4.4*数学归纳法 课后·训练提升 基础巩固 1.用数学归纳法证明1+片+++∈N”n>1)时，第一步应验证不等式 2 () A1+2l,n取的第一个自然数为2，左端分母最大的项为.= 故选B 2.已知m)=1++号++片n∈N,计算得2)-4)>28)>16>3,32)》子由 此推算，当n≥2时，有() A220u∈N门 B.2n)>24m++出n∈N 2 C2N) DA2)nEN) 答案D 解析4)>2改写成22)>28)>改写成2)>16)>3改写成 2)>生号32)>致写成2>号由此可归纳得出，当n≥2时2>n∈N 3.若凸n边形有n)条对角线，则凸(n+1)边形对角线的条数n+1)为() AAn)+n+1 B.An)+n C.An)+n-1 D.An)+n-2 答案：C 解析：增加一个顶点，就增加+1-3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故 n+1)=n)+1+n+1-3=n)+n-l.故应选C 4设x)是定义在正整数集上的函数，且x)满足“当)≥2成立时，总可推出 k+1)≥(k+1)P成立”，那么下列命题总成立的是() A.若3)≥9成立，则当k≥1时，均有≥2成立 B.若5)≥25成立，则当k≤5时，均有≥2成立 C.若7)<49成立，则当k≥8时，均有)<2成立 D.若4)=25成立，则当k≥4时，均有≥2成立
4.4 * 数学归纳法 课后· 基础巩固 1.用数学归纳法证明 1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 2 𝑛-1 1)时,第一步应验证不等式 ( ). A.1+ 1 2 1,∴n 取的第一个自然数为 2,左端分母最大的项为 1 2 2 -1 = 1 3 , 故选 B. 2.已知 f(n)=1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 𝑛 (n∈N* ),计算得 f(2)= 3 2 ,f(4)>2,f(8)> 5 2 ,f(16)>3,f(32)> 7 2 ,由 此推算,当 n≥2 时,有( ). A.f(2n)> 2𝑛 +1 2 (n∈N* ) B.f(2n)> 2(𝑛+1)+1 2 (n∈N* ) C.f(2n )> 2𝑛+1 2 (n∈N* ) D.f(2n )> 𝑛+2 2 (n∈N* ) 答案:D 解析:f(4)>2 改写成 f(22 )> 2+2 2 ;f(8)> 5 2改写成 f(23 )> 3+2 2 ;f(16)>3 改写成 f(24 )> 4+2 2 ;f(32)> 7 2 改写成 f(25 )> 5+2 2 ,由此可归纳得出,当 n≥2 时,f(2n )> 𝑛+2 2 (n∈N* ). 3.若凸 n 边形有 f(n)条对角线,则凸(n+1)边形对角线的条数 f(n+1)为( ). A.f(n)+n+1 B.f(n)+n C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2 答案:C 解析:增加一个顶点,就增加 n+1-3 条对角线,另外原来的一边也变成了对角线,故 f(n+1)=f(n)+1+n+1-3=f(n)+n-1.故应选 C. 4.设 f(x)是定义在正整数集上的函数,且 f(x)满足“当 f(k)≥k 2 成立时,总可推出 f(k+1)≥(k+1)2 成立”,那么下列命题总成立的是( ). A.若 f(3)≥9 成立,则当 k≥1 时,均有 f(k)≥k 2 成立 B.若 f(5)≥25 成立,则当 k≤5 时,均有 f(k)≥k 2 成立 C.若 f(7)<49 成立,则当 k≥8 时,均有 f(k)<k2 成立 D.若 f(4)=25 成立,则当 k≥4 时,均有 f(k)≥k 2 成立
