10.1.2事件的关系和运算 课后·训练提升 基础巩固 1若干个人站成一排，其中为互斥事件的是() A.“甲站排头”与“乙站排头” B.“甲站排头”与“乙不站排尾” C.“甲站排头”与“乙站排尾” D.“甲不站排头”与“乙不站排尾” 答案A 解桐事件A与事件B互斥，其含义是事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生“甲 站排头”与“乙站排头”不可能同时发生 2.(多选题)下列各组事件中，是互斥事件的是(). A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6 B.统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分 C.播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒 D.检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70% 答案ACD 解析对于选项B,设事件A1=“平均分不低于90分”，事件A2=“平均分不高于90分”，则 A几42=“平均分等于90分”，A1,4k可能同时发生，故它们不是互斥事件.而选项A,C,D中的事 件显然都是互斥事件 3.给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则( A.A≤B B.A2B C.A与B互斥 D.A与B互为对立事件 答案 解析显然事件A与B不能同时发生，但又不一定非要发生一个，有可能都不发生，故A与B为 互斥事件，但不是互为对立事件 4袋中装有黑、白两种颜色的球（除颜色外其余均相同）各三个，现从中取出两个球，设事件 P-“取出的两球都是黑球”，事件Q=“取出的两球都是白球”，事件R=“取出的两球中至少有一 个黑球”则下列结论正确的是()， A.P与R互斥 B.Q与R互斥 C.任何两个都互斥D.任何两个均不互斥 答案B 解析袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球，取球的结果共有以下几种：① 取出的两球都是黑球，②陬出的两球都是白球；③陬出的两球一黑一白，事件R包括①③两种 情况，因此事件P包含于事件R,故A中结论不正确；事件Q与事件R互斥且对立，故B中结 论正确；因为事件P包含于事件R,故C中结论不正确；事件P与事件Q互斥，故D中结论不 正确
10.1.2 事件的关系和运算 课后· 基础巩固 1.若干个人站成一排,其中为互斥事件的是( ). A.“甲站排头”与“乙站排头” B.“甲站排头”与“乙不站排尾” C.“甲站排头”与“乙站排尾” D.“甲不站排头”与“乙不站排尾” 答案 A 解析事件 A 与事件 B 互斥,其含义是事件 A 与事件 B 在任何一次试验中都不会同时发生.“甲 站排头”与“乙站排头”不可能同时发生. 2.(多选题)下列各组事件中,是互斥事件的是( ). A.一个射手进行一次射击,命中环数大于 8 与命中环数小于 6 B.统计一个班的数学成绩,平均分不低于 90 分与平均分不高于 90 分 C.播种 100 粒菜籽,发芽 90 粒与发芽 80 粒 D.检验某种产品,合格率高于 70%与合格率低于 70% 答案 ACD 解析对于选项 B,设事件 A1=“平均分不低于 90 分”,事件 A2=“平均分不高于 90 分”,则 A1∩A2=“平均分等于 90 分”,A1,A2 可能同时发生,故它们不是互斥事件.而选项 A,C,D 中的事 件显然都是互斥事件. 3.给出事件 A 与 B 的关系示意图,如图所示,则( ). A.A⊆B B.A⊇B C.A 与 B 互斥 D.A 与 B 互为对立事件 答案 C 解析显然事件 A 与 B 不能同时发生,但又不一定非要发生一个,有可能都不发生,故 A 与 B 为 互斥事件,但不是互为对立事件. 4.