6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 课后·训练提升 基础巩固 1如果用ij分别表示与x轴和y轴正方向相同的两个单位向量，且A2,3),B(4,2),则AB可以表 示为(） A.2i+3j B.4i+2j C.2i-j D.-2i+j 案 解桐记0为坐标原点，则0=2i+3j,0丽=4i+2j,故AB=0丽-0A-2ij 2.已知向量AB-(2,4),AC=(0,2),则BC=(). A.(-2,-2) B.(2,2) C.(1,1) D.(-1.-1) 含案A 解析BC=AC-AE=(-2,-2) 3.已知AB=(-2,4),则下列说法正确的是( A.A点的坐标是(-2.4) B.B点的坐标是(-2,4) C.当B是原点时，A点的坐标是(-2,4) D.当A是原点时，B点的坐标是(-2,4) 答案D 解析当向量起点与原点重合时，向量坐标与向量终点坐标相同， 4.设与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量分别为i,j,取，j}作为基底，设a=(x2+x+1)i-(x2 x+1)i(x∈R),则向量a对应的坐标位于(). A第一、二象限B.第二、三象限 C第三象限 D.第四象限 答案D 解国为x+1-(女+》+子0，-x+1-(x)+子0，所以向量a对应的坐标位于第四象 限 5.已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5,-1),B(-1,7),C(1,2),则顶点D的坐标为() A.(-7,0) B.(7,6) C.(6,7) D.(7,-6) 客案p 解析因为四边形ABCD为平行四边形，所以AE=DC. 设D(xy),则有(-1-5,7+1)=(1-x,2y), 中伦2以解科化-6 因此点D的坐标为(7，-6). 6.如图，在ABCD中，AC为一条对角线，若AB=(2,4),AC=(1,3),则BD=
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 课后· 基础巩固 1.如果用 i,j 分别表示与 x 轴和 y 轴正方向相同的两个单位向量,且 A(2,3),B(4,2),则𝐴𝐵⃗⃗⃗ 可以表 示为( ). A.2i+3j B.4i+2j C.2i-j D.-2i+j 答案 C 解析记 O 为坐标原点,则𝑂𝐴⃗⃗⃗ =2i+3j,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =4i+2j,故𝐴𝐵⃗⃗⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐴⃗⃗⃗ =2i-j. 2.已知向量𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(2,4),𝐴𝐶⃗⃗ =(0,2),则𝐵𝐶⃗⃗⃗ =( ). A.(-2,-2) B.(2,2) C.(1,1) D.(-1,-1) 答案 A 解析𝐵𝐶⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(-2,-2). 3.已知𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(-2,4),则下列说法正确的是( ). A.A 点的坐标是(-2,4) B.B 点的坐标是(-2,4) C.当 B 是原点时,A 点的坐标是(-2,4) D.当 A 是原点时,B 点的坐标是(-2,4) 答案 D 解析当向量起点与原点重合时,向量坐标与向量终点坐标相同. 4.设与 x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量分别为 i,j,取{i,j}作为基底,设 a=(x 2+x+1)i-(x 2 - x+1)j(x∈R),则向量 a 对应的坐标位于( ). A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 D 解析因为 x 2+x+1=(𝑥 + 1 2 ) 2 + 3 4 >0,x 2 -x+1=(𝑥- 1 2 ) 2 + 3 4 >0,所以向量 a 对应的坐标位于第四象 限. 5.