第2课时均值不等式的应用 课后·训练提升 基础巩固 1.设x>0y>0,且2+8-1，则y有() A.最大值64 B最小值 C最大值 D.最小值64 解析：1=2+8≥ 16.1 x 2号≤≥64 答案D 2已知>00，且y=4,则当号+取最小值时，x的值为 ) A.1 B.2 C.2 D.2V2 解析号+左≥2网-22 当且仅当杀=六时，等号成立， 即仿益故当x2时等号成立 （xy=4, 答案B 3.已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是() A.3 B.4 c D马 2 析：x+2+2=820, 01,设1=x+>2
第 2 课时 均值不等式的应用 课后· 基础巩固 1.设 x>0,y>0,且 2 𝑥 + 8 𝑦 =1,则 xy 有( ) A.最大值 64 B.最小值 1 64 C.最大值1 2 D.最小值 64 解析:∵1= 2 𝑥 + 8 𝑦 ≥2√ 16 𝑥𝑦 ,∴ 1 𝑥𝑦 ≤ 1 64 ,∴xy≥64. 答案:D 2.已知 x>0,y>0,且 xy=4,则当 𝑥 √𝑦 + 𝑦 √𝑥取最小值时,x 的值为( ) A.1 B.2 C.√2 D.2√2 解析: 𝑥 √𝑦 + 𝑦 √𝑥 ≥2√xy 4 =2√2. 当且仅当 x √y = y √x时,等号成立, 即{ x √y = y √x , xy = 4, 故当 x=y=2 时,等号成立. 答案:B 3.已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是( ) A.3 B.4 C. 9 2 D. 11 2 解析:∵x+2y+2xy=8,∴y= 8-𝑥 2𝑥+2 >0. ∴01,则式子 x+1 𝑥 + 16𝑥 𝑥 2 +1的最小值为( ) A.16 B.8 C.4 D.2 解析:∵x>1,设 t=x+1 𝑥 >2
∴.原式可变为y=14>2V16=8 当且仅当=4>2时，等号成立. 答案B 6.若实数a,b满足+后=Va而，则ab的最小值为) A.V2 B.2 C.2V2 D.4 解析：+号=Va西，得a>0,b>0, 所以v而=+≥2层即ab≥2V2 b ab 当且仅当 +2=ab 即a=2,b=22时，等号成立，所以ab的最小值为2v2 答案：C 7.已知4x+“x>0,a>0)在x=3时取得最小值，则a= 解析：4x+≥2V4a,当且仅当4x=时，等号成立，∴.4x2=a,∴.a=4×32=36 答案36 8设常数a>0,若9x+≥a+1对一切正实数x成立，则a的取值范围 为 解析9x+≥29x妥-6 .只需6a≥a+1, 解得a≥ 答案非，+ 9设a+b=2.b>0,则站+号的最小值为， 2lal 解桥品+号=瑞+丹=品+品+号≥品1≥+1 当且仅当品=只。 a<0,即a=-2,b=4时等号成立. 小编+的最小值是导 答案月 10.设正实数x:满足2-3y+42-2=0,则当兰取得最大值时号+号-的最大值 为 解析兰=3+ xy 1
∴原式可变为 y=t+16 𝑡 ≥2√16=8. 当且仅当 t=4>2 时,等号成立. 答案:B 6.若实数 a,b 满足1 𝑎 + 2 𝑏 = √𝑎𝑏,则 ab 的最小值为( ) A.√2 B.2 C.2√2 D.4 解析:由 1 𝑎 + 2 𝑏 = √𝑎𝑏,得 a>0,b>0, 所以√𝑎𝑏 = 1 𝑎 + 2 𝑏 ≥2√ 2 𝑎𝑏 ,即 ab≥2√2, 当且仅当{ 1 𝑎 = 2 𝑏 , 1 𝑎 + 2 𝑏 = √𝑎𝑏, 即 a=√2 4 ,b=2√2 4 时,等号成立,所以 ab 的最小值为 2√2. 答案:C 7.已知 4x+𝑎 𝑥 (x>0,a>0)在 x=3 时取得最小值,则 a= . 