袋中装有黑、白两种颜色的球(除颜色外其余均相同)各三个,现从中取出两个球,设事件 P=“取出的两球都是黑球”,事件 Q=“取出的两球都是白球”,事件 R=“取出的两球中至少有一 个黑球”.则下列结论正确的是( ). A.P 与 R 互斥 B.Q 与 R 互斥 C.任何两个都互斥 D.任何两个均不互斥 答案 B 解析袋中装有黑、白两种颜色的球各三个,现从中取出两个球,取球的结果共有以下几种:① 取出的两球都是黑球;②取出的两球都是白球;③取出的两球一黑一白.事件 R 包括①③两种 情况,因此事件 P 包含于事件 R,故 A 中结论不正确;事件 Q 与事件 R 互斥且对立,故 B 中结 论正确;因为事件 P 包含于事件 R,故 C 中结论不正确;事件 P 与事件 Q 互斥,故 D 中结论不 正确
5.有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方 向前进，每人一个方向.事件“甲向南”与事件“乙向南”是() A.互斥但非对立事件 B.对立事件 C.相互独立事件 D.以上都不对 含案A 解桐因为每人一个方向，所以事件“甲向南”与事件“乙向南”不可以同时发生，所以两事件为互 斥事件但是，若事件“甲向南”与事件“乙向南”都不成立，则丙或丁也有可能向南走，因此事件 “甲向南”与事件“乙向南”不是对立事件. 6.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A={两次都击中飞机}，B={两次都 没击中飞机}，C={恰有一次击中飞机}，D={至少有一次击中飞机}.下列关系不正确的是 () A.ACD B.BOD=0 C.AUC=D D.AUB=BUD 答案D 解析分别用x1,2表示第一次和第二次的击中情况，则可能的结果用(1,2)表示进一步地，用0 表示没有击中飞机，用1表示击中飞机，则 A={(1,1)},B={(0,0),C={(0,1),(1,0),D={0,1),(1,0),(1,1)},因此A二D,故A中关系正确； B∩D={(0,0)}∩{(0,1)，(1,0)，(1,1)}=o,故B中关系正确： AUC={(1,1)}U{(0,1),(1,0)}={(0,1),(1,0).(1,1)}=D,故C中关系正确； AUB={(1,1)}U{0,0)}={0,0),(1,1)},BUD={0,0)}U {(0,1),(1,0),(1,1)}={(0,0).(0,1),(1,0),(1,1)}4UB,故D中关系不正确. 7.同时抛掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子的点数和可能是2,3,4，…，11,12中的一个，事件 A={2,5,7},事件B={2,4,6,8,10,12,那么AUB= A∩B= 答案2,4,5,67,8,10,12}{5,7} 解析：事件A={2,5,7},事件B={2,4,6,8,10,12}, .AUB={2,4,5,67,8,10,12},B={3,5,7,9,11},A∩B={5,7}. 8.加工某一个零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序出现次品分别为事件A,B,C,且各 道工序互不影响，则事件“加工出来的零件为合格品”表示为 答案BC 解桐加工出来的零件为合格品是指每道工序都没有出现次品，故记为A阝C, 9.设A,B,C为三个事件，说明下列各式所表示的意义， (1)ABC; (2)AUBUC; (3)AB CUABC UABC. 解1)事件A的对立事件与事件B,C同时发生： (2)事件A,B,C都未发生： (3)事件A,B,C中恰有一个发生 拓展提高 1.(多选题)抛掷一枚质地均匀的骰子，观察掷出的点数，设事件A=“出现奇数点”，事件B=“出 现2点”，事件C=“出现奇数点或2点”，则下列关系成立的是() A.ACC B.A∩B=O C.AUB=C D.BnC=0 答案ABC 解析易知AUB=C,B∩C=B,所以选项A,B,C中关系成立，选项D中关系不成立