已知四边形 ABCD 为平行四边形,其中 A(5,-1),B(-1,7),C(1,2),则顶点 D 的坐标为( ). A.(-7,0) B.(7,6) C.(6,7) D.(7,-6) 答案 D 解析因为四边形 ABCD 为平行四边形,所以𝐴𝐵⃗⃗⃗ = 𝐷𝐶⃗⃗⃗ . 设 D(x,y),则有(-1-5,7+1)=(1-x,2-y), 即{ -6 = 1-𝑥, 8 = 2-𝑦, 解得{ 𝑥 = 7, 𝑦 = -6, 因此点 D 的坐标为(7,-6). 6.如图,在▱ABCD 中,AC 为一条对角线,若𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(2,4),𝐴𝐶⃗⃗ =(1,3),则𝐵𝐷⃗ ⃗ =
答案-3，-5) 解析B元=AC-AB=(1,3)-(2,4)=(-1,-1) BD=BC+CT=BC-AB=(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5) 7.己知点A(3,-4)与B(-1,2),点P在直线AB上，且AP=P1,则点P的坐标为 客案1，-1) 解桐设点P的坐标为(xy) 由题意知，当点P在线段AB上时，AP=PB. .(x-3y+4)=(-1-x,2-y), 子42名解= :P点坐标为(1，-1)月 当P在线段AB延长线上时，A下-PB, (x-3y+4)=-(-1-x,2-y) 424此时无解 综上所述，点P的坐标为(1，-1). 8.作用于原点的两个力F1=(1,1),F2=(2,3),为使它们平衡，需加力F3= 答案-3,4) 解析由题意可知F1+F2+F3-0, 故F3=-F1-F2=-(1,1(2,3)=(-3,-4), 9.己知a=AB,点B的坐标为(1,0)，b=(-9,12),c=(-2,2),且a=b-c,求点A的坐标 解：b=(-9,12),c=(-2,2), .b-c=(-7,10),即a=(-7,10)=AE. 又B(1,0),设点A的坐标为(x), 则AB-(1-x,y)=(-7,10), 10-60 即点A的坐标为(8，-10). 10.已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立平面直角坐标系，如图所示i是x轴正方向上的单 位向量j是y轴正方向上的单位向量，试求AC和BD的坐标. A(O)1 解由长方形ABCD知，CB⊥x轴，CDLy轴，因为AB=4,AD=3,所以AC=4i+3j,所以AC(4,3) 又BD=BA+AD=-AB+AD 所以BD=-4i+3j,所以BD=(-4,3) 11.在平面直角坐标系中，向量a,b,c的方向如图所示，且a=2,bl=3,1c=4,分别求出它们的坐 标
答案(-3,-5) 解析𝐵𝐶⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(1,3)-(2,4)=(-1,-1), 𝐵𝐷⃗ ⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5). 7.已知点 A(3,-4)与 B(-1,2),点 P 在直线 AB 上,且|𝐴𝑃⃗⃗⃗ |=|𝑃𝐵⃗⃗⃗ |,则点 P 的坐标为 . 答案(1,-1) 解析设点 P 的坐标为(x,y). 由题意知,当点 P 在线段 AB 上时,𝐴𝑃⃗⃗⃗ = 𝑃𝐵⃗⃗⃗ . ∴(x-3,y+4)=(-1-x,2-y), ∴{ 𝑥-3 = -1-𝑥, 𝑦 + 4 = 2-𝑦,解得{ 𝑥 = 1, 𝑦 = -1. ∴P 点坐标为(1,-1); 当 P 在线段 AB 延长线上时,𝐴𝑃⃗⃗⃗ =-𝑃𝐵⃗⃗⃗ , ∴(x-3,y+4)=-(-1-x,2-y), ∴{ 𝑥-3 = 1 + 𝑥, 𝑦 + 4 = -2 + 𝑦, 此时无解. 综上所述,点 P 的坐标为(1,-1). 8.作用于原点的两个力 F1=(1,1),F2=(2,3),为使它们平衡,需加力 F3= . 答案(-3,-4) 解析由题意可知 F1+F2+F3=0, 故 F3=-F1-F2=-(1,1)-(2,3)=(-3,-4). 9.已知 a=𝐴𝐵⃗⃗⃗ ,点 B 的坐标为(1,0),b=(-9,12),c=(-2,2),且 a=b-c,求点 A 的坐标. 解∵b=(-9,12),c=(-2,2), ∴b-c=(-7,10),即 a=(-7,10)=𝐴𝐵⃗⃗⃗ . 