第2课时： 零点的存在性及其近似值的求 法 课后·训练提升 基础巩固 1.下列函数不宜用二分法求零点的是() A.f(x)=x3-1 Bx)=-x2+3 C./x)=x2+2v2x+2 Dx)=-x2+4x-1 解析：，x)=x2+2V2xr+2=(x+V②≥0， ∴.x)=x2+2V2x+2不宜用二分法求零点 答案：C 2.己知函数x)的图象是连续不断的，且有如下的x,x)的对应值表： 1 2 B 4 x) 136.136 15.552 3.92 10.88 5 x) -52.488 -232.064 11.238 由表可知，函数x)存在零点的区间有( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析：由题表可知，23)<0,3)4)<0,45)<0,67)<0，故x)存在零点的区间 有4个 答案D 3.下列关于函数x),x∈[a,b]的说法正确的是() A.若xo∈[a,b],且满足xo)=0,则0是x)的一个零点 B.若xo是x)在区间[a,b]上的零点，则可以用二分法求xo的近似值 C.函数x)的零点是方程x)=0的根，但x)=0的根不一定是函数x)的零点 D.用二分法求方程的根时，得到的都是近似解 解析：使用二分法求函数零点必须满足二分法的使用条件，B不正确：x)=0的根也 一定是函数x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确 解，D不正确，只有A正确. 答案：A 4.用二分法求函数x)在区间（α，b)内的唯一零点时，精确度小于0.001，则结束计算 的条件是()
第 2 课时 零点的存在性及其近似值的求 法 课后· 基础巩固 1.下列函数不宜用二分法求零点的是( ) A.f(x)=x3 -1 B.f(x)=-x 2+3 C.f(x)=x2+2√2x+2 D.f(x)=-x 2+4x-1 解析:∵f(x)=x2+2√2x+2=(x+√2) 2≥0, ∴f(x)=x2+2√2x+2 不宜用二分法求零点. 答案:C 2.已知函数 f(x)的图象是连续不断的,且有如下的 x,f(x)的对应值表: x 1 2 3 4 f(x) 136.136 15.552 -3.92 10.88 x 5 6 7 f(x) -52.488 -232.064 11.238 由表可知,函数 f(x)存在零点的区间有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析:由题表可知,f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)f(5)<0,f(6)f(7)<0,故 f(x)存在零点的区间 有 4 个. 答案:D 3.下列关于函数 f(x),x∈[a,b]的说法正确的是( ) A.若 x0∈[a,b],且满足 f(x0)=0,则 x0 是 f(x)的一个零点 B.若 x0 是 f(x)在区间[a,b]上的零点,则可以用二分法求 x0 的近似值 C.函数 f(x)的零点是方程 f(x)=0 的根,但 f(x)=0 的根不一定是函数 f(x)的零点 D.用二分法求方程的根时,得到的都是近似解 解析:使用二分法求函数零点必须满足二分法的使用条件,B 不正确;f(x)=0 的根也 一定是函数 f(x)的零点,C 不正确;用二分法求方程的根时,得到的也可能是精确 解,D 不正确,只有 A 正确. 答案:A 4.用二分法求函数 f(x)在区间(a,b)内的唯一零点时,精确度小于 0.001,则结束计算 的条件是( )
A.la-bl0.001D.la-bl=0.01 解析：据二分法的步骤知，当区间长度b-不大于2ε时，便可结束计算 答案B 5.在用二分法求函数x)的零点近似值时，第一次取的区间是[-2,4]，则第三次所取 的区间可能是( A.[1,4] B.[-2,1] C.[-22.5] D.[-0.5,1] 解析：因第一次所取的区间是[-2,4]，所以第二次的区间可能是[-2,1]，[1,4]；第三次所 取的区间可能为[-2，-0.5]，[0.5,1]，[1,2.5]，[2.5,4]，故选D 答案D 6.己知二次函数x)=x2-x-6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线，且1)= 60,由函数零点存在定理可知函数x)在区间[1,4]上有零点，用二分法 求零点时，取区间(1,4)的中点a,则a)=」 解析：显然区间(1,4)的中点为2.5，则@)=2.5)=2.52-2.5-6=-2.25. 答案：-2.25 7.用二分法求函数y=x)在区间(2,4)内的零点近似值，验证24)0,∴.x0∈(2,3) 答案：23) 8.在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币（重量稍轻）.现在 只有一台天平，请问：最多需要称 次就可以发现这枚假币 解析：由二分法的原理可得，最多需要称4次 答案4 9试找出一个长度为1的区间，在这个区间上函数)至少有一个零点， 解（答案不唯一）函数)=2的定义城为(0)U(子，+∞)取区间，引 )0)=言0， “在区间服引，函数)至少有一个零点 ,引就是符合条件的一个区间 拓展提高 1.若函数x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考 数据如下表： 1)=-2 1.5)=0.625