5.有一个游戏,其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方 向前进,每人一个方向.事件“甲向南”与事件“乙向南”是( ). A.互斥但非对立事件 B.对立事件 C.相互独立事件 D.以上都不对 答案 A 解析因为每人一个方向,所以事件“甲向南”与事件“乙向南”不可以同时发生,所以两事件为互 斥事件.但是,若事件“甲向南”与事件“乙向南”都不成立,则丙或丁也有可能向南走,因此事件 “甲向南”与事件“乙向南”不是对立事件. 6.对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设 A={两次都击中飞机},B={两次都 没击中飞机},C={恰有一次击中飞机},D={至少有一次击中飞机}.下列关系不正确的是 ( ). A.A⊆D B.B∩D=⌀ C.A∪C=D D.A∪B=B∪D 答案 D 解析分别用 x1,x2 表示第一次和第二次的击中情况,则可能的结果用(x1,x2)表示.进一步地,用 0 表示没有击中飞机,用 1 表示击中飞机,则 A={(1,1)},B={(0,0)},C={(0,1),(1,0)},D={(0,1),(1,0),(1,1)},因此 A⊆D,故 A 中关系正确; B∩D={(0,0)}∩{(0,1),(1,0),(1,1)}=⌀,故 B 中关系正确; A∪C={(1,1)}∪{(0,1),(1,0)}={(0,1),(1,0),(1,1)}=D,故 C 中关系正确; A∪B={(1,1)}∪{(0,0)}={(0,0),(1,1)},B∪D={(0,0)}∪ {(0,1),(1,0),(1,1)}={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}≠A∪B,故 D 中关系不正确. 7.同时抛掷两枚质地均匀的骰子,两枚骰子的点数和可能是 2,3,4,…,11,12 中的一个,事件 A={2,5,7},事件 B={2,4,6,8,10,12},那么 A∪B= ,A∩𝐵= . 答案{2,4,5,6,7,8,10,12} {5,7} 解析∵事件 A={2,5,7},事件 B={2,4,6,8,10,12}, ∴A∪B={2,4,5,6,7,8,10,12},𝐵={3,5,7,9,11},∴A∩𝐵={5,7}. 8.加工某一个零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序出现次品分别为事件 A,B,C,且各 道工序互不影响,则事件“加工出来的零件为合格品”表示为 . 答案𝐴 𝐵 𝐶 解析加工出来的零件为合格品是指每道工序都没有出现次品,故记为𝐴 𝐵 𝐶. 9.设 A,B,C 为三个事件,说明下列各式所表示的意义. (1)𝐴BC; (2)𝐴⋃𝐵⋃𝐶; (3)A𝐵 𝐶 ∪ 𝐴𝐵𝐶 ∪ 𝐴 𝐵C. 解(1)事件 A 的对立事件与事件 B,C 同时发生; (2)事件 A,B,C 都未发生; (3)事件 A,B,C 中恰有一个发生. 拓展提高 1.(多选题)抛掷一枚质地均匀的骰子,观察掷出的点数,设事件 A=“出现奇数点”,事件 B=“出 现 2 点”,事件 C=“出现奇数点或 2 点”,则下列关系成立的是( ). A.A⊆C B.A∩B=⌀ C.A∪B=C D.B∩C=⌀ 答案 ABC 解析易知 A∪B=C,B∩C=B,所以选项 A,B,C 中关系成立,选项 D 中关系不成立
