7.1.1数系的扩充和复数的概念 课后·训练提升 基础巩固 1.下列说法： ①若a+bi=0,则a=b=0: ②x+yi=2+2i台x=y=2; ③若y∈R,且(2-1)-(1)i=-0,则y=1. 其中正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 客案B 解析①，②错误，即α，x不一定是复数的实部，b,y不一定是复数的虚部；③正确，因为y∈R,所以 1,01)是实数，所以由复数相等的条件得21=0。解得 (-(y-1)=0, 2.若复数=(m+2)+(m2-9)i(m∈R)是正实数，则实数m的值为(). A.-2 B.3 C.-3 D.#3 答案B 解祠由题意，得m29二0。解得m=3,故选B (m+2>0. 3.“a=-2”是“复数z=(a2.4)+(a+1)i(a,b∈R)为纯虚数”的() A充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案A 解析h=-2时，z=(22.4)+(-2+1)i=-i,是纯虚数z为纯虚数时，24-0，且a+10,即a=士2 所以由“a=2”可以推出“为纯虚数”，反之不成立 故选A 4.复数=2-b2+(a+la)i(a,b∈R)为实数的充要条件是(). A.lal=bl B.a0,且a时b D.a≤0 答案D 解析复数：为实数的充要条件是a+lal=0,即a≤0. 5.若复数=2-3+2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为 答案1或-3 解析由题意，可知2-3+2a=0,解得a=1或a=-3 6.若(m2-1)+(m2-2m)i>1,则实数m的值为 答案上 解祠由题意，得m2m三0，解得m=2 m2.1>1, 7.己知1=-3-4i,22=(2-3m-1)+(2-m-6)i(m,n∈R),且1=22，则m= 答案2 图团白题意，得61子解件子2 n2-m-6=-4
7.1.1 数系的扩充和复数的概念 课后· 基础巩固 1.下列说法: ①若 a+bi=0,则 a=b=0; ②x+yi=2+2i⇔x=y=2; ③若 y∈R,且(y 2 -1)-(y-1)i=0,则 y=1. 其中正确的个数为( ). A.0 B.1 C.2 D.3 答案 B 解析①,②错误,即 a,x 不一定是复数的实部,b,y 不一定是复数的虚部;③正确,因为 y∈R,所以 y 2 -1,-(y-1)是实数,所以由复数相等的条件得{ 𝑦 2 -1 = 0, -(𝑦-1) = 0, 解得 y=1. 2.若复数 z=(m+2)+(m2 -9)i(m∈R)是正实数,则实数 m 的值为( ). A.-2 B.3 C.-3 D.±3 答案 B 解析由题意,得{ 𝑚2 -9 = 0, 𝑚 + 2 > 0, 解得 m=3,故选 B. 3.“a=-2”是“复数 z=(a 2 -4)+(a+1)i(a,b∈R)为纯虚数”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 a=-2 时,z=(22 -4)+(-2+1)i=-i,是纯虚数;z 为纯虚数时,a 2 -4=0,且 a+1≠0,即 a=±2. 所以由“a=2”可以推出“z 为纯虚数”,反之不成立. 故选 A. 4.复数 z=a2 -b 2+(a+|a|)i(a,b∈R)为实数的充要条件是( ). A.|a|=|b| B.a0,且 a≠b D.a≤0 答案 D 解析复数 z 为实数的充要条件是 a+|a|=0,即 a≤0. 5.若复数 z=a2 -3+2ai 的实部与虚部互为相反数,则实数 a 的值为 . 答案 1 或-3 解析由题意,可知 a 2 -3+2a=0,解得 a=1 或 a=-3. 6.若(m2 -1)+(m2 -2m)i>1,则实数 m 的值为 . 答案 2 解析由题意,得{ 𝑚2 -2𝑚 = 0, 𝑚2 -1 > 1, 解得 m=2. 7.已知 z1=-3-4i,z2=(n 2 -3m-1)+(n 2 -m-6)i(m,n∈R),且 z1=z2,则 m= ,n= . 答案 2 ±2 解析由题意,得{ 𝑛 2 -3𝑚-1 = -3, 𝑛 2 -𝑚-6 = -4, 解得{ 𝑚 = 2, 𝑛 = ±2