答案D 解析：对于选项D,.4)=25≥42 ∴.当k≥4时，均有附≥2 5.用数学归纳法证明等式(n+1)(n+2)(n+n)=2m×1×3×…×(2n-1)(n∈N的过程 中，从n=k到n=k+1左端需要增乘的代数式为( A.2k+1 B.2k+1 k+1 C.2(2k+1) D2k+3 ”k+1 答案：C 解析：当n=k时，等式左端为（化+1）k+2)…(k+,当n=k+1时，左端为 (k+2)k+3)[(k+1)+(k-1)][k+1)+(2k+2)=(k+1)k+2)…(k+)(2k+1)2, 故应增乘2(2k+1) 6用数学归纳法证明片++六1∈Nn≥2，由n=k到n=+1,不等式左端 的变化是( A增加 一一项 B.增加1和1一两项 2k+1 2(k+1) C.增加1和1一两项，同时减少一项 2k+1 2(k+1) D增加水1一项，同时减少装项 答案：C 解析：当n=k时，左端+行+ 2k 那么当n=k+1时，左端十2+品+十7 1 故第二步由k到+1时不等式左端的变化是增加欢和欢中 2k+西两项， 同时减少项。 7.用数学归纳法证明1+片+士+六),由n=k>)不等式成立， 推证n=k+1时，左边应增加的项数为( A.k B.2k C.2k1 D.2k-1 答案B 解析：用数学归纳法证明1++十+六l少，由m=)不等式成 立，推证n=k+1时，不等式左边的项为1+片+++安+六+++增 1 加了2k项 8用数学归纳法证明(1)×(1)×(1)X×(1)=共n≥2，neN 证明山)当n=2时，左边=1号=寻 右边=月
答案:D 解析:对于选项 D,∵f(4)=25≥4 2 , ∴当 k≥4 时,均有 f(k)≥k 2 . 5.用数学归纳法证明等式(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2 n×1×3×…×(2n-1)(n∈N* )的过程 中,从 n=k 到 n=k+1 左端需要增乘的代数式为( ). A.2k+1 B. 2𝑘+1 𝑘+1 C.2(2k+1) D. 2𝑘+3 𝑘+1 答案:C 解析:当 n=k 时,等式左端为(k+1)(k+2)…(k+k),当 n=k+1 时,左端为 (k+2)(k+3)…[(k+1)+(k-1)]·[(k+1)+k]·(2k+2)=(k+1)(k+2)…(k+k)·(2k+1)·2, 故应增乘 2(2k+1). 6.用数学归纳法证明1 𝑛 + 1 𝑛+1 +…+ 1 2𝑛 1)”,由 n=k(k>1)不等式成立, 推证 n=k+1 时,左边应增加的项数为( ). A.k B.2 k C.2 k -1 D.2 k-1 答案:B 解析:用数学归纳法证明“1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 2 𝑛 -1 1)”,由 n=k(k>1)不等式成 立,推证 n=k+1 时,不等式左边的项为 1+ 1 2 + 1 3 +…+ 1 2 𝑘-1 + 1 2 𝑘 + 1 2 𝑘+1 +…+ 1 2 𝑘+1-1 ,增 加了 2 k 项. 8.用数学归纳法证明:(1- 1 4 ) × (1- 1 9 ) × (1- 1 16 )×…×(1- 1 𝑛 2 ) = 𝑛+1 2𝑛 (n≥2,n∈N* ). 证明:(1)当 n=2 时,左边=1- 1 4 = 3 4 , 右边= 2+1 2×2 = 3 4
左边=右边，即当n=2时，等式成立 (2)假设当n=k≥2，k∈N)时，等式成立 即(1)×(1)×(1)x×(1动)=安 那么当n=k+1时，(1-)×(1-)×(1)x…×(1)- 共器=品=瑞 2(k+1) 2(k+1) 即当n=k+1时，等式成立. 综合(I)2)知，对任意n≥2，n∈N*,等式恒成立 9用数学归纳法证明宁+字+京…+京1≥2，n∈N门 证明0)当n=2时，左式=是=寻 右式= 因为好<所以不等式成立 (2)假设当n=kk≥2，k∈N时，不等式成立， 即学+京+位号 则当n=k+1时， 京+字+京位+片+对而1哈-11品1点 k(k+1)2 k(k+1)2 k(k+1)2 k+1 即当n=k+1时，不等式也成立. 综合(1)2)知，对任意n≥2的正整数，不等式都成立. 10.