7.4二项分布与超几何分布 7.4.1二项分布-7.4.2超几何分布 课后训练提升 基础巩固 1.设随机变量X的分布列为PX=k)=p1p)1-(k=0,1),则EX和DX)的值分别为 () A.0和1 Bp和p2 Cp和1-p Dp和(1-pp 答案D 解析：由题意知随机变量X满足两，点分布，因此E()=p,D)=(1-p)p, 2.己知随机变量，1满足+1=8，且服从二项分布，记作-B(10,0.6),则E()和 D)的值分别是() A.6和2.4 B.2和2.4 C.2和5.6 D.6和5.6 答案B 解析：由已知E()=10×0.6=6,D()=10×0.6×0.4=2.4. 因为+1=8 所以n=8- 所以E)=-E()+8=2,D()=(1)PD(0=2.4. 3己知B(n,)rB(n),且E()=15,则E)等于() A.5 B.10 C.15 D.20 答案B 解析：因为E()=n=15, 所以n=30 所以B(30,) 所以E()=30×二=10 4.在4重伯努利试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为 则事件A在1次试验中发生的概率为( ) A B D 答案：A 解析：设事件A在一次试验中发生的概率为p
7.4 二项分布与超几何分布 7.4.1 二项分布--7.4.2 超几何分布 课后· 基础巩固 1.设随机变量 X 的分布列为 P(X=k)=pk (1-p) 1-k (k=0,1),则 E(X)和 D(X)的值分别为 ( ) A.0 和 1 B.p 和 p 2 C.p 和 1-p D.p 和(1-p)p 答案:D 解析:由题意知随机变量 X 满足两点分布,因此 E(X)=p,D(X)=(1-p)p. 2.已知随机变量 ξ,η 满足 ξ+η=8,且 ξ 服从二项分布,记作 ξ~B(10,0.6),则 E(η)和 D(η)的值分别是( ) A.6 和 2.4 B.2 和 2.4 C.2 和 5.6 D.6 和 5.6 答案:B 解析:由已知 E(ξ)=10×0.6=6,D(ξ)=10×0.6×0.4=2.4. 因为 ξ+η=8, 所以 η=8-ξ. 所以 E(η)=-E(ξ)+8=2,D(η)=(-1)2D(ξ)=2.4. 3.已知 ξ~B(𝑛, 1 2 ),η~B(𝑛, 1 3 ),且 E(ξ)=15,则 E(η)等于( ) A.5 B.10 C.15 D.20 答案:B 解析:因为 E(ξ)= 1 2 n=15, 所以 n=30, 所以 η~B(30, 1 3 ), 所以 E(η)=30× 1 3 =10. 4.在 4 重伯努利试验中,事件 A 发生的概率相同,若事件 A 至少发生 1 次的概率为 65 81 ,则事件 A 在 1 次试验中发生的概率为( ) A. 1 3 B. 2 5 C. 5 6 D. 3 4 答案:A 解析:设事件 A 在一次试验中发生的概率为 p
由题意得1-cp1p-品 解得p子 5设x的分布列为PX=利-C(目^（目=0,123,45则D30-) A.10 B.30 C.15 D.5 答案：A 解析：由PX=利=C(目)()）k=0,123,45)可知随机变量X服从二项分布 B5,),因此D)=5x3×(1-)=号D30=9D)=10. 6.牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设 发病的牛的头数为，则D()等于」 答案：0.196 解析：因为5-B(10,0.02),所以D()=10×0.02×(1-0.02)=0.196 7.抛掷一枚均匀硬币3≤n≤8)次，正面朝上的次数：服从二项分布B(n,),若 P(G=1)=及则方差D(9= 答案 解析：因为3≤n≤8，随机变量服从二项分布B(n,) 且P6=I)- 所以c(佾(1)=最 即n)”=急 解得n=6 所以方差D()=p(1p)=6x3×(1-习=三 8.从4名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛，则所选3人中，女生的人数不 超过1人的概率为 答案号 解析：设所选女生数为随机变量X,X服从超几何分 布，P心≤1)-P0-0+=1爱+竖-目 C3 9.设随机变量B2p),B(4,p,若P(《≥1)=则D()= 答案号 解析：由随机变量~B(2p), 且P≥I)-号 得P(《≥1)=1-P(《=0)=1-C×(1pP= 易得p-
