复习课 1.集合与常用逻辑用语 课后·训练提升 基础巩固 1.下列描述正确的有( ①很小的实数可以构成集合： ②集合{yly=x2}与集合{x,y)y=x2}相等； ③1，总，0.5这些数组成的集合有5个元素 ④偶数集可以表示为{xx=2k,k∈Z}. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解析：对于①，不满足集合中元素的确定性：对于②，集合{y=x}表示的是数集，集 合奶=2}表示的是点集故不相等，对于国，国为号=引05，所以这些教组 成的集合有3个元素：④正确.故选B. 答案B 2.已知集合A={1,2,3,4,5},B={xy)x∈Ay∈A,x-y∈A},则集合B中所含元素的个 数为( ) A.3 B.6 C.8 D.10 解析：由题意，得B={2,1),3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4)},故选D 答案D 3.已知集合M有3个真子集，集合N有7个真子集，则MUN中的元素() A.有5个 B.至多有5个 C.至少有5个 D.至多有10个 解析：因为集合M有3个真子集，所以M中有2个元素.又集合N有7个真子集， 所以N中有3个元素，因此MUN中至多有5个元素. 答案B 4.已知集合M={mm=2k,k∈Z},P={xx=2k+1,k∈Z},Q={yy=4k+1,k∈Z},则 () A.x+y∈M B.x+y∈P C.x+y∈Q D.x+yEM 解析：因为x∈Py∈Q,所以xy的值均为奇数，所以x+y一定为偶数.又 M={mm=2k,k∈Z}表示所有偶数组成的集合，故x+y∈M 答案：A
复习课 1.集合与常用逻辑用语 课后· 基础巩固 1.下列描述正确的有( ) ①很小的实数可以构成集合; ②集合{y|y=x2}与集合{(x,y)|y=x2}相等; ③1,3 2 , 6 4 , |- 1 2 |,0.5 这些数组成的集合有 5 个元素; ④偶数集可以表示为{x|x=2k,k∈Z}. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 解析:对于①,不满足集合中元素的确定性;对于②,集合{y|y=x2}表示的是数集,集 合{(x,y)|y=x2}表示的是点集,故不相等;对于③,因为3 2 = 6 4 , |- 1 2 |=0.5,所以这些数组 成的集合有 3 个元素;④正确.故选 B. 答案:B 2.已知集合 A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则集合 B 中所含元素的个 数为( ) A.3 B.6 C.8 D.10 解析:由题意,得 B={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4)},故选 D. 答案:D 3.已知集合 M 有 3 个真子集,集合 N 有 7 个真子集,则 M∪N 中的元素( ) A.有 5 个 B.至多有 5 个 C.至少有 5 个 D.至多有 10 个 解析:因为集合 M 有 3 个真子集,所以 M 中有 2 个元素.又集合 N 有 7 个真子集, 所以 N 中有 3 个元素,因此 M∪N 中至多有 5 个元素. 答案:B 4.已知集合 M={m|m=2k,k∈Z},P={x|x=2k+1,k∈Z},Q={y|y=4k+1,k∈Z},则 ( ) A.x+y∈M B.x+y∈P C.x+y∈Q D.x+y∉M 解析:因为 x∈P,y∈Q,所以 x,y 的值均为奇数,所以 x+y 一定为偶数.又 M={m|m=2k,k∈Z}表示所有偶数组成的集合,故 x+y∈M. 答案:A
5.对“一次函数x)=ar+b是单调函数”改写错误的是() A.所有的一次函数x)=ax+b都是单调函数 B.任意一个一次函数x)=ax+b都是单调函数 C.任意一次函数x)=ax+b是单调函数 D.有的一次函数x)不是单调函数 答案D 6.下列四个命题 ①Vx∈R,2x2-3x+4>0: ②Vx∈{1，-1,0}，2x+1>0: ③3x∈N,xr2≤x; ④归x∈N+,x为29的约数 其中真命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：对于①，这是全称量词命题，因为=(-3)2-4×2×40恒成立 故①为真命题；对于②，这是全称量词命题，由于当x=-1时，2x+1>0不成立，故②为 假命题：对于③，这是存在量词命题，当x=0或x=1时，有x2≤x成立，故③为真命题； 对于④，这是存在量词命题，当x=1时x为29的约数，故④为真命题， 答案：C 7.