6) (1):点Z在第三象限 :.4m<0,解得0m3 m2-m-6<0, (2):点Z在虚轴上 .:㎡2.4m=0,解得m=0或m=4 (3):点Z在直线y=x+3上， .m2-m-6=m2.4m+3,解得m=3. 10.己知复数：在复平面内对应的点在直线一子上，且日=35，求复数： 解设：=a+bi(a,b∈R), 由题意，可知{ =ta. va2+b2=3v5, 解得6-台支6-令 故2=6+3i或2=-6-3i. 拓展提高 1.(多选题)设复数=-1-2i,i为虚数单位，则下列说法正确的是( A.=V5
7.若复数 z=5cos α-4i(-π 0, 解得 m=3. 若复数 z 对应的点位于复平面的第二象限, 则{ lg(𝑚2 + 2𝑚-14) 0, 即{ 0 0, 即{ 𝑚2 + 2𝑚-14 > 0, 𝑚2 + 2𝑚-15 0, 解得-5<m<-1-√15. 9.当实数 m 取何值时,复数 z=(m2 -4m)+(m2 -m-6)i 在复平面内对应的点分别满足下列条件? (1)在第三象限;(2)在虚轴上;(3)在直线 y=x+3 上. 解复数 z=(m2 -4m)+(m2 -m-6)i 在复平面内对应的点 Z 的坐标为(m2 -4m,m2 -m-6). (1)∵点 Z 在第三象限, ∴{ 𝑚2 -4𝑚 < 0, 𝑚2 -𝑚-6 < 0, 解得 0<m<3. (2)∵点 Z 在虚轴上, ∴m2 -4m=0,解得 m=0 或 m=4. (3)∵点 Z 在直线 y=x+3 上, ∴m2 -m-6=m2 -4m+3,解得 m=3. 10.已知复数 z 在复平面内对应的点在直线 y= 1 2 x 上,且|z|=3√5,求复数 z. 解设 z=a+bi(a,b∈R). 由题意,可知{ 𝑏 = 1 2 𝑎, √𝑎 2 + 𝑏 2 = 3√5, 解得{ 𝑎 = 6, 𝑏 = 3 或{ 𝑎 = -6, 𝑏 = -3. 故 z=6+3i 或 z=-6-3i. 拓展提高 1.(多选题)设复数 z=-1-2i,i 为虚数单位,则下列说法正确的是( ). A.|z|=√5
B.复数：在复平面内对应的点在第四象限 C.z的共轭复数为-1+2i D.复数：在复平面内对应的点在直线y=-2x上 答案AC 解桐=12+（←2）2=V5,4正确；复数z在复平面内对应的点的坐标为(1，-2)，在第三象 限，B不正确2的共轭复数为-1+2i,C正确；复数：在复平面内对应的点(-1，-2)不在直线y=2x 上D不正确.故选AC 2.已知在复平面内，复数1=2-ai(a∈R)对应的点在直线y字+学上，则复数2-a+2i对应的点 在( A第一象限 B.第二象限 C第三象限 D.第四象限 答案B 解析在复平面内，复数1=2-ai对应的点的坐标为(2，-a), 由题意，可知a2+2,即a=-2 故2=-2+2i,在复平面内对应的点在第二象限」 故选B 3.已知0<a<2,复数=a+i,其共轭复数为z,则1的取值范围是(). A.(1,5) B.(1,3) C.(1,5) D.(1,3) 答案 懈析：1z==Va2+1,0<a<2, 1<2+1<5,:1<z<5,故选C 4.已知复数3-5i,1-i和-2+ai在复平面内对应的点在同一条直线上，则实数a的值为() A.5 B.-2 C.-5 D. 含案A 解析设复数3-5i,1-i,-2+ai对应的向量分别为0A,0B,0C(0为坐标原点)， 则0-(3，-5)，0元=(1，-1)，0沉-(-2，) :A,B,C三点共线，：0A=10B+(1-)0C 即(3，-5)=(1，-1)+(1-10-2，a 民2解得导甲a的值为5 (a=5. 5.使log1x-4i1≥3+4i成立的x的取值范围是() A后，8 B.(0,1]U[8,+oo) C(0,U[8,+o) D.(0.1)U(8.+o) 答案 解杨由已知得1gx+(4≥32+4， (log1x)2≥9.：logx≥3或logr≤-3
B.复数 z 在复平面内对应的点在第四象限 C.z 的共轭复数为-1+2i D.复数 z 在复平面内对应的点在直线 y=-2x 上 答案 AC 解析|z|=√(-1) 2 + (-2) 2 = √5,A 正确;复数 z 在复平面内对应的点的坐标为(-1,-2),在第三象 限,B 不正确;z 的共轭复数为-1+2i,C 正确;复数 z 在复平面内对应的点(-1,-2)不在直线 y=-2x 上,D 不正确.故选 AC. 2.已知在复平面内,复数 z1=2-ai(a∈R)对应的点在直线 y= 1 3 x+4 3上,则复数 z2=a+2i 对应的点 在( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 B 解析在复平面内,复数 z1=2-ai 对应的点的坐标为(2,-a), 由题意,可知-a= 1 3 ×2+ 4 3 =2,即 a=-2. 故 z2=-2+2i,在复平面内对应的点在第二象限. 故选 B. 3.已知 0<a<2,复数 z=a+i,其共轭复数为𝑧,则|𝑧|的取值范围是( ). A.(1,5) B.(1,3) C.(1,√5) D.(1,√3) 答案 C 解析∵|𝑧|=|z|=√𝑎 2 + 1,0<a<2, ∴1<a2+1<5,∴1<|𝑧|<√5,故选 C. 4.已知复数 3-5i,1-i 和-2+ai 在复平面内对应的点在同一条直线上,则实数 a 的值为( ). A.5 B.