8.在下列说法中，正确的个数为 ①若x是实数，则x可能不是复数 ②若：是虚数，则：不是实数： ③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零： ④若a,b∈R,且a>b,则a+i>b+i 答案 解析实数是复数，故①错误，②正确；复数为纯虚数的充要条件是实部为零，且虚部不为零，故③ 错误；两个虚数不能比较大小，故④错误 9.(1)已知2x-1+0y+1)i=x-y+(-x-yi,求实数x,y的值； (2)已知x:6+(2-2x-3)i=0,求实数x的值 x+1 解1)：xy∈R 由复教相￥，可得化1解化3之 y+1=-x-y, (2)x∈R :由题意可得 6=0,解得x=3. x+1 x2-2x-3=0, 10.己知m为实数，复数（㎡+m-6i+m二：7m求当m为何值时： m+3 (1)z是实数？ (2)是虚数？ (3)上是纯虚数？ 图1)油m2十m6=0,解得m=2 m+3≠0， 故当m=2时，是实数 (2②{m2十m6≠0解得m2,且mt-3 (m+3≠0， 故当m2,且m时-3时，z是虚数， m2+m-6≠0. (3)由m+3≠0，解得m=3或m=4 (m2-7m+12=0, 故当m=3或m=4时，：是纯虚数 拓展提高 1.(多选题)下列说法正确的是( A.1+i2=0 B.若a,b,c∈R,且a>b,则c+ai>c+bi C若xy∈C,且x2+y2=0,则x=y=0 D.两个虚数不能比较大小 答案AD 解析对于A,国为P=-1,所以1+P=0,故A正确对于B,两个虚数不能比较大小，故B错对于 C,当x=1,y=i时，x2+y2=0也成立，故C错.D正确. 2.已知复数1=a+2i,2=3+(2-7)i,a∈R若1=22，则a=()
8.在下列说法中,正确的个数为 . ①若 x 是实数,则 x 可能不是复数; ②若 z 是虚数,则 z 不是实数; ③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零; ④若 a,b∈R,且 a>b,则 a+i>b+i. 答案 1 解析实数是复数,故①错误;②正确;复数为纯虚数的充要条件是实部为零,且虚部不为零,故③ 错误;两个虚数不能比较大小,故④错误. 9.(1)已知 2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i,求实数 x,y 的值; (2)已知𝑥 2 -𝑥-6 𝑥+1 +(x 2 -2x-3)i=0,求实数 x 的值. 解(1)∵x,y∈R, ∴由复数相等,可得{ 2𝑥-1 = 𝑥-𝑦, 𝑦 + 1 = -𝑥-𝑦, 解得{ 𝑥 = 3, 𝑦 = -2. (2)∵x∈R, ∴由题意可得{ 𝑥 2 -𝑥-6 𝑥+1 = 0, 𝑥 2 -2𝑥-3 = 0, 解得 x=3. 10.已知 m 为实数,复数 z=(m2+m-6)i+ 𝑚2 -7𝑚+12 𝑚+3 ,求当 m 为何值时: (1)z 是实数? (2)z 是虚数? (3)z 是纯虚数? 解(1)由{ 𝑚2 + 𝑚-6 = 0, 𝑚 + 3 ≠ 0, 解得 m=2. 故当 m=2 时,z 是实数. (2)由{ 𝑚2 + 𝑚-6 ≠ 0, 𝑚 + 3 ≠ 0, 解得 m≠2,且 m≠-3. 故当 m≠2,且 m≠-3 时,z 是虚数. (3)由{ 𝑚2 + 𝑚-6 ≠ 0, 𝑚 + 3 ≠ 0, 𝑚2 -7𝑚 + 12 = 0, 解得 m=3 或 m=4. 故当 m=3 或 m=4 时,z 是纯虚数. 拓展提高 1.(多选题)下列说法正确的是( ). A.1+i 2=0 B.若 a,b,c∈R,且 a>b,则 c+ai>c+bi C.若 x,y∈C,且 x 2+y2=0,则 x=y=0 D.两个虚数不能比较大小 答案 AD 解析对于 A,因为 i 2=-1,所以 1+i 2=0,故 A 正确.对于 B,两个虚数不能比较大小,故 B 错.对于 C,当 x=1,y=i 时,x 2+y2=0 也成立,故 C 错.D 正确. 2.已知复数 z1=a+2i,z2=3+(a 2 -7)i,a∈R,若 z1=z2,则 a=( )
