第2课时 等比数列的性质 课后训练提升 基础巩固 1.若等比数列{am}的公比q=a1=V2,则数列{an}是( A递增数列 B.递减数列 C.常数数列 D以上都不是 答案B 解析：因为q=1,a>1,所以{am}是递减数列。 2.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是()， A.a1,a3,a9成等比数列 B.a2,a3,a6成等比数列 C.a2,a4,a8成等比数列 D.a3,a6,a9成等比数列 答案D 解析：因为a2=a3a9,所以a3,a6,a9成等比数列. 3.己知数列{am}满足log3an+1=log3am+l,且a2+a4+a6=9,则log1(a5+a7+a9)的值是 (） A.-5 B C.5 答案：A 解析：由题知log3an+1=log3(3an)=log3am+1, 则an+1=3an>0,即nt出-3，故{am}是公比q=3的等比数列. an 则a5+a7+a9=(a+a4+a6)g3=9×33=35, logi(as+a7+a9)=l0g:35=-5 4.已知-9,1，a2,-1四个数成等差数列，-9，b1,b2,b3,1五个数成等比数列，则b2(a2-a1) 等于( A.-8 B.8 c号 D号 答案A 解析：由题知m-1=-,好=(9)×I)=9,且b加<0，即bn=-3, 故b2(a2-a)=(-3)×8-8. 5.在各项均为正数的等比数列{an}中，an+1<am,a2a8=6,a4+a6=5,则等于()】
第 2 课时 等比数列的性质 课后· 基础巩固 1.若等比数列{an}的公比 q= 1 4 ,a1=√2,则数列{an}是( ). A.递增数列 B.递减数列 C.常数数列 D.以上都不是 答案:B 解析:因为 q= 1 4 1,所以{an}是递减数列. 2.对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( ). A.a1,a3,a9 成等比数列 B.a2,a3,a6 成等比数列 C.a2,a4,a8 成等比数列 D.a3,a6,a9 成等比数列 答案:D 解析:因为𝑎6 2=a3a9,所以 a3,a6,a9 成等比数列. 3.已知数列{an}满足 log3an+1=log3an+1,且 a2+a4+a6=9,则 log1 3 (a5+a7+a9)的值是 ( ). A.-5 B.- 1 5 C.5 D. 1 5 答案:A 解析:由题知 log3an+1=log3(3an)=log3an+1, 则 an+1=3an>0,即 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 =3,故{an}是公比 q=3 的等比数列. 则 a5+a7+a9=(a2+a4+a6)q 3=9×3 3=3 5 , 得 log1 3 (a5+a7+a9)=log1 3 3 5=-5. 4.已知-9,a1,a2,-1 四个数成等差数列,-9,b1,b2,b3,-1 五个数成等比数列,则 b2(a2-a1) 等于( ). A.-8 B.8 C.- 9 8 D. 9 8 答案:A 解析:由题知 a2-a1= -1+9 3 = 8 3 , 𝑏2 2=(-9)×(-1)=9,且 b2<0,即 b2=-3, 故 b2(a2-a1)=(-3)× 8 3 =-8. 5.在各项均为正数的等比数列{an}中,an+1<an,a2·a8=6,a4+a6=5,则 𝑎5 𝑎7 等于( )
