《高中数学》全程设计训练题库（A版必修第二册，课后习题，含答案）第6章平面向量及其应用_6.2.2 向量的减法运算.docx_大学文库

6.2.2 向量的减法运算课后· 基础巩固 1.在平行四边形 ABCD 中,下列结论错误的是( ). A.𝐴𝐵⃗⃗⃗ − 𝐷𝐶⃗⃗⃗ =0 B.𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ − 𝐵𝐴⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗ C.𝐴𝐵⃗⃗⃗ − 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐷⃗ ⃗ D.𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐵⃗⃗⃗ =0 答案 C 解析因为四边形 ABCD 是平行四边形, 所以𝐴𝐵⃗⃗⃗ = 𝐷𝐶⃗⃗⃗ ,𝐴𝐵⃗⃗⃗ − 𝐷𝐶⃗⃗⃗ =0,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ − 𝐵𝐴⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗ ,𝐴𝐵⃗⃗⃗ − 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ = 𝐷𝐵⃗ ⃗ ,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐵⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗ =0,故只有 C 中结论错误. 2.在△ABC 中,𝐵𝐶⃗⃗⃗ =a,𝐶𝐴⃗⃗ =b,则𝐴𝐵⃗⃗⃗ 等于( ). A.a+b B.-a+(-b) C.a-b D.b-a 答案 B 解析如图,𝐴𝐵⃗⃗⃗ =-𝐶𝐴⃗⃗ +(-𝐵𝐶⃗⃗⃗ )=-b-a. 3.(多选题)下列各式中能化简为𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ 的是( ). A.(𝐴𝐵⃗⃗⃗ − 𝐷𝐶⃗⃗⃗ )-𝐶𝐵⃗⃗⃗ B.𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ -(𝐶𝐷⃗⃗⃗ + 𝐷𝐶⃗⃗⃗ ) C.-(𝐶𝐵⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶 ⃗⃗⃗ )-(𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗ ) D.-𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗ − 𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗ 答案 ABC 解析选项 A 中,(𝐴𝐵⃗⃗⃗ − 𝐷𝐶⃗⃗⃗ )-𝐶𝐵⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ ;选项 B 中,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ - (𝐶𝐷⃗⃗⃗ + 𝐷𝐶⃗⃗⃗ )=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ -0=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ ;选项 C 中,-(𝐶𝐵⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶 ⃗⃗⃗ )-(𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗ )=-𝐶𝐵⃗⃗⃗ − 𝑀𝐶 ⃗⃗⃗ − 𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗ − 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗ + 𝐶𝑀⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗ =(𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗ + 𝐶𝑀⃗⃗⃗ )+𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ ;选项 D 中,-𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗ − 𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗ = 𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗ =2𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ . 4.(多选题)若 a,b 为非零向量,则下列结论正确的是( ). A.若|a|+|b|=|a+b|,则 a 与 b 方向相同 B.若|a|+|b|=|a-b|,则 a 与 b 方向相反 C.若|a|+|b|=|a-b|,则|a|=|b| D.若||a|-|b||=|a-b|,则 a 与 b 方向相同答案 ABD 解析对于选项 A,若|a|+|b|=|a+b|,则 a 与 b 方向相同,结论正确;对于选项 B,若|a|+|b|=|a-b|,则 a 与 b 方向相反,结论正确;对于选项 C,若|a|+|b|=|a-b|,则 a 与 b 方向相反,但 a 与 b 的模不一定相等,结论错误;对于选项 D,若||a|-|b||=|a-b|,则 a 与 b 方向相同,结论正确. 5.如图,在四边形 ABCD 中,设𝐴𝐵⃗⃗⃗ =a,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ =b,𝐵𝐶⃗⃗⃗ =c,则𝐷𝐶⃗⃗⃗ 等于( )