A.2 B.3 C.-3 D.9 答案B 图团阳为气片以827解得3 3.己知关于x的方程x2+mx=-2+(2x+2)i(m∈R)有实数根n,且=m+i,则复数：等于() A.3+i B.3-i C.-3-i D.-3+i 答案B 解析由题意，可知㎡+mn=-2+(2n+2)i, +202得到子 4.若复数z1=sin20+icos0,2=cos0+iV3sin0(0∈R),z1=2,则0等于(). A.kπ(k∈Z B.2kr+k∈Z C.2mk∈Z四 D.2km+k∈Z) 答案D 解杨由题意，可知Sin28=cos0, cos0 =v3sine, cos0-sn0-月 .:0-g+2k,k∈Z 5.已知1(-4a+1)+(22+3a)i,32=2a+(a2+ai,其中a∈R若z1>22,则a的取值集合 为 答案0， 解析：1>2， 2a2+3a=0, a2+a=0, -4a+1>2a. 解得a=0. 故a的取值集合为0} 6.已知复数1=m2+1+(m3+3m2+2m)i,2=4m-2+(m2-5m)i,m为实数.若1为实数，32为虚数，则m 的取值集合为 靥案-1，-2 解桐：21为实数，2为虚数 m十3m2+2m=0解得m=1支m=-2 m2.5m≠0， :m的取值集合为{-1，-2} 7.设复数=log2(m2-3m-3)+ilog2(3-m),m∈R,若z是纯虚数，求m的值. m2-3m-3>0 解由题意得 3-m>0. l0g2(m2-3m-3)=0, log2(3-m)≠0. 解得m=-1
A.2 B.3 C.-3 D.9 答案 B 解析因为 z1=z2,所以{ 𝑎 = 3, 2 = 𝑎 2 -7, 解得 a=3. 3.已知关于 x 的方程 x 2+mx=-2+(2x+2)i(m∈R)有实数根 n,且 z=m+ni,则复数 z 等于( ). A.3+i B.3-i C.-3-i D.-3+i 答案 B 解析由题意,可知 n 2+mn=-2+(2n+2)i, ∴{ 𝑛 2 + 𝑚𝑛 = -2, 2𝑛 + 2 = 0, 解得{ 𝑚 = 3, 𝑛 = -1. ∴z=3-i. 4.若复数 z1=sin 2θ+icos θ,z2=cos θ+i√3sin θ(θ∈R),z1=z2,则 θ 等于( ). A.kπ(k∈Z) B.2kπ+ π 3 (k∈Z) C.2kπ± π 6 (k∈Z) D.2kπ+ π 6 (k∈Z) 答案 D 解析由题意,可知{ sin2𝜃 = cos𝜃, cos𝜃 = √3sin𝜃, ∴cos θ= √3 2 ,sin θ= 1 2 . ∴θ= π 6 +2kπ,k∈Z. 5.已知 z1=(-4a+1)+(2a 2+3a)i,z2=2a+(a 2+a)i,其中 a∈R.若 z1>z2,则 a 的取值集合 为 . 答案{0} 解析∵z1>z2, ∴{ 2𝑎 2 + 3𝑎 = 0, 𝑎 2 + 𝑎 = 0, -4𝑎 + 1 > 2𝑎, 解得 a=0. 故 a 的取值集合为{0}. 6.已知复数 z1=m2+1+(m3+3m2+2m)i,z2=4m-2+(m2 -5m)i,m 为实数.若 z1 为实数,z2 为虚数,则 m 的取值集合为 . 答案{-1,-2} 解析∵z1 为实数,z2 为虚数, ∴{ 𝑚3 + 3𝑚2 + 2𝑚 = 0, 𝑚2 -5𝑚 ≠ 0, 解得 m=-1 或 m=-2. ∴m 的取值集合为{-1,-2}. 7.设复数 z=log2(m2 -3m-3)+ilog2(3-m),m∈R,若 z 是纯虚数,求 m 的值. 解由题意得 { 𝑚2 -3𝑚-3 > 0, 3-𝑚 > 0, log2 (𝑚2 -3𝑚-3) = 0, log2 (3-𝑚) ≠ 0. 解得 m=-1
挑战创新 已知集合M={(a+3)+(b2-1)i,8},N={3i,(a2-1)+(b+2)i},M∩N≠0，求整数a,b的值. 解由题意，得(a+3)+(62-1)i-31, ① 或8=(c2-1)+b+2)i ② 或(a+3)+(b2-1)i=(a2-1)+(b+2)i ③ 由①得a=-3,b=±2. 由②得a=±3，b=-2. 由③得α，b无整数解，不特合题意 经检验，a=-3,b=2或a=-3,b=-2或a=3,b=-2均满足题意. 故a=-3,b=2或a=-3,b=-2或a=3,b=-2
挑战创新 已知集合 M={(a+3)+(b 2 -1)i,8},N={3i,(a 2 -1)+(b+2)i},M∩N≠⌀,求整数 a,b 的值. 解由题意,得(a+3)+(b 2 -1)i=3i, ① 或 8=(a 2 -1)+(b+2)i, ② 或(a+3)+(b 2 -1)i=(a 2 -1)+(b+2)i. ③ 由①得 a=-3,b=±2. 由②得 a=±3,b=-2. 由③得 a,b 无整数解,不符合题意. 经检验,a=-3,b=2 或 a=-3,b=-2 或 a=3,b=-2 均满足题意. 故 a=-3,b=2 或 a=-3,b=-2 或 a=3,b=-2