4.2.2 等差数列的前n项和公式 第1课时 等差数列的前n项和公式 课后训练提升 基础巩固 1.在等差数列{an}中，若a2=1,a4=5,则数列{am}的前5项和Ss等于()， A.7 B.15 C.20 D.25 答案B 解析：设等差数列{an}的公差为d, 刚布侣十8站得侣2 (a1+3d=5, 故Ss=5a1+5a=15, 2.已知等差数列{an}的前n项和Sm=n2+5n,则公差d等于() A.1 B.2 c.5 D.10 答案B 解析：.a1=S1=6,a1+a2=S2=14,.a2=8 .d=a2-a1=2 3.已知{am}是等差数列，a1=10,前10项和So=70,则其公差d等于() A号 B D 答案A 解折：因为Si0=10a1+299-=70a1=10, 所以d=子 4.设等差数列{an}的前n项和为Sm,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于() A.63 B.45 C.36 D.27 答案B 解析：由于a7+a8+a9=S9-S6,而由等差数列的性质，可知S3,S6-S,Sg-S6构成等差数列， 故S3+(S9-S6)=2(S6-S3),即a7+a8+a9=Sg-S6=2S6-3S3=2×36-3×9=45, 5.已知{an}是公差d=1的等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，若Ss=4S4,则ao等 于( A号 C.10 D.12 答案B
4.2.2 等差数列的前 n 项和公式 第 1 课时 等差数列的前 n 项和公式 课后· 基础巩固 1.在等差数列{an}中,若 a2=1,a4=5,则数列{an}的前 5 项和 S5等于( ). A.7 B.15 C.20 D.25 答案:B 解析:设等差数列{an}的公差为 d, 则有{ 𝑎1 + 𝑑 = 1, 𝑎1 + 3𝑑 = 5, 得 { 𝑎1 = -1, 𝑑 = 2, 故 S5=5a1+ 5×4 2 d=15. 2.已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+5n,则公差 d 等于( ). A.1 B.2 C.5 D.10 答案:B 解析:∵a1=S1=6,a1+a2=S2=14,∴a2=8, ∴d=a2-a1=2. 3.已知{an}是等差数列,a1=10,前 10 项和 S10=70,则其公差 d 等于( ). A.- 2 3 B.- 1 3 C. 1 3 D. 2 3 答案:A 解析:因为 S10=10a1+ 10×9 2 d=70,a1=10, 所以 d=- 2 3 . 4.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=9,S6=36,则 a7+a8+a9等于( ). A.63 B.45 C.36 D.27 答案:B 解析:由于 a7+a8+a9=S9-S6,而由等差数列的性质,可知 S3,S6-S3,S9-S6构成等差数列, 故 S3+(S9-S6)=2(S6-S3),即 a7+a8+a9=S9-S6=2S6-3S3=2×36-3×9=45. 5.已知{an}是公差 d=1 的等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,若 S8=4S4,则 a10等 于( ). A. 17 2 B. 19 2 C.10 D.12 答案:B
解析：由题意，可知5s=8a1+71=8a1+28,4=4a1+父1=4a1+6, 因为Ss=4S,即8a1+28=4(4a1+6,所以a1之所以a10=a1+9d=号 6.(多选题)已知数列{am}是等差数列，其前n项和为Sm,满足a+3a2=S6,则下列选 项中正确的有() A.a7=0 B.S3=0 C.S最小 D.Ss=S8 答案：ABD 解析：根据题意，设等差数列{am}的公差为d, 对于A,若a1+3am=S6,则4a1+3d=6a1+51,变形可得a1+6d-0,即am=0,故A正确； 对于B,S13=13a+l=13a7=0,故B正确； 对于C,S7=@=7a4,可能大于0，也可能小于0，故C不正确 2 对于D,Ss-5s=(（5a1+d(8a1+2d)=-3am-18d=-3m=0,故D正确 7.