B c 明 答案D 解析：设公比为q,则由等比数列{an}各项为正数且am+1<am,知0<q<1。 由ams=6,得=6，则as=V6a4+a69+V6=5,解得g=后故号=六=（月=月 6.在等比数列{an}中，若a3=16,a1aa3a10=265,则a7= 答案：256 解析：设等比数列{am}的公比为q. ,a1a2a3a10=(a3a8)=265,∴.a3a8=23 .a3=16=24,∴.a8=29=512 又as=a39,∴g=2,∴a7=里=52=256 7.己知6，a,b,48成等差数列，6，c,d,48成等比数列，则a+b+c+d= 答案：90 解析由题知a+b=6+48=54,(月°=cd-28,则c=12d=24, 故a+b+c+d=54+12+24=90 8.一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2KB,然后每3分钟复制自身 一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后 分钟，该病毒占据内 存64MB(1MB=210KB)】 答案：45 解析：由题意可得，每3分钟病毒占的内存容量构成一个首项为2，公比为2的等比 数列，设病毒占据64MB时自身复制了n次，即2×2m=64×210=216,解得n=15,即复 制的时间为15×3=45分钟. 9.在等比数列{an}中，若a12a3a4=1,a13a14a15a16=8,则a41a42a43a44= 答案：1024 解析：设等比数列{an}的公比为q, 则a1a2a3a4=a1a1qa1g2a1g3=a1g5=1,① a13a14a1sa16=a1q2a1ql3.a1q14a1q15=a1q54=8,② 由②÷①，得g48=8,g6=2, 故a41a42a43a4=a1g40.a1g41a1g2.a1g43=a4g166=a1g5-g160=(a1q5)(gl6)10=210=1 024. 10.设关于x的一元二次方程amx2-am+1x+1=0(n∈N)有两个根a,B,且满足6a 2cB+6β=3. (I)试用an表示am+1; (2)当a-时，求数列{an}的通项公式 解(1)由根与系数的关系，得a+B=中，邱= an an
A. 5 6 B. 6 5 C. 2 3 D. 3 2 答案:D 解析:设公比为 q,则由等比数列{an}各项为正数且 an+1<an,知 0<q<1. 由 a2·a8=6,得𝑎5 2=6,则 a5=√6,a4+a6= √6 𝑞 + √6q=5,解得 q= 2 √6 ,故 𝑎5 𝑎7 = 1 𝑞 2 = ( √6 2 ) 2 = 3 2 . 6.在等比数列{an}中,若 a3=16,a1a2a3·…·a10=2 65 ,则 a7= . 答案:256 解析:设等比数列{an}的公比为 q. ∵a1a2a3·…·a10=(a3a8) 5=2 65 ,∴a3a8=2 13 . ∵a3=16=2 4 ,∴a8=2 9=512. 又 a8=a3q 5 ,∴q=2,∴a7= 𝑎8 𝑞 = 512 2 =256. 7.已知 6,a,b,48 成等差数列,6,c,d,48 成等比数列,则 a+b+c+d= . 答案:90 解析:由题知 a+b=6+48=54,( 𝑑 𝑐 ) 3 = 48 6 ,cd=288,则 c=12,d=24, 故 a+b+c+d=54+12+24=90. 8.一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存 2 KB,然后每 3 分钟复制自身 一次,复制后所占内存是原来的 2 倍,那么开机后 分钟,该病毒占据内 存 64 MB(1 MB=2 10 KB). 答案:45 解析:由题意可得,每 3 分钟病毒占的内存容量构成一个首项为 2,公比为 2 的等比 数列,设病毒占据 64 MB 时自身复制了 n 次,即 2×2 n=64×2 10=2 16 ,解得 n=15,即复 制的时间为 15×3=45 分钟. 9.在等比数列{an}中,若 a1a2a3a4=1,a13a14a15a16=8,则 a41a42a43a44= . 答案:1 024 解析:设等比数列{an}的公比为 q, 则 a1a2a3a4=a1·a1q·a1q 2·a1q 3=𝑎1 4·q 6=1,① a13a14a15a16=a1q 12·a1q 13·a1q 14·a1q 15=𝑎1 4·q 54=8,② 由②÷①,得 q 48=8,q 16=2, 故 a41a42a43a44=a1q 40·a1q 41·a1q 42·a1q 43=𝑎1 4·q 166=𝑎1 4·q 6·q 160=(𝑎1 4·q 6 )(q 16) 10=2 10=1 024. 