-2 C.-5 D. 3 5 答案 A 解析设复数 3-5i,1-i,-2+ai 对应的向量分别为𝑂𝐴⃗⃗⃗ ,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ ,⃗𝑂𝐶⃗⃗ (O 为坐标原点), 则𝑂𝐴⃗⃗⃗ =(3,-5),𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =(1,-1),⃗𝑂𝐶⃗⃗ =(-2,a). ∵A,B,C 三点共线,∴𝑂𝐴⃗⃗⃗ =t𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ +(1-t)⃗𝑂𝐶⃗⃗ , 即(3,-5)=t(1,-1)+(1-t)(-2,a). ∴{ 3 = 𝑡-2(1-𝑡), -5 = -𝑡 + 𝑎(1-𝑡),解得{ 𝑡 = 5 3 , 𝑎 = 5, 即 a 的值为 5. 5.使|log1 2 x-4i|≥|3+4i|成立的 x 的取值范围是( ). A.[ 1 8 ,8] B.(0,1]∪[8,+∞) C.(0, 1 8 ]∪[8,+∞) D.(0,1)∪(8,+∞) 答案 C 解析由已知得(log1 2 𝑥) 2 +(-4)2≥3 2+4 2 , ∴(log1 2 x) 2≥9.∴log1 2 x≥3 或 log1 2 x≤-3
x∈(0，U[8,+o) 6.己知xy∈R,若x2+2x+(2y+x)i和3x-0y+1)i互为共轭复数，设=x+i,则z= 答案i或1 解韧由已知得2+2x=3x (2y+x=y+1, 解得代=}支化=6 所以=1或=1. 所以，当=i时，z=-i,当=1时，z=1. 7.已知复数1=2-i,2=3,3=m+3i(m∈R)在复平面内的对应点分别为A,B,C.若这三点能构成三 角形，求实数m应满足的条件。 解设复数，2,5对应的向量分别为OA,0丽，0C(0为坐标原点)，若A,B,C三点能构成三角形 则有AB与AC不共线. 由题意，0A=(2,-1),0元=(3,0)，0C=(m,3), 则AB=0元-0A=(3,0)-(2,-1)=(1,1), AC=0C-0A-(m,3)-(2,-1)=(m-2,4) 则有1×4-(m-2)×10,得m6. 挑战创新 已知复数-3+i-+是 (1)求|及并比较大小； (2)设z∈C,且满足条件2≤≤，则z所对应的点Z的轨迹是什么图形？ 邂1=(W32+12=2 a-（+(-1 all (2)由|2≤≤及(1)知1≤≤2. 因为的几何意义为复数：对应的点到原点的距离，所以≥1表示由=1所表示的圆及其 外部所有，点组成的集合，≤2表示由|=2所表示的圆及其内部所有点组成的集合，故符合 题设条件的点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环（包含圆周），如图所 示
∴x∈(0, 1 8 ]∪[8,+∞). 6.已知 x,y∈R,若 x 2+2x+(2y+x)i 和 3x-(y+1)i 互为共轭复数,设 z=x+yi,则𝑧= . 答案-i 或 1 解析由已知得{ 𝑥 2 + 2𝑥 = 3𝑥, 2𝑦 + 𝑥 = 𝑦 + 1, 解得{ 𝑥 = 0, 𝑦 = 1 或{ 𝑥 = 1, 𝑦 = 0. 所以 z=i 或 z=1. 所以,当 z=i 时,𝑧=-i;当 z=1 时,𝑧=1. 7.已知复数 z1=2-i,z2=3,z3=m+3i(m∈R)在复平面内的对应点分别为 A,B,C.若这三点能构成三 角形,求实数 m 应满足的条件. 解设复数 z1,z2,z3 对应的向量分别为𝑂𝐴⃗⃗⃗ ,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ ,⃗𝑂𝐶⃗⃗ (O 为坐标原点),若 A,B,C 三点能构成三角形, 则有𝐴𝐵⃗⃗⃗ 与𝐴𝐶⃗⃗ 不共线. 由题意,𝑂𝐴⃗⃗⃗ =(2,-1),𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =(3,0),⃗𝑂𝐶⃗⃗ =(m,3), 则𝐴𝐵⃗⃗⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐴⃗⃗⃗ =(3,0)-(2,-1)=(1,1), 𝐴𝐶⃗⃗ = ⃗𝑂𝐶⃗⃗ − 𝑂𝐴⃗⃗⃗ =(m,3)-(2,-1)=(m-2,4), 则有 1×4-(m-2)×1≠0,得 m≠6. 挑战创新 已知复数 z1=√3+i,z2=- 1 2 + √3 2 i. (1)求|z1|及|z2|并比较大小; (2)设 z∈C,且满足条件|z2|≤|z|≤|z1|,则 z 所对应的点 Z 的轨迹是什么图形? 解(1)|z1|=√(√3) 2 + 1 2=2, |z2|=√(- 1 2 ) 2 + ( √3 2 ) 2 =1, ∴|z1|>|z2|. (2)由|z2|≤|z|≤|z1|及(1)知 1≤|z|≤2. 因为|z|的几何意义为复数 z 对应的点到原点的距离,所以|z|≥1 表示由|z|=1 所表示的圆及其 外部所有点组成的集合,|z|≤2 表示由|z|=2 所表示的圆及其内部所有点组成的集合,故符合 题设条件的点的集合是以 O 为圆心,以 1 和 2 为半径的两圆之间的圆环(包含圆周),如图所 示