由题意得 1-C4 0p 0 (1-p) 4= 65 81 , 解得 p= 1 3 . 5.设 X 的分布列为 P(X=k)=C5 𝑘 ( 1 3 ) 𝑘 ( 2 3 ) 5-𝑘 (k=0,1,2,3,4,5),则 D(3X)=( ) A.10 B.30 C.15 D.5 答案:A 解析:由 P(X=k)=C5 𝑘 ( 1 3 ) 𝑘 ( 2 3 ) 5-𝑘 (k=0,1,2,3,4,5)可知随机变量 X 服从二项分布 B(5, 1 3 ),因此 D(X)=5× 1 3 × (1- 1 3 ) = 10 9 ,D(3X)=9D(X)=10. 6.牧场有 10 头牛,因误食含有病毒的饲料而被感染,已知该病的发病率为 0.02,设 发病的牛的头数为 ξ,则 D(ξ)等于 . 答案:0.196 解析:因为 ξ~B(10,0.02),所以 D(ξ)=10×0.02×(1-0.02)=0.196. 7.抛掷一枚均匀硬币 n(3≤n≤8)次,正面朝上的次数 ξ 服从二项分布 B(𝑛, 1 2 ),若 P(ξ=1)= 3 32 ,则方差 D(ξ)= . 答案: 3 2 解析:因为 3≤n≤8,随机变量 ξ 服从二项分布 B(𝑛, 1 2 ), 且 P(ξ=1)= 3 32 , 所以C𝑛 1 · ( 1 2 ) 𝑛-1 · (1- 1 2 ) = 3 32 , 即 n( 1 2 ) 𝑛 = 6 64 , 解得 n=6, 所以方差 D(ξ)=np(1-p)=6× 1 2 × (1- 1 2 ) = 3 2 . 8.从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加数学竞赛,则所选 3 人中,女生的人数不 超过 1 人的概率为 . 答案: 4 5 解析:设所选女生数为随机变量 X,X 服从超几何分 布,P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)= C2 0C4 3 C6 3 + C2 1C4 2 C6 3 = 4 5 . 9.设随机变量 ξ~B(2,p),η~B(4,p),若 P(ξ≥1)= 5 9 ,则 D(η)= . 答案: 8 9 解析:由随机变量 ξ~B(2,p), 且 P(ξ≥1)= 5 9 , 得 P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-C2 0×(1-p) 2= 5 9 , 易得 p= 1 3
由rB4p),得随机变量n的方差D0)=4x×(1)=号 10.某游戏射击场规定：①每次游戏射击5发子弹：②5发全部命中奖励40元，命中 4发不奖励，也不必付款，命中3发或3发以下，应付款2元.现有一游客，其命中率 为号 (1)求该游客在一次游戏中5发全部命中的概率； (2)求该游客在一次游戏中获得奖金的均值 解()设5发子弹命中XX=01,23,45)发，由题意知X8(5,》 则由题意有PX=5)=C( 5=3 1 (2)X的分布列为 2 4 不 5 10 10 D 5 1 32 32 32 32 32 32 设游客在一次游戏中获得资金为Y元，于是Y的分布列为 2 0 40 1 5 1 16 32 32 故该游客在一次游戏中获得资金的均值为（门(2）×器+0x多+40×立昌 11.一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方 图，如图所示 频率/组距↑ 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002- 0 050100150200250日销售量/个 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立 (1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个，且另1天的日 销售量低于50个的概率： (2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布 列，均值E)及方差D). 解：(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50 个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量不低于100个，且另1 天的日销售量低于50个” 因此P41)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6, P(A2)=0.003×50=0.15,P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108
