3.1.3 函数的奇偶性 第1课时 函数的奇偶性 课后·训练提升 1,函数)的图象关于( ) Ax轴对称 B.原点对称 Cy轴对称 D.直线y=x对称 解析：由题意知=3工的定义战为[V3,0)U0,V,定义域关于原点对称 =. x)是奇函数，其图象关于原点对称 答案B 2.当n是正整数时，下列函数是偶函数的为( ) A.v=x3 B.y=x C.y=x2n D.y=x2n+l 解析：易判断A,B,D均为奇函数，C是偶函数 答案：C 3.已知函数y=x)+x是偶函数，且2)=1，则-2)=(） A.1 B.0 C.-5 D.5 解析：，函数y=x)+x是偶函数 .当x=士2时，函数值相等 ∴.-2)2=2)+2，.-2)=5 答案D 4.设函数x)=(x+1)(x+a)为偶函数，则a等于( A.1 B.0 C.-1 D.-2 解析：x)为偶函数，儿-1)=1)， 即(-1+1)×(-1+a)=(1+1)×(1+a), ∴.a=-l 答案：C 5.若函数y=xx∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y=x)图象上的是 () A.(a,-fa)) B.(-a,a) C.(-a,-a) D.(a,-a) 解析：，x)为奇函数，-a)=术a), ∴点(-a,a)一定在函数y=x)的图象上 答案B
3.1.3 函数的奇偶性 第 1 课时 函数的奇偶性 课后· 1.函数 f(x)= √3-𝑥 2 𝑥 的图象关于( ) A.x 轴对称 B.原点对称 C.y 轴对称 D.直线 y=x 对称 解析:由题意知 f(x)= √3-𝑥 2 𝑥 的定义域为[-√3,0)∪(0,√3],定义域关于原点对称. ∵f(-x)= √3-𝑥 2 -𝑥 =-f(x), ∴f(x)是奇函数,其图象关于原点对称. 答案:B 2.当 n 是正整数时,下列函数是偶函数的为( ) A.y=x3 B.y=x C.y=x2n D.y=x2n+1 解析:易判断 A,B,D 均为奇函数,C 是偶函数. 答案:C 3.已知函数 y=f(x)+x 是偶函数,且 f(2)=1,则 f(-2)=( ) A.1 B.0 C.-5 D.5 解析:∵函数 y=f(x)+x 是偶函数, ∴当 x=±2 时,函数值相等. ∴f(-2)-2=f(2)+2,∴f(-2)=5. 答案:D 4.设函数 f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数,则 a 等于( ) A.1 B.0 C.-1 D.-2 解析:∵f(x)为偶函数,∴f(-1)=f(1), 即(-1+1)×(-1+a)=(1+1)×(1+a), ∴a=-1. 答案:C 5.若函数 y=f(x)(x∈R)是奇函数,则下列坐标表示的点一定在 y=f(x)图象上的是 ( ) A.(a,-f(a)) B.(-a,-f(a)) C.(-a,-f(-a)) D.(a,f(-a)) 解析:∵f(x)为奇函数,∴f(-a)=-f(a), ∴点(-a,-f(a))一定在函数 y=f(x)的图象上. 答案:B
6.若函数x)=2x+1xa 一为奇函数，则实数a=( B c D.1 解析：函数)的定义城为{x≠之，且x≠ 又x)为奇函数，∴定义域应关于原点对称， ∴a-月 答案A 7.已知函数x)=x5+ax3+bx-8,且-2)=10，则2)等于() A.-26 B.-18 C.-10 D.10 解析：令g(x)=x5+ax3+br,则g(-x)=-gx),即gx)为奇函数 又x)=g(x)8, ∴-2)=g(-2)-8=10,解得g(-2)=18. ∴.g2)=-18 ∴，2)=g2)8=-18-8=-26. 答案：A 8.己知函数x)是定义在R上的奇函数，当x∈(-o,0)时x)=2x3+x2,则 2)= 解析：2)=--2)=-[2×(-2)3+(-2)2]=12 答案：12 9已知函数)是定义在区间1，)内的奇函数则常数m,n的值分别 为 解析：由题意知0)=0，则m=0.由x)是奇函数，得x)=x),即2x x2-nx+1 x2+nx+1 .x2-mx+1=x2+x+1,.n=0. 答案0,0 10.已知函数x)x∈R)是奇函数，且当x>0时x)=2x-1,则函数x)的解析式 为 解析：设x0, ∴-x)=2(-x1=-2x-1. 又x)是奇函数，-x)=x) ∴.x)=2x+1. 又x)x∈R)是奇函数，∴O)=0 2x-1,x>0, “所求函数的解析式为x)= 0,x=0, 2x+1,x0 答案x)= 0,x=0 2x+1,x<0