2.任意抛掷两枚质地均匀的硬币，记事件A=“恰好一枚正面朝上”，事件B=“恰好两枚正面朝 上”，事件C=“恰好两枚反面朝上”，事件D=“至少一枚正面朝上”，事件E-“至多一枚正面朝 上”，则下列事件为对立事件的是( AA与B B.C与D C.B与C D.C与E 答案B 解析在选项A中，事件A与事件B不能同时发生，但能同时不发生，是互斥但不对立事件，故A 错误； 在选项B中，事件C与事件D既不能同时发生，也不能同时不发生，是对立事件，故B正确； 在选项C中，事件B与事件C不能同时发生，但能同时不发生，是互斥但不对立事件，故C错 误， 在选项D中，事件C与事件E能同时发生，不是对立事件，故D错误 3.抛掷一枚质地均匀的骰子，若随机事件A=“出现奇数点”，则A的对立事件B表示 答案出现偶数点 解析抛掷一枚质地均匀的骰子，结果只有2种：出现奇数点、出现偶数点。 若随机事件A表示“出现奇数点”，则A的对立事件B表示“出现偶数点” 4.抛掷一枚质地均匀的骰子，记A=“点数为6”，B=“点数为偶数点”，则A∩B表示的含义 为】 案点数为6 解析因为抛掷一枚般子点数为偶数的有2,4,6共3个可能的基本结果，所以 AnB={6}n{2,4,6}={6} 5.从100件产品中抽查10件产品，记事件A=“至少3件次品”，则A的对立事件 是 答案至多2件次品 解桐从100件产品中抽查10件产品，记事件A为“至少3件次品”，根据对立事件的定义，事件 和它的对立事件不会同时发生，且它们的和事件为必然事件，故事件A的对立事件为“至多2 件次品” 6.如图，事件A=“甲元件正常”，事件B=“乙元件正常”，事件C-“丙元件正常”，则AUBUC表示 的含义为 :0BnC表示的含义为 答案电路工作正常电路工作不正常 7.一箱产品中有正品4件，次品3件，从中任取2件，下列四组事件： ①恰有一件次品和恰有两件次品； ②至少有一件次品和全是次品： ③至少有一件正品和至少有一件次品； ④至少有一件次品和全是正品 其中两个事件互斥的组是 (填序号) 答案①④ 解桐因为从一箱产品中任取2件，观察正品件数和次品件数，其中正品、次品都多于2件，所 以事件“恰有一件次品”和事件“恰有两件次品”是互斥事件，事件“至少有一件次品”和事件“全 是正品”是互斥事件，所以①④是互斥事件
2.任意抛掷两枚质地均匀的硬币,记事件 A=“恰好一枚正面朝上”,事件 B=“恰好两枚正面朝 上”,事件 C=“恰好两枚反面朝上”,事件 D=“至少一枚正面朝上”,事件 E=“至多一枚正面朝 上”,则下列事件为对立事件的是( ). A.A 与 B B.C 与 D C.B 与 C D.C 与 E 答案 B 解析在选项 A 中,事件 A 与事件 B 不能同时发生,但能同时不发生,是互斥但不对立事件,故 A 错误; 在选项 B 中,事件 C 与事件 D 既不能同时发生,也不能同时不发生,是对立事件,故 B 正确; 在选项 C 中,事件 B 与事件 C 不能同时发生,但能同时不发生,是互斥但不对立事件,故 C 错 误; 在选项 D 中,事件 C 与事件 E 能同时发生,不是对立事件,故 D 错误. 3.抛掷一枚质地均匀的骰子,若随机事件 A=“出现奇数点”,则 A 的对立事件 B 表示 . 答案出现偶数点 解析抛掷一枚质地均匀的骰子,结果只有 2 种:出现奇数点、出现偶数点. 若随机事件 A 表示“出现奇数点”,则 A 的对立事件 B 表示“出现偶数点”. 4.抛掷一枚质地均匀的骰子,记 A=“点数为 6”,B=“点数为偶数点”,则 A∩B 表示的含义 为 . 答案点数为 6 解析因为抛掷一枚骰子点数为偶数的有 2,4,6 共 3 个可能的基本结果,所以 A∩B={6}∩{2,4,6}={6}. 5.从 100 件产品中抽查 10 件产品,记事件 A=“至少 3 件次品”,则 A 的对立事件 是 . 答案至多 2 件次品 解析从 100 件产品中抽查 10 件产品,记事件 A 为“至少 3 件次品”,根据对立事件的定义,事件 和它的对立事件不会同时发生,且它们的和事件为必然事件,故事件 A 的对立事件为“至多 2 件次品”. 6.如图,事件 A=“甲元件正常”,事件 B=“乙元件正常”,事件 C=“丙元件正常”,则 A∪B∪C 表示 的含义为 ;𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶表示的含义为 . 答案电路工作正常 电路工作不正常 7.一箱产品中有正品 4 件,次品 3 件,从中任取 2 件,下列四组事件: ①恰有一件次品和恰有两件次品; ②至少有一件次品和全是次品; ③至少有一件正品和至少有一件次品; ④至少有一件次品和全是正品. 其中两个事件互斥的组是 (填序号). 答案①④ 解析因为从一箱产品中任取 2 件,观察正品件数和次品件数,其中正品、次品都多于 2 件,所 以事件“恰有一件次品”和事件“恰有两件次品”是互斥事件,事件“至少有一件次品”和事件“全 是正品”是互斥事件,所以①④是互斥事件