由 η~B(4,p),得随机变量 η 的方差 D(η)=4× 1 3 × (1- 1 3 ) = 8 9 . 10.某游戏射击场规定:①每次游戏射击 5 发子弹;②5 发全部命中奖励 40 元,命中 4 发不奖励,也不必付款,命中 3 发或 3 发以下,应付款 2 元.现有一游客,其命中率 为 1 2 . (1)求该游客在一次游戏中 5 发全部命中的概率; (2)求该游客在一次游戏中获得奖金的均值. 解:(1)设 5 发子弹命中 X(X=0,1,2,3,4,5)发,由题意知 X~B(5, 1 2 ), 则由题意有 P(X=5)=C5 5 ( 1 2 ) 5 = 1 32 . (2)X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P 1 32 5 32 10 32 10 32 5 32 1 32 设游客在一次游戏中获得资金为 Y 元,于是 Y 的分布列为 Y -2 0 40 P 13 16 5 32 1 32 故该游客在一次游戏中获得资金的均值为 E(Y)=(-2)× 13 16 +0× 5 32 +40× 1 32 =- 3 8 . 11.一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方 图,如图所示. 将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立. (1)求在未来连续 3 天里,有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个,且另 1 天的日 销售量低于 50 个的概率; (2)用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数,求随机变量 X 的分布 列,均值 E(X)及方差 D(X). 解:(1)设 A1 表示事件“日销售量不低于 100 个”,A2 表示事件“日销售量低于 50 个”,B 表示事件“在未来连续 3 天里,有连续 2 天的日销售量不低于 100 个,且另 1 天的日销售量低于 50 个”. 因此 P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6, P(A2)=0.003×50=0.15,P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108
(2)由题意知X-B(3,0.6)】 X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为 PX=0)=Cg×(1-0.6)3=0.064, PX=1)=C×0.6×(1-0.6)2=0.288, PX=2)=C×0.62×(1-0.6)=0.432, P(X=3)=C3×0.63=0.216. 则X的分布列为 X 0 1 2 3 0.064 0.288 0.432 0.216 因为X-B(3,0.6),所以均值E)=3×0.6=1.8,方差D0=3×0.6×(1-0.6)=0.72 拓展提高 1(多选题)一射手对同一目标独立地射击4次，已知至少命中1次的概率为架则 下列结论中正确的是() A.设此射手射击4次命中次数为，每次命中的概率为p,则~B(4,p) B设此射手射击4次命中次数为则PE≥1)盟 C.设每次命中的概率为p,则p-或p= D.设每次命中的概率为p,则p号 答案：ABD 解析：设此射手射击4次命中次数为，每次命中的概率为p,则~B(4,p) 依题意可知P(≥I)品 所以1-P5=0)=1-C×(1pN-器 即1p-品 解得p子或p=(舍去故选ABD 2.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数 列{an},an= 1,第n次摸取红球如果S为数列a的前n项和，那么57-=3的概率 1,第n次摸取白球， 为 AC×()x) Bc×)×( ccix()x() D.c号×)x) 答案D
(2)由题意知 X~B(3,0.6). X 可能取的值为 0,1,2,3,相应的概率为 P(X=0)=C3 0×(1-0.6)3=0.064, P(X=1)=C3 1×0.6×(1-0.6)2=0.288, P(X=2)=C3 2×0.6 2×(1-0.6)=0.432, P(X=3)=C3 3×0.6 3=0.216. 则 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因为 X~B(3,0.6),所以均值 E(X)=3×0.6=1.8,方差 D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72. 拓展提高 1.(多选题)一射手对同一目标独立地射击 4 次,已知至少命中 1 次的概率为80 81 ,则 下列结论中正确的是( ) A.