解析:∵4x+𝑎 𝑥≥2√4𝑎,当且仅当 4x= 𝑎 𝑥时,等号成立,∴4x 2=a,∴a=4×3 2=36. 答案:36 8.设常数 a>0,若 9x+𝑎 2 𝑥 ≥a+1 对一切正实数 x 成立,则 a 的取值范围 为 . 解析:∵9x+𝑎 2 𝑥 ≥2√9𝑥· 𝑎 2 𝑥 =6a, ∴只需 6a≥a+1, 解得 a≥ 1 5 . 答案:[ 1 5 , + ∞) 9.设 a+b=2,b>0,则 1 2|𝑎| + |𝑎| 𝑏的最小值为 . 解析:∵ 1 2|𝑎| + |𝑎| 𝑏 = 𝑎+𝑏 4|𝑎| + |𝑎| 𝑏 = 𝑎 4|𝑎| + 𝑏 4|𝑎| + |𝑎| 𝑏 ≥ 𝑎 4|𝑎| +1≥- 1 4 +1= 3 4 , 当且仅当 𝑏 4|𝑎| = |𝑎| 𝑏 ,a<0,即 a=-2,b=4 时等号成立. ∴ 1 2|𝑎| + |𝑎| 𝑏 的最小值是3 4 . 答案: 3 4 10.设正实数 x,y,z 满足 x 2 -3xy+4y 2 -z=0,则当𝑥𝑦 𝑧 取得最大值时, 2 𝑥 + 1 𝑦 − 2 𝑧的最大值 为 . 解析: 𝑥𝑦 𝑧 = 𝑥𝑦 𝑥 2 -3𝑥𝑦+4𝑦 2 = 1 𝑥 𝑦 + 4𝑦 𝑥 -3 ≤ 1 4-3 =1
当且仅当x3时，等式成立此时=2+2声+号-(-)+1≤1，当且仅 当y=1时等号成立，故所求的最大值为1. 答案：1 11.己知x>0,y>0. (1)若4x+y=2,求之+的最小值： (2)若x+2y+2xy=8,求x+2y的最小值 解(1+=传+》4x+0 (4+++) +2 当且仅当兰=华即x号时，等号成立， 故经+的最小值为号 (2)(方法一)由x+2y+2xy=8,得(x+1)2y+1)=9. 又x+1+2y+1≥2√x+1)2y+1)=6, ∴.x+2y≥4 当且仅当+1=2+1脚化二子时等号成立 故x+2y的最小值为4 (方法二)2之x2列 2y≤+2y2 4 当且仅当x=2y时，等号成立. x+2y++22≥x+2y+2y=8 4 令x+2y=4则4号>≥8， 解得1≥4或1≤-8（舍去）】 .x+2y的最小值为4. 拓展提高 1.已知a+b=(a>0,b>0),1为常数，且ab的最大值为2，则1等于() A.2 B.4 C.2V2 D.2V5 解析：t-a+b≥2Na6ab≤（份， “(份-2，解得1=22=2V2含去】 答案C
当且仅当 x=2y 时,等式成立,此时 z=2y 2 , 2 𝑥 + 1 𝑦 − 2 𝑧 =- 1 𝑦 2 + 2 𝑦 =-( 1 𝑦 -1) 2 +1≤1,当且仅 当 y=1 时等号成立,故所求的最大值为 1. 答案:1 11.已知 x>0,y>0. (1)若 4x+y=2,求 1 𝑥 + 1 𝑦 的最小值; (2)若 x+2y+2xy=8,求 x+2y 的最小值. 解:(1)1 𝑥 + 1 𝑦 = 1 2 ( 1 𝑥 + 1 𝑦 )(4x+y) = 1 2 (4 + 𝑦 𝑥 + 4𝑥 𝑦 + 1) ≥ 1 2 (5 + 2√ 𝑦 𝑥 · 4𝑥 𝑦 ) = 9 2 . 当且仅当𝑦 𝑥 = 4𝑥 𝑦 ,即 x= 1 3 ,y= 2 3 时,等号成立. 故 1 𝑥 + 1 𝑦 的最小值为9 2 . (2)(方法一)由 x+2y+2xy=8,得(x+1)(2y+1)=9. 又 x+1+2y+1≥2√(𝑥 + 1)(2𝑦 + 1)=6, ∴x+2y≥4. 当且仅当 x+1=2y+1,即{ 𝑥 = 2, 𝑦 = 1 时等号成立. 故 x+2y 的最小值为 4. (方法二)∵ 𝑥+2𝑦 2 ≥ √𝑥·2𝑦, ∴2xy≤ (𝑥+2𝑦) 2 4 , 当且仅当 x=2y 时,等号成立. ∴x+2y+(𝑥+2𝑦) 2 4 ≥x+2y+2xy=8. 令 x+2y=t,则 t+𝑡 2 4 ≥8, 解得 t≥4 或 t≤-8(舍去). ∴x+2y 的最小值为 4. 拓展提高 1.已知 a+b=t(a>0,b>0),t 为常数,且 ab 的最大值为 2,则 t 等于( ) A.2 B.4 C.2√2 D.2√5 解析:∵t=a+b≥2√𝑎𝑏,∴ab≤( 𝑡 2 ) 2 , ∴( 𝑡 2 ) 2 =2,解得 t=2√2(t=-2√2舍去). 答案:C