己知数列{an}满足Sn=2n-am (1)计算a1,a2,a3,并猜想数列{an}的通项公式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想 (1)解：当n=1时，a1=S=2-a1,即a1=1; 当n=2时，a1+a2=-2×2-am,即a2是 当n=3时，a1+a2+a3=S3=-2x3-a3,即a3-子 由此猜想数列{am}的通项公式为am 21 (2)证明：①当n=1时，a1=1,猜想成立， ②假设n=k≥L,且k∈N时，猜想成立， 即au-会 当n=k+1时 ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1,即2ak+1=2+ak, 即a12业- 即当n=k+1时，猜想成立. 由①②可知，精想对于任何nEN都成立，即a,= 2N7
左边=右边,即当 n=2 时,等式成立. (2)假设当 n=k(k≥2,k∈N* )时,等式成立, 即(1- 1 4 ) × (1- 1 9 ) × (1- 1 16)×…×(1- 1 𝑘 2 ) = 𝑘+1 2𝑘 , 那么当 n=k+1 时,(1- 1 4 ) × (1- 1 9 ) × (1- 1 16)×…×(1- 1 𝑘 2 ) [1 − 1 (𝑘+1) 2 ] = 𝑘+1 2𝑘 [1 − 1 (𝑘+1) 2 ]= 𝑘+1 2𝑘 · 𝑘(𝑘+2) (𝑘+1) 2 = 𝑘+2 2(𝑘+1) = (𝑘+1)+1 2(𝑘+1) , 即当 n=k+1 时,等式成立. 综合(1)(2)知,对任意 n≥2,n∈N* ,等式恒成立. 9.用数学归纳法证明: 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2+…+ 1 𝑛 2<1- 1 𝑛 (n≥2,n∈N* ). 证明:(1)当 n=2 时,左式= 1 2 2 = 1 4 , 右式=1- 1 2 = 1 2 . 因为1 4 < 1 2 ,所以不等式成立. (2)假设当 n=k(k≥2,k∈N* )时,不等式成立, 即 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2+…+ 1 𝑘 2<1- 1 𝑘 , 则当 n=k+1 时, 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2+…+ 1 𝑘 2 + 1 (𝑘+1) 2<1- 1 𝑘 + 1 (𝑘+1) 2=1- (𝑘+1) 2 -𝑘 𝑘(𝑘+1) 2=1- 𝑘 2+𝑘+1 𝑘(𝑘+1) 2<1- 𝑘(𝑘+1) 𝑘(𝑘+1) 2=1- 1 𝑘+1 , 即当 n=k+1 时,不等式也成立. 综合(1)(2)知,对任意 n≥2 的正整数,不等式都成立. 10.已知数列{an}满足 Sn=2n-an. (1)计算 a1,a2,a3,并猜想数列{an}的通项公式; (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想. (1)解:当 n=1 时,a1=S1=2-a1,即 a1=1; 当 n=2 时,a1+a2=S2=2×2-a2,即 a2= 3 2 ; 当 n=3 时,a1+a2+a3=S3=2×3-a3,即 a3= 7 4 . 由此猜想数列{an}的通项公式为 an= 2 𝑛 -1 2 𝑛-1 . (2)证明:①当 n=1 时,a1=1,猜想成立, ②假设 n=k(k≥1,且 k∈N* )时,猜想成立, 即 ak= 2 𝑘 -1 2 𝑘-1 , 当 n=k+1 时, ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1,即 2ak+1=2+ak, 即 ak+1= 2+𝑎𝑘 2 = 2 𝑘+1 -1 2 𝑘 , 即当 n=k+1 时,猜想成立. 由①②可知,猜想对于任何 n∈N*都成立,即 an= 2 𝑛 -1 2 𝑛-1