设此射手射击 4 次命中次数为 ξ,每次命中的概率为 p,则 ξ~B(4,p) B.设此射手射击 4 次命中次数为 ξ,则 P(ξ≥1)= 80 81 C.设每次命中的概率为 p,则 p= 2 3或 p= 4 3 D.设每次命中的概率为 p,则 p= 2 3 答案:ABD 解析:设此射手射击 4 次命中次数为 ξ,每次命中的概率为 p,则 ξ~B(4,p). 依题意可知 P(ξ≥1)= 80 81 , 所以 1-P(ξ=0)=1-C4 0×(1-p) 4= 80 81 , 即(1-p) 4= 1 81 , 解得 p= 2 3或 p= 4 3 (舍去).故选 ABD. 2.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球,每次有放回地摸取一个球,定义数 列{an},an={ -1,第𝑛次摸取红球, 1,第𝑛次摸取白球, 如果 Sn 为数列{an}的前 n 项和,那么 S7=3 的概率 为( ) A.C7 5 × ( 1 3 ) 2 × ( 2 3 ) 5 B.C7 2 × ( 2 3 ) 2 × ( 1 3 ) 2 C.C7 5 × ( 1 3 ) 2 × ( 1 3 ) 5 D.C7 2 × ( 2 3 ) 2 × ( 1 3 ) 5 答案:D
解析：由S7=3,知在7次摸球中有2次摸取红球，5次摸取白球，而每次摸取红球的 概率为号，模取白球的概率为5则S=3的概率为C?×()×() 故选D, 3.(多选题)在“石头、剪刀、布”游戏中，规定：“石头赢剪刀剪刀赢布“布赢石 头”现在小明、小泽两名同学玩这个游戏，共玩局，每一局每人等可能地独立选 择一种手势设小明赢小泽的局数为飞，且D()=。则( A.随机变量5的可能取值为0,1,2,3,4,5 B.c-B(n.) C.n=4 DE()=4X=手 答案：AB 解析：对于A,由题意可得n=5,随机变量的可能取值为0,1,2,3,4,5，故A对； 对于B,每一局小明赢小泽的概率为由题意知，这是一个n重伯努利试验，故 B(n)故B对： 对于C,由D(们=号知D(⑤)=nx×号=吕，解得n=5,故C错， 对于D,E)=5×=号故D错， 故选AB 4.设一次试验成功的概率为p,进行100次独立重复试验，当p=」 时，成 功次数的标准差的值最大，其最大值为 答案 5 解析：由独立重复试验的方差公式可以得到D(=p)≤n2)°=导当且仅 当p=1p,即p之时成立，因此Dm=100x2×=25,√D飞mk=V2=5. 5.一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个 选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分， 某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差 分别为 答案：60,96 解析：设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X,所得的分数（成绩） 为Y,则Y=4X 由题知X-B(25,0.6), 所以EX)=25×0.6=15,DX0=25×0.6×0.4=6, E(Y)=E(4X)=4E(X)=60,D(Y)=D(4X)=42DX)=16×6=96, 所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是60与96
解析:由 S7=3,知在 7 次摸球中有 2 次摸取红球,5 次摸取白球,而每次摸取红球的 概率为2 3 ,摸取白球的概率为1 3 ,则 S7=3 的概率为C7 2 × ( 2 3 ) 2 × ( 1 3 ) 5 , 故选 D. 3.(多选题)在“石头、剪刀、布”游戏中,规定:“石头赢剪刀”“剪刀赢布”“布赢石 头”.现在小明、小泽两名同学玩这个游戏,共玩 n 局,每一局每人等可能地独立选 择一种手势.设小明赢小泽的局数为 ξ,且 D(ξ)= 10 9 ,则( ) A.随机变量 ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4,5 B.ξ~B(𝑛, 1 3 ) C.n=4 D.E(ξ)=4× 1 3 = 4 3 答案:AB 解析:对于 A,由题意可得 n=5,随机变量 ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4,5,故 A 对; 对于 B,每一局小明赢小泽的概率为1 3 ,由题意知,这是一个 n 重伯努利试验,故 ξ~B(𝑛, 1 3 ),故 B 对; 对于 C,由 D(ξ)= 10 9 ,知 D(ξ)=n× 1 3 × 2 3 = 10 9 ,解得 n=5,故 C 错; 对于 D,E(ξ)=5× 1 3 = 5 3 ,故 D 错. 