A.|a-b|0.001 D.|a-b|=0.01 解析:据二分法的步骤知,当区间长度|b-a|不大于 2ε 时,便可结束计算. 答案:B 5.在用二分法求函数 f(x)的零点近似值时,第一次取的区间是[-2,4],则第三次所取 的区间可能是( ) A.[1,4] B.[-2,1] C.[-2,2.5] D.[-0.5,1] 解析:因第一次所取的区间是[-2,4],所以第二次的区间可能是[-2,1],[1,4];第三次所 取的区间可能为[-2,-0.5],[-0.5,1],[1,2.5],[2.5,4],故选 D. 答案:D 6.已知二次函数 f(x)=x2 -x-6 在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线,且 f(1)=- 60,由函数零点存在定理可知函数 f(x)在区间[1,4]上有零点,用二分法 求零点时,取区间(1,4)的中点 a,则 f(a)= . 解析:显然区间(1,4)的中点为 2.5,则 f(a)=f(2.5)=2.5 2 -2.5-6=-2.25. 答案:-2.25 7.用二分法求函数 y=f(x)在区间(2,4)内的零点近似值,验证 f(2)f(4)0,∴x0∈(2,3). 答案:(2,3) 8.在 26 枚崭新的金币中,混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻).现在 只有一台天平,请问:最多需要称 次就可以发现这枚假币. 解析:由二分法的原理可得,最多需要称 4 次. 答案:4 9.试找出一个长度为 1 的区间,在这个区间上函数 f(x)= 𝑥-1 3𝑥+2至少有一个零点. 解:(答案不唯一)函数 f(x)= 𝑥-1 3𝑥+2的定义域为(-∞,- 2 3 ) ∪ (- 2 3 , + ∞).取区间[ 1 2 , 3 2 ]. ∵f( 1 2 )=- 1 7 0, ∴在区间[ 1 2 , 3 2 ]上,函数 f(x)至少有一个零点. ∴[ 1 2 , 3 2 ]就是符合条件的一个区间. 拓展提高 1.若函数 f(x)=x3+x2 -2x-2 的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考 数据如下表: f(1)=-2 f(1.5)=0.625
1.25F-0.984 1.375)产-0.260 1.43750.162 1.40625)≈-0.054 则方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解（精确度小于0.04）为( A.1.5 B.1.25 C.1.375 D.1.4375 解析：由参考数据知，1.40625)≈-0.054， 1.4375)0.162. 即1.406251.4375)0,则不存在实数c∈(a,b),使得c)=0 B.若ab)0,则有可能存在实数c∈(a,b),使得c)=0 D.若a)b)0,则有可能存在实数c∈(a,b),使 得c)=0,如x)=x2-1几-22)>0，但x)=x2-1在区间(-2,2)内有两个零点，故A 错，C正确 答案：C 3.已知二次函数x)=ar2+bx+c(x∈R,a0)的部分对应值如下表： -3 -2 2 6 m -4 -6 -6 -4 不求a,b,c的值，可以判断方程ar2+bx+c=O(a0)的两根所在的区间是( A.(-3,-1)和(2,4) B.(-3,-1)和(-1,1) C.(-1,1)和(1,2) D.(-00,-3)和(4，+0) 解析：由表格中数据可知-3)(-1)<0， 24)<0. 答案：A 4.已知某方程有一无理根在区间D=(1,3)内，若用二分法求此根的近似值，将D至 少等分 次后，所得近似值精确度小于0.1. 解析：由驶≤0.1，得2-1≥10，则n-1≥4，即n≥5. 答案：5