又 B(1,0),设点 A 的坐标为(x,y), 则𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(1-x,-y)=(-7,10), ∴{ 1-𝑥 = -7, -𝑦 = 10, ∴ { 𝑥 = 8, 𝑦 = -10, 即点 A 的坐标为(8,-10). 10.已知长方形 ABCD 的长为 4,宽为 3,建立平面直角坐标系,如图所示.i 是 x 轴正方向上的单 位向量,j 是 y 轴正方向上的单位向量,试求𝐴𝐶⃗⃗ 和𝐵𝐷⃗ ⃗ 的坐标. 解由长方形 ABCD 知,CB⊥x 轴,CD⊥y 轴,因为 AB=4,AD=3,所以𝐴𝐶⃗⃗ =4i+3j,所以𝐴𝐶⃗⃗ =(4,3). 又𝐵𝐷⃗ ⃗ = 𝐵𝐴⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ =-𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ , 所以𝐵𝐷⃗ ⃗ =-4i+3j,所以𝐵𝐷⃗ ⃗ =(-4,3). 11.在平面直角坐标系中,向量 a,b,c 的方向如图所示,且|a|=2,|b|=3,|c|=4,分别求出它们的坐 标
☑段a=(a,a2,b-(b1,b2,c=(c1,2， 期a-aeos45”-2号=V2.-asn45°-2号=z b1-bcos120°=3X-2=2b2=Ibsin120°=3x9=3y9 Ga=-l-30°)4×9-2V3,a=csin-30°)4×2=2 故a2,2.b-5.c-2v3-2 拓展提高 1.对于向量m-(x1,n),n=(x2,2),定义m⑧n=(x1x2,2)已知a=(2,-4),且a+b=a⑧b,那么向量b 等于() A(2,) B(2) c(2) D(2) 含案A 爵翻围设b-由新定义及a+b=®b,可得2+x42x4所以江解得三子 y-4=-4y, y= 所以向量b(2) 2.己知A(-3,0),B0,2),0为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC=45°，设0C=0A+(1-)0E(1 ∈R),则1的值为( A时 B时 c号 D 答案 解析如图所示，因为∠AOC=45°，所以设C(x,x,则O元-(x,-x). ◆y 又430，B02所以1-以0远322所以-22a解得号 3.已知点A(1,1),B经)且AE-(sina,cos),aB∈（受），则a+f= 含或
解设 a=(a1,a2),b=(b1,b2),c=(c1,c2), 则 a1=|a|cos 45°=2× √2 2 = √2,a2=|a|sin 45°=2× √2 2 = √2, b1=|b|cos 120°=3×(- 1 2 )=- 3 2 ,b2=|b|sin 120°=3× √3 2 = 3√3 2 , c1=|c|cos(-30°)=4× √3 2 =2√3,c2=|c|sin(-30°)=4×(- 1 2 )=-2. 故 a=(√2,√2),b=(- 3 2 , 3√3 2 ),c=(2√3,-2). 拓展提高 1.对于向量 m=(x1,y1),n=(x2,y2),定义 m⊗n=(x1x2,y1y2).已知 a=(2,-4),且 a+b=a⊗b,那么向量 b 等于( ). A.(2, 4 5 ) B.(-2,- 4 5 ) C.(2,- 4 5 ) D.(-2, 4 5 ) 答案 A 解析设 b=(x,y),由新定义及 a+b=a⊗b,可得(2+x,y-4)=(2x,-4y),所以{ 2 + 𝑥 = 2𝑥, 𝑦-4 = -4𝑦, 解得{ 𝑥 = 2, 𝑦 = 4 5 , 所以向量 b=(2, 4 5 ). 2.已知 A(-3,0),B(0,2),O 为坐标原点,点 C 在∠AOB 内,且∠AOC=45°,设⃗𝑂𝐶⃗⃗ =λ𝑂𝐴⃗⃗⃗ +(1-λ)𝑂⃗⃗⃗𝐵⃗ (λ ∈R),则 λ 的值为( ). A. 1 5 B. 1 3 C. 2 5 D. 2 3 答案 C 解析如图所示,因为∠AOC=45°,所以设 C(x,-x),则⃗𝑂𝐶⃗⃗ =(x,-x). 又 A(-3,0),B(0,2),所以 λ𝑂𝐴⃗⃗⃗ +(1-λ)𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =(-3λ,2-2λ),所以{ 𝑥 = -3𝜆, -𝑥 = 2-2𝜆, 解得 λ= 2 5 . 3.已知点 A(1,1),B( 1 2 , 3 2 ),且𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(sin α,cos β),α,β∈(- π 2 , π 2 ),则 α+β= . 答案π 6或- π 2
