第2课时圆柱、圆锥、圆台、球 与简单组合体的结构特征 课后·训练提升 1将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括( A.一个圆台、两个圆锥 B两个圆柱、一个圆锥 C两个圆台、一个圆柱 D.一个圆柱、两个圆锥 答案D 解桐将等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，如图所示。 矩形绕其一边所在直线旋转一周得到圆柱，直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周得 到圆锥，因此，将该等腰梯形绕它的较长的底边所在直线旋转一周，得到的几何体包括一个圆 柱、两个圆锥」 2.下列说法正确的是(). A.圆锥的母线长等于底面圆直径 B.圆柱的母线与轴垂直 C.圆台的母线与轴平行 D.球的直径必过球心 含案D 3.已知某圆台一个底面的面积为36元，母线长为5，圆台的高为2v√6，则此圆台另一个底面的半 径为() A.5或13 B.7或9 C.5或7 D.9 含案 解析如图，圆台的轴截面为等腰梯形，易知AD=5,DE=2V6,则AE=1. D 由题意，可知一个底面的直径为12，若CD=12,则另一个底面的半径为7；若AB=12,则另一个 底面的半径为5.故选C 4.(多选题)如图，关于该组合体的结构特征，有以下几种说法，其中说法正确的是(). A由一个长方体挖去一个四棱柱所构成的 B.由一个长方体与两个四棱柱组合而成的 C.由一个长方体挖去一个四棱台所构成的 D.由一个长方体与两个四棱台组合而成的 答案AB
第 2 课时 圆柱、圆锥、圆台、球 与简单组合体的结构特征 课后· 1.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周,所得的几何体包括( ). A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆柱、一个圆锥 C.两个圆台、一个圆柱 D.一个圆柱、两个圆锥 答案 D 解析将等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形,如图所示. 矩形绕其一边所在直线旋转一周得到圆柱,直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周得 到圆锥,因此,将该等腰梯形绕它的较长的底边所在直线旋转一周,得到的几何体包括一个圆 柱、两个圆锥. 2.下列说法正确的是( ). A.圆锥的母线长等于底面圆直径 B.圆柱的母线与轴垂直 C.圆台的母线与轴平行 D.球的直径必过球心 答案 D 3.已知某圆台一个底面的面积为 36π,母线长为 5,圆台的高为 2√6,则此圆台另一个底面的半 径为( ). A.5 或 13 B.7 或 9 C.5 或 7 D.9 答案 C 解析如图,圆台的轴截面为等腰梯形,易知 AD=5,DE=2√6,则 AE=1. 由题意,可知一个底面的直径为 12,若 CD=12,则另一个底面的半径为 7;若 AB=12,则另一个 底面的半径为 5.故选 C. 4.(多选题)如图,关于该组合体的结构特征,有以下几种说法,其中说法正确的是( ). A.由一个长方体挖去一个四棱柱所构成的 B.由一个长方体与两个四棱柱组合而成的 C.由一个长方体挖去一个四棱台所构成的 D.由一个长方体与两个四棱台组合而成的 答案 AB
解析如图，该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成，也可以由一个长方体与两个四 棱柱组合而成故选项AB正确 去四棱柱 补上四梭柱 5.一个半径为5cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4cm,则截面圆面积为 cm2. 答案m 解析设截面圆半径为rcm,则户+42=52，所以=3.所以截面圆面积为9πcm2. 6.如图，已知圆锥SO中，底面半径r=1,母线长I=4,M为母线S4上的一个点，且SM=x,从点M 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A,则绳子的最短长度的平方x)= 答案2+16(0≤x≤4) 解桐如图，将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，则该图为扇形，且孤A4'的长度L就是圆O的周 长，所以L-2m-2元所以∠4SM片=受 由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM,其值为AM=Vx2+16(0≤x≤4)】 所以x)=AP=x2+16(0≤x≤4). 7.己知一个圆锥的底面半径为2，高为6，且有一个高为x的圆柱内接于该圆锥 (1)用x表示出圆柱的轴截面的面积S, (2)当x为何值时，S取得最大值？ 解设圆柱的底面半径为上，作出圆锥和内接圆柱的轴截面，如图所示 由三角形相似，可得芹=艺 解得r-25x∈(0,6， (圆柱的轴藏面的面积S-2rx-+4x,x∈(0,6)