10.设关于 x 的一元二次方程 anx 2 -an+1x+1=0(n∈N* )有两个根 α,β,且满足 6α- 2αβ+6β=3. (1)试用 an 表示 an+1; (2)当 a1= 7 6时,求数列{an}的通项公式. 解:(1)由根与系数的关系,得 α+β= 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 ,αβ= 1 𝑎𝑛
因为6a-2aB+6B=3,所以0-二=3， an an 即am1n号 2)因为am1之an+号 所以a1号=(a引且a= 故{an}是首项为5公比为的等比数列，即am号-( 佾，即教列{a}的道项公式为 号+)” 11.海滩上有一堆苹果，五只猴子来分，第一只猴子把苹果分成五等份，多一个，于是 它把多的一个扔到海里，取走一份，第二只猴子把剩下的苹果也分成五等份，多了 一个，它把多的一个扔到海里，取走一份；余下三只猴子都是如此处理原来至少有 多少个苹果？最后至少剩下多少个苹果？ 解：设最初的苹果数为a1,五只猴子分剩的苹果数依次为a2,a3,a4,5,a6, 由题意得，am1=(am-l)片arl)amr后( 设a+1+x-音an+y即an+1-=台an字文 对照（式得=得=4 即an1+4=an+4 故数列{am+4号为等比数列，首项为a1+4,公比q即a6+4=(a1+4)×(目)， 因光=a*40x(目°4 由题意知a6为整数，故a1+4的最小值是55， 则a1的最小值是55-4=3121 即最初至少有3121个苹果， 从而最后至少剩下a6=45-4=1020个苹果 拓展提高 1在3和一个未知数之间填上一个数，使三个数成等差数列，若中间项减去6，则成 等比数列，则此未知数是() A.3 B.27 C.3或27 D.15或27 答案：C 解析：设此三个数为3，a,b,则} 2a=3+b, (a-6)2=3b, 件6二子气合=2品 故这个未知数为3或27. 2.(多选题)设{an}(n∈N)是各项均为正数的等比数列，g是其公比，Kn是其前n项 的积，且K5K8,则下列选项中成立的是( A.0<q<1 B.a7=1
因为 6α-2αβ+6β=3,所以6𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 − 2 𝑎𝑛 =3, 即 an+1= 1 2 an+ 1 3 . (2)因为 an+1= 1 2 an+ 1 3 , 所以 an+1- 2 3 = 1 2 (𝑎𝑛 - 2 3 ),且 a1- 2 3 = 1 2 , 故{𝑎𝑛 - 2 3 }是首项为1 2 ,公比为1 2的等比数列,即 an- 2 3 = ( 1 2 ) 𝑛 ,即数列{an}的通项公式为 an= 2 3 + ( 1 2 ) 𝑛 . 11.海滩上有一堆苹果,五只猴子来分,第一只猴子把苹果分成五等份,多一个,于是 它把多的一个扔到海里,取走一份;第二只猴子把剩下的苹果也分成五等份,多了 一个,它把多的一个扔到海里,取走一份;余下三只猴子都是如此处理.原来至少有 多少个苹果?最后至少剩下多少个苹果? 解:设最初的苹果数为 a1,五只猴子分剩的苹果数依次为 a2,a3,a4,a5,a6, 由题意得,an+1=(an-1)- 1 5 (an-1)= 4 5 an- 4 5 , (*) 设 an+1+x=4 5 (an+x),即 an+1= 4 5 an- 1 5 x, 对照(*)式,得- 1 5 x=- 4 5 ,得 x=4. 即 an+1+4= 4 5 (an+4). 故数列{an+4}为等比数列,首项为 a1+4,公比 q= 4 5 ,即 a6+4=(a1+4)×( 4 5 ) 5 , 因此 a6=(a1+4)×( 4 5 ) 5 -4. 由题意知 a6 为整数,故 a1+4 的最小值是 5 5 , 则 a1 的最小值是 5 5 -4=3 121, 即最初至少有 3 121 个苹果, 从而最后至少剩下 a6=4 5 -4=1 020 个苹果. 