故选 AB. 4.设一次试验成功的概率为 p,进行 100 次独立重复试验,当 p= 时,成 功次数的标准差的值最大,其最大值为 . 答案: 1 2 5 解析:由独立重复试验的方差公式可以得到 D(ξ)=np(1-p)≤n( 𝑝+1-𝑝 2 ) 2 = 𝑛 4 ,当且仅 当 p=1-p,即 p= 1 2时成立,因此 D(ξ)max=100× 1 2 × 1 2 =25,√𝐷(𝜉)max = √25=5. 5.一次数学测验由 25 道选择题构成,每个选择题有 4 个选项,其中有且仅有一个 选项是正确的,每个答案选择正确得 4 分,不作出选择或选错不得分,满分 100 分, 某学生选对任一题的概率为 0.6,则此学生在这一次测验中的成绩的均值与方差 分别为 . 答案:60,96 解析:设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为 X,所得的分数(成绩) 为 Y,则 Y=4X. 由题知 X~B(25,0.6), 所以 E(X)=25×0.6=15,D(X)=25×0.6×0.4=6, E(Y)=E(4X)=4E(X)=60,D(Y)=D(4X)=4 2D(X)=16×6=96, 所以该学生在这次测验中的成绩的均值与方差分别是 60 与 96
6.有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，若从中随机抽出3张，设这3 张卡片上的数字和为X,则D)= 答案鹦 解析：由题意得，随机变量X的可能取值为6,9,12. P-6是- P(X-9)-Cixc3= Cio 15 PrX12-答=言 则E00=-6×品+9x名+12x结=号 15 15 D0-名×(6-}+×(9-》2+×(12-}-器 7某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率 为中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为中奖可以获得3分：未中奖则不得分. 每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换 奖品 (I)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X,求X≤3 的概率； (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，则他们选择何种方 案抽奖，累计得分的数学期望较大？ 解()由已知，得小明中奖的概率为小红中奖的概率为经且两人中奖与否互不影 响 记“这两人的累计得分X≤3”为事件A,则事件A的对立事件为“这两人的累计得 分X=5” 因为PK=5)子×号=所以P=I-PX=5)-是 所以这两人的累计得分X≤3的概率为铝 (2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X1,都选择方案乙抽奖中奖的次 数为X 则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X),选择方案乙抽奖累计得 分的数学期望为E(3X2), 由已知得XB(2)B(2,) 所以EK)=2×号=E)=2×号= 所以E2X)=2E0X)=E3)=3E6)-号 因为E(2X)>E(3X), 所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大 挑战创新
6.有 10 张卡片,其中 8 张标有数字 2,2 张标有数字 5,若从中随机抽出 3 张,设这 3 张卡片上的数字和为 X,则 D(X)= . 答案: 84 25 解析:由题意得,随机变量 X 的可能取值为 6,9,12. P(X=6)= C8 3 C10 3 = 7 15 , P(X=9)= C8 2×C2 1 C10 3 = 7 15 , P(X=12)= C8 1×C2 2 C10 3 = 1 15 , 则 E(X)=6× 7 15 +9× 7 15 +12× 1 15 = 39 5 , D(X)= 7 15 ×(6 − 39 5 ) 2+ 7 15 ×(9 − 39 5 ) 2+ 1 15 ×(12 − 39 5 ) 2= 84 25 . 7.某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率 为 2 3 ,中奖可以获得 2 分;方案乙的中奖率为2 5 ,中奖可以获得 3 分;未中奖则不得分. 