5.2.3简单复合函数的导数 课后训练提升 基础巩固 1.函数y=(x2-1”的复合过程正确的是() Ay=",u=x2-1 By=(w-1y”,u=x2 C.y=t"t=(x2-1 Dy=(t-1y,1=x2-1 答案：A 2.函数y=e+e的导数y=( A.(er-e") B.(ex+e) C.er-ex D.er+ex 答案：A 3.设函数x)=(1-2x3)10,则f1)等于( A.0 B.60 C.-1 D.-60 答案B 解析：因为fx)=10(1-2x3)(-6xr2), 所以f1)=10×(1-2)×(-6)=60. 4.函数y=xln(2x+5)的导数y'=( A.lm(2x+5) Bln2x+5)+2 C.2xln(2x+5) D 答案B 解析y'=[xln(2xr+5)]1 =x1n(2x+5)+xln(2x+5)]' -l(2x+5)+xz+(2x+5Y n2x+5j+25 5.函数y=cos2x+sin√x的导数y'=() A.-2sin 2x+cos 2vx B.2sin 2x+cos 2v C.-2sin 2x+sin 2Vx D.2sin 2xcos 2vx
5.2.3 简单复合函数的导数 课后· 基础巩固 1.函数 y=(x 2 -1)n 的复合过程正确的是( ). A.y=un ,u=x2 -1 B.y=(u-1)n ,u=x2 C.y=tn ,t=(x 2 -1)n D.y=(t-1)n ,t=x2 -1 答案:A 2.函数 y= 1 2 (ex+e -x )的导数 y'=( ). A. 1 2 (ex -e -x ) B. 1 2 (ex+e -x ) C.e x -e -x D.e x+e -x 答案:A 3.设函数 f(x)=(1-2x 3 ) 10 ,则 f'(1)等于( ). A.0 B.60 C.-1 D.-60 答案:B 解析:因为 f'(x)=10(1-2x 3 ) 9 (-6x 2 ), 所以 f'(1)=10×(1-2)9×(-6)=60. 4.函数 y=xln(2x+5)的导数 y'=( ). A.ln(2x+5)- 𝑥 2𝑥+5 B.ln(2x+5)+ 2𝑥 2𝑥+5 C.2xln(2x+5) D. 𝑥 2𝑥+5 答案:B 解析:y'=[xln(2x+5)]' =x'ln(2x+5)+x[ln(2x+5)]' =ln(2x+5)+x· 1 2𝑥+5 ·(2x+5)' =ln(2x+5)+ 2𝑥 2𝑥+5 . 5.函数 y=cos 2x+sin √𝑥的导数 y'=( ). A.-2sin 2x+cos √𝑥 2√𝑥 B.2sin 2x+cos √𝑥 2√𝑥 C.-2sin 2x+sin √𝑥 2√𝑥 D.2sin 2xcos √𝑥 2√𝑥
答案：A 解析y'=-sin2x(2x)'+cos(Wx) -2sn2x+号2c0sV =-2sin 2x+cos 2Vx 6.设曲线y=ar-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a等于() A.0 B.1 C.2 D.3 答案D 解析y=a由题意得y10=2,即a-l=2,所以a=3. 7.函数y=sin2xcos3x的导数y'= 答案：2cos2xcos3x-3sin2xsin3x :y'=(sin 2x)'cos 3x+sin 2x(cos 3x)'=2cos 2xcos 3x-3sin 2xsin 3x. 8.曲线y=xel在点(1,1)处的切线的斜率为 答案2 解析y'=e-l+xe-l=(r+I)e-l 故曲线在点(1,1)处的切线斜率为(1+1)e-1=2 9.若函数y=sin4x-cos4x,则y'= 答案：2sin2x 解析：，y=sin4x-cos4x=(sin2x+cos2x)(sinx-cos2x)=-cos2x, .'.y'=(-cos 2x)'=-(-sin 2x)(2x)'=2sin 2x. 10.若x)=(2x+a2,且f2)=20,则a= 答案1 解析：fx)=2(2x+a)(2xr+a)'=4(2xr+a 则f2)=4(2×2+ad)=20,所以a=1 11.若曲线y=ex在点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标 是 答案：-ln2,2) 解析：设P(o,eo)则八=。=eo=-2,得n=lh2,所以，点P的坐标为(h2,2) 12.求曲线y=2sim2x在点P(后，)处的切线方程 解：因为y'=(2sin2x)'=2×2sinx(sinx)'=2×2 sin xcos x=2sin2x, 所以切线斜率为k=2sim(2×羽)=V3 所以所求切线方程为=V3(x) 即Vy片--0 拓展提高