拓展提高 1.用数学归纳法证明1+2+3+…+_+，则当n=k+1时，左边应在n=k的基础 上加上( A.k2+1 B.(k+1)2 C.k+1)+k+12 D.(k2+1)+(2+2)+(2+3)+…+(k+1)2 答案D 解析：当n=k时，左边=1+2+3+…+2，当n=k+1时，左边 =1+2+3+…+2+(k2+1)+(2+2)+…+(k+1)2,故选D 2.设凸k边形的内角和为，则凸(k+1)边形的内角和k+1)=() Ak)+2π BA)+π C+贷 D.Ak)+ 答案B 解析：将k+1边形A1A2…AAk+1的顶点A1与相连，则原多边形被分割为k边形 A1A2…Ak与三角形A1AAk+L,其内角和k+1)是k边形的内角和与△A1AAk+1 的内角和π的和，故选B 3.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N)能被9整除”，要利用归纳假设证 n=k+1时的情况，只需展开()】 A.(k+3) B.(k+2)3 C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3 答案：A 解析：因为从n=k到n=k+1,增加了(k+3)乃，减少了，所以利用归纳假设，只需将 (k+3)3展开，证明余下的项9k2+27k+27能被9整除即可 4.观察下列各式，已知a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,+b4=7,a+b5=11,…,则归纳猜测 a7+b7等于( A.26 B.27 C.28 D.29 答案D 解析：观察发现，1+3=4,3+4=7,4+7=11,7+11=18,11+18=29，故a7+b7=29
拓展提高 1.用数学归纳法证明 1+2+3+…+n2= 𝑛 4 +𝑛 2 2 ,则当 n=k+1 时,左边应在 n=k 的基础 上加上( ). A.k 2+1 B.(k+1)2 C. (𝑘+1) 4+(𝑘+1) 2 2 D.(k 2+1)+(k 2+2)+(k 2+3)+…+(k+1)2 答案:D 解析:当 n=k 时,左边=1+2+3+…+k2 ,当 n=k+1 时,左边 =1+2+3+…+k2+(k 2+1)+(k 2+2)+…+(k+1)2 ,故选 D. 2.设凸 k 边形的内角和为 f(k),则凸(k+1)边形的内角和 f(k+1)=( ). A.f(k)+2π B.f(k)+π C.f(k)+ π 2 D.f(k)+ π 3 答案:B 解析:将 k+1 边形 A1A2…AkAk+1 的顶点 A1与 Ak 相连,则原多边形被分割为 k 边形 A1A2…Ak 与三角形 A1AkAk+1,其内角和 f(k+1)是 k 边形的内角和 f(k)与△A1AkAk+1 的内角和 π 的和,故选 B. 3.用数学归纳法证明“n 3+(n+1)3+(n+2)3 (n∈N* )能被 9 整除”,要利用归纳假设证 n=k+1 时的情况,只需展开( ). A.(k+3)3 B.(k+2)3 C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3 答案:A 解析:因为从 n=k 到 n=k+1,增加了(k+3)3 ,减少了 k 3 ,所以利用归纳假设,只需将 (k+3)3 展开,证明余下的项 9k 2+27k+27 能被 9 整除即可. 4.观察下列各式,已知 a+b=1,a 2+b2=3,a 3+b3=4,a 4+b4=7,a 5+b5=11,…,则归纳猜测 a 7+b7 等于( ). A.26 B.27 C.28 D.29 答案:D 解析:观察发现,1+3=4,3+4=7,4+7=11,7+11=18,11+18=29,故 a 7+b7=29