6.若函数 f(x)= 𝑥 (2𝑥+1)(𝑥-𝑎)为奇函数,则实数 a=( ) A. 1 2 B. 2 3 C. 3 4 D.1 解析:函数 f(x)的定义域为{𝑥 |𝑥 ≠ - 1 2 ,且𝑥 ≠ 𝑎}. 又 f(x)为奇函数,∴定义域应关于原点对称, ∴a= 1 2 . 答案:A 7.已知函数 f(x)=x5+ax3+bx-8,且 f(-2)=10,则 f(2)等于( ) A.-26 B.-18 C.-10 D.10 解析:令 g(x)=x5+ax3+bx,则 g(-x)=-g(x),即 g(x)为奇函数. 又 f(x)=g(x)-8, ∴f(-2)=g(-2)-8=10,解得 g(-2)=18. ∴g(2)=-18. ∴f(2)=g(2)-8=-18-8=-26. 答案:A 8.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x∈(-∞,0)时,f(x)=2x 3+x2 ,则 f(2)= . 解析:f(2)=-f(-2)=-[2×(-2)3+(-2)2 ]=12. 答案:12 9.已知函数 f(x)= 𝑥+𝑚 𝑥 2 +𝑛𝑥+1 是定义在区间(-1,1)内的奇函数,则常数 m,n 的值分别 为 . 解析:由题意知 f(0)=0,则 m=0.由 f(x)是奇函数,得 f(-x)=-f(x),即 -𝑥 𝑥 2 -𝑛𝑥+1 =- 𝑥 𝑥 2 +𝑛𝑥+1 , ∴x 2 -nx+1=x2+nx+1,∴n=0. 答案:0,0 10.已知函数 f(x)(x∈R)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=2x-1,则函数 f(x)的解析式 为 . 解析:设 x0, ∴f(-x)=2(-x)-1=-2x-1. 又 f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)=2x+1. 又 f(x)(x∈R)是奇函数,∴f(0)=0. ∴所求函数的解析式为 f(x)={ 2𝑥-1,𝑥 > 0, 0,𝑥 = 0, 2𝑥 + 1,𝑥 0, 0,𝑥 = 0, 2𝑥 + 1,𝑥 < 0
11.已知函数y=x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程x)=0的所有实根 之和是 解析：因为偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y 轴对称因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所 以四个实根的和为0 答案：0 (x(1-x),x0 -x(1-x),x1. 答案a>1 14.判断函数x)=x+(a为常数)的奇偶性，并证明你的结论. 解x)为奇函数，证明如下 x)的定义域为{xx≠0}. 对于任意0x)-+(x+)x x)为奇函数 15.已知函数x)是R上的奇函数，且当x>0时，x)=x2-x-1. (1)求x)的解析式： (2)作出函数x)的图象（不用列表），并指出它的单调递增区间. 解(1)设x0 所以-x)=(-x)2-(-x)1=x2+x-1 又因为函数x)是奇函数， 所以-x)=x), 所以x)=-x)=-x2-x+1 当x=0时，由0)=0)，得0)=0
11.已知函数 y=f(x)为偶函数,其图象与 x 轴有四个交点,则方程 f(x)=0 的所有实根 之和是 . 解析:因为偶函数的图象关于 y 轴对称,所以偶函数的图象与 x 轴的交点也关于 y 轴对称,因此,四个交点中,有两个在 x 轴的负半轴上,另两个在 x 轴的正半轴上,所 以四个实根的和为 0. 答案:0 12.函数 f(x)={ 𝑥(1-𝑥),𝑥 0 为 函数.(填“奇”或“偶”) 解析:f(x)的定义域关于原点对称, 且 f(-x)={ -𝑥(1 + 𝑥),-𝑥 0 ={ -𝑥(1 + 𝑥),𝑥 > 0 -𝑥(1-𝑥),𝑥 1. 答案:a>1 14.判断函数 f(x)=x+𝑎 𝑥 (a 为常数)的奇偶性,并证明你的结论. 解:f(x)为奇函数,证明如下: f(x)的定义域为{x|x≠0}. 对于任意 x≠0,f(-x)=-x+𝑎 -𝑥 =-(𝑥 + 𝑎 𝑥 )=-f(x). ∴f(x)为奇函数. 15.已知函数 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x2 -x-1. (1)求 f(x)的解析式; (2)作出函数 f(x)的图象(不用列表),并指出它的单调递增区间. 解:(1)设 x0, 所以 f(-x)=(-x) 2 -(-x)-1=x2+x-1. 又因为函数 f(x)是奇函数, 所以 f(-x)=-f(x), 所以 f(x)=-f(-x)=-x 2 -x+1. 当 x=0 时,由 f(0)=-f(0),得 f(0)=0
x2-x-1,x>0, 所以x)=0,x=0, -x2-x+1,x<0 (2)作出函数x)的图象，如图所示 由函数)的图象易得，函数)的单调递增区间为(0，引，且，+∞）
所以 f(x)={ 𝑥 2 -𝑥-1,𝑥 > 0, 0,𝑥 = 0, -𝑥 2 -𝑥 + 1,𝑥 < 0. (2)作出函数 f(x)的图象,如图所示. 由函数 f(x)的图象易得,函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,- 1 2 ],[ 1 2 , + ∞)