f(1.25)≈-0.984 f(1.375)≈-0.260 f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈-0.054 则方程 x 3+x2 -2x-2=0 的一个近似解(精确度小于 0.04)为( ) A.1.5 B.1.25 C.1.375 D.1.437 5 解析:由参考数据知,f(1.406 25)≈-0.054, f(1.437 5)≈0.162, 即 f(1.406 25)f(1.437 5)0,则不存在实数 c∈(a,b),使得 f(c)=0 B.若 f(a)f(b)0,则有可能存在实数 c∈(a,b),使得 f(c)=0 D.若 f(a)f(b)0,则有可能存在实数 c∈(a,b),使 得 f(c)=0,如 f(x)=x2 -1,f(-2)f(2)>0,但 f(x)=x2 -1 在区间(-2,2)内有两个零点,故 A 错,C 正确. 答案:C 3.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(x∈R,a≠0)的部分对应值如下表: x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 m -4 -6 -6 -4 n 6 不求 a,b,c 的值,可以判断方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根所在的区间是( ) A.(-3,-1)和(2,4) B.(-3,-1)和(-1,1) C.(-1,1)和(1,2) D.(-∞,-3)和(4,+∞) 解析:由表格中数据可知 f(-3)f(-1)<0, f(2)f(4)<0. 答案:A 4.已知某方程有一无理根在区间 D=(1,3)内,若用二分法求此根的近似值,将 D 至 少等分 次后,所得近似值精确度小于 0.1. 解析:由 3-1 2 𝑛≤0.1,得 2 n-1≥10,则 n-1≥4,即 n≥5. 答案:5
5.若函数x)=x2+ax+b有零点，但不能用二分法求出，则a,b的关系是 解析：，函数x)=x2+ax+b有零，点，但不能用二分法求出， .函数x)=x2+ax+b的图象与x轴相切， ∴.4=a24b=0,∴.a2=4b 答案：a2=4b 6.己知关于x的方程mx2-x-1=0在区间(0,1)内恰有一个解，则实数m的取值范围 是 解析：设x)=mx2-x-1, 关于x的方程mx2-x-1=0在区间(0,1)内恰有一个解 ∴.当m=0时，方程-x-1=0在区间(0,1)内无解，当m≠0时，由0)1)2 答案(2，+∞) 7.求方程x2=2x+1的一个近似解（精确度小于0.1） 解：设x)=x2-2x-1 2)=-10, ∴.在区间(2,3)内，方程x2-2x-1=0有一个解，记为x0. 取区间(2,3)的中点2.5， 2.5)=0.25>0, .20,xo∈(2.375,2.5)： 12.375-2.51=0.1250,1)>0,证明a>0,并利用二分法证明 方程x)=0在区间[0,1]上有两个实根， 证明：.1)）>0， ∴.3a+2b+c>0, 即3(a+b+c)b-2c>0, ,a+b+c=0, ∴.-b-2c>0 则-b-c>c 即a>c
5.若函数 f(x)=x2+ax+b 有零点,但不能用二分法求出,则 a,b 的关系是 . 解析:∵函数 f(x)=x2+ax+b 有零点,但不能用二分法求出, ∴函数 f(x)=x2+ax+b 的图象与 x 轴相切, ∴Δ=a2 -4b=0,∴a 2=4b. 答案:a 2=4b 6.已知关于 x 的方程 mx2 -x-1=0 在区间(0,1)内恰有一个解,则实数 m 的取值范围 是 . 解析:设 f(x)=mx2 -x-1, ∵关于 x 的方程 mx2 -x-1=0 在区间(0,1)内恰有一个解, ∴当 m=0 时,方程-x-1=0 在区间(0,1)内无解,当 m≠0 时,由 f(0)f(1)2. 答案:(2,+∞) 7.求方程 x 2=2x+1 的一个近似解.(精确度小于 0.1) 解:设 f(x)=x2 -2x-1. ∵f(2)=-10, ∴在区间(2,3)内,方程 x 2 -2x-1=0 有一个解,记为 x0. 取区间(2,3)的中点 2.5, ∵f(2.5)=0.25>0, ∴20,x0∈(2.375,2.5); ∵|2.375-2.5|=0.1250,f(1)>0,证明 a>0,并利用二分法证明 方程 f(x)=0 在区间[0,1]上有两个实根. 证明:∵f(1)>0, ∴3a+2b+c>0, 即 3(a+b+c)-b-2c>0. ∵a+b+c=0, ∴-b-2c>0, 则-b-c>c, 即 a>c
.0)>0,∴.c>0,.a>0. 在区间0，]上选取二等分点 则月)=+b+c=a+(a)=01)）>0, )在区间(0，)和（任1）内至少各有一个零点 又x)最多有两个零点，从而方程x)=0在区间[0,1]上有两个实根
∵f(0)>0,∴c>0,∴a>0. 在区间[0,1]上选取二等分点1 2 , 则 f( 1 2 ) = 3 4 a+b+c=3 4 a+(-a)=- 1 4 a0,f(1)>0, ∴f(x)在区间(0, 1 2 )和( 1 2 ,1)内至少各有一个零点. 又 f(x)最多有两个零点,从而方程 f(x)=0 在区间[0,1]上有两个实根