解韧国为正=（2)-((sin acs, 所以sina=2cosB-月 又aB∈(2)，所以a=5B号或 所以a+B君或受 4.己知O是坐标原点，点A在第二象限，OA=2,∠xOA=150°，则向量0A的坐标 为 窨案-v3,1) 解韧设0m,对m-0eos150°-2X( ）-V3,n=0Asin150°=2×号=l,故O丽的坐标 为(-V3,1) 5.若向量a=(2x-1,x2+3x-3)与AB相等，己知A(1,3),B(2,4),则a= 答案1,1)1 解析：AE-(2,4)-(1,3)=(1,1), 又AE=a=(2x-1,x2+3x-3), =1得1 6.己知点A(-1,2),B2,8)及AC=AB,DA=-BA,求点C,D和CD的坐标 圍设点Cx1),D,2), 由题意可得AC=(x1+11-2),AE-(3,6),DA=(-1-,2-2),BA=(-3,-6). AC=AB,DA--BA (x1+11-2)=(3,6),(-1-x2,2-2)=(3,6), 6品 6解4 :点C,D的坐标分别为(2,8)和(-4,4)， .:CD=(-6,-12) 7.已知0是△4BC内一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设0A=a,0元=b,0C=c,且 1a=2,b=1,lc=3,试用a,b表示c 解如图，以O为原点，向量0丽所在的直线为x轴建立平面直角坐标系. 15 00 因为a=2,所以a=(2,0) 设b=-n,则=cs150°=1×（男-n=sin150-1号=所以b-(号，引 同理可得-(3)
解析因为𝐴𝐵⃗⃗⃗ = (- 1 2 , 1 2 )=(sin α,cos β), 所以 sin α=- 1 2 ,cos β= 1 2 . 又 α,β∈(- π 2 , π 2 ),所以 α=- π 6 ,β= π 3 或- π 3 , 所以 α+β= π 6或- π 2 . 4.已知 O 是坐标原点,点 A 在第二象限,|𝑂𝐴⃗⃗⃗ |=2,∠xOA=150°,则向量𝑂𝐴⃗⃗⃗ 的坐标 为 . 答案(-√3,1) 解析设𝑂𝐴⃗⃗⃗ =(m,n),则 m=|𝑂𝐴⃗⃗⃗ |cos 150°=2×(- √3 2 )=-√3,n=|𝑂𝐴⃗⃗⃗ |sin 150°=2× 1 2 =1,故𝑂𝐴⃗⃗⃗ 的坐标 为(-√3,1). 5.若向量 a=(2x-1,x 2+3x-3)与𝐴𝐵⃗⃗⃗ 相等,已知 A(1,3),B(2,4),则 a= ,x= . 答案(1,1) 1 解析∵𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(2,4)-(1,3)=(1,1), 又𝐴𝐵⃗⃗⃗ =a=(2x-1,x 2+3x-3), ∴{ 2𝑥-1 = 1, 𝑥 2 + 3𝑥-3 = 1, 解得 x=1. 6.已知点 A(-1,2),B(2,8)及𝐴𝐶⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗ , 𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗ =-𝐵𝐴⃗⃗⃗ ,求点 C,D 和𝐶𝐷⃗⃗⃗ 的坐标. 解设点 C(x1,y1),D(x2,y2), 由题意可得𝐴𝐶⃗⃗ =(x1+1,y1-2),𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(3,6),𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗ =(-1-x2,2-y2),𝐵𝐴⃗⃗⃗ =(-3,-6). ∵𝐴𝐶⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗ ,𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗ =-𝐵𝐴⃗⃗⃗ , ∴(x1+1,y1-2)=(3,6),(-1-x2,2-y2)=(3,6), 由{ 𝑥1 + 1 = 3, 𝑦1 -2 = 6, 解得{ 𝑥1 = 2, 𝑦1 = 8. 