拓展提高 1.在 3 和一个未知数之间填上一个数,使三个数成等差数列,若中间项减去 6,则成 等比数列,则此未知数是( ). A.3 B.27 C.3 或 27 D.15 或 27 答案:C 解析:设此三个数为 3,a,b,则{ 2𝑎 = 3 + 𝑏, (𝑎-6) 2 = 3𝑏, 解得{ 𝑎 = 3, 𝑏 = 3 或 { 𝑎 = 15, 𝑏 = 27, 故这个未知数为 3 或 27. 2.(多选题)设{an}(n∈N* )是各项均为正数的等比数列,q 是其公比,Kn 是其前 n 项 的积,且 K5K8,则下列选项中成立的是( ). A.0<q<1 B.a7=1
C.K>Ks D.K6与K7均为Kn的最大值 答案：ABD 解析：根据题意，依次分析选项 对于A,由K51,则q=∈(0,1)，故A正确； 对于B,若K6=K7,则a==1,故B正确 K6 对于C,{an}是各项为正数的等比数列，且q∈(0,1)，K5K8>K9,得 a69=l,K=Kg=K6 arasa=K6吗93，故绕=aa 。1,则有KK8,可得D正确. 3.己知等比数列{an}的公比为q(q≠-l),设bm=amn-l1)+1+am-l)+2+…+amml)+m, Cn=amn-l)+1amm-l)+2 Am(n-1)+m,则以下结论一定正确的是()】 A.数列{bn}为等差数列，公差为gm B.数列{bn}为等比数列，公比为g2m C数列{cn}为等比数列，公比为qm D数列{cn}为等比数列，公比为qmm 答案：C 解折b.=amar(1+g9+…+9,由g-l,易知b0,2= 故数列{bm}为等比数列，公比为gm,选项A,B均错误； Cn=am(n1)1q+2(m)Cn1=amnt amn+1 am-1)+1 =(qmym=gm Cn Lam(n-1)+1. 故数列{cn}为等比数列，公比为qm,选项D错误，选项C正确 4.在等比数列{an}中，有a3a11=4a7,数列{bm}是等差数列，且b7=a7,则 b5+b9= 答案：8 解析：由等比数列的性质，得a3a1=a,即a=4a, 由于a7≠0，得a7=4 又b7=a7=4,由等差数列的性质，知b5+b9=2b7=8 5.设{an}是公比为g的等比数列，lq>1,令bm=an+1(n=1,2,…),若数列{bm}有连续四 项在集合{-53，-23,19,37,82}中，则6g= 答案：-9 解析：由题意知，数列{bm}有连续四项在集合{-53，-23,19,37,82}中，说明等比数列 {an}有连续四项在集合{-54，-24,18,36,81}中，由于数列{am}中连续四项至少有一项 为负，即q1,即数列{an}的连续四项依次为-24,36，-54,81. 则9=故6g=9 6.已知三个数成等比数列，其积为512，若第一个数与第三个数各减去2，此时的三 个数成等差数列，则原来的三个数的和等于
C.K9>K5 D.K6 与 K7 均为 Kn的最大值 答案:ABD 解析:根据题意,依次分析选项. 对于 A,由 K51,则 q= 𝑎7 𝑎6 ∈(0,1),故 A 正确; 对于 B,若 K6=K7,则 a7= 𝐾7 𝐾6 =1,故 B 正确; 对于 C,{an}是各项为正数的等比数列,且 q∈(0,1),K5K8>K9,得 a6·q=1,K5= 𝐾6 𝑎6 ,K9=K6·a7·a8·a9=K6·𝑎7 3·q 3 ,故 𝐾5 𝐾9 = 1 𝑎6 ·𝑞 3>1,则有 K9K8,可得 D 正确. 3.已知等比数列{an}的公比为 q(q≠-1),设 bn=am(n-1)+1+am(n-1)+2+…+am(n-1)+m, cn=am(n-1)+1·am(n-1)+2·…·am(n-1)+m,则以下结论一定正确的是( ). A.数列{bn}为等差数列,公差为 q m B.数列{bn}为等比数列,公比为 q 2m C.数列{cn}为等比数列,公比为𝑞 𝑚2 D.