答案:A 解析:y'=-sin 2x·(2x)'+cos √𝑥·(√𝑥)' =-2sin 2x+1 2 · 1 √𝑥 cos √𝑥 =-2sin 2x+cos √𝑥 2√𝑥 . 6.设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a 等于( ). A.0 B.1 C.2 D.3 答案:D 解析:y'=a- 1 𝑥+1 ,由题意得 y'|x=0=2,即 a-1=2,所以 a=3. 7.函数 y=sin 2xcos 3x 的导数 y'= . 答案:2cos 2xcos 3x-3sin 2xsin 3x 解析:y'=(sin 2x)'·cos 3x+sin 2x(cos 3x)'=2cos 2xcos 3x-3sin 2xsin 3x. 8.曲线 y=xe x-1 在点(1,1)处的切线的斜率为 . 答案:2 解析:y'=e x-1+xe x-1=(x+1)ex-1 , 故曲线在点(1,1)处的切线斜率为(1+1)e1-1=2. 9.若函数 y=sin4x-cos4x,则 y'= . 答案:2sin 2x 解析:∵y=sin4x-cos4x=(sin2x+cos2x)·(sin2x-cos2x)=-cos 2x, ∴y'=(-cos 2x)'=-(-sin 2x)·(2x)'=2sin 2x. 10.若 f(x)=(2x+a) 2 ,且 f'(2)=20,则 a= . 答案:1 解析:f'(x)=2(2x+a)·(2x+a)'=4(2x+a), 则 f'(2)=4(2×2+a)=20,所以 a=1. 11.若曲线 y=e -x 在点 P 处的切线平行于直线 2x+y+1=0,则点 P 的坐标 是 . 答案:(-ln 2,2) 解析:设 P(x0,e -𝑥0 ),则 y'| 𝑥=𝑥0 =-e -𝑥0=-2,得 x0=-ln 2,所以点 P 的坐标为(-ln 2,2). 12.求曲线 y=2sin2x 在点 P( π 6 , 1 2 )处的切线方程. 解:因为 y'=(2sin2x)'=2×2sin x(sin x)'=2×2sin xcos x=2sin 2x, 所以切线斜率为 k=2sin(2 × π 6 )=√3. 所以所求切线方程为 y- 1 2 = √3(𝑥- π 6 ), 即√3x-y+1 2 − √3π 6 =0. 拓展提高
1.函数y=sin2xr-cos2x的导数y=() A.2VZcos(2x-) B.cos 2x-sin 2x C.sin 2x+cos 2x D.2/Zcos(2x+) 答案：A :y'=(sin 2x)-(cos 2x)'=cos 2x-(2x)'+sin 2x(2x)'=2cos 2x+2sin 2x -22(匠c0s2x+号sin2x)-2V2c0s(2x-盟)故选A 2.曲线y=e2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为 () A号 B时 D.1 答案A 解析：y1=0=-2e20=-2,∴.曲线在点(0,2)处的切线方程为y=-2x+2. 如图，由二2x+2得xy号 ly=x, =-2x+2 A作，引 故所求三角形的面积为2×x1号 3.曲线y=e5x+2在点(0,3)处的切线方程为 答案：5x+y-3=0 解析：因为y'=e5x(-5x)'=-5e5r 所以切线斜率为k=-5, 故切线方程为y-3=-5(x-0), 即5x+y-3=0. 4.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切，则a的值为 答案2 解析：设切点坐标是(x0,xo+1), (1=1, 依题意有{x+a (xo+1=In(xo+a), 得x0=-1,a=2
1.函数 y=sin 2x-cos 2x 的导数 y'=( ). A.2√2cos(2𝑥- π 4 ) B.cos 2x-sin 2x C.sin 2x+cos 2x D.2√2cos(2𝑥 + π 4 ) 答案:A 解析:y'=(sin 2x)'-(cos 2x)'=cos 2x·(2x)'+sin 2x·(2x)'=2cos 2x+2sin 2x =2√2( √2 2 cos 2𝑥 + √2 2 sin 2𝑥)=2√2cos(2𝑥 − π 4 ).故选 A. 2.