5.观察下列等式，照此规律，第n个等式为 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 … 答案：n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2 将原等式变形如下： 1=1=12 2+3+4=9=32 3+4+5+6+7=25=52 4+5+6+7+8+9+10=49=72 第n个等式的左边有2n-1项，第一个数是n,是2n-l个连续整数的和，则最后一个 数为n+(2n-1)1=3n-2,右边是左边项数2n-1的平方，故有 n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-12 6.用数学归纳法证明2m+1≥n2+n+2(n∈N)时，第一步的验证为 答案：当n=1时，左边=4，右边=4，左≥右，不等式成立 解析：由于n∈N,故第一步的验证为n=1的情形，即当n=1时，左≥右，不等式成 立 7.试比较2m+2与n2的大小(n∈N,并用数学归纳法证明你的结论. 解：当n=1时，21+2=4>n2=1, 当n=2时，22+2=6>n2=4, 当n=3时，23+2=10>n2=9 当n=4时，24+2=18>n2=16 由此可以猜想2m+2>n2(n∈N). 下面用数学归纳法证明这个猜想. (1)当n=1时， 左边=21+2=4，右边=1，左边>右边， 即原不等式成立 当n=2时，左边=22+2=6， 右边=22=4，即左边>右边； 当n=3时，左边=23+2=10，右边=32=9 即左边>右边 (2)假设n=k(k≥3，且k∈N时，不等式成立， 即2+2>k2.那么当n=k+1时， 2k+1+2=2·2k+2=22k+2)-2>2k2-2 因为22-2-(k+1)2=2-2k-3=(k-3)k+1)≥0，即2k2-2≥(k+1)2
5.观察下列等式,照此规律,第 n 个等式为 . 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 …… 答案:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2 将原等式变形如下: 1=1=1 2 2+3+4=9=3 2 3+4+5+6+7=25=5 2 4+5+6+7+8+9+10=49=7 2 …… 第 n 个等式的左边有 2n-1 项,第一个数是 n,是 2n-1 个连续整数的和,则最后一个 数为 n+(2n-1)-1=3n-2,右边是左边项数 2n-1 的平方,故有 n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2 . 6.用数学归纳法证明“2 n+1≥n 2+n+2(n∈N* )”时,第一步的验证为 . 答案:当 n=1 时,左边=4,右边=4,左≥右,不等式成立 解析:由于 n∈N* ,故第一步的验证为 n=1 的情形,即当 n=1 时,左≥右,不等式成 立. 7.试比较 2 n+2 与 n 2 的大小(n∈N* ),并用数学归纳法证明你的结论. 解:当 n=1 时,21+2=4>n2=1, 当 n=2 时,22+2=6>n2=4, 当 n=3 时,23+2=10>n2=9, 当 n=4 时,24+2=18>n2=16, 由此可以猜想 2 n+2>n2 (n∈N* ). 下面用数学归纳法证明这个猜想. (1)当 n=1 时, 左边=2 1+2=4,右边=1,左边>右边, 即原不等式成立. 当 n=2 时,左边=2 2+2=6, 右边=2 2=4,即左边>右边; 当 n=3 时,左边=2 3+2=10,右边=3 2=9, 即左边>右边. (2)假设 n=k(k≥3,且 k∈N* )时,不等式成立, 即 2 k+2>k2 .那么当 n=k+1 时, 2 k+1+2=2·2 k+2=2(2k+2)-2>2k 2 -2. 因为 2k 2 -2-(k+1)2=k2 -2k-3=(k-3)(k+1)≥0,即 2k 2 -2≥(k+1)2