每人有且只有一次抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换 奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖,小红选择方案乙抽奖,记他们的累计得分为 X,求 X≤3 的概率; (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,则他们选择何种方 案抽奖,累计得分的数学期望较大? 解:(1)由已知,得小明中奖的概率为2 3 ,小红中奖的概率为2 5 ,且两人中奖与否互不影 响. 记“这两人的累计得分 X≤3”为事件 A,则事件 A 的对立事件为“这两人的累计得 分 X=5”. 因为 P(X=5)= 2 3 × 2 5 = 4 15 ,所以 P(A)=1-P(X=5)= 11 15 . 所以这两人的累计得分 X≤3 的概率为11 15 . (2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为 X1,都选择方案乙抽奖中奖的次 数为 X2, 则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 E(2X1),选择方案乙抽奖累计得 分的数学期望为 E(3X2). 由已知得 X1~B(2, 2 3 ),X2~B(2, 2 5 ), 所以 E(X1)=2× 2 3 = 4 3 ,E(X2)=2× 2 5 = 4 5 , 所以 E(2X1)=2E(X1)= 8 3 ,E(3X2)=3E(X2)= 12 5 . 因为 E(2X1)>E(3X2), 所以他们都选择方案甲进行抽奖时,累计得分的数学期望较大. 挑战创新
在交通高峰期，从A地有L1,L2两条道路通往B地（如图）L1道路有A1,A2,A3三个 易堵塞点，各点被堵塞的概率都是L2道路有B1,B2两个易堵塞点，被堵塞的概率 分别为冷君 -A2 A A地 B地 B1—B (1)求L1道路中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率； (2)若L2道路堵塞点的个数为X,求X的分布列及数学期望E),并按照“平均堵塞 点少的道路是较好的通行路线”的标准，选择一条通行路线，同时说明理由.解(1)设 L1道路中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为事件A, 则PA=Cg×()+Cg××(= (2)根据题意，知X的可能取值为0,1,2. P0X=0-(1-(1-)品 PX=I-(1-)(1-X2=品 PX=2)-×号=品 所以随机变量X的分布列为 D 2 0 2品 2品 E00-0×。+1×号+2x号=哥 10 20 设L1道路中堵塞，点个数为Y, 则随机变量yB(3,)》 所以E门=3x子=月 因为E)<E(),所以选择L2道路为通行路线较好
在交通高峰期,从 A 地有 L1,L2 两条道路通往 B 地(如图).L1 道路有 A1,A2,A3三个 易堵塞点,各点被堵塞的概率都是1 2 ;L2 道路有 B1,B2 两个易堵塞点,被堵塞的概率 分别为3 4 , 3 5 . (1)求 L1 道路中,三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率; (2)若 L2 道路堵塞点的个数为 X,求 X 的分布列及数学期望 E(X),并按照“平均堵塞 点少的道路是较好的通行路线”的标准,选择一条通行路线,同时说明理由.解(1)设 “L1 道路中,三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为事件 A, 则 P(A)=C3 0 × ( 1 2 ) 3 + C3 1 × 1 2 × ( 1 2 ) 2 = 1 2 . (2)根据题意,知 X 的可能取值为 0,1,2. P(X=0)=(1 − 3 4 )×(1 − 3 5 )= 1 10 , P(X=1)= 3 4 ×(1 − 3 5 )+(1 − 3 4 )× 3 5 = 9 20 , P(X=2)= 3 4 × 3 5 = 9 20 . 所以随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 P 1 10 9 20 9 20 E(X)=0× 1 10 +1× 9 20 +2× 9 20 = 27 20 . 设 L1 道路中堵塞点个数为 Y, 则随机变量 Y~B(3, 1 2 ), 所以 E(Y)=3× 1 2 = 3 2 . 因为 E(X)<E(Y),所以选择 L2 道路为通行路线较好