数列{cn}为等比数列,公比为𝑞 𝑚𝑚 答案:C 解析:bn=am(n-1)+1·(1+q+q2+…+qm-1 ),由 q≠-1,易知 bn≠0,𝑏𝑛+1 𝑏𝑛 = 𝑎𝑚𝑛+1 𝑎𝑚(𝑛-1)+1 =qm, 故数列{bn}为等比数列,公比为 q m,选项 A,B 均错误; cn=𝑎𝑚(𝑛-1)+1 𝑚 ·q 1+2+…+(m-1) , 𝑐𝑛+1 𝑐𝑛 = 𝑎𝑚𝑛+1 𝑚 𝑎𝑚(𝑛-1) +1 𝑚 = [ 𝑎𝑚𝑛+1 𝑎𝑚(𝑛-1)+1 ] 𝑚 =(q m) m=𝑞 𝑚2 , 故数列{cn}为等比数列,公比为𝑞 𝑚2 ,选项 D 错误,选项 C 正确. 4.在等比数列{an}中,有 a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且 b7=a7,则 b5+b9= . 答案:8 解析:由等比数列的性质,得 a3a11=𝑎7 2 ,即𝑎7 2=4a7, 由于 a7≠0,得 a7=4. 又 b7=a7=4,由等差数列的性质,知 b5+b9=2b7=8. 5.设{an}是公比为 q 的等比数列,|q|>1,令 bn=an+1(n=1,2,…),若数列{bn}有连续四 项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则 6q= . 答案:-9 解析:由题意知,数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,说明等比数列 {an}有连续四项在集合{-54,-24,18,36,81}中,由于数列{an}中连续四项至少有一项 为负,即 q1,即数列{an}的连续四项依次为-24,36,-54,81. 则 q= 36 -24 =- 3 2 ,故 6q=-9. 6.已知三个数成等比数列,其积为 512,若第一个数与第三个数各减去 2,此时的三 个数成等差数列,则原来的三个数的和等于
答案28 解析：根据题意设原来的三个数依次为总a,ag, 5号aag-512a=8 又第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列，（侣-2）+(ag-2)=2a, ∴2q2-5g+2=0,∴9=2或q2 .原来的三个数依次为4,8,16或16,8,4， ∴.原来的三个数的和等于28 7.如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC=2V2过点A作BC的垂线，垂足为A1; 过点A1作AC的垂线，垂足为A2;过点A2作AC的垂线，垂足为A3…依此类推 设BA=Q1,AA1=a2,AA2=a3,…,A5A6=a7,则a7= A B 答案号 解析：在等腰直角三角形ABC中，因为斜边BC=2VZ, 所以AB=AC=a=2AA=g=V2…4d=am1=sina- 2 an, 所以{a}是首项为2，公比为要的等比数列，即a-2×(月)”，故a=2×(图°=月 8.在等差数列{an}中，公差d0,a1,a2,a4成等比数列.已知数列 a1,a3,akak2,…,akn…也成等比数列，求数列{n}的通项公式。 解：由题意得a吃=a1a4,即(a1+d}=a(a1+3d,得dd-a1)=0,:d0,∴.a1=d 又a1,a0k,ak2…,akn…成等比数列， 该教列的公比g=2=-3,a,=a3 ak=a1+(kn-I)d=kna1, .数列{kn}的通项公式为kn=3m+川 挑战创新 在等比数列{am}中，a1>1,公比q>0.设bn=log2am,且b1+b3+b5=6,b1b3b5=0. (I)求证：数列{bm}是等差数列： (2)求数列{bm}的前n项和Sn及数列{an}的通项公式； (3)试比较an与Sm的大小 (1)证明：.bm=log2an, bn+1-bn=log2am+1-log2an=log22±=log2q(g>0)为常数， an .数列{bn}为等差数列，且公差d=log2q