A.a-b+c B.b-(a+c) C.a+b+c D.b-a+c 答案 A 解析由题意可知,𝐷𝐶⃗⃗⃗ = 𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗ =-b+a+c.故选 A. 6.如图,在△ABC 中,若 D 是边 BC 的中点,E 是边 AB 上一点,则𝐵𝐸⃗⃗⃗ − 𝐷𝐶⃗⃗⃗ + 𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗ = . 答案 0 解析因为 D 是边 BC 的中点,所以𝐵𝐸⃗⃗⃗ − 𝐷𝐶⃗⃗⃗ + 𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐸⃗⃗⃗ + 𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗ − 𝐷𝐶⃗⃗⃗ = 𝐵𝐷⃗ ⃗ − 𝐷𝐶⃗⃗⃗ =0. 7.已知𝑂𝐴⃗⃗⃗ =a,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =b,若|𝑂𝐴⃗⃗⃗ |=12,|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ |=5,且∠AOB=90°,则|a-b|= . 答案 13 解析∵|𝑂𝐴⃗⃗⃗ |=12,|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ |=5,∠AOB=90°, ∴|𝑂𝐴⃗⃗⃗ | 2+|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ | 2=|𝐴𝐵⃗⃗⃗ | 2 , ∴|𝐴𝐵⃗⃗⃗ |=13. ∵𝑂𝐴⃗⃗⃗ =a,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =b, ∴a-b=𝑂𝐴⃗⃗⃗ − 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ = 𝐵𝐴⃗⃗⃗ , ∴|a-b|=|𝐵𝐴⃗⃗⃗ |=13. 8.设 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外,且|𝐵𝐶⃗⃗⃗ |=4,|𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗ |=|𝐴𝐵⃗⃗⃗ − 𝐴𝐶⃗⃗ |,则 |𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ |= . 答案 2 解析以 AB,AC 为邻边作平行四边形 ACDB(图略),由向量加减法几何意义可知,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗ , 𝐶𝐵⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗ − 𝐴𝐶⃗⃗ . ∵|𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗ |=|𝐴𝐵⃗⃗⃗ − 𝐴𝐶⃗⃗ |, ∴|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ |=|𝐶𝐵⃗⃗⃗ |. 又|𝐵𝐶⃗⃗⃗ |=4,M 是线段 BC 的中点, ∴|𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ |=1 2 |𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ |=1 2 |𝐵𝐶⃗⃗⃗ |=2. 9.如图,已知向量 a,b,c,求作向量 a-b-c. 解方法一:先作 a-b,再作 a-b-c 即可. 如图①所示,以 A 为起点分别作向量𝐴𝐵⃗⃗⃗ 和𝐴𝐶⃗⃗ ,使𝐴𝐵⃗⃗⃗ =a,𝐴𝐶⃗⃗ =b.连接 CB,得向量𝐶𝐵⃗⃗⃗ =a-b,再以 C 为起点作向量𝐶𝐷⃗⃗⃗ ,使𝐶𝐷⃗⃗⃗ =c,连接 DB,得向量𝐷𝐵⃗ ⃗ .则向量𝐷𝐵⃗ ⃗ 即为所求作的向量 a-b-c

方法二:先作-b,-c,再作 a+(-b)+(-c),如图②. 作𝐴𝐵⃗⃗⃗ =-b,𝐵𝐶⃗⃗⃗ =-c; 作𝑂𝐴⃗⃗⃗ =a,连接 OC,则⃗𝑂𝐶⃗⃗ =a-b-c. 10.设 O 是△ABC 内一点,且𝑂𝐴⃗⃗⃗ =a,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =b,⃗𝑂𝐶⃗⃗ =c,若以线段 OA,OB 为邻边作平行四边形,第四个顶点为 D,再以线段 OC,OD 为邻边作平行四边形,第四个顶点为 H.试用 a,b,c 表示 𝐷𝐶⃗⃗⃗ ,𝑂𝐻⃗⃗ ⃗ ,𝐵𝐻⃗⃗ . 解由题意可知四边形 OADB 为平行四边形, ∴𝑂𝐷⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =a+b, ∴𝐷𝐶⃗⃗⃗ = ⃗𝑂𝐶⃗⃗ − 𝑂𝐷⃗⃗ =c-(a+b)=c-a-b. 又四边形 ODHC 为平行四边形, ∴𝑂𝐻⃗⃗ ⃗ = ⃗𝑂𝐶⃗⃗ + 𝑂𝐷⃗⃗ =c+a+b, ∴𝐵𝐻⃗⃗ = 𝑂𝐻⃗⃗ ⃗ − 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =c+a+b-b=a+c. 拓展提高 1.平面内有四边形 ABCD 和点 O,若𝑂𝐴⃗⃗⃗ +⃗𝑂𝐶⃗⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐷⃗⃗ ,则四边形 ABCD 的形状是( ). A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.菱形答案 B 解析因为𝑂𝐴⃗⃗⃗ +⃗𝑂𝐶⃗⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐷⃗⃗ ,所以𝑂𝐴⃗⃗⃗ − 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐷⃗⃗ − ⃗𝑂𝐶⃗⃗ ,即𝐵𝐴⃗⃗⃗ = 𝐶𝐷⃗⃗⃗ ,所以 AB CD,故四边形 ABCD 是平行四边形. 2.若|𝐴𝐵⃗⃗⃗ |=5,|𝐴𝐶⃗⃗ |=8,则|𝐵𝐶⃗⃗⃗ |的取值范围是( ). A.[3,8] B.(3,8) C.[3,13] D.(3,13) 答案 C 解析∵|𝐵𝐶⃗⃗⃗ |=|𝐴𝐶⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗ |,且||𝐴𝐶⃗⃗ |-|𝐴𝐵⃗⃗⃗ ||≤|𝐴𝐶⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗ |≤|𝐴𝐶⃗⃗ |+|𝐴𝐵⃗⃗⃗ |. ∴3≤|𝐴𝐶⃗⃗ − 𝐴𝐵⃗⃗⃗ |≤13,即 3≤|𝐵𝐶⃗⃗⃗ |≤13. 3.已知平面上有三点 A,B,C,设 m=𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗ ,n=𝐴𝐵⃗⃗⃗ − 𝐵𝐶⃗⃗⃗ ,若 m,n 的长度恰好相等,则有( ). A.A,B,C 三点必在同一条直线上 B.△ABC 必为等腰三角形,且∠B 为顶角 C.△ABC 必为直角三角形,且∠B=90° D.△ABC 必为等腰直角三角形答案 C 解析∵m=𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗ ,n=𝐴𝐵⃗⃗⃗ − 𝐵𝐶⃗⃗⃗ ,m 与 n 的长度相等, ∴|𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗ |=|𝐴𝐵⃗⃗⃗ − 𝐵𝐶⃗⃗⃗ |. 以 AB,BC 为邻边作平行四边形 ABCD(图略),则𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗ ,𝐴𝐵⃗⃗⃗ − 𝐵𝐶⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗ − 𝐴⃗⃗⃗𝐷⃗ = 𝐷𝐵⃗ ⃗ , ∴𝐴𝐶⃗⃗ = 𝐷𝐵⃗ ⃗ ,平行四边形 ABCD 为矩形,则△ABC 为直角三角形,∠ABC=90°. 4.(多选题)对于菱形 ABCD,下列各式中正确的是( ). A.𝐴𝐵⃗⃗⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗

B.|𝐴𝐵⃗⃗⃗ |=|𝐵𝐶⃗⃗⃗ | C.|𝐴𝐵⃗⃗⃗ − 𝐶𝐷⃗⃗⃗ |=|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗ | D.|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗ |=|𝐶𝐷⃗⃗⃗ − 𝐶𝐵⃗⃗⃗ | 答案 BCD 解析如图,在菱形 ABCD 中,|𝐴𝐵⃗⃗⃗ |=|𝐵𝐶⃗⃗⃗ |,∴B 中式子正确. 又|𝐴𝐵⃗⃗⃗ − 𝐶𝐷⃗⃗⃗ |=|𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐷𝐶⃗⃗⃗ |=|𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗ |=2|𝐴𝐵⃗⃗⃗ |, |𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗ |=|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ |=2|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ |=2|𝐴𝐵⃗⃗⃗ |, ∴C 中式子正确; |𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗ |=|𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗ + 𝐷𝐶⃗⃗⃗ |=|𝐷𝐵⃗ ⃗ |,|𝐶𝐷⃗⃗⃗ − 𝐶𝐵⃗⃗⃗ |=|𝐵𝐷⃗ ⃗ |=|𝐷𝐵⃗ ⃗ |, ∴D 中式子正确;A 中式子不正确,故选 BCD. 5.已知|𝑂𝐴⃗⃗⃗ |=a,|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ |=b(a>b),|𝐴𝐵⃗⃗⃗ |的取值范围是[5,15],则 a= ,b= . 答案 10 5 解析因为 a-b=||𝑂𝐴⃗⃗⃗ |-|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ ||≤|𝑂𝐴⃗⃗⃗ − 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ |=|𝐴𝐵⃗⃗⃗ |≤|𝑂𝐴⃗⃗⃗ |+|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ |=a+b,又|𝐴𝐵⃗⃗⃗ |的取值范围是[5,15], 所以{ 𝑎 + 𝑏 = 15, 𝑎-𝑏 = 5, 解得{ 𝑎 = 10, 𝑏 = 5. 6.在△ABC 中,已知|𝐴𝐵⃗⃗⃗ |=|𝐵𝐶⃗⃗⃗ |=|𝐶𝐴⃗⃗ |=1,则|𝐴𝐵⃗⃗⃗ − 𝐵𝐶⃗⃗⃗ |= . 答案√3 解析由题设条件知△ABC 是边长为 1 的等边三角形,且𝐵𝐴⃗⃗⃗ 与𝐵𝐶⃗⃗⃗ 的夹角是 60°. 如图,延长 CB 到点 D,使 CB=BD,连接 AD. 在△ABD 中,AB=BD=1,∠ABD=120°,𝐴𝐵⃗⃗⃗ − 𝐵𝐶⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐶𝐵⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐵𝐷⃗ ⃗ = 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ . 易求得 AD=√3,即|𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ |=√3.故|𝐴𝐵⃗⃗⃗ − 𝐵𝐶⃗⃗⃗ |=√3. 7.已知△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=90°,M 是斜边 AB 的中点,𝐶𝑀⃗⃗⃗ =a,𝐶𝐴⃗⃗ =b.求证:(1)|ab|=|a|; (2)|a+(a-b)|=|b|. 证明因为△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB=90°, 所以 CA=CB. 又点 M 是斜边 AB 的中点, 所以 CM=AM=BM. (1)因为𝐶𝑀⃗⃗⃗ − 𝐶𝐴⃗⃗ = 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ =a-b, 又|𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗ |=|𝐶𝑀⃗⃗⃗ |,所以|a-b|=|a|

《高中数学》全程设计训练题库（A版必修第二册，课后习题，含答案）第6章 平面向量及其应用_6.2.2 向量的减法运算

《高中数学》全程设计训练题库（A版必修第二册，课后习题，含答案）第6章平面向量及其应用_6.2.2 向量的减法运算