8.某连锁火锅店开业之际，为吸引更多的消费者，开展抽奖活动，前20名顾客可参加如下活动： 如图，摇动游戏转盘（每个扇形的圆心角都相等），顾客可以免费获得指针所指区域的数字10 倍金额的店内菜品或饮品，最高120元，每人只能参加一次这个活动.记事件A=“获得不多于 30元菜品或饮品” 17 (1)求事件A包含的样本点： (2)写出事件A的对立事件以及一个事件A的互斥事件 圈1)事件A包含的样本点为获得10元莱品或饮品，获得20元莱品或饮品，获得30元莱品或 饮品 (2)事件A的对立事件是A-“获得多于30元但不多于120元莱品或饮品”， 事件A的一个互斥事件为“获得40元莱品或饮品” 挑战创新 从学号分别为1,2,3,4,5,6的六名同学中选出一名同学担任班长，其中1,3,5号同学为男 生，2,4,6号同学为女生，记：C1=“选出1号同学”，C2=“选出2号同学”，C3=“选出3号同 学”，C4-“选出4号同学”，C3-“选出5号同学”，C6=“选出6号同学”，D1=“选出的同学学号不大 于1”，D2=“选出的同学学号大于4”，D3=“选出的同学学号小于6”，E=“选出的同学学号小于 7”,F=“选出的同学学号大于6”，G=“选出的同学学号为偶数”，H=“选出的同学学号为奇数”据 此回答下列问题： (1)如果事件C发生，则一定有哪些事件发生？ (2)如果事件H发生，则哪些事件可能发生？在集合中，事件H与这些事件之间有何关系？ (3)两个事件的交事件为不可能事件，在上述事件中能找出这样的例子吗？ 解1)如果事件C发生，则事件D1,D,E,H一定发生. (2)事件C1,C3,C可能发生，H=CUC3UC5. (3)能，如：事件C和事件C2;事件C3和事件C4等等
8.某连锁火锅店开业之际,为吸引更多的消费者,开展抽奖活动,前 20 名顾客可参加如下活动: 如图,摇动游戏转盘(每个扇形的圆心角都相等),顾客可以免费获得指针所指区域的数字 10 倍金额的店内菜品或饮品,最高 120 元,每人只能参加一次这个活动.记事件 A=“获得不多于 30 元菜品或饮品”. (1)求事件 A 包含的样本点; (2)写出事件 A 的对立事件以及一个事件 A 的互斥事件. 解(1)事件 A 包含的样本点为获得 10 元菜品或饮品,获得 20 元菜品或饮品,获得 30 元菜品或 饮品. (2)事件 A 的对立事件是𝐴=“获得多于 30 元但不多于 120 元菜品或饮品”, 事件 A 的一个互斥事件为“获得 40 元菜品或饮品”. 挑战创新 从学号分别为 1,2,3,4,5,6 的六名同学中选出一名同学担任班长,其中 1,3,5 号同学为男 生,2,4,6 号同学为女生,记:C1=“选出 1 号同学”,C2=“选出 2 号同学”,C3=“选出 3 号同 学”,C4=“选出 4 号同学”,C5=“选出 5 号同学”,C6=“选出 6 号同学”,D1=“选出的同学学号不大 于 1”,D2=“选出的同学学号大于 4”,D3=“选出的同学学号小于 6”,E=“选出的同学学号小于 7”,F=“选出的同学学号大于 6”,G=“选出的同学学号为偶数”,H=“选出的同学学号为奇数”.据 此回答下列问题: (1)如果事件 C1 发生,则一定有哪些事件发生? (2)如果事件 H 发生,则哪些事件可能发生?在集合中,事件 H 与这些事件之间有何关系? (3)两个事件的交事件为不可能事件,在上述事件中能找出这样的例子吗? 解(1)如果事件 C1 发生,则事件 D1,D3,E,H 一定发生. (2)事件 C1,C3,C5 可能发生,H=C1∪C3∪C5. (3)能,如:事件 C1 和事件 C2;事件 C3 和事件 C4 等等