在等差数列{an}中，如果a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,那么此数列的前20项和 为) A.160 B.180 C.200 D.220 答案B 解析：由题意可知a1+a2+a3=3a2=-24,得a2=-8, 由a18+a19+a20=3a19=78,得a19=26 于是S20=10(a1+a20)=10(a2+a19)=10×(-8+26)=180. 8.在等差数列{an}中，己知a10=10,则S19= 答案：190 解析：S1g=19a+1=19a10+a0-19a10=19×10=190. 2 2 9.已知{am}是等差数列，Sm是它的前n项和若S4=20,a4=8,则S8= 答案：72 解析：设等差数列{an}的公差为d, 剥由，=4a,+袋d=20解得amd2 2 (a4=a1+3d=8, 故S8=8×2+X×2=72. 2 10.在等差数列{an}中，a10=30,a20=50 (I)求数列{an}的通项公式： (2)若Sm=242,求n 解：(I)设等差数列{an}的公差为d, =8+8a29年4怡22 故an=a1+(n-1)d=12+(n-1)×2=10+2n
解析:由题意,可知 S8=8a1+ 8×7 2 d=8a1+28,S4=4a1+ 4×3 2 d=4a1+6. 因为 S8=4S4,即 8a1+28=4(4a1+6),所以 a1= 1 2 ,所以 a10=a1+9d=19 2 . 6.(多选题)已知数列{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,满足 a1+3a2=S6,则下列选 项中正确的有( ). A.a7=0 B.S13=0 C.S7 最小 D.S5=S8 答案:ABD 解析:根据题意,设等差数列{an}的公差为 d, 对于 A,若 a1+3a2=S6,则 4a1+3d=6a1+ 6×5 2 d,变形可得 a1+6d=0,即 a7=0,故 A 正确; 对于 B,S13= 13(𝑎1+𝑎13 ) 2 =13a7=0,故 B 正确; 对于 C,S7= 7(𝑎1+𝑎7 ) 2 =7a4,可能大于 0,也可能小于 0,故 C 不正确; 对于 D,S5-S8=(5𝑎1 + 5×4 2 𝑑)-(8𝑎1 + 8×7 2 𝑑)=-3a1-18d=-3a7=0,故 D 正确. 7.在等差数列{an}中,如果 a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,那么此数列的前 20 项和 为( ). A.160 B.180 C.200 D.220 答案:B 解析:由题意可知 a1+a2+a3=3a2=-24,得 a2=-8, 由 a18+a19+a20=3a19=78,得 a19=26, 于是 S20=10(a1+a20)=10(a2+a19)=10×(-8+26)=180. 8.在等差数列{an}中,已知 a10=10,则 S19= . 答案:190 解析:S19= 19(𝑎1 +𝑎19) 2 = 19(𝑎10+𝑎10) 2 =19a10=19×10=190. 9.已知{an}是等差数列,Sn 是它的前 n 项和.若 S4=20,a4=8,则 S8= . 答案:72 解析:设等差数列{an}的公差为 d, 则由{ 𝑆4 = 4𝑎1 + 4×3 2 𝑑 = 20, 𝑎4 = 𝑎1 + 3𝑑 = 8, 解得 a1=d=2, 故 S8=8×2+ 8×7 2 ×2=72. 10.在等差数列{an}中,a10=30,a20=50. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 Sn=242,求 n. 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d, 则{ 𝑎10 = 𝑎1 + 9𝑑 = 30, 𝑎20 = 𝑎1 + 19𝑑 = 50, 解得{ 𝑎1 = 12, 𝑑 = 2, 故 an=a1+(n-1)d=12+(n-1)×2=10+2n