2设a>b>c,k∈R,且(a-c(6+)≥k恒成立，则k的最大值为() A.2 B.3 C.4 D.5 解析：a-+) ≥2a-bb-d可27a-bmo- 1 =4】 当且仅当a-b=b-c时，等号成立 ∴.k≤4，k的最大值为4， 故选C 答案：C 3.设二次函数y=ar2-4x+cx∈R),若y的取值范围为0，+o),则+2的最小值为 () A.3 B C.5 D.7 解析：由题意，得a>0,4=16-4ac=0, ∴.ac=4,.c>0. +≥2层3， 当且仅当二=2时，等号成立， +的最小值为3 答案：A 4,若不等式x2+2x<号+对任意的a,b∈(0，+∞恒成立，则实数x的取值范围是 () A.(-2,0) B.(-0,-2)U(0,+0) C.(-4,2) D.(-00,-4)U(2,+∞) 解析：因为a,b∈(0，+0)，所以g+16≥2V6=8,当且仅当=16，即a=4b时，等号成 立 故只需x2+2x<8,解得-4<x<2,故实数x的取值范围是(4,2) 答案：C 5.己知m,n均为正实数，若m=”+2,则mn的最小值为. 解析：由m=+2,得mn=m+2n≥2√2mn 设mn=1,则t≥2V2t,即2≥81，解得t≥8， 故mn的最小值为8. 答案：8
2.设 a>b>c,k∈R,且(a-c)( 1 𝑎-𝑏 + 1 𝑏-𝑐 )≥k 恒成立,则 k 的最大值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:∵(a-c)( 1 𝑎-𝑏 + 1 𝑏-𝑐 ) =(a-b+b-c)( 1 𝑎-𝑏 + 1 𝑏-𝑐 ) ≥2√(𝑎-𝑏)(𝑏-𝑐)·2 1 √(𝑎-𝑏)(𝑏-𝑐) =4, 当且仅当 a-b=b-c 时,等号成立, ∴k≤4,k 的最大值为 4, 故选 C. 答案:C 3.设二次函数 y=ax2 -4x+c(x∈R),若 y 的取值范围为[0,+∞),则 1 𝑐 + 9 𝑎的最小值为 ( ) A.3 B. 9 2 C.5 D.7 解析:由题意,得 a>0,Δ=16-4ac=0, ∴ac=4,∴c>0. ∴ 1 𝑐 + 9 𝑎≥2√ 9 𝑎𝑐 =3, 当且仅当1 𝑐 = 9 𝑎时,等号成立. ∴ 1 𝑐 + 9 𝑎的最小值为 3. 答案:A 4.若不等式 x 2+2x<𝑎 𝑏 + 16𝑏 𝑎 对任意的 a,b∈(0,+∞)恒成立,则实数 x 的取值范围是 ( ) A.(-2,0) B.(-∞,-2)∪(0,+∞) C.(-4,2) D.(-∞,-4)∪(2,+∞) 解析:因为 a,b∈(0,+∞),所以𝑎 𝑏 + 16𝑏 𝑎 ≥2√16=8,当且仅当𝑎 𝑏 = 16𝑏 𝑎 ,即 a=4b 时,等号成 立. 故只需 x 2+2x<8,解得-4<x<2,故实数 x 的取值范围是(-4,2). 答案:C 5.已知 m,n 均为正实数,若 m= 𝑚 𝑛 +2,则 mn 的最小值为 . 解析:由 m= 𝑚 𝑛 +2,得 mn=m+2n≥2√2𝑚𝑛. 设 mn=t,则 t≥2√2𝑡,即 t 2≥8t,解得 t≥8, 故 mn 的最小值为 8. 答案:8