曲线 y=e -2x+1 在点(0,2)处的切线与直线 y=0 和 y=x 围成的三角形的面积为 ( ). A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D.1 答案:A 解析:∵y'|x=0=-2e-2×0=-2,∴曲线在点(0,2)处的切线方程为 y=-2x+2. 如图,由{ 𝑦 = -2𝑥 + 2, 𝑦 = 𝑥, 得 x=y= 2 3 , ∴A( 2 3 , 2 3 ). 故所求三角形的面积为1 2 × 2 3 ×1= 1 3 . 3.曲线 y=e -5x+2 在点(0,3)处的切线方程为 . 答案:5x+y-3=0 解析:因为 y'=e -5x (-5x)'=-5e-5x , 所以切线斜率为 k=-5, 故切线方程为 y-3=-5(x-0), 即 5x+y-3=0. 4.已知直线 y=x+1 与曲线 y=ln(x+a)相切,则 a 的值为 . 答案:2 解析:设切点坐标是(x0,x0+1), 依题意有{ 1 𝑥0 +𝑎 = 1, 𝑥0 + 1 = ln(𝑥0 + 𝑎), 得 x0=-1,a=2
5.己知x)为偶函数，当x≤0时x)=e1-x,则曲线y=x)在点(1,2)处的切线方程 是 答案：2x-y=0 解析：设x>0,则-x<0,-x)=e-l+x 又x)为偶函数，所以x)=e-l+x,所以fx)=e-l+1f1)=2,所以所求的切线方程为 y-2=2x-1),即2x-y=0. 6.求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线12x-y+3=0的最短距离， 解：作出直线12x-y+3=0和曲线y=l(2x-1)(图略)，可知它们无公共点，平移直线1， 当平移后的直线与曲线相切时，切点到直线1的距离就是曲线上的点到直线1的 最短距离， y2y品 设切点为Pow所以2，得0=l 所以yo=n(2×1-1)=0,所以，点P(1,0). 所以曲线y=ln(2x-1)上的点到直线12x-y+3=0的最短距离为，点P(1,0)到直线12x y+3=0的距离，最短距离d-X104=后=V5 22+61)2 挑战创新 曲线y=e2xcos3x在点(0,1)处的切线与直线1平行，且与1的距离为V5,求直线1的 方程 :y'=(e2xcos 3x)'=(e2x)'cos 3x+e2x(cos 3x)'=2e2xcos 3x+e2x(-3sin 3x) =e2x(2cos 3x-3sin 3x),yx=0=2 则切线方程为y-1=2(x-0),即2x-y+1=0 由直线1与切线平行，可设直线1的方程为2xy+c=0(c≠1)， 则两平行线间的距离d=c=√5，得c=6或c=-4 5 故直线1的方程为2xy+6=0或2x-y-4=0
5.已知 f(x)为偶函数,当 x≤0 时,f(x)=e -x-1 -x,则曲线 y=f(x)在点(1,2)处的切线方程 是 . 答案:2x-y=0 解析:设 x>0,则-x<0,f(-x)=e x-1+x. 又 f(x)为偶函数,所以 f(x)=e x-1+x,所以 f'(x)=e x-1+1,f'(1)=2,所以所求的切线方程为 y-2=2(x-1),即 2x-y=0. 6.求曲线 y=ln(2x-1)上的点到直线 l:2x-y+3=0 的最短距离. 解:作出直线 l:2x-y+3=0 和曲线 y=ln(2x-1)(图略),可知它们无公共点,平移直线 l, 当平移后的直线与曲线相切时,切点到直线 l 的距离就是曲线上的点到直线 l 的 最短距离. y'= 1 2𝑥-1 (2x-1)'= 2 2𝑥-1 . 设切点为 P(x0,y0),所以 2 2𝑥0 -1 =2,得 x0=1, 所以 y0=ln(2×1-1)=0,所以点 P(1,0). 所以曲线 y=ln(2x-1)上的点到直线 l:2x-y+3=0 的最短距离为点 P(1,0)到直线 l:2xy+3=0 的距离,最短距离 d=|2×1-0+3| √2 2 +(-1) 2 = 5 √5 = √5. 挑战创新 曲线 y=e 2xcos 3x 在点(0,1)处的切线与直线 l 平行,且与 l 的距离为√5,求直线 l 的 方程. 解:由 y'=(e2xcos 3x)'=(e2x )'cos 3x+e 2x (cos 3x)'=2e2xcos 3x+e 2x (-3sin 3x) =e 2x (2cos 3x-3sin 3x),得 y'|x=0=2. 则切线方程为 y-1=2(x-0),即 2x-y+1=0. 由直线 l 与切线平行,可设直线 l 的方程为 2x-y+c=0(c≠1), 则两平行线间的距离 d=|𝑐-1| √5 = √5,得 c=6 或 c=-4. 故直线 l 的方程为 2x-y+6=0 或 2x-y-4=0