答案:28 解析:根据题意设原来的三个数依次为𝑎 𝑞 ,a,aq, ∵ 𝑎 𝑞 ·a·aq=512,∴a=8. 又第一个数与第三个数各减去 2 后的三个数成等差数列,∴( 𝑎 𝑞 -2)+(aq-2)=2a, ∴2q 2 -5q+2=0,∴q=2 或 q= 1 2 , ∴原来的三个数依次为 4,8,16 或 16,8,4, ∴原来的三个数的和等于 28. 7.如图,在等腰直角三角形 ABC 中,斜边 BC=2√2.过点 A 作 BC 的垂线,垂足为 A1; 过点 A1 作 AC 的垂线,垂足为 A2;过点 A2 作 A1C 的垂线,垂足为 A3……依此类推. 设 BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,…,A5A6=a7,则 a7= . 答案: 1 4 解析:在等腰直角三角形 ABC 中,因为斜边 BC=2√2, 所以 AB=AC=a1=2,AA1=a2=√2,…,An-1An=an+1=sinπ 4 ·an= √2 2 an, 所以{an}是首项为 2,公比为√2 2 的等比数列,即 an=2×( √2 2 ) 𝑛-1 ,故 a7=2×( √2 2 ) 6 = 1 4 . 8.在等差数列{an}中,公差 d≠0,a1,a2,a4成等比数列.已知数列 a1,a3,𝑎𝑘1 , 𝑎𝑘2 ,…,𝑎𝑘𝑛 ,…也成等比数列,求数列{kn}的通项公式. 解:由题意得𝑎2 2=a1a4,即(a1+d) 2=a1(a1+3d),得 d(d-a1)=0,∵d≠0,∴a1=d. 又 a1,a3,𝑎𝑘1 , 𝑎𝑘2 ,…,𝑎𝑘𝑛 ,…成等比数列, ∴该数列的公比 q= 𝑎3 𝑎1 = 3𝑑 𝑑 =3,∴𝑎𝑘𝑛 =a1·3 n+1 . ∵𝑎𝑘𝑛 =a1+(kn-1)d=kna1, ∴数列{kn}的通项公式为 kn=3 n+1 . 挑战创新 在等比数列{an}中,a1>1,公比 q>0.设 bn=log2an,且 b1+b3+b5=6,b1b3b5=0. (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{bn}的前 n 项和 Sn 及数列{an}的通项公式; (3)试比较 an 与 Sn 的大小. (1)证明:∵bn=log2an, ∴bn+1-bn=log2an+1-log2an=log2 𝑎𝑛+1 𝑎𝑛 =log2q(q>0)为常数, ∴数列{bn}为等差数列,且公差 d=log2q
(2)解：.b1+b3+b5=6 ∴.(b1+b5)+b3=2b3+b3=3b3=6,即b3=2 a1>1,.b1=log2a1>0, 又b1b3b5=0,∴.b5=0, 收=众十品得治子 ∴Sn=4n+里(1)=n 2 2 d=og29=l,∴9-2 .b1=l0g2a1=4,∴.a1=16,∴.an=25m (3)解：由(2)知，an=25m>0,当n≥9时，Sn=m9≤0，即当n≥9时，a>Sn 2 :a1=16.m-=8,a3=4,a4=2,a5=1,a6=as S1=4,S2=7,S3=9,S4=10,S5=10,S6=9,S7=7,S8=4, ∴.当n=3,4,5,6,7,8时，anSm
(2)解:∵b1+b3+b5=6, ∴(b1+b5)+b3=2b3+b3=3b3=6,即 b3=2. ∵a1>1,∴b1=log2a1>0, 又 b1·b3·b5=0,∴b5=0, 即{ 𝑏3 = 𝑏1 + 2𝑑 = 2, 𝑏5 = 𝑏1 + 4𝑑 = 0, 解得{ 𝑏1 = 4, 𝑑 = -1, ∴Sn=4n+𝑛(𝑛-1) 2 ·(-1)= 9𝑛-𝑛 2 2 . ∵d=log2q=-1,∴q= 1 2 . ∵b1=log2a1=4,∴a1=16,∴an=2 5-n . (3)解:由(2)知,an=2 5-n>0,当 n≥9 时,Sn= 𝑛(9-𝑛) 2 ≤0,即当 n≥9 时,an>Sn. ∵a1=16,a2=8,a3=4,a4=2,a5=1,a6= 1 2 ,a7= 1 4 ,a8= 1 8 , S1=4,S2=7,S3=9,S4=10,S5=10,S6=9,S7=7,S8=4, ∴当 n=3,4,5,6,7,8 时,anSn