6.已知a∈R,b>0,且(a+bb=l,则a+5的最小值是 解析：.b>0,且(a+b)b=1, ∴a=b, 品=6266≥2月-2 当且仅当上=b,即b=1时，等号成立 h 答案2 7.某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内 面积为9002的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植 物，相邻矩形区域之间间隔1m,三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通 道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留3m宽的通道，如图设矩 形温室的室内长为x(单位：m),求三块种植植物的矩形区域的总面积的最大值 解：由题设，得三块种植植物的矩形区城的总面积为c-8)(2)=2x720+916,x ∈(8,450)】 因为8凌化时，求1=maxx,忌引 的最小值 解：由题意，得≥x,≥5 y(x-y) 21≥x2+25 y(x-y) +高≥婴≥20,2≥20，即≥0 25 2 故当正数xy)度化时=maxk高}的最小值为10 挑战创新 经计算可以发现v7+√15<2√1五，5.5+√16.5<2i,V3-√3+ W19+3<211,. 对于任意正实数a,b,试写出一个使Va+Vb≤2√II成立的条件，并给出证明
6.已知 a∈R,b>0,且(a+b)b=1,则 a+ 2 𝑎+𝑏的最小值是 . 解析:∵b>0,且(a+b)b=1, ∴a= 1 𝑏 -b, ∴a+ 2 𝑎+𝑏 = 1 𝑏 -b+ 2 1 𝑏 -𝑏+𝑏 = 1 𝑏 -b+2b=1 𝑏 +b≥2√ 1 𝑏 ·𝑏=2, 当且仅当1 𝑏 =b,即 b=1 时,等号成立. 答案:2 7.某学校为了支持生物课程基地研究植物生长,计划利用学校空地建造一间室内 面积为 900 m2 的矩形温室,在温室内划出三块全等的矩形区域,分别种植三种植 物,相邻矩形区域之间间隔 1 m,三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1 m 宽的通 道,左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留 3 m 宽的通道,如图.设矩 形温室的室内长为 x(单位:m),求三块种植植物的矩形区域的总面积的最大值. 解:由题设,得三块种植植物的矩形区域的总面积为(x-8)( 900 𝑥 -2)=-2x- 7 200 𝑥 +916,x ∈(8,450). 因为 8y)变化时,求 t=max{𝑥 2 , 25 𝑦(𝑥-𝑦) } 的最小值. 解:由题意,得 t≥x 2 ,t≥ 25 𝑦(𝑥-𝑦) , ∴2t≥x 2+ 25 𝑦(𝑥-𝑦) . ∵x 2+ 25 𝑦(𝑥-𝑦) ≥x 2+ 25 [ 𝑦+(𝑥-𝑦) 2 ] 2=x2+ 100 𝑥 2 ≥20,∴2t≥20,即 t≥10. 故当正数 x,y(x>y)变化时,t=max{𝑥 2 , 25 𝑦(𝑥−𝑦) }的最小值为 10. 挑战创新 经计算可以发现:√7 + √15<2√11,√5.5 + √16.5<2√11,√3-√3 + √19 + √3<2√11,… 对于任意正实数 a,b,试写出一个使√𝑎 + √𝑏≤2√11成立的条件,并给出证明
解：7+15=2×11,5.5+16.5=2×11,3-V3+19+V3=2×11,… 不难发现使Va+Vb≤2√1I成立的条件是a+b=22. 证明如下： 4s@4面-受=i 2 2 即√a+√b≤2v1I(当且仅当a=b=11时，等号成立)】
解:7+15=2×11,5.5+16.5=2×11,3-√3+19+√3=2×11,…. 不难发现使√𝑎 + √𝑏≤2√11成立的条件是 a+b=22. 证明如下: √𝑎+√𝑏 2 ≤ √ (√𝑎) 2+(√𝑏) 2 2 = √ 𝑎+𝑏 2 = √11, 即√𝑎 + √𝑏≤2√11(当且仅当 a=b=11 时,等号成立)