解析如图,该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成,也可以由一个长方体与两个四 棱柱组合而成.故选项 AB 正确. 5.一个半径为 5 cm 的球,被一平面所截,球心到截面圆心的距离为 4 cm,则截面圆面积为 cm2 . 答案 9π 解析设截面圆半径为 r cm,则 r 2+4 2=5 2 ,所以 r=3.所以截面圆面积为 9π cm2 . 6.如图,已知圆锥 SO 中,底面半径 r=1,母线长 l=4,M 为母线 SA 上的一个点,且 SM=x,从点 M 拉一根绳子,围绕圆锥侧面转到点 A,则绳子的最短长度的平方 f(x)= . 答案 x 2+16(0≤x≤4) 解析如图,将圆锥的侧面沿 SA 展开在平面上,则该图为扇形,且弧 AA'的长度 L 就是圆 O 的周 长,所以 L=2πr=2π,所以∠ASM=𝐿 𝑙 = π 2 . 由题意知绳子长度的最小值为展开图中的 AM,其值为 AM=√𝑥 2 + 16(0≤x≤4). 所以 f(x)=AM2=x2+16(0≤x≤4). 7.已知一个圆锥的底面半径为 2,高为 6,且有一个高为 x 的圆柱内接于该圆锥. (1)用 x 表示出圆柱的轴截面的面积 S; (2)当 x 为何值时,S 取得最大值? 解设圆柱的底面半径为 r,作出圆锥和内接圆柱的轴截面,如图所示. 由三角形相似,可得𝑥 6 = 2-𝑟 2 , 解得 r=2- 𝑥 3 ,x∈(0,6). (1)圆柱的轴截面的面积 S=2r·x=- 2 3 x 2+4x,x∈(0,6)
(2)因为S=学2+4x=x-3+6, 所以当x=3时，S取得最大值，最大值为6. 8.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392cm2,母线与轴的夹 角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面的半径 解圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面的半径分别为xcm,3xcm,延长A4交00，的 延长线于点S,在Rt△S0A中，∠AS0=45°，则∠S4O=45°， 所以S0=A0=3x,S01=A1O1=x,则001=2x 又S4减克6x+2x)2x=392,得x=7. 所以圆台的高OO1=14cm, 母线长1=V2001=14V2cm, 两底面的半径分别为7cm,21cm. 9.圆台上底面面积为元，下底面面积为16π，用一个平行于底面的平面去截圆台，该平面自上而 下分圆台的高的比为2：1，求这个截面的面积 解圆台的轴截面如图所示，01,02,03分别为上底面、下底面、裁面的圆心 HO. 过点D作DH⊥AB于点H,交EF于点G 由题意知DO1=1,AO2=4,:AH=3. 'DG=2GH...DH=3GH. 骆=%=G=2 .:截面圆的半径为3. .:这个截面面积为9元
(2)因为 S=- 2 3 x 2+4x=- 2 3 (x-3)2+6, 所以当 x=3 时,S 取得最大值,最大值为 6. 8.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,轴截面的面积等于 392 cm2 ,母线与轴的夹 角是 45°,求这个圆台的高、母线长和两底面的半径. 解圆台的轴截面如图所示,设圆台上、下底面的半径分别为 x cm,3x cm,延长 AA1 交 OO1 的 延长线于点 S,在 Rt△SOA 中,∠ASO=45°,则∠SAO=45°, 所以 SO=AO=3x,SO1=A1O1=x,则 OO1=2x. 又 S 轴截面= 1 2 (6x+2x)·2x=392,得 x=7. 所以圆台的高 OO1=14 cm, 母线长 l=√2OO1=14√2 cm, 两底面的半径分别为 7 cm,21 cm. 9.圆台上底面面积为 π,下底面面积为 16π,用一个平行于底面的平面去截圆台,该平面自上而 下分圆台的高的比为 2∶1,求这个截面的面积. 解圆台的轴截面如图所示,O1,O2,O3 分别为上底面、下底面、截面的圆心. 过点 D 作 DH⊥AB 于点 H,交 EF 于点 G. 由题意知 DO1=1,AO2=4,∴AH=3. ∵DG=2GH,∴DH=3GH, ∴ 𝐸𝐺 𝐴𝐻 = 𝐷𝐺 𝐷𝐻 = 2 3 ,∴EG=2. ∴截面圆的半径为 3. ∴这个截面面积为 9π