(2)由Sn=na1+mm-d以及a1=12,d=2,Sn=242,得242=12n+m-1×2,即+11m- 2 3 242=0,解得n=11或n=-22(舍去)月 故n=11. 11.已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sm,且Sk=110. (1)求a及k的值： (2)设数列{bn}的通项公式为bn=二，证明：数列{bm}是等差数列，并求其前n项和Tm (I)解：设该等差数列为{am},公差为d, 则a1=a,a2=4,a3=3a 由已知有a+3a=8,得a1=a=2,d=4-2=2 故S%=ka1+k-1d=2k+-1×2=kR2+k 2 由S4=110,得2+k-110=0, 解得k=10或k=-11(舍去)，故a=2,k=10 (2)证明：由(1)得Sn=2+2m=nn+1), 2 则bn=五=n+1, n 故bm+1-bm=(n+2)(n+1)=1,且b1=2 即{bm}是首项为2，公差为1的等差数列， 故Tn=m2+n+1=n+3 2 2 拓展提高 1.设Sm为等差数列{an}的前n项和，若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k等于() A.8 B.7 c.6 D.5 答案D 解析：Sk+2-Sx=ak+1+ak+2=a1+kd+a1+(k+1)d=2a1+(2k+1)d,因为a=1,d=2,Sk+2 Sk=24,所以2+2(2k+1)=24,得k=5 2.已知数列{amn}的前n项和Sm=n2-2n,则a2+a18等于() A.36 B.35 C.34 D.33 答案：C 解析（方法一）a2=S2-S1=(22-2×2)-(12-2×1)=1, a18=S18-S17=182-2×18-(172-2×17)=33 即a2+a18=34. (方法二)由题意可知{am}为等差数列，则a2+a18=a1+a19,S1919a+al-=192-2×19, 2 故a1+a19=34,即a2+a18=34. 3.(多选题)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=-l,an+1=SnSm+l,则() A.an=2点
(2)由 Sn=na1+ 𝑛(𝑛-1) 2 d 以及 a1=12,d=2,Sn=242,得 242=12n+𝑛(𝑛-1) 2 ×2,即 n 2+11n- 242=0,解得 n=11 或 n=-22(舍去). 故 n=11. 11.已知等差数列的前三项依次为 a,4,3a,前 n 项和为 Sn,且 Sk=110. (1)求 a 及 k 的值; (2)设数列{bn}的通项公式为 bn= 𝑆𝑛 𝑛 ,证明:数列{bn}是等差数列,并求其前 n 项和 Tn. (1)解:设该等差数列为{an},公差为 d, 则 a1=a,a2=4,a3=3a, 由已知有 a+3a=8,得 a1=a=2,d=4-2=2, 故 Sk=ka1+ 𝑘(𝑘-1) 2 ·d=2k+𝑘(𝑘-1) 2 ×2=k2+k. 由 Sk=110,得 k 2+k-110=0, 解得 k=10 或 k=-11(舍去),故 a=2,k=10. (2)证明:由(1)得 Sn= 𝑛(2+2𝑛) 2 =n(n+1), 则 bn= 𝑆𝑛 𝑛 =n+1, 故 bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1,且 b1=2, 即{bn}是首项为 2,公差为 1 的等差数列, 故 Tn= 𝑛(2+𝑛+1) 2 = 𝑛(𝑛+3) 2 . 拓展提高 1.设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公差 d=2,Sk+2-Sk=24,则 k 等于( ). A.8 B.7 C.6 D.5 答案:D 解析:Sk+2-Sk=ak+1+ak+2=a1+kd+a1+(k+1)d=2a1+(2k+1)d,因为 a1=1,d=2,Sk+2- Sk=24,所以 2+2(2k+1)=24,得 k=5. 2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2 -2n,则 a2+a18等于( ). A.36 B.35 C.34 D.33 答案:C 解析:(方法一)a2=S2-S1=(22 -2×2)-(12 -2×1)=1, a18=S18-S17=182 -2×18-(172 -2×17)=33. 即 a2+a18=34. (方法二)由题意可知{an}为等差数列,则 a2+a18=a1+a19,S19= 19(𝑎1+𝑎19 ) 2 =192 -2×19, 故 a1+a19=34,即 a2+a18=34. 3.(多选题)设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 a1=-1,an+1=SnSn+1,则( ). A.an=- 1 2 𝑛-1