设a,b∈R,则a>b”是“aa>b1b的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：当a>b>0时，ala-blbl=a2-b2=(a+b)(a-b)>0成立；当b0成立，当b0成立.同理由 ala>blb→a>b. 答案C 8.设a,b,c为实数，“a>0,c0,c0→函数x)有两个零，点；函数x)有两个零点→b2-4ac>0力 a>0,c0,c<0”是“函数x)=ar2+bx+c有两个零点”的充分不必要条件 答案：充分不必要 9.下列命题是真命题的是 (填序号) ①5能整除15：，②不存在实数x,使得x2-x+2<0:③对任意实数x,均有x-1<x:④方程 x2+3x+3=0有两个不相等的实数根：⑤不等式++1<0的解集为空集 解析：对于①，由整数的整除性知该命题是真命题：对于②，因为<0，所以x2-x+2<0 无解，所以该命题是真命题：对于③，因为任意一个数减去一个正数后都小于原数， 所以该命题是真命题；对于④，因为小<0，所以方程x2+3x+3=0无解，所以该命题是
5.对“一次函数 f(x)=ax+b 是单调函数”改写错误的是( ) A.所有的一次函数 f(x)=ax+b 都是单调函数 B.任意一个一次函数 f(x)=ax+b 都是单调函数 C.任意一次函数 f(x)=ax+b 是单调函数 D.有的一次函数 f(x)不是单调函数 答案:D 6.下列四个命题: ①∀x∈R,2x 2 -3x+4>0; ②∀x∈{1,-1,0},2x+1>0; ③∃x∈N,x 2≤x; ④∃x∈N+,x 为 29 的约数. 其中真命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:对于①,这是全称量词命题,因为 Δ=(-3)2 -4×2×40 恒成立, 故①为真命题;对于②,这是全称量词命题,由于当 x=-1 时,2x+1>0 不成立,故②为 假命题;对于③,这是存在量词命题,当 x=0 或 x=1 时,有 x 2≤x 成立,故③为真命题; 对于④,这是存在量词命题,当 x=1 时,x 为 29 的约数,故④为真命题. 答案:C 7.设 a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:当 a>b>0 时,a|a|-b|b|=a2 -b 2=(a+b)(a-b)>0 成立;当 b0 成立;当 b0 成立.同理由 a|a|>b|b|⇒a>b. 答案:C 8.设 a,b,c 为实数,“a>0,c0,c0⇒函数 f(x)有两个零点;函数 f(x)有两个零点⇒b 2 -4ac>0 a>0,c0,c<0”是“函数 f(x)=ax2+bx+c 有两个零点”的充分不必要条件. 答案:充分不必要 9.下列命题是真命题的是 .(填序号) ①5 能整除 15;②不存在实数 x,使得 x 2 -x+2<0;③对任意实数 x,均有 x-1<x;④方程 x 2+3x+3=0 有两个不相等的实数根;⑤不等式𝑥 2 +𝑥+1 |𝑥| <0 的解集为空集. 解析:对于①,由整数的整除性知该命题是真命题;对于②,因为 Δ<0,所以 x 2 -x+2<0 无解,所以该命题是真命题;对于③,因为任意一个数减去一个正数后都小于原数, 所以该命题是真命题;对于④,因为 Δ<0,所以方程 x 2+3x+3=0 无解,所以该命题是
假命题：对于⑤，因为分子恒为正，分母大于0，所以商不可能小于0，即解集为空集， 所以该命题是真命题」 答案：①②③⑤ 10.满足M{a,a2,a3,a4},且Mn{a,a,a}={a,a2}的集合M的个数 是 解析：由题意可知集合M中必含有元素a1,a2,且不含元素a3,则M={a1,2}或 M={a1,a2,a4},共2个 答案2 11.已知集合A={xx2(a+3)x+a2=0},B={xx2-x=0},是否存在实数a,使A,B同时满 足下列三个条件：①A≠B:②AUB=B:③a(A∩B)?若存在，求出a的值：若不存在，请 说明理由 解：假设存在实数a,使A,B满足题设条件，易知B={0,1}.因为AUB=B,所以A二B, 即A=B或AB, 由条件①A≠B,知AB. 