所以2+1+2>(k+1)2成立. 根据(1)和(2)可知，猜想对于任何n∈N*都成立. 8.己知数列{an}的前n项和Sn=l-nan(n∈N), (1)计算a1,a2,a3,a4 (2)猜想数列{a}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论. 解()a1=S1=1-1×a,得a1=2 a1+a2=2=1-2×a2,得an-启 a1+a2+a3=S3=l-3×a,得a3克 a1+a2+a3+a4=S4=l4×a4,得a4=员 ②猜想aa∈N 下面用数学归纳法证明这个猜想 ①当n=l时，a1克1x+=猜想成立 ②假设当n=k≥1，k∈N时，猜想成立， 即a 当n=k+1时，Sk+1=1-(k+1)ak+1, ESk+ak+1=1-(k+1)ak+1. 又=1a点 所以在+a+1=l(+1a+, 1 从而a+1=k+1k+2=k+k+1+ 即n=k+1时，猜想也成立 故由①和②可知，对于任何n∈N猜想都成立. 挑战创新 已知数列{an}的前n项和为Sm,且满足an=Sn+12(n∈N) Sn (1)求S,S2,S3,S4的值； (2)猜想数列{S}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论 解(0a1=S1=S1+2六S1号 a2=S2-S1=S2+12, S2 S号同理5首 2)猜想Sn=在u∈N 下面用数学归纳法证明这个猜想 ①当n=1时5克=猜想成立 ②假设n=k∈N*,k≥1)时，猜想成立
所以 2 k+1+2>(k+1)2 成立. 根据(1)和(2)可知,猜想对于任何 n∈N*都成立. 8.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=1-nan(n∈N* ). (1)计算 a1,a2,a3,a4; (2)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论. 解:(1)a1=S1=1-1×a1,得 a1= 1 2 ; a1+a2=S2=1-2×a2,得 a2= 1 6 ; a1+a2+a3=S3=1-3×a3,得 a3= 1 12 ; a1+a2+a3+a4=S4=1-4×a4,得 a4= 1 20 . (2)猜想 an= 1 𝑛(𝑛+1) (n∈N* ). 下面用数学归纳法证明这个猜想. ①当 n=1 时,a1= 1 2 , 1 1×(1+1) = 1 2 ,猜想成立. ②假设当 n=k(k≥1,k∈N* )时,猜想成立, 即 ak= 1 𝑘(𝑘+1) . 当 n=k+1 时,Sk+1=1-(k+1)ak+1, 即 Sk+ak+1=1-(k+1)ak+1. 又 Sk=1-kak= 𝑘 𝑘+1 , 所以 𝑘 𝑘+1 +ak+1=1-(k+1)ak+1, 从而 ak+1= 1 (𝑘+1)(𝑘+2) = 1 (𝑘+1)[(𝑘+1)+1] , 即 n=k+1 时,猜想也成立. 故由①和②可知,对于任何 n∈N*猜想都成立. 挑战创新 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an=Sn+ 1 𝑆𝑛 -2(n∈N* ). (1)求 S1,S2,S3,S4 的值; (2)猜想数列{Sn}的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论. 解:(1)∵a1=S1=S1+ 1 𝑆1 -2,∴S1= 1 2 . ∵a2=S2-S1=S2+ 1 𝑆2 -2, ∴S2= 2 3 ,同理 S3= 3 4 ,S4= 4 5 . (2)猜想 Sn= 𝑛 𝑛+1 (n∈N* ). 下面用数学归纳法证明这个猜想. ①当 n=1 时,S1= 1 2 , 1 1+1 = 1 2 ,猜想成立. ②假设 n=k(k∈N* ,k≥1)时,猜想成立
即5 当n=k+1时，ak+1=Sk+1-Sk=S+1+12, Sk+1 即2即安洁瑞品 即当n=k+1时，猜想成立. 由①②知，猜想对任何n∈N*都成立
即 Sk= 𝑘 𝑘+1 . 当 n=k+1 时,ak+1=Sk+1-Sk=Sk+1+ 1 𝑆𝑘+1 -2, 即 1 𝑆𝑘+1 =2-Sk,即 Sk+1= 1 2-𝑆𝑘 = 1 2- 𝑘 𝑘+1 = 𝑘+1 𝑘+2 = 𝑘+1 (𝑘+1)+1 , 即当 n=k+1 时,猜想成立. 由①②知,猜想对任何 n∈N*都成立