-1,n=1, B.an= n-1 n≥2 11 C数列侣}为等差数列 D吃+ 1 -=-5050 S100 答案BCD 解析：Sn是数列{an}的前n项和，且a1=-l,n+1=SnSm+l,则S+1-Sn=SnSm+l, 整理得1-是=1（常数）。 Sn+1 Sn 所以数列侣}是以1为首项，1为公差的等差数列故C正确 所以-ll儿故5n=品 所以当n≥2时 a=Sl后-首项不符合通项 （-1,n=1, 故an= 11,n≥2 故B正确，A不正确， n-1 n 所以+… -=-(1+2+3+…+100)=-5050,故D正确 S10 4.在等差数列{an}中，若an=2n+3,前n项和Sn=an2+bn+c(a,b,c为常数)，则a- b+c= 答案-3 解析：因为am=2n+3,所以a1=5,Sn=5+2n+3m=+4n,与Sm=am2+bn+c比较，得 2 a=1,b=4,c=0,故a-b+c=-3. 5.己知等差数列{anm}的前n项和为Sm,若0B=a10A+a2oOC,且A,B,C三点共线（该 直线不过原点O),则S200= 答案：100 解析：因为A,B,C三点共线（该直线不过原，点O), 所以a1+a200=1,所以S00=20a+a2ml-=100. 2 6.已知等差数列{am}的通项公式是am=2n+1,其前n项和为S,则数列}的前10 项和为 答案：75 解析：因为m=2n+1,所以a1=3,所以S=3+2n+巴=m2+2n,则立=n+2, 2 所以：}是公差为1，首项为3的等差数列， 故数列{烧}的前10项和为3×10+09×1=-75. 2 7.已知等差数列{an,{bm}的前n项和分别为Sn,Im且三=m+5,则使得为整数的 “T n-3 n的个数是
B.an={ -1,𝑛 = 1, 1 𝑛-1 - 1 𝑛 ,𝑛 ≥ 2 C.数列{ 1 𝑆𝑛 }为等差数列 D. 1 𝑆1 + 1 𝑆2 +…+ 1 𝑆100 =-5 050 答案:BCD 解析:Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 a1=-1,an+1=SnSn+1,则 Sn+1-Sn=SnSn+1, 整理得 1 𝑆𝑛+1 − 1 𝑆𝑛 =-1(常数), 所以数列{ 1 𝑆𝑛 }是以1 𝑆1 =-1 为首项,-1 为公差的等差数列.故 C 正确. 所以 1 𝑆𝑛 =-1-(n-1)=-n,故 Sn=- 1 𝑛 . 所以当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1= 1 𝑛-1 − 1 𝑛 (首项不符合通项), 故 an={ -1,𝑛 = 1, 1 𝑛-1 - 1 𝑛 ,𝑛 ≥ 2, 故 B 正确,A 不正确. 所以1 𝑆1 + 1 𝑆2 +…+ 1 𝑆100 =-(1+2+3+…+100)=-5 050,故 D 正确. 4.在等差数列{an}中,若 an=2n+3,前 n 项和 Sn=an2+bn+c(a,b,c 为常数),则 ab+c= . 答案:-3 解析:因为 an=2n+3,所以 a1=5,Sn= (5+2𝑛+3)𝑛 2 =n2+4n,与 Sn=an2+bn+c 比较,得 a=1,b=4,c=0,故 a-b+c=-3. 5.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =a1𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +a200𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ ,且 A,B,C 三点共线(该 直线不过原点 O),则 S200= . 答案:100 解析:因为 A,B,C 三点共线(该直线不过原点 O), 所以 a1+a200=1,所以 S200= 200(𝑎1+𝑎200 ) 2 =100. 6.已知等差数列{an}的通项公式是 an=2n+1,其前 n 项和为 Sn,则数列{ 𝑆𝑛 𝑛 }的前 10 项和为 . 答案:75 解析:因为 an=2n+1,所以 a1=3,所以 Sn= 𝑛(3+2𝑛+1) 2 =n2+2n,则 𝑆𝑛 𝑛 =n+2, 所以{ 𝑆𝑛 𝑛 }是公差为 1,首项为 3 的等差数列, 故数列{ 𝑆𝑛 𝑛 }的前 10 项和为 3×10+ 10×9 2 ×1=75. 7.已知等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,且 𝑆𝑛 𝑇𝑛 = 7𝑛+45 𝑛-3 ,则使得𝑎𝑛 𝑏𝑛 为整数的 n 的个数是