又@(A∩B),所以A≠0，即A={0}或{1} 当A={0}时，将x=0代入方程x2(a+3)x+a2=0,得a2=0,解得a=0. 经检验，当a=0时，A={0,3},与A={0}矛盾，舍去 当A={1}时，将x=1代入方程x2(a+3)x+a2=0,得a2-a-2=0,解得a=-1或a=2 经检验，当a=-1时，A={1},符合题意； 当a=2时，A={1,4},与A={1}矛盾，舍去 综上所述，存在实数a=-1,使得A,B满足条件 12.若r∈[-1,2]使x2-2x+5-a>0成立，求实数a的取值范围， 解：由x2-2x+5-a>0,得a4,且a∈N时， 均不符合题意.综上，集合A的个数是2，故选C 答案：C
假命题;对于⑤,因为分子恒为正,分母大于 0,所以商不可能小于 0,即解集为空集, 所以该命题是真命题. 答案:①②③⑤ 10.满足 M⊆{a1,a2,a3,a4},且 M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合 M 的个数 是 . 解析:由题意可知集合 M 中必含有元素 a1,a2,且不含元素 a3,则 M={a1,a2}或 M={a1,a2,a4},共 2 个. 答案:2 11.已知集合 A={x|x2 -(a+3)x+a2=0},B={x|x2 -x=0},是否存在实数 a,使 A,B 同时满 足下列三个条件:①A≠B;②A∪B=B;③⌀⫋(A∩B)?若存在,求出 a 的值;若不存在,请 说明理由. 解:假设存在实数 a,使 A,B 满足题设条件,易知 B={0,1}.因为 A∪B=B,所以 A⊆B, 即 A=B 或 A⫋B. 由条件①A≠B,知 A⫋B. 又⌀⫋(A∩B),所以 A≠⌀,即 A={0}或{1}. 当 A={0}时,将 x=0 代入方程 x 2 -(a+3)x+a2=0,得 a 2=0,解得 a=0. 经检验,当 a=0 时,A={0,3},与 A={0}矛盾,舍去. 当 A={1}时,将 x=1 代入方程 x 2 -(a+3)x+a2=0,得 a 2 -a-2=0,解得 a=-1 或 a=2. 经检验,当 a=-1 时,A={1},符合题意; 当 a=2 时,A={1,4},与 A={1}矛盾,舍去. 综上所述,存在实数 a=-1,使得 A,B 满足条件. 12.若∃x∈[-1,2]使 x 2 -2x+5-a>0 成立,求实数 a 的取值范围. 解:由 x 2 -2x+5-a>0,得 a4,且 a∈N 时, 均不符合题意.综上,集合 A 的个数是 2,故选 C. 答案:C
2.已知集合A={x00}.若(AUB)SC,则实数m 的取值范围是( A.{m-2≤m≤1} B.{m≤m≤1 c.{m1≤m≤} D.{msm≤} 解析：由题意，得AUB={x-10),(AUB)CC, 当m0时，C={xx>} “≤1， .00,b>0”是“ab>0”的( A.充分不必要条件 B必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析a>0,b>0→ab>0,但ab>0中a>0,b>0. 答案A 5.命题：①奇函数的图象关于原点对称：②有些三角形是等腰三角形：③x∈ R,2x+1是奇数：④实数的平方大于零.其中是全称量词命题的是 (填序 号) 答案：①③④
2.已知集合 A={x|00}.若(A∪B)⊆C,则实数 m 的取值范围是( ) A.{m|-2≤m≤1} B.{𝑚 |- 1 2 ≤ 𝑚 ≤ 1} C.{𝑚 |-1 ≤ 𝑚 ≤ 1 2 } D.{𝑚 |- 1 2 ≤ 𝑚 ≤ 1 4 } 解析:由题意,得 A∪B={x|-10},(A∪B)⊆C, 当 m0 时,C={𝑥 |𝑥 > - 1 𝑚 }, ∴- 1 𝑚 ≤-1, ∴00,b>0”是“ab>0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:a>0,b>0⇒ab>0,但 ab>0 a>0,b>0. 答案:A 5.命题:①奇函数的图象关于原点对称;②有些三角形是等腰三角形;③∀x∈ R,2x+1 是奇数;④实数的平方大于零.其中是全称量词命题的是 .(填序 号) 答案:①③④
6.设集合M={xm≤x≤m+N={xn-≤x≤n,且MW都是集合 {x0≤x≤1)的子集若b-a叫作集合{xa≤x≤b(b>a)的长度”，则集合MnN的 “长度”的最小值是 解析：由题意，得集合M的“长度”为子集合N的“长度”为 由于M,N都是集合{xO≤x≤1}的子集 而{x0≤x≤1}的“长度”为1， 由此可得集合MN的长度”的最小值是（径+）1=员 答案品 7.设P是一个数集，且至少含有两个元素若对任意的a,b∈P,都有a+b,a-b,ab,号e P(除数b≠0)，则称P是一个数域，例如有理数集Q是一个数域，有下列说法： ①数域必含有0,1两个数： ②整数集是数域： ③若有理数集QSM,则数集M必为数域； ④数域必为无限集 其中正确的是 (填序号) 解析：数集P有两个元素m,n则一定有m-m=0-1(设m0),①正确；因为1∈Z,2 ∈ZZ,所以整数集不是数域，②不正确；令数集M=QU{V②，则1∈M,W2∈M但 1+v2EM所以③不正确：数域中有1，一定有1+1=2,1+2=3，递推下去，可知数域必 为无限集④正确. 答案：①④ 8.若集合A具有以下性质 ①若a,b∈A,则a-b∈A; ②当a0时，若a∈A,则上∈A, 则称集合A是“封闭集” (1)分别判断集合M={-1,0,1}和有理数集Q是不是“封闭集”，并说明理由； (2)设集合A是“封闭集”，求证：若a,b∈A,则a+b∈A (1)解：因为-1-1=-2度M,所以集合M不是“封闭集”，因为有理数减有理数仍是有理 数，1除以非零的有理数仍为有理数，所以有理数集Q为“封闭集” (2)证明：由a,b∈A,集合A是“封闭集”，可知0=a-a∈A,所以-b=0-b∈A 所以a-(-b)=a+b∈A 挑战创新 己知p:-40,若一2是一7的充分条件，求实数a的取值范围 解：对于p:由-4<x-a<4,得a-4<x<a+4, .px≤a-4或x≥a+4
6.设集合 M={𝑥 |𝑚 ≤ 𝑥 ≤ 𝑚 + 3 4 },N={𝑥 |𝑛- 1 3 ≤ 𝑥 ≤ 𝑛},且 M,N 都是集合 {x|0≤x≤1}的子集.若 b-a 叫作集合{x|a≤x≤b}(b>a)的“长度”,则集合 M∩N 的 “长度”的最小值是 . 解析:由题意,得集合 M 的“长度”为 3 4 ,集合 N 的“长度”为 1 3 . 由于 M,N 都是集合{x|0≤x≤1}的子集, 而{x|0≤x≤1}的“长度”为 1, 由此可得集合 M∩N 的“长度”的最小值是( 3 4 + 1 3 )-1= 1 12 . 答案: 1 12 7.设 P 是一个数集,且至少含有两个元素.若对任意的 a,b∈P,都有 a+b,a-b,ab, 𝑎 𝑏 ∈ P(除数 b≠0),则称 P 是一个数域,例如有理数集 Q 是一个数域,有下列说法: ①数域必含有 0,1 两个数; ②整数集是数域; ③若有理数集 Q⊆M,则数集 M 必为数域; ④数域必为无限集. 其中正确的是 .(填序号) 解析:数集 P 有两个元素 m,n,则一定有 m-m=0,𝑚 𝑚 =1(设 m≠0),①正确;因为 1∈Z,2 ∈Z, 1 2 ∉Z,所以整数集不是数域,②不正确;令数集 M=Q∪{√2},则 1∈M,√2∈M,但 1+√2∉M,所以③不正确;数域中有 1,一定有 1+1=2,1+2=3,递推下去,可知数域必 为无限集,④正确. 答案:①④ 8.若集合 A 具有以下性质: ①若 a,b∈A,则 a-b∈A; ②当 a≠0 时,若 a∈A,则 1 𝑎∈A, 则称集合 A 是“封闭集”. (1)分别判断集合 M={-1,0,1}和有理数集 Q 是不是“封闭集”,并说明理由; (2)设集合 A 是“封闭集”,求证:若 a,b∈A,则 a+b∈A. (1)解:因为-1-1=-2∉M,所以集合 M 不是“封闭集”;因为有理数减有理数仍是有理 数,1 除以非零的有理数仍为有理数,所以有理数集 Q 为“封闭集”. (2)证明:由 a,b∈A,集合 A 是“封闭集”,可知 0=a-a∈A,所以-b=0-b∈A, 所以 a-(-b)=a+b∈A. 挑战创新 已知 p:-40,若 p 是 q 的充分条件,求实数 a 的取值范围. 解:对于 p:由-4<x-a<4,得 a-4<x<a+4, ∴ p:x≤a-4 或 x≥a+4
对于q:由(x-2)(3-x)>0,得2<x<3, ∴.☐gx≤2或x≥3. 由口走7g的克分条件得侣手径3 解得-1≤a≤6 ∴.实数a的取值范围是-1≤a≤6
对于 q:由(x-2)(3-x)>0,得 2<x<3, ∴ q:x≤2 或 x≥3. 由 p 是 q 的充分条件,得{ 𝑎-4 ≤ 2, 𝑎 + 4 ≥ 3, 解得-1≤a≤6. ∴实数 a 的取值范围是-1≤a≤6