由{ -1-𝑥2 = 3, 2-𝑦2 = 6, 解得{ 𝑥2 = -4, 𝑦2 = -4. ∴点 C,D 的坐标分别为(2,8)和(-4,-4), ∴𝐶𝐷⃗⃗⃗ =(-6,-12). 7.已知 O 是△ABC 内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设𝑂𝐴⃗⃗⃗ =a,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =b,⃗𝑂𝐶⃗⃗ =c,且 |a|=2,|b|=1,|c|=3,试用 a,b 表示 c. 解如图,以 O 为原点,向量𝑂𝐴⃗⃗⃗ 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系. 因为|a|=2,所以 a=(2,0). 设 b=(x1,y1),则 x1=|b|cos 150°=1×(- √3 2 )=- √3 2 ,y1=|b|sin 150°=1× 1 2 = 1 2 ,所以 b=(- √3 2 , 1 2 ). 同理可得 c=(- 3 2 ,- 3√3 2 )
设c=a+b2a∈R),所以（是）-i2,0+(9司)=(2a112.) 1=-3, 所以 ,=9 所以c=-3a-3V3b. 挑战创新 己知点0(0,0)，A(1,2) (1)若B(31+1,31+2),0丽=0+AB,则1为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二 象限？ (2)若点B(4,5),P1+31,2+31),则四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出1的值；若不能，请 说明理由. 解1)因为00,0)，4(1,2)，B31+1,31+2,所以A正-(31,30，所以0=O+ 丽=(1,2)+31,30）(1+31,2+3)，若点P在x轴上，则2+31=0，解得1=子 若点P在y轴上，则1+31=0，解得1= 苦点P在第二泉限则8牛358 解得子号 (2)0A=(1,2),PB=(3-31,3-310. 若四边形OABP为平行四边形，则OA=P, 中侣3二2该方根组无解 故四边形OABP不能成为平行四边形
设 c=λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),所以(- 3 2 ,- 3√3 2 )=λ1(2,0)+λ2(- √3 2 , 1 2 ) = (2𝜆1 - √3 2 𝜆2 , 1 2 𝜆2 ), 所以{ 2𝜆1 - √3 2 𝜆2 = - 3 2 , 1 2 𝜆2 = - 3√3 2 , 解得{ 𝜆1 = -3, 𝜆2 = -3√3. 所以 c=-3a-3√3b. 挑战创新 已知点 O(0,0),A(1,2). (1)若 B(3t+1,3t+2),𝑂𝑃⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗ ,则 t 为何值时,点 P 在 x 轴上?点 P 在 y 轴上?点 P 在第二 象限? (2)若点 B(4,5),P(1+3t,2+3t),则四边形 OABP 能为平行四边形吗?若能,求出 t 的值;若不能,请 说明理由. 解(1)因为 O(0,0),A(1,2),B(3t+1,3t+2),所以𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(3t,3t),所以𝑂𝑃⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗ =(1,2)+(3t,3t)=(1+3t,2+3t),若点 P 在 x 轴上,则 2+3t=0,解得 t=- 2 3 ; 若点 P 在 y 轴上,则 1+3t=0,解得 t=- 1 3 ; 若点 P 在第二象限,则{ 1 + 3𝑡 0, 解得- 2 3 <t<- 1 3 . (2)𝑂𝐴⃗⃗⃗ =(1,2),𝑃𝐵⃗⃗⃗ =(3-3t,3-3t). 若四边形 OABP 为平行四边形,则𝑂𝐴⃗⃗⃗ = 𝑃𝐵⃗⃗⃗ , 即{ 3-3𝑡 = 1, 3-3𝑡 = 2, 该方程组无解. 故四边形 OABP 不能成为平行四边形