答案5 解析：由等差数列的性质，知=-225==(7+)∈乙则n2 bn T2n-1 (2nm-1)-3 n-2 只能取-1,1,3,11,33这5个数，故满足题意的n有5个 8.已知数列{am}的所有项均为正数其前n项和为S,且Sm-子听+m号 13 (I)证明：{an}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式 (1证明当n=1时，a-S1-好+知寻 解得a1=3或a1=-1(舍去)】 当n≥2时，an=Sn-Sm-1=(a听+2ar3)2(a呢1+2am1-3), 得4an=a2-a元1+2am-2am-l, Ep(an+an-1)(an-an-1-2)=0. 因为an+am-l>0,所以an-am-1=2(n≥2)， 故{am}是以3为首项，2为公差的等差数列. (2)解：由(1)知am=3+2(n-1)=2n+1. 挑战创新 己知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sm,且满足a3a4=117,a2+a5=22, (I)求数列{am}的通项公式： (2)若{bm}是等差数列，且bm=S求非零常数c. n+c 解(1)设等差数列{an}的公差为d,则d心0. ,a3+a4=a2+a5=22,且a3a4=117, ∴.a3,a4是方程x2-22x+117=0的两个根 又公差d>0,∴.a3<a4,∴.a3=9,a4=13 则收+3品部份印an3 (2)由(1)知，”Sn=nx1+1×4=2n2-n 2 ∴bn=2=2n2n n+c n+c 61-b加2并朗是 15 {bm}是等差数列，.2b2=b1+b3 2c2+c=0c=或c=0含去) 经检验，c=符合题意，即c=子
答案:5 解析:由等差数列的性质,知 𝑎𝑛 𝑏𝑛 = 𝑆2𝑛-1 𝑇2𝑛-1 = 7(2𝑛-1)+45 (2𝑛-1)-3 = 7𝑛+19 𝑛-2 = (7 + 33 𝑛-2 )∈Z,则 n-2 只能取-1,1,3,11,33 这 5 个数,故满足题意的 n 有 5 个. 8.已知数列{an}的所有项均为正数,其前 n 项和为 Sn,且 Sn= 1 4 𝑎𝑛 2 + 1 2 an- 3 4 . (1)证明:{an}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式. (1)证明:当 n=1 时,a1=S1= 1 4 𝑎1 2 + 1 2 a1- 3 4 , 解得 a1=3 或 a1=-1(舍去). 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= 1 4 (𝑎𝑛 2+2an-3)- 1 4 (𝑎𝑛-1 2 +2an-1-3), 得 4an=𝑎𝑛 2 − 𝑎𝑛-1 2 +2an-2an-1, 即(an+an-1)(an-an-1-2)=0. 因为 an+an-1>0,所以 an-an-1=2(n≥2). 故{an}是以 3 为首项,2 为公差的等差数列. (2)解:由(1)知 an=3+2(n-1)=2n+1. 挑战创新 已知公差大于零的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a3a4=117,a2+a5=22. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若{bn}是等差数列,且 bn= 𝑆𝑛 𝑛+𝑐 ,求非零常数 c. 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,则 d>0. ∵a3+a4=a2+a5=22,且 a3a4=117, ∴a3,a4 是方程 x 2 -22x+117=0 的两个根. 又公差 d>0,∴a3<a4,∴a3=9,a4=13. 则{ 𝑎1 + 2𝑑 = 9, 𝑎1 + 3𝑑 = 13, 解得{ 𝑎1 = 1, 𝑑 = 4, 即 an=4n-3. (2)由(1)知,∵Sn=n×1+ 𝑛(𝑛-1) 2 ×4=2n 2 -n, ∴bn= 𝑆𝑛 𝑛+𝑐 = 2𝑛 2 -𝑛 𝑛+𝑐 . ∴b1= 1 1+𝑐 ,b2= 6 2+𝑐 ,b3= 15 3+𝑐 . ∵{bn}是等差数列,∴2b2=b1+b3, ∴2c 2+c=0,∴c=- 1 2或 c=0(舍去). 经